陕西省西安市高新第二初级中学2023-2024学年七年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 计算的结果，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
【详解】解：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
2. 如图，直线与相交于点O，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了对顶角，掌握对顶角相等是解题关键．
【详解】解：由题意可知，和是对顶角，
，
故选：B．
3. 为打造“比、学、赶、帮、超”良好的班风和浓厚的学风，数学白老师为8班孩子购买了5包卡通橡皮和包表扬信，卡通橡皮每包12元，表扬信每包30元，共花费元，则关系式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了用关系式表示变量之间的关系，根据题意正确列式即可e．
【详解】解：由题意可知，，
故选：D．
4. 若2×8m×16m＝229，则m的值是( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】利用幂的乘方法则，把8m、16m变形为底数为2的幂形式，利用同底数幂的乘法法则，得到关于m的方程，求解即可．
【详解】因为2×8m×16m
＝2×（23）m×（24）m
＝2×23m×24m
＝21＋3m＋4m
＝27m＋1
由于2×8m×16m＝229，
所以7m＋1＝29
解得m＝4．
故选B．
【点睛】本题考查了幂的运算性质，解决本题的关键是逆运用幂的乘方法则，把8m、16m变形为底数为2的幂．
5. 一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，则∠DBC的度数为( )
A. 10°B. 15°C. 18°D. 30°
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD=45°，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°，
∵AB∥CF，
∴∠ABD=∠EDF=45°，
∴∠DBC=45°﹣30°=15°．
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
6. 如图，将一个边长为的正方形，剪掉一个边长为的小正方形后，剩余的部分可以拼成一个长方形，此操作过程能验证的等式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查平方差公式的验证，两个正方形面积的差，通过将阴影部分面积转移，构造一个长为，宽为的长方形，相同的面积用不同的表达式表示，从而可推导验证乘法公式中的平方差公式，解题的关键是根据图形找到等量关系．
【详解】由题意可知长方形面积为，
大正方形减去小正方形后面积为，
∴，
故选：．
7. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式简便计算即可．利用完全平方公式等式变形，即可计算求值．
【详解】解：，
，
，
，
故选：B．
8. 已知：，，，则下列结论：①；②；③，其中不正确的个数是（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】A
【解析】
【分析】根据整式的加减，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法运算法则进行计算即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，即，
∴，故①正确；
∵，，，
∴，，
∴，即，
∴，故②正确；
∵，，
∴，
∴，即，
∴，故③正确；
所以，上列结论中，全部正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了整式的加减，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
二、填一填，画龙点睛（每小题3分，5个小题，共15分）
9. “练练峰上雪，芊芊云表霓”，这是杜甫眼中的雪，单个雪花的重量只有0.00003kg左右，数据“0.00003”用科学记数法表示为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：，
故答案为：
10. 一个角的余角的3倍比这个角的补角少，则这个角的度数为________．
【答案】##51度
【解析】
【分析】本题考查了余角、补角以及一元一次方程的应用，理解余角和补角的定义是解题关键．设这个角的度数为，根据题意列一元一次方程求解即可．
【详解】解：设这个角度数为，
由题意得：，
解得：，
故答案为：．
11. 某商店在开学季，书包薄利多销的促销活动．原价为元，随着不同幅度的降价，日销量（单位：件）发生相应的变化：从表中可以看出，每降价元，日销量增加______件．
【答案】30
【解析】
【分析】本题考查了变量与常量，根据表格得到变量间的关系即可．
【详解】解：由表格可知，每降价元，日销量增加（件），
故答案为：30．
12. “唐时良辰，潮启长安”，西安新晋开放的“长安十二时辰”主题街区是宝藏唐风游玩打卡地．一个周末上午，网红张斌自驾小汽车从家出发，带全家人去“长安十二时辰”游玩，在去“长安十二时辰”主题街区的路上，汽车加油用了12分钟，张斌驾驶的小汽车离家的距离y（千米）与时间t（时）之间的关系如图所示：
①张斌家距离距离“长安十二时辰”主题街区120千米；
②张斌一家人在“长安十二时辰”主题街区游玩了5.5小时；
③张斌一家返回到家的时间恰好是17时20分；
④汽车加油前的速度是80千米/时； 正确的是________．
【答案】④
【解析】
【分析】本题考查了从函数图像获取信息，有理数混合运算的应用，正确理解函数图象是解题关键．根据所给图象逐一分析即可．
【详解】解：①张斌家距离距离“长安十二时辰”主题街区200千米，说法错误；
②张斌一家人在“长安十二时辰”主题街区游玩了小时，说法错误；
③张斌一家返回的速度为千米/小时，
即所用时间为小时，
张斌一家返回到家的时间恰好是17时30分，说法错误；
④汽车加油前的速度是千米/时，说法正确，
故答案为：④．
13. 高速公路上安装如图①所示的激光灯可以预防司机疲劳驾驶，图②是激光为于初始位置时的平面几何示意图，其中、是直线上的两个发射点，，，现激光绕点以的速度顺时针转动，同时激光绕点以的速度逆时针转动，若转动s后，激光与首次平行，则转动时间应为________s．
【答案】18
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题关键．由题意可知，，，再由平行线的性质，得到求出的值即可．
【详解】解：由题意可知，，，
，
，
，
解得：，
故答案为：18．
三、做一做，马到成功（共11小题，81分）
14. 用乘法公式计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据平方差公式进行计算即可求解．
【详解】解：
【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
15. 如图，已知，点D在的延长线上，在射线上求作一点P，使得.（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析
【解析】
【分析】利用全等三角形的性质尺规作图作，可得，即可得，从而作出点．
【详解】解：以点为圆心，以小于的任意长度为半径作弧，交于点，交于点，
以点为圆心，以的长为半径作弧，与交于点，令与在点的两侧，
连接交射线于点，点P即为所求．
【点睛】本题考查了尺规作图作一个角等于已知角，掌握作一个角等于已知角的步骤是解题的关键．
16. 已知计算的结果中不含和的项，求m、n的值．
【答案】m＝15，n＝−10．
【解析】
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，由结果中不含x4和x2项，求出m与n的值即可．
【详解】解：（5−3x＋mx2−6x3）•（−2x2）−x（−3x3＋nx−1）
＝−10x2＋6x3−2mx4＋12x5＋3x4−nx2＋x
＝12x5＋（3−2m）x4＋6x3＋（−10−n）x2＋x，
由结果中不含x4和x2项，得到3−2m＝0，−10−n＝0，
解得：m＝1.5，n＝−10．
【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题关键．
17. 已知为直线上一点，，平分．若，求、的度数．
【答案】，．
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的定义及角的和差的有关运算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键，由，得．再根据角平分线的定义得，从而求得、的度数．
【详解】解：，
．
平分，
，
，
．
18. 先化简，再求值．，其中，．
【答案】， ．
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简求值，根据完全平方公式、多项式乘多项式及平方差公式化简代数式，再将的值代入化简后的式子即可求值，利用完全平方公式、平方差公式进行运算是解题的关键．
【详解】解：
，
，
，
当，时，
原式
．
19. 两条直线被第三条直线所截，和是同旁内角，和是内错角．
（1）根据上述条件，画出符合题意的示意图；
（2）若、，求，的度数
【答案】（1）答案见解析；（2）∠1=162°，∠2=54°．
【解析】
【分析】（1）根据同旁内角两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线的中间位置的角，内错角两个角都在截线的两侧，又分别处在被截的两条直线的中间位置的角，可得答案；
（2）根据∠1与∠3互补，可得角的度数．
【详解】解：（1）如图，下图为所求作．
（2），，
，
又，
，
，
，．
【点睛】本题考查了内错角，同旁内角，利用了邻补角的定义，列出方程，求出∠3的度数是解题的关键．
20. 一辆汽车油箱内有油升，从某地出发，每行驶千米，耗油升，如果设油箱内剩油量为y（升），行驶路程为x（千米），则y随x的变化而变化
（1）写出与的关系式______．
（2）这辆汽车行驶千米时剩油多少升？汽车剩油升时，行驶了多少千米？
【答案】（1）
（2）升；千米
【解析】
【分析】本题考查变量间的关系，根据题意得变量之间得关系式是解决问题的关键．
（1）根据总油量减去用油量等于剩余油量，可得变量之间的关系式；
（2）根据自变量，可得相应的因变量的值，根据因变量的值，可得相应自变量的值．
【小问1详解】
y与的关系式是，
故答案为：；
【小问2详解】
当时，，
所以汽车行驶千米时剩油升；
当时，，
解得：，
所以汽车行驶千米时剩油升．
21. 如图所示的是人民公园的一块长为米．宽为米的空地．预计在空地上建造一个网红打卡观景台，阴影部分．
（1）请用、表示观景台的面积．结果化为最简
（2）如果修建观景台的费用为元平方米．且已知米，米那么修建观景台需要费用多少元？
【答案】（1）平方米
（2）元
【解析】
【分析】（1）根据面积之间的和差关系用代数式表示即可；
（2）代入进行计算即可．
【小问1详解】
阴影部分的面积为：

；
答：观景台的面积为平方米；
【小问2详解】
当时，
原式
平方米，
元．
答：修建观景台需要费用为元．
【点睛】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握图形中各个部分面积之间的关系．
22. 将一副三角板中的两块直角三角尺顶点C按照如图方式叠放在一起（其中，，，），设．将三角形绕点顺时针转动，若，求的度数．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，分两种情况进行讨论，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：如图中，当在上方时，
∵
∴，
∴；
如图中，当在下方时，
∵
∴，
∴．
综上所述，满足条件的的值为或．
23. 若x满足，求的值．
解：设，，则，，
所以，
所以，即．
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足，求代数式的值；
（2）若x满足，求代数式的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟记完全平方公式并灵活运用是解答本题的关键．
（1）设，，根据题目中给出的方法进行求解即可；
（2）设，，根据题目中给出的方法进行求解即可．
【小问1详解】
解：设，，
则，，
所以，
所以，即．
【小问2详解】
设，，
则，，．
因为，，
所以，
所以．
24. 为保护学生的视力，课桌椅的高度均按一定的关系配套设计已知课桌的高度随着椅子的高度变化而变化，它们之间的关系可近似地表示为，其中y表示课桌的高度（单位：），x表示椅子的高度（单位：）．
（1）求当椅子的高度为时，课桌的高度．
（2）求当课桌的高度为时，椅子的高度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查变量间关系，将已知变量代入关系式进行求解是解决问题关键．
（1）将代入求解即可；
（2）将代入求解即可．
【小问1详解】
解：当时，．
答：当椅子的高度为时，课桌的高度为．
【小问2详解】
当时，，
解得．
答：当课桌的高度为时，椅子的高度为．
25. 如图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图②）．
（1）根据上述过程，写出、、之间的等量关系：_______；
（2）利用（1）中的结论，若，，则的值是______；
（3）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图③，请你写出这个等式：______；
（4）两个正方形如图④摆放，边长分别为x，y，若，，求图中阴影部分面积和．
【答案】（1）
（2）12 （3）
（4）8
【解析】
【分析】（1）图①的面积是，图②的面积是，由此即可求解；
（2）根据（1）的结论，代入计算即可求解；
（3）将图形中各部分的面积通过图形面积计算公式表示出来并等于大长方形的面积即可求解；
（4），并计算出，分别求出，，根据图中阴影部分面积和，由此即可求解．
【小问1详解】
解：图2中间部分的面积可以看作从边长为的正方形面积减去个长为，宽为的长方形面积，即，也可以看作是边长为的正方形面积，
∴，
故答案为：．
【小问2详解】
解：∵，，，
∴
，
故答案为：．
【小问3详解】
解：∵大长方形的面积等于4个小长方形的面积加上边长为a的正方形面积加上边长为b的正方形面积
∴，
故答案为：．
【小问4详解】
解：∵，，
∴①，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴②，
得，，
∴，
图中阴影部分面积和
．
【点睛】本题主要考查多项式与多项式的乘法，乘法公式与图形面积，掌握整式的乘法运算法则是解题的关键．
26. 学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组在练习中看到这样一道题“如图-，平分，平分，．判断，是否平行，并说明理由”，试着“玩”起数学来：
【基础巩固】
（1）条件和结论互换，改成了：“如图-，平分，平分，，则．”小明认为这个结论正确，你认同他的想法吗﹖请说明理由．
【尝试探究】
（2）小明发现：若将其中一条角平分线改成的垂线，则“”这个结论不成立．请帮小明完成探究：
如图，，平分，，是与的夹角，是与的夹角，若，求的度数：
【拓展提高】
（3）如图，若，，平分，试说明．
【答案】（1）认同，理由见解析
（2）
（3）说明见解析
【解析】
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补可得，结合根据角平分线的定义得到的，，即可证明；
（2）先求出，再由两直线平行，同旁内角互补，求出，在根据角平分线的定义求出的度数即可；
（3）先证明，，再结合，即可证明．
【小问1详解】
解：认同，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟知两直线平行，同旁内角互补是解答本题的关键．降价（元）
日销量（件）