甘肃省秦安县兴国镇初级中学2023-2024学年七年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、单选题：（每小题3分，共10小题，合计30分）
1. 下列方程是一元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程）逐项判断即可得．
【详解】解：A、中的次数是2，不是一元一次方程，则此项不符合题意；
B、中含有两个未知数，不是一元一次方程，则此项不符合题意；
C、中不是整式，不是一元一次方程，则此项不符合题意；
D、是一元一次方程，则此项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程，熟记一元一次方程的定义是解题关键．
2. 下列等式变形正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据等式的基本性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式，针对每一个选项进行判断即可解决．
【详解】解：A、若-3x=5，则x=，故本选项错误；
B、若，当时有，故本选项错误；
C、若，则，故本选项错误，；
D、若，则，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了等式的性质，关键是熟练掌握等式的性质．
3. 下列方程中，解是的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把分别代入各选项，根据方程解的定义判断方程左右两边是否相等，即可作出判断．
【详解】解：A. 把代入方程得，左边=-4+4=0=右边，则是方程的解，所以A选项符合题意；
B. 把代入方程得，左边=6+6=12≠右边，则不是方程的解，所以B选项不合题意；
C. 把代入方程得，左边=1≠右边，则不是方程的解，所以C选项不合题意；
D. 把代入方程得，左边=5-6=-1≠右边，则不是方程的解，所以D选项不合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了方程解的定义：使方程左右相等的未知数的值，叫方程的解．
4. 方程2x－y＝3和2x＋y＝9的公共解是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题解析：联立得：
①+②得：4x=12，
解得：x=3，
把x=3代入①得：y=3，
则方程组的解为
故选D.
5. 如果方程和方程的解相同，那么a的值为（ ）
A. 1B. 5C. 0D. −5
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了同解方程，解一元一次方程，先求出方程的解，将解代入方程，再解方程即可．
【详解】解方程，
得，
∵方程和方程的解相同，
∴将代入方程，
得，
解得．
故选：B．
6. 如图，数轴上每相邻两点之间相距1个单位长度，点A对应的数为a，B对应的数为b，且b－2a＝7，那么数轴上原点的位置在（ ）
A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D
【答案】C
【解析】
【详解】解：根据数轴可知：b=a+3，
又因为b－2a＝7，
所以a+3=7+2a，
所以a=-4，所以 b=-1，
所以原点在点C处，
故选C．
7. 方程的非负整数解有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 无数个
【答案】C
【解析】
【分析】把看做已知数表示出，确定出方程的非负整数解即可．
【详解】由已知方程，移项得，
∵都是非负整数，
∴，
∴，
又∵，
∴,
∴的值是或或，相应的值为或或．
∴方程的非负整数解是：或或．
故选：C.
【点睛】本题主要考查了求不定方程的非负整数解，先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的取值范围，然后列举出适合条件的所有非负整数值，再求出另一个未知数的值．
8 一件工作，甲队独做10天可以完成，乙队独做15天可以完成，若两队合作，（ ）天可以完成．
A. 25B. 12.5C. 6D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】设两队合作，需要x天完成，根据甲队独做10天可以完成，一天完成工程的，乙队独做15天可以完成，一天完成工程的，列出方程，求出x的值即可．
【详解】解：设两队合作，需要x天完成，根据题意得：
（+）x=1，
解得：x=6，
答：两队合作，需要6天完成；
故选：C．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出方程，等量关系是工作量=效率和×合作时间．
9. 《算法统宗》中有这样一个问题（如图），其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两.请问：所分的银子共有多少两？（注：明代时1斤16两，故有“半斤八两”这个成语.）设有x个人，y两银子，根据题意可以列方程组为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意先设未知数，再列方程.
【详解】有x个人，y两银子，根据题意可列方程组为.
故选D.
【点睛】错因分析 中档题.失分原因是不能根据题意列出正确的二元一次方程组.
此题重点考查学生对二元一次方程的应用，会列二元一次方程是解题的关键.
10. 当的取值不同时，整式（其中是常数）的值也不同，具体情况如表所示：
则关于的方程的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的解，解题的关键是理清表格中数据的含义．方程整理为，根据表格确定出所求方程的解．
【详解】解：，
，
从表格中观察：当时，，
故选：D．
二、选择题（每小题4分，共6小题，合计24分）
11. 若关于x的方程是一元一次方程，则a的值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．根据一元一次方程的定义求解，即可得到答案．
【详解】解：方程是一元一次方程，
，且，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程，正确理解相关定义是解题关键．
12. 已知关系式，请用含x的代数式表示__________ ．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程，把x看作已知，求出y即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
13. 已知和是同类项，则_____
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此可得，则．
【详解】解：∵和是同类项，
∴，
∴，
故答案为：4．
14. 已知是方程x﹣ky=1的解，那么k=_____．
【答案】－1
【解析】
【详解】把代入方程x－ky=1中，得－2－3k=1，∴k=－1． 【题型】选择题
15. 若5x+2与-2x+9互为相反数，则x的值为_____
【答案】
【解析】
【详解】本题考查相反数概念
因5x+2与-2x+9互为相反数,则，即，所以
即，解得
16. 一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同向行驶，客车的行驶速度是，卡车的行驶速度是，客车经过x小时到达B地，卡车比客车晚到．根据题意列出关于x的方程为____________________
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，有客车经过x小时到达B地，在卡车经过小时到达B地，再根据两车所走的路程相同列出方程即可．
【详解】解：由题意得，，
故答案为：．
三、简答题（共计96分）．
17. 解方程
(1)2x﹣3＝x+1
(2).
【答案】(1)x＝4；(2)x＝.
【解析】
【分析】(1)根据移项、合并同类型、系数化为1即可求解；
(2)根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解.
【详解】解：(1)2x﹣x=1+3
x＝4；
(2)2(x+3)＝12﹣3(3﹣2x)
2x+6＝12﹣9+6x
4x＝3
x＝.
【点睛】本题考查解一元一次方程. 需注意，移项要变号，去分母时，没有分母的项也要乘以分母的最小公倍数，去括号时，括号外面的数与括号里面的每一项都要相乘.
18. 按要求解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组：
（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
【小问1详解】
解：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为；
【小问2详解】
解：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为．
19. 列方程解应用题： “元旦”期间，某商店单价为元的书包按八折出售，可获利，则该书包的进价是多少元？
【答案】该书包的进价是80元
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该书包的进价是元，根据等量关系列出方程并解方程即可求解，理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键．
【详解】解：设该书包的进价是元，
依题意得：，
解得：，
答：该书包的进价是80元．
20. 已知， 求 x和y的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了非负数的性质，解二元一次方程组，根据几个非负数的和为0那么这几个非负数的值都为得到，解方程组即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
解得．
21. 一个两位数十位数字比个位数字大2，如果将十位数字与个位数字交换位置，所得新数和原数的和是66，求原来的两位数是几？
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设原来的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据十位数字比个位数字大2得到方程，根据将十位数字与个位数字交换位置，所得新数和原数的和是66可得方程，据此列出方程组求解即可．
【详解】解：设原来的两位数的十位数字为x，个位数字为y，
由题意得，，
解得，
∴原来的两位数为．
22. 已知：方程组 ，其中x与y的值相等，求k的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接把代入②求出，再把代入①求出k的值即可．
详解】解：
∵x与y的值相等，
∴，
把代入②得，解得，
∴，
把代入①得：．
23. 某工艺品车间有20名工人，平均每人每天可制作12个大花瓶或10个小饰品，已知2个大花瓶与5个小饰品配成一套，则要安排几名工人制作大花瓶，才能使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套．
【答案】5名
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的应用，设生产大花瓶的为x人，则生产小饰品的为人，再由2个大花瓶与5个小饰品配成一套列出方程，进一步求得x的值，计算得出答案即可．
【详解】设生产大花瓶的为x人，则生产小饰品的为人，由题意得：
，
解得：，
即要安排5名工人制作大花瓶，才能使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套．
24. 我们把称为二阶行列式，且．
如：．
（1）计算：；
（2）若，求m的值．
【答案】（1）28； （2）．
【解析】
【分析】（1）按照定义的新运算，进行计算即可解答；
（2）按照定义的新运算可得，然后按照解一元一次方程的步骤进行计算即可解答．
【小问1详解】
解：由题意得：
；
【小问2详解】
解：∵，
∴，即，
解得：．
【点睛】本题考查了有理数混合运算，解一元一次方程，理解定义的新运算是解题的关键．
25. 已知方程组由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，
（1）求，的值；
（2）求原方程组正确的解．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组错解复原问题：
（1）根据题意可得满足方程②，满足方程①，据此可得，，解之即可得到答案；
（2）根据（1）所求得到原方程组为，解方程组即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，
∴满足方程②，
∴，
∴；
∵乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，
∴满足方程①，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）得原方程组为
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为．
26. 阅读探索
（1）知识积累
解方程组
解：设，，原方程组可变为，
解方程组，得
即
所以有
此种解方程组的方法叫换元法．
（2）拓展提高运用上述方法解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，设，则原方程组可变为，解方程组得到，据此求解即可．
【详解】解：设，则原方程组可变为，
解得，
∴，
∴．
27. 学校计划为冬季长跑比赛购买奖品．了解到某商场B种商品的单价比A种商品的单价多20元，若购买5个A种商品和3个B种商品共需540元．
（1）A，B两种商品的单价分别是多少元？
（2）该商场推出两种优惠方案，方案一：消费金额超出200元的部分打八折；方案二：全部商品打九折．若学校需要购买20个A商品和10个B商品，选择哪种方案更优惠？
【答案】（1）A商品的单价为60元，B商品的单价为80元
（2）选择方案一更优惠，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，方案的选择；
（1）设A商品的单价为x元，则B商品的单价为元；根据等量关系：购买5个A种商品和3个B种商品共需540元，列出一元一次方程并求解即可；
（2）分别计算出两种方案所需的总费用，比较即可作出判断．
【小问1详解】
解：设A商品的单价为x元，则B商品的单价为元．
根据题意，得
解得
（元）
因此，A商品的单价为60元，B商品的单价为80元．
【小问2详解】
解：（元）
方案一：（元）
方案二：（元）
因此，选择方案一更优惠．0
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