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2023年陕西省咸阳市中考数学一模试卷(含答案)
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这是一份2023年陕西省咸阳市中考数学一模试卷(含答案)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2023年陕西省咸阳市中考数学一模试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题目题意的）
1．（3分）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）如图，AB∥CD，射线DF交AB于点E，∠1＝110°，则∠D的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
3．（3分）下列计算错误的是（ ）
A．（﹣3x2）3＝﹣27x6 B．（﹣y）3•（﹣y）2＝﹣y5
C．2﹣3＝﹣6 D．（π﹣3.14）0＝1
4．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO．添加下列条件，可以判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AB＝AD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．∠ABO＝∠CBO
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，过点D作DE⊥AB，连接AE、BE，若CD＝4，AE＝5，则DE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（3分）如图，直线y＝kx（k≠0）与y＝ax+b（a≠0）在第二象限交于A，y＝ax+b交x轴于B，且AB＝AO，BO＝8，S△ABO＝12，则方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，∠ACD＝35°，则∠BOD的度数是（ ）
A．105° B．110° C．115° D．120°
8．（3分）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x
…
﹣2
0
1
3
…
y
…
6
﹣4
﹣6
﹣4
…
下列选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的开口向下
B．这个函数的图像与x轴无交点
C．当x＞2时，y的值随x的增大而减小
D．这个函数的最小值小于6
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）计算：＝ ．
10．（3分）比较大小：﹣4 0．（填“＞”“＜”或“＝”）
11．（3分）已知点C为线段AB的黄金分割点且AC＞BC，AB＝20cm，则AC＝ cm．（结果保留根号）
12．（3分）已知点A（﹣2，m）在一个反比例函数的图象上，点A'与点A关于y轴对称．若点A'在正比例函数y＝x的图象上，则这个反比例函数的表达式为 ．
13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E为线段CD的中点，动点F从点C出发，沿C→B→A的方向在CB和BA上运动，将矩形沿EF折叠，点C的对应点为C'，当点C'恰好落在矩形的对角线上时，点F运动的距离为 ．
三、（共13小题，计81分，解答应写出过程.14-20题各5分，21题6分，22、23题7分，24、25题8分，26题10分）
14．（5分）计算：．
15．（5分）解不等式组并写出该不等式组的最小整数解．
16．（5分）（1）化简：；
（2）先化简，再求值：，其中x＝2022．
17．（5分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，请用尺规作图求作⊙P，使点P在BC上且使⊙P与AC，AB都相切．（不写作法，保留作图痕迹）
18．（5分）已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ACB＝∠D，求证：△ABC≌△EAD．
19．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B、C三点的坐标分别为（﹣5，4）、（﹣3，0）、（0，2）．
（1）画出△ABC；
（2）△ABC面积为 ；
（3）如图，△A'B'C'是由△ABC经过平移得到的．已知点P（a，b）为△ABC内的一点，则点P在△A'B'C'内的对应点P'的坐标是 ．
20．（5分）作为中国共产党建党百年的献礼，我校精心策划“庆祝中国共产党成立100周年”歌唱比赛，歌曲有：《没有共产党就没有新中国》，《歌唱祖国》，《少年中国说》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，九年一班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由九年二班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌唱比赛．
（1）九年一班抽中歌曲《少年中国说》的概率是 ；
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出一班和二班抽中不同歌曲的概率．
21．（5分）已知有一块三角形材料∠ABC，其中BC＝120cm，高AD＝80cm，现需要在三角形ABC上裁下一个正方形材料做零件，使得正方形EFGH的顶点E、F分别在边AB，AC上，H、G在BC上，裁下的正方形EFGH的边长是多少？
22．（6分）如图按下列程序进行计算．规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算，结果大于244，则输出此结果；若结果不大于244，则将此结果的值赋给m，再进行第二次计算．
（1）当m＝100时，求输出的结果是多少？
（2）若m＝5，求运算进行多少次才会停止？
（3）若运算进行了5次才停止．求m的取值范围．
23．（7分）为迎接党的二十大胜利召开，某校开展了以“不忘初心跟党走”为主题的读书活动，学校对本校八年级学生9月份“读书量”进行了随机抽样调查，对所有随机抽取的数据进行了统计，并绘制成如下两幅不完整的统计图．
（1）求出此次抽样调查的八年级学生总数，并补全条形统计图；
（2）本次所抽取学生9月份“读书量”的众数为 本；
（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校1000名八年级学生中，9月份“读书量”不少于4本的学生人数．
24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上（不与点A，点C重合），连接BD，BD＝AB．
（1）设∠C＝50°时，求∠ABD的度数；
（2）若AB＝5，BC＝6，求AD的长．
25．（10分）某公路有一个抛物线形状的隧道ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y＝﹣x2+c且过顶点C（0，5）．（长度单位：m）
（1）直接写出c＝ ；
（2）求该隧道截面的最大跨度（即AB的长度）是多少米？
（3）该隧道为双向车道，现有一辆运货卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由．
26．（10分）在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，点A与点C关于y轴对称．
（1）如图1，OA＝OB，AF平分∠BAC交BC于F，BE⊥AF交AC于E，请直接写出EF与EC的数量关系为 ；
（2）如图2，AF平分∠BAC交BC于F，若AF＝2OB，求∠ABC的度数；
（3）如图3，OA＝OB，点G在BO的垂直平分线上，作∠GOH＝45°交BA的延长线于H，连接GH，试探究OG与GH的数量和位置关系．
2023年陕西省咸阳市中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题目题意的）
1．（3分）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：的相反数是，
故选：C．
2．（3分）如图，AB∥CD，射线DF交AB于点E，∠1＝110°，则∠D的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【解答】解：∠AEF＝180°﹣∠1＝180°﹣110°＝70°．
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠AEF＝70°（两直线平行，同位角相等）．
故选：C．
3．（3分）下列计算错误的是（ ）
A．（﹣3x2）3＝﹣27x6 B．（﹣y）3•（﹣y）2＝﹣y5
C．2﹣3＝﹣6 D．（π﹣3.14）0＝1
【解答】解：（﹣3x2）3＝﹣27x6，故选项A不合题意；
（﹣y）3•（﹣y）2＝﹣y3•y2＝﹣y5，故选项B不合题意；
，故选项C符合题意；
（π﹣3.14）0＝1，故选项D不合题意．
故选：C．
4．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO．添加下列条件，可以判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AB＝AD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．∠ABO＝∠CBO
【解答】解：∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当AB＝AD或AC⊥BD时，可判定四边形ABCD是菱形；
当∠ABO＝∠CBO时，
由AD∥BC知∠CBO＝∠ADO，
∴∠ABO＝∠ADO，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
当AC＝BD时，可判定四边形ABCD是矩形；
故选：B．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，过点D作DE⊥AB，连接AE、BE，若CD＝4，AE＝5，则DE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，CD＝4，
∴，
∵DE⊥AB，AE＝5，
∴，
故选：B．
6．（3分）如图，直线y＝kx（k≠0）与y＝ax+b（a≠0）在第二象限交于A，y＝ax+b交x轴于B，且AB＝AO，BO＝8，S△ABO＝12，则方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：作AH⊥x轴于H，如图，
∵AB＝AO，
∴BH＝OH＝OB＝4，
∵S△ABO＝12，
∴OB•AH＝12，
∴AH＝＝3，
∴A（﹣4，3），
∴方程组的解为．
故选：A．
7．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，∠ACD＝35°，则∠BOD的度数是（ ）
A．105° B．110° C．115° D．120°
【解答】解：∵∠ACD与∠AOD都对着，
∴∠AOD＝2∠ACD，
而∠ACD＝35°，
∴∠AOD＝70°，
∴∠BOD＝180°﹣70°＝110°．
故选：B．
8．（3分）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x
…
﹣2
0
1
3
…
y
…
6
﹣4
﹣6
﹣4
…
下列选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的开口向下
B．这个函数的图像与x轴无交点
C．当x＞2时，y的值随x的增大而减小
D．这个函数的最小值小于6
【解答】解：∵抛物线经过点（0，﹣4），（3，﹣4），
∴抛物线对称轴为直线x＝，
∵抛物线经过点（﹣2，6），
∴当x＜时，y随x增大而减小，
∴抛物线开口向上，且跟x轴有交点，故A，B错误，不符合题意；
∴x＞时，y随x增大而增减小，故C错误，不符合题意；
由对称性可知，在x＝处取得最小值，且最小值小于﹣6．故D正确，符合题意．
故选：D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）计算：＝ 3 ．
【解答】解：原式＝1﹣2
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
10．（3分）比较大小：﹣4 ＜ 0．（填“＞”“＜”或“＝”）
【解答】解：∵910＜16，
∴＜4，
∴﹣4＜0．
故答案为：＜．
11．（3分）已知点C为线段AB的黄金分割点且AC＞BC，AB＝20cm，则AC＝ cm．（结果保留根号）
【解答】解：∵C为线段AB的黄金分割点，且AC较长线段，
∴，
故答案为：．
12．（3分）已知点A（﹣2，m）在一个反比例函数的图象上，点A'与点A关于y轴对称．若点A'在正比例函数y＝x的图象上，则这个反比例函数的表达式为 y＝﹣ ．
【解答】解：∵点A'与点A关于y轴对称，点A（﹣2，m），
∴点A'（2，m），
∵点A'在正比例函数y＝x的图象上，
∴m＝＝1，
∴A（﹣2，1），
∵点A（﹣2，1）在一个反比例函数的图象上，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣，
故答案为：y＝﹣．
13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E为线段CD的中点，动点F从点C出发，沿C→B→A的方向在CB和BA上运动，将矩形沿EF折叠，点C的对应点为C'，当点C'恰好落在矩形的对角线上时，点F运动的距离为 1或 ．
【解答】解：分两种情况：
①当点C'落在对角线BD上时，连接CC'，如图1所示：
∵将矩形沿EF折叠，点C的对应点为点C'，且点恰好落在矩形的对角线上，
∴CC'⊥EF，
∵点E为线段CD的中点，
∴CE＝ED＝EC'，
∴∠CC′D＝90°，即CC'⊥BD，
∴EF∥BD，
∴点F是BC的中点，
∵在矩形ABCD中，AD＝2，
∴BC＝AD＝2，
∴CF＝1，
∴点F运动的距离为1；
②当点C'落在对角线AC上时，作FH⊥CD于H，则CC'⊥EF，四边形CBFH为矩形，如图2所示：
在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，∠B＝∠BCD＝90°，AB∥CD，
∴BC＝AD＝2，tan∠BAC＝，
∴∠BAC＝30°，
∵EF⊥AC，
∴∠AFE＝60°，
∴∠FEH＝60°，
∵四边形CBFH为矩形，
∴HF＝BC＝2，
∴EH＝＝＝，
∵EC＝CD＝，
∴BF＝CH＝CE﹣EH＝﹣＝，
∴点F运动的距离为；
综上所述：点F运动的距离为1或；
故答案为：1或．
三、（共13小题，计81分，解答应写出过程.14-20题各5分，21题6分，22、23题7分，24、25题8分，26题10分）
14．（5分）计算：．
【解答】解：+|﹣2|﹣tan60°
＝+2﹣﹣
＝2﹣．
15．（5分）解不等式组并写出该不等式组的最小整数解．
【解答】解：由x﹣3（x﹣2）＞4，得：x＜1，
由≥﹣1，得：x≥﹣2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜1，
∴该不等式组的最小整数解为﹣2．
16．（5分）（1）化简：；
（2）先化简，再求值：，其中x＝2022．
【解答】解：（1）原式＝＝；
（2）原式＝＝＝x﹣1，
当x＝2022时，原式＝2022﹣1＝2021．
17．（5分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，请用尺规作图求作⊙P，使点P在BC上且使⊙P与AC，AB都相切．（不写作法，保留作图痕迹）
【解答】解：如图，⊙P即为所求作．
18．（5分）已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ACB＝∠D，求证：△ABC≌△EAD．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠E＝∠BAC，
在△ABC和△EAD中，
，
∴△ABC≌△EAD（AAS）．
19．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B、C三点的坐标分别为（﹣5，4）、（﹣3，0）、（0，2）．
（1）画出△ABC；
（2）△ABC面积为 8 ；
（3）如图，△A'B'C'是由△ABC经过平移得到的．已知点P（a，b）为△ABC内的一点，则点P在△A'B'C'内的对应点P'的坐标是 （a+4，b﹣3） ．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求；
（2）△ABC的面积＝4×5﹣×2×4﹣×2×5﹣×2×3＝8；
故答案为：8；
（3）P′（a+4，b﹣3）．
20．（5分）作为中国共产党建党百年的献礼，我校精心策划“庆祝中国共产党成立100周年”歌唱比赛，歌曲有：《没有共产党就没有新中国》，《歌唱祖国》，《少年中国说》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，九年一班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由九年二班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌唱比赛．
（1）九年一班抽中歌曲《少年中国说》的概率是 ；
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出一班和二班抽中不同歌曲的概率．
【解答】解：（1）九年一班抽中歌曲《少年中国说》的概率是；
故答案为：；
（2）树状图如图所示：
共有9种等可能的情况数，其中九（1）班和九（2）班抽中不同歌曲的有6种结果，
则一班和二班抽中不同歌曲的概率是＝．
21．（5分）已知有一块三角形材料∠ABC，其中BC＝120cm，高AD＝80cm，现需要在三角形ABC上裁下一个正方形材料做零件，使得正方形EFGH的顶点E、F分别在边AB，AC上，H、G在BC上，裁下的正方形EFGH的边长是多少？
【解答】解：∵正方形EFGH的边HG在BC上，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD是△ABC的高，
∴，
∴设EF＝xcm，则EH＝EH＝MD＝xcm，
∴，
∴解得：x＝48，
∴这个正方形零件的边长为48cm．
22．（6分）如图按下列程序进行计算．规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算，结果大于244，则输出此结果；若结果不大于244，则将此结果的值赋给m，再进行第二次计算．
（1）当m＝100时，求输出的结果是多少？
（2）若m＝5，求运算进行多少次才会停止？
（3）若运算进行了5次才停止．求m的取值范围．
【解答】解：（1）当m＝100时，3m﹣2＝3×100﹣2＝298＞244，
∴输出结果为298；
（2）当m＝5时，①3m﹣2＝3×5﹣2＝13，
当m＝13时，②3m﹣2＝3×13﹣2＝37，
当m＝37时，③3m﹣2＝3×37﹣2＝109，
当m＝109时，④3m﹣2＝3×109﹣2＝325＞244，
∴运算进行了4次才停止；
（3）由题意得：①3m﹣2，
②3（3m﹣2）﹣2＝9m﹣8，
③3（9m﹣8）﹣2＝27m﹣26，
④3（27m﹣26）﹣2＝81m﹣80，
⑤3（81m﹣80）﹣2＝243m﹣242，
∴，
解得：2＜m≤4，
答：m的取值范围是2＜m≤4．
23．（7分）为迎接党的二十大胜利召开，某校开展了以“不忘初心跟党走”为主题的读书活动，学校对本校八年级学生9月份“读书量”进行了随机抽样调查，对所有随机抽取的数据进行了统计，并绘制成如下两幅不完整的统计图．
（1）求出此次抽样调查的八年级学生总数，并补全条形统计图；
（2）本次所抽取学生9月份“读书量”的众数为 3 本；
（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校1000名八年级学生中，9月份“读书量”不少于4本的学生人数．
【解答】解：（1）10÷20%＝50（人），
答：此次抽样调查的八年级学生总数为50人；
“读书量”4本的人数所占的百分比：1﹣10%﹣10%﹣20%﹣40%＝20%，
“读书量”4本的人数有：50×20%＝10（人），
补全条形统计图如下：
（2）根据统计图可知众数为3本，
故答案为：3；
（3）根据题意得，1000×（10%+20%）＝300（人），
答：估计9月份“读书量”不少于4本的八年级学生有300人．
24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上（不与点A，点C重合），连接BD，BD＝AB．
（1）设∠C＝50°时，求∠ABD的度数；
（2）若AB＝5，BC＝6，求AD的长．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝50°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝80°，
∵BD＝AB，
∴∠BDA＝∠A＝80°，
∴∠ABD＝180°﹣∠A﹣∠BDA＝20°，
（2）解：过点A作AM⊥BC于点M，BN⊥AC于点N，
设AN＝x，则CN＝5﹣x，
∵AB＝AC，AM⊥BC，
∴M是BC的中点，
∵AB＝5，BC＝6，
∴AM＝，
∵BN2＝AB2﹣AN2＝BC2﹣CN2，
∴25﹣x2＝36﹣（5﹣x）2，
∴x＝，
∴AD＝2AN＝．
25．（10分）某公路有一个抛物线形状的隧道ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y＝﹣x2+c且过顶点C（0，5）．（长度单位：m）
（1）直接写出c＝ 5 ；
（2）求该隧道截面的最大跨度（即AB的长度）是多少米？
（3）该隧道为双向车道，现有一辆运货卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由．
【解答】解：（1）∵顶点C（0，5）
∴c＝5，
故答案为：5．
（2）由题意可得：0＝﹣x2+5，
解得：x1＝5，x2＝﹣5，
故AB＝2×5＝10米；
（3）把x＝3代入得y＝﹣x2+5＝4.1＞4，
故能安全通过．
26．（10分）在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，点A与点C关于y轴对称．
（1）如图1，OA＝OB，AF平分∠BAC交BC于F，BE⊥AF交AC于E，请直接写出EF与EC的数量关系为 EF＝CE ；
（2）如图2，AF平分∠BAC交BC于F，若AF＝2OB，求∠ABC的度数；
（3）如图3，OA＝OB，点G在BO的垂直平分线上，作∠GOH＝45°交BA的延长线于H，连接GH，试探究OG与GH的数量和位置关系．
【解答】解：（1）结论：EF＝EC．
理由：如图1中，设AF交BE于点J．
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF，
∵BE⊥AF，
∴∠BAF+∠ABE＝90°，∠CAF+∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵A，C关于y轴对称，
∴OA＝OC，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴∠ABC＝90°，
在△ABF和△AEF中，
，
∴△ABF≌△AEF（SAS），
∴∠AEF＝∠ABF＝90°，
∴∠CEF＝90°，
∴∠ECF＝∠EFC＝45°，
∴EF＝EC；
（2）如图2中，取CF的中点T，连接OT．
∵AO＝OC，FT＝TC，
∴OT∥AF，OT＝AF，
∵AF＝2OB，
∴OB＝OT，
∴∠OBT＝∠OTB，
∵OA＝OC，BO⊥AC，
∴BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，∠ABO＝∠CBO，
设∠BAC＝∠BCA＝2α，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF＝α，
∵OT∥AF，
∴∠TOC＝∠CAF＝α，
∴∠OBT＝∠OTB＝∠TOC+∠TCO＝3α，
∵∠OBC+∠OCB＝90°，
∴5α＝90°，
∴α＝18°，
∴∠OBC＝54°，
∴∠ABC＝2∠OBC＝108°；
解法二：在y轴上取点B关于x轴的对称点P，连接AP，FP，作FQ∥BP交AP的延长线于点Q．则∠BAC＝∠PAC，BP＝2OB，
∵AF＝2OB，
∴BP＝AF，
∵A，C关于y轴对称，
∴∠ACB＝∠BAC＝∠PAC，
∴BC∥AP，
∴∠BFA＝∠FAP，∠FBP＝∠BPA，
∵FQ∥BP，
∴∠BPF＝∠PFQ，
∵PF＝FP，
∴△BPF≌△QFP（AAS），
∴FQ＝BP，
∴AF＝FQ，
∴∠FAQ＝∠FQA＝∠BPA，
∴∠BFA＝∠FBP，
设∠FAC＝x，则∠BAC＝∠ACB＝2x，
∴∠BA＝∠FBP＝3x，
∵∠OBC+∠OCB＝90°，
∴3x+2x＝90°，
∴x＝18°，
∴∠ABC＝2∠BOC＝6x＝108°；
（3）结论：OG＝GH，OG⊥GH．
理由：如图3中，连接GB，在BA上取一点H′，使得GB＝GH′，连接OH′，设AB交DG于点W，交OG于点K，连接OW．
设∠OGB＝m，∠OGH′＝n，
∵GD垂直平分线段OB，
∴GB＝GO，∠DGB＝∠DGO＝m，
∵GB＝GO＝GH′，
∴∠GH′O＝（180°﹣n）＝90°﹣n，∠GH′B＝（180°﹣m﹣n）＝90°﹣m﹣n，
∴∠KH′O＝∠GH′O﹣∠GH′B＝90°﹣n﹣（90°﹣m﹣n）＝m，
∴∠KH′O＝∠KGW，
∵∠GKW＝∠H′KO，
∴∠H′OK＝∠GWK，
∵DG∥OA，
∴∠GWK＝∠OAB＝45°，
∴∠COH′＝45°，
∵∠COH＝45°，
∴∠COH＝∠COH′，
∴点H与点H′重合，
∴OG＝GH，
∴∠GHO＝∠GOH＝45°，
∴∠OGH＝90°，
∴GH＝GO，GH⊥GO．
解法二：过点H作HM⊥OH交OG的延长线于点M，过点H作NH⊥HA交x轴于点N，连接MN交DG于点I．
∵∠GOH＝45°，∠NAH＝∠BAO＝45°，
∴△OMH，△NHA都是等腰直角三角形，
∴NH＝AH，MH＝OH，
∵∠NHM+∠MHA＝90°，∠MHA+∠OHA＝90°，
∴∠MHN＝∠OHA，
∴△MHN≌△OHA（SAS），
∴MN＝OA＝OB，∠MNH＝∠OAH＝135°，
∴∠MNO＝90°，
∴NI＝OD，
∵DG是OB的垂直平分线，
∴OB＝2OD，
∴MN＝OB＝2NI，
∴NI＝IM＝OD，
∴△GIM≌△HDO（AAS），
∴MG＝OG，
∴GH＝GO，GH⊥GO．
2023年陕西省咸阳市中考数学一模试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题目题意的）
1．（3分）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）如图，AB∥CD，射线DF交AB于点E，∠1＝110°，则∠D的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
3．（3分）下列计算错误的是（ ）
A．（﹣3x2）3＝﹣27x6 B．（﹣y）3•（﹣y）2＝﹣y5
C．2﹣3＝﹣6 D．（π﹣3.14）0＝1
4．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO．添加下列条件，可以判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AB＝AD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．∠ABO＝∠CBO
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，过点D作DE⊥AB，连接AE、BE，若CD＝4，AE＝5，则DE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（3分）如图，直线y＝kx（k≠0）与y＝ax+b（a≠0）在第二象限交于A，y＝ax+b交x轴于B，且AB＝AO，BO＝8，S△ABO＝12，则方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，∠ACD＝35°，则∠BOD的度数是（ ）
A．105° B．110° C．115° D．120°
8．（3分）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x
…
﹣2
0
1
3
…
y
…
6
﹣4
﹣6
﹣4
…
下列选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的开口向下
B．这个函数的图像与x轴无交点
C．当x＞2时，y的值随x的增大而减小
D．这个函数的最小值小于6
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）计算：＝ ．
10．（3分）比较大小：﹣4 0．（填“＞”“＜”或“＝”）
11．（3分）已知点C为线段AB的黄金分割点且AC＞BC，AB＝20cm，则AC＝ cm．（结果保留根号）
12．（3分）已知点A（﹣2，m）在一个反比例函数的图象上，点A'与点A关于y轴对称．若点A'在正比例函数y＝x的图象上，则这个反比例函数的表达式为 ．
13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E为线段CD的中点，动点F从点C出发，沿C→B→A的方向在CB和BA上运动，将矩形沿EF折叠，点C的对应点为C'，当点C'恰好落在矩形的对角线上时，点F运动的距离为 ．
三、（共13小题，计81分，解答应写出过程.14-20题各5分，21题6分，22、23题7分，24、25题8分，26题10分）
14．（5分）计算：．
15．（5分）解不等式组并写出该不等式组的最小整数解．
16．（5分）（1）化简：；
（2）先化简，再求值：，其中x＝2022．
17．（5分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，请用尺规作图求作⊙P，使点P在BC上且使⊙P与AC，AB都相切．（不写作法，保留作图痕迹）
18．（5分）已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ACB＝∠D，求证：△ABC≌△EAD．
19．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B、C三点的坐标分别为（﹣5，4）、（﹣3，0）、（0，2）．
（1）画出△ABC；
（2）△ABC面积为 ；
（3）如图，△A'B'C'是由△ABC经过平移得到的．已知点P（a，b）为△ABC内的一点，则点P在△A'B'C'内的对应点P'的坐标是 ．
20．（5分）作为中国共产党建党百年的献礼，我校精心策划“庆祝中国共产党成立100周年”歌唱比赛，歌曲有：《没有共产党就没有新中国》，《歌唱祖国》，《少年中国说》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，九年一班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由九年二班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌唱比赛．
（1）九年一班抽中歌曲《少年中国说》的概率是 ；
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出一班和二班抽中不同歌曲的概率．
21．（5分）已知有一块三角形材料∠ABC，其中BC＝120cm，高AD＝80cm，现需要在三角形ABC上裁下一个正方形材料做零件，使得正方形EFGH的顶点E、F分别在边AB，AC上，H、G在BC上，裁下的正方形EFGH的边长是多少？
22．（6分）如图按下列程序进行计算．规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算，结果大于244，则输出此结果；若结果不大于244，则将此结果的值赋给m，再进行第二次计算．
（1）当m＝100时，求输出的结果是多少？
（2）若m＝5，求运算进行多少次才会停止？
（3）若运算进行了5次才停止．求m的取值范围．
23．（7分）为迎接党的二十大胜利召开，某校开展了以“不忘初心跟党走”为主题的读书活动，学校对本校八年级学生9月份“读书量”进行了随机抽样调查，对所有随机抽取的数据进行了统计，并绘制成如下两幅不完整的统计图．
（1）求出此次抽样调查的八年级学生总数，并补全条形统计图；
（2）本次所抽取学生9月份“读书量”的众数为 本；
（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校1000名八年级学生中，9月份“读书量”不少于4本的学生人数．
24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上（不与点A，点C重合），连接BD，BD＝AB．
（1）设∠C＝50°时，求∠ABD的度数；
（2）若AB＝5，BC＝6，求AD的长．
25．（10分）某公路有一个抛物线形状的隧道ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y＝﹣x2+c且过顶点C（0，5）．（长度单位：m）
（1）直接写出c＝ ；
（2）求该隧道截面的最大跨度（即AB的长度）是多少米？
（3）该隧道为双向车道，现有一辆运货卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由．
26．（10分）在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，点A与点C关于y轴对称．
（1）如图1，OA＝OB，AF平分∠BAC交BC于F，BE⊥AF交AC于E，请直接写出EF与EC的数量关系为 ；
（2）如图2，AF平分∠BAC交BC于F，若AF＝2OB，求∠ABC的度数；
（3）如图3，OA＝OB，点G在BO的垂直平分线上，作∠GOH＝45°交BA的延长线于H，连接GH，试探究OG与GH的数量和位置关系．
2023年陕西省咸阳市中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题目题意的）
1．（3分）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：的相反数是，
故选：C．
2．（3分）如图，AB∥CD，射线DF交AB于点E，∠1＝110°，则∠D的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【解答】解：∠AEF＝180°﹣∠1＝180°﹣110°＝70°．
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠AEF＝70°（两直线平行，同位角相等）．
故选：C．
3．（3分）下列计算错误的是（ ）
A．（﹣3x2）3＝﹣27x6 B．（﹣y）3•（﹣y）2＝﹣y5
C．2﹣3＝﹣6 D．（π﹣3.14）0＝1
【解答】解：（﹣3x2）3＝﹣27x6，故选项A不合题意；
（﹣y）3•（﹣y）2＝﹣y3•y2＝﹣y5，故选项B不合题意；
，故选项C符合题意；
（π﹣3.14）0＝1，故选项D不合题意．
故选：C．
4．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO．添加下列条件，可以判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AB＝AD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．∠ABO＝∠CBO
【解答】解：∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当AB＝AD或AC⊥BD时，可判定四边形ABCD是菱形；
当∠ABO＝∠CBO时，
由AD∥BC知∠CBO＝∠ADO，
∴∠ABO＝∠ADO，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
当AC＝BD时，可判定四边形ABCD是矩形；
故选：B．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，过点D作DE⊥AB，连接AE、BE，若CD＝4，AE＝5，则DE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，CD＝4，
∴，
∵DE⊥AB，AE＝5，
∴，
故选：B．
6．（3分）如图，直线y＝kx（k≠0）与y＝ax+b（a≠0）在第二象限交于A，y＝ax+b交x轴于B，且AB＝AO，BO＝8，S△ABO＝12，则方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：作AH⊥x轴于H，如图，
∵AB＝AO，
∴BH＝OH＝OB＝4，
∵S△ABO＝12，
∴OB•AH＝12，
∴AH＝＝3，
∴A（﹣4，3），
∴方程组的解为．
故选：A．
7．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，∠ACD＝35°，则∠BOD的度数是（ ）
A．105° B．110° C．115° D．120°
【解答】解：∵∠ACD与∠AOD都对着，
∴∠AOD＝2∠ACD，
而∠ACD＝35°，
∴∠AOD＝70°，
∴∠BOD＝180°﹣70°＝110°．
故选：B．
8．（3分）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x
…
﹣2
0
1
3
…
y
…
6
﹣4
﹣6
﹣4
…
下列选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的开口向下
B．这个函数的图像与x轴无交点
C．当x＞2时，y的值随x的增大而减小
D．这个函数的最小值小于6
【解答】解：∵抛物线经过点（0，﹣4），（3，﹣4），
∴抛物线对称轴为直线x＝，
∵抛物线经过点（﹣2，6），
∴当x＜时，y随x增大而减小，
∴抛物线开口向上，且跟x轴有交点，故A，B错误，不符合题意；
∴x＞时，y随x增大而增减小，故C错误，不符合题意；
由对称性可知，在x＝处取得最小值，且最小值小于﹣6．故D正确，符合题意．
故选：D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）计算：＝ 3 ．
【解答】解：原式＝1﹣2
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
10．（3分）比较大小：﹣4 ＜ 0．（填“＞”“＜”或“＝”）
【解答】解：∵910＜16，
∴＜4，
∴﹣4＜0．
故答案为：＜．
11．（3分）已知点C为线段AB的黄金分割点且AC＞BC，AB＝20cm，则AC＝ cm．（结果保留根号）
【解答】解：∵C为线段AB的黄金分割点，且AC较长线段，
∴，
故答案为：．
12．（3分）已知点A（﹣2，m）在一个反比例函数的图象上，点A'与点A关于y轴对称．若点A'在正比例函数y＝x的图象上，则这个反比例函数的表达式为 y＝﹣ ．
【解答】解：∵点A'与点A关于y轴对称，点A（﹣2，m），
∴点A'（2，m），
∵点A'在正比例函数y＝x的图象上，
∴m＝＝1，
∴A（﹣2，1），
∵点A（﹣2，1）在一个反比例函数的图象上，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣，
故答案为：y＝﹣．
13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E为线段CD的中点，动点F从点C出发，沿C→B→A的方向在CB和BA上运动，将矩形沿EF折叠，点C的对应点为C'，当点C'恰好落在矩形的对角线上时，点F运动的距离为 1或 ．
【解答】解：分两种情况：
①当点C'落在对角线BD上时，连接CC'，如图1所示：
∵将矩形沿EF折叠，点C的对应点为点C'，且点恰好落在矩形的对角线上，
∴CC'⊥EF，
∵点E为线段CD的中点，
∴CE＝ED＝EC'，
∴∠CC′D＝90°，即CC'⊥BD，
∴EF∥BD，
∴点F是BC的中点，
∵在矩形ABCD中，AD＝2，
∴BC＝AD＝2，
∴CF＝1，
∴点F运动的距离为1；
②当点C'落在对角线AC上时，作FH⊥CD于H，则CC'⊥EF，四边形CBFH为矩形，如图2所示：
在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，∠B＝∠BCD＝90°，AB∥CD，
∴BC＝AD＝2，tan∠BAC＝，
∴∠BAC＝30°，
∵EF⊥AC，
∴∠AFE＝60°，
∴∠FEH＝60°，
∵四边形CBFH为矩形，
∴HF＝BC＝2，
∴EH＝＝＝，
∵EC＝CD＝，
∴BF＝CH＝CE﹣EH＝﹣＝，
∴点F运动的距离为；
综上所述：点F运动的距离为1或；
故答案为：1或．
三、（共13小题，计81分，解答应写出过程.14-20题各5分，21题6分，22、23题7分，24、25题8分，26题10分）
14．（5分）计算：．
【解答】解：+|﹣2|﹣tan60°
＝+2﹣﹣
＝2﹣．
15．（5分）解不等式组并写出该不等式组的最小整数解．
【解答】解：由x﹣3（x﹣2）＞4，得：x＜1，
由≥﹣1，得：x≥﹣2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜1，
∴该不等式组的最小整数解为﹣2．
16．（5分）（1）化简：；
（2）先化简，再求值：，其中x＝2022．
【解答】解：（1）原式＝＝；
（2）原式＝＝＝x﹣1，
当x＝2022时，原式＝2022﹣1＝2021．
17．（5分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，请用尺规作图求作⊙P，使点P在BC上且使⊙P与AC，AB都相切．（不写作法，保留作图痕迹）
【解答】解：如图，⊙P即为所求作．
18．（5分）已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ACB＝∠D，求证：△ABC≌△EAD．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠E＝∠BAC，
在△ABC和△EAD中，
，
∴△ABC≌△EAD（AAS）．
19．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B、C三点的坐标分别为（﹣5，4）、（﹣3，0）、（0，2）．
（1）画出△ABC；
（2）△ABC面积为 8 ；
（3）如图，△A'B'C'是由△ABC经过平移得到的．已知点P（a，b）为△ABC内的一点，则点P在△A'B'C'内的对应点P'的坐标是 （a+4，b﹣3） ．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求；
（2）△ABC的面积＝4×5﹣×2×4﹣×2×5﹣×2×3＝8；
故答案为：8；
（3）P′（a+4，b﹣3）．
20．（5分）作为中国共产党建党百年的献礼，我校精心策划“庆祝中国共产党成立100周年”歌唱比赛，歌曲有：《没有共产党就没有新中国》，《歌唱祖国》，《少年中国说》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，九年一班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由九年二班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌唱比赛．
（1）九年一班抽中歌曲《少年中国说》的概率是 ；
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出一班和二班抽中不同歌曲的概率．
【解答】解：（1）九年一班抽中歌曲《少年中国说》的概率是；
故答案为：；
（2）树状图如图所示：
共有9种等可能的情况数，其中九（1）班和九（2）班抽中不同歌曲的有6种结果，
则一班和二班抽中不同歌曲的概率是＝．
21．（5分）已知有一块三角形材料∠ABC，其中BC＝120cm，高AD＝80cm，现需要在三角形ABC上裁下一个正方形材料做零件，使得正方形EFGH的顶点E、F分别在边AB，AC上，H、G在BC上，裁下的正方形EFGH的边长是多少？
【解答】解：∵正方形EFGH的边HG在BC上，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD是△ABC的高，
∴，
∴设EF＝xcm，则EH＝EH＝MD＝xcm，
∴，
∴解得：x＝48，
∴这个正方形零件的边长为48cm．
22．（6分）如图按下列程序进行计算．规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算，结果大于244，则输出此结果；若结果不大于244，则将此结果的值赋给m，再进行第二次计算．
（1）当m＝100时，求输出的结果是多少？
（2）若m＝5，求运算进行多少次才会停止？
（3）若运算进行了5次才停止．求m的取值范围．
【解答】解：（1）当m＝100时，3m﹣2＝3×100﹣2＝298＞244，
∴输出结果为298；
（2）当m＝5时，①3m﹣2＝3×5﹣2＝13，
当m＝13时，②3m﹣2＝3×13﹣2＝37，
当m＝37时，③3m﹣2＝3×37﹣2＝109，
当m＝109时，④3m﹣2＝3×109﹣2＝325＞244，
∴运算进行了4次才停止；
（3）由题意得：①3m﹣2，
②3（3m﹣2）﹣2＝9m﹣8，
③3（9m﹣8）﹣2＝27m﹣26，
④3（27m﹣26）﹣2＝81m﹣80，
⑤3（81m﹣80）﹣2＝243m﹣242，
∴，
解得：2＜m≤4，
答：m的取值范围是2＜m≤4．
23．（7分）为迎接党的二十大胜利召开，某校开展了以“不忘初心跟党走”为主题的读书活动，学校对本校八年级学生9月份“读书量”进行了随机抽样调查，对所有随机抽取的数据进行了统计，并绘制成如下两幅不完整的统计图．
（1）求出此次抽样调查的八年级学生总数，并补全条形统计图；
（2）本次所抽取学生9月份“读书量”的众数为 3 本；
（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校1000名八年级学生中，9月份“读书量”不少于4本的学生人数．
【解答】解：（1）10÷20%＝50（人），
答：此次抽样调查的八年级学生总数为50人；
“读书量”4本的人数所占的百分比：1﹣10%﹣10%﹣20%﹣40%＝20%，
“读书量”4本的人数有：50×20%＝10（人），
补全条形统计图如下：
（2）根据统计图可知众数为3本，
故答案为：3；
（3）根据题意得，1000×（10%+20%）＝300（人），
答：估计9月份“读书量”不少于4本的八年级学生有300人．
24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上（不与点A，点C重合），连接BD，BD＝AB．
（1）设∠C＝50°时，求∠ABD的度数；
（2）若AB＝5，BC＝6，求AD的长．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝50°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝80°，
∵BD＝AB，
∴∠BDA＝∠A＝80°，
∴∠ABD＝180°﹣∠A﹣∠BDA＝20°，
（2）解：过点A作AM⊥BC于点M，BN⊥AC于点N，
设AN＝x，则CN＝5﹣x，
∵AB＝AC，AM⊥BC，
∴M是BC的中点，
∵AB＝5，BC＝6，
∴AM＝，
∵BN2＝AB2﹣AN2＝BC2﹣CN2，
∴25﹣x2＝36﹣（5﹣x）2，
∴x＝，
∴AD＝2AN＝．
25．（10分）某公路有一个抛物线形状的隧道ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y＝﹣x2+c且过顶点C（0，5）．（长度单位：m）
（1）直接写出c＝ 5 ；
（2）求该隧道截面的最大跨度（即AB的长度）是多少米？
（3）该隧道为双向车道，现有一辆运货卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由．
【解答】解：（1）∵顶点C（0，5）
∴c＝5，
故答案为：5．
（2）由题意可得：0＝﹣x2+5，
解得：x1＝5，x2＝﹣5，
故AB＝2×5＝10米；
（3）把x＝3代入得y＝﹣x2+5＝4.1＞4，
故能安全通过．
26．（10分）在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，点A与点C关于y轴对称．
（1）如图1，OA＝OB，AF平分∠BAC交BC于F，BE⊥AF交AC于E，请直接写出EF与EC的数量关系为 EF＝CE ；
（2）如图2，AF平分∠BAC交BC于F，若AF＝2OB，求∠ABC的度数；
（3）如图3，OA＝OB，点G在BO的垂直平分线上，作∠GOH＝45°交BA的延长线于H，连接GH，试探究OG与GH的数量和位置关系．
【解答】解：（1）结论：EF＝EC．
理由：如图1中，设AF交BE于点J．
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF，
∵BE⊥AF，
∴∠BAF+∠ABE＝90°，∠CAF+∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵A，C关于y轴对称，
∴OA＝OC，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴∠ABC＝90°，
在△ABF和△AEF中，
，
∴△ABF≌△AEF（SAS），
∴∠AEF＝∠ABF＝90°，
∴∠CEF＝90°，
∴∠ECF＝∠EFC＝45°，
∴EF＝EC；
（2）如图2中，取CF的中点T，连接OT．
∵AO＝OC，FT＝TC，
∴OT∥AF，OT＝AF，
∵AF＝2OB，
∴OB＝OT，
∴∠OBT＝∠OTB，
∵OA＝OC，BO⊥AC，
∴BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，∠ABO＝∠CBO，
设∠BAC＝∠BCA＝2α，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF＝α，
∵OT∥AF，
∴∠TOC＝∠CAF＝α，
∴∠OBT＝∠OTB＝∠TOC+∠TCO＝3α，
∵∠OBC+∠OCB＝90°，
∴5α＝90°，
∴α＝18°，
∴∠OBC＝54°，
∴∠ABC＝2∠OBC＝108°；
解法二：在y轴上取点B关于x轴的对称点P，连接AP，FP，作FQ∥BP交AP的延长线于点Q．则∠BAC＝∠PAC，BP＝2OB，
∵AF＝2OB，
∴BP＝AF，
∵A，C关于y轴对称，
∴∠ACB＝∠BAC＝∠PAC，
∴BC∥AP，
∴∠BFA＝∠FAP，∠FBP＝∠BPA，
∵FQ∥BP，
∴∠BPF＝∠PFQ，
∵PF＝FP，
∴△BPF≌△QFP（AAS），
∴FQ＝BP，
∴AF＝FQ，
∴∠FAQ＝∠FQA＝∠BPA，
∴∠BFA＝∠FBP，
设∠FAC＝x，则∠BAC＝∠ACB＝2x，
∴∠BA＝∠FBP＝3x，
∵∠OBC+∠OCB＝90°，
∴3x+2x＝90°，
∴x＝18°，
∴∠ABC＝2∠BOC＝6x＝108°；
（3）结论：OG＝GH，OG⊥GH．
理由：如图3中，连接GB，在BA上取一点H′，使得GB＝GH′，连接OH′，设AB交DG于点W，交OG于点K，连接OW．
设∠OGB＝m，∠OGH′＝n，
∵GD垂直平分线段OB，
∴GB＝GO，∠DGB＝∠DGO＝m，
∵GB＝GO＝GH′，
∴∠GH′O＝（180°﹣n）＝90°﹣n，∠GH′B＝（180°﹣m﹣n）＝90°﹣m﹣n，
∴∠KH′O＝∠GH′O﹣∠GH′B＝90°﹣n﹣（90°﹣m﹣n）＝m，
∴∠KH′O＝∠KGW，
∵∠GKW＝∠H′KO，
∴∠H′OK＝∠GWK，
∵DG∥OA，
∴∠GWK＝∠OAB＝45°，
∴∠COH′＝45°，
∵∠COH＝45°，
∴∠COH＝∠COH′，
∴点H与点H′重合，
∴OG＝GH，
∴∠GHO＝∠GOH＝45°，
∴∠OGH＝90°，
∴GH＝GO，GH⊥GO．
解法二：过点H作HM⊥OH交OG的延长线于点M，过点H作NH⊥HA交x轴于点N，连接MN交DG于点I．
∵∠GOH＝45°，∠NAH＝∠BAO＝45°，
∴△OMH，△NHA都是等腰直角三角形，
∴NH＝AH，MH＝OH，
∵∠NHM+∠MHA＝90°，∠MHA+∠OHA＝90°，
∴∠MHN＝∠OHA，
∴△MHN≌△OHA（SAS），
∴MN＝OA＝OB，∠MNH＝∠OAH＝135°，
∴∠MNO＝90°，
∴NI＝OD，
∵DG是OB的垂直平分线，
∴OB＝2OD，
∴MN＝OB＝2NI，
∴NI＝IM＝OD，
∴△GIM≌△HDO（AAS），
∴MG＝OG，
∴GH＝GO，GH⊥GO．
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