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沪教版八年级数学辅导讲义第3讲一次函数的复习(讲义)原卷版+解析
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第3讲 一次函数的复习 本讲整理了一次函数的概念、图像及性质的相关练习，以帮助同学们巩固一次函数章节所学的内容． 一、选择题 1.下列函数关系式：①；②；③；④y =2；⑤y =2x-1；其中是一 次函数的是（ ） A.①⑤ B.①④⑤ C.②⑤ D.②④⑤ 2.函数中，当自变量x增加1时，函数值y就（ ） A．增加3 B．减少3 C．增加1 D．减少1 3.在同一直角坐标系中，对于函数：①y =-x-1；②y=x+1；③y=-x+1；④y=-2(x+1)的图象， 下列说法正确的是（ ） A．通过点（-1，0）的是①和③ B．交点在y轴上的是②和④ C．互相平行的是 ①和③ D．互相平行的是②和③ 4.一次函数y=-3x+6的图象不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5.下列语句不正确的是（ ） A．所有的正比例函数都是一次函数 B．一次函数的一般形式是 C．正比例函数和一次函数的图象都是直线 D．正比例函数的图象是一条过原点的直线 6.若直线中，k>0，b>0，则直线不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7.如图，直线与x轴交于点（-4，0）则当y＞0时，x的取值范围是（ ） A．x＞-4 B．x＞0 C．x＜-4 D．x＜0 8.关于直线，下列结论正确的是（ ） A．图象必过点（-2，1） B．图象经过第一、二、三象限 C．当x＞时，y＜0 D．y随x的增大而增大 9.一次函数与的图象如图，则下列结论①；②；③当x<3 时，中，正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3ww.zk5u.com 二、填空题 1.在函数y=（m+6）x+（m-2）中，当_______时是一次函数；当_______时是正比例 函数． 2.一次函数y=-2x+4的图象与x轴交点坐标是______，与y轴交点坐标是______，与 坐标轴围成的三角形面积是______． 3.当______时，一次函数y=(m+1)x+6的函数值随x的增大而减小． 4.将直线y=-2x+1沿y轴方向向上平移3个单位长，得到的直线解析式为____________． 5.当m=__________时，是一次函数． 6.直线y=kx+b上有两点A（x1，y1）和点B（x2，y2），且x1＞x2，y1＜y2，则常数k的 取值范围是____________． 7.已知一次函数y=(m+2)x+(3-2m)的图象不经过第四象限，则m的范围是______． 8.直线y=(m+1)x+m2+1与y轴的交点坐标是（0，3），且直线经过第一、二、四象限， 则m=______． 9.如图一次函数的图像如图所示，如果，那么x的取值范围 是____________． 10.一次函数的图像上有一点M，若点M的横坐标小于3，则它的纵坐标 取值范围是____________． 11.某人用充值50元的IC卡从A地向B地打长途电话，按通话时间收费，3分钟内收费2.4元，以后每超过1分钟加收1元，若此人第一次通话t分钟（3≤t≤45），则IC卡上所余的费用y（元）与t（分）之间的关系式是____________． 12.如图，已知A地在B地正南方3千米处，甲乙两人同时分别从A、B两地向正北方向匀 速直行，他们与A地的距离S（千米）与所行的时间t（小时）之间的函数关系图象如图所示的AC和BD给出，当他们行走3小时后，他们之间的距离为______千米． 13.函数的图像与坐标轴围成的三角形的面积为6，则的值为______． 14.已知一次函数y=kx+b的图像经过点(1，2)，且不经过第三象限，那么关于的不式 的解集是____________． 15.（1）已知直线与直线关于轴对称，则_______，_______； （2）已知直线与直线关于轴对称，则__________，__________； （3）已知直线与直线关于原点对称，则__________，________． 16.若，且的图像不经过第四象限，则点所在象限为______． 17.若函数与轴交于点A，直线上有一点M，若△AOM的面积为8，则点 M的坐标______． 18.如图，直线与轴、轴分别相交于点A、B，△AOB与△ACB关于 直线对称，则点C的坐标为________． 19.y=kx+12与两坐标轴围成的三角形面积为24，求的k值． 20.已知方程组（、、、为常数，）的解为，则直线 和直线的交点坐标为______． 21.直线与轴、轴的交点分别为A、B，则线段AB上（包括端点A、B） 横坐标和纵坐标都是整数的点有__________个． 22图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD运动至点D停止．设点P运动的路程为，△ABP的面积为．如果关于的函数图像如图2所示，则BD的长是______． 23.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（1，）在直线上，在坐 标轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P的个数有__________个． 24.如图所示，直线和轴、轴分别交于点A、B，点C在坐标平面内， 若以线段AB为边作等边△ABC，则点C的坐标是______． 25.（1）如图所示，点A的坐标为（1，0），点B在直线上运动，当线段AB 最短时，点B的坐标为__________； （2）如图所示，在平面直角坐标系中有两点A（2，2），B（1，4），P为轴上一点： ①当BPAP的值最小时，P点的坐标为__________； ②当BPAP的值最大时，P点的坐标为__________． 三、解答题 1.已知一次函数的函数值随的增大而增大，求的值及解析式． 2.如图，已知一次函数的图像交轴于A（6，0），交正比例函数的图像于点B，且点B在第三象限，它的横坐标为，△AOB的面积为6，求正比例函数和一次函数的解析式． 3.如图所示，一次函数与反比例函数在第一象限的图像交于点B，且点B的横坐标为1，过点B作轴的垂线，点C为垂足，若，求一次函数和反比例函数的解析式． 4.如图所示，直线经过A（1，2）和B（3，0）两点，则不等式组 的解集是多少? 5.如图所示，直线与轴、轴分别交于点A和点B，D是轴上的一点，若将△DAB沿直线DA折叠，点B恰好落在轴正半轴上的点C处，求直线CD的解析式． 6.已知一次函数． （1）求证：无论取何实数，函数的图像恒过一点； （2）当在1≤≤2内变化时，在≤≤5内变化，求的值． 7.已知一次函数中随的增大而增大，它的图像与两坐标轴构成的直角三角形的面积不超过，反比例函数的图像在第二、四象限．求满足以上条件的的整数值． 8.A市、B市和C市分别有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给D市18台，E市10台．已知：从A市调运1台机器到D市、E市的运费分别为200元和800元；从B市调运1台机器到D市、E市的运费分别为300元和700元；从C市调运1台机器到D市、E市的运费分别为400元和500元．设从A市、B市各调台机器到D市，当28台机器调运完毕后，求总运费W（元）关于（台）的函数关系式，并求W的最大值和最小值． 9.中学预计用1500元购买甲商品个，乙商品个，不料甲商品单价上涨1.5元，乙商品单价上涨1元，尽管购买甲商品的个数比预定减少10个，总金额还是多了29元．又若甲、乙商品单价上涨1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么买甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元． （1）求、的关系式； （2）若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210， 求、的值． 如图所示，在矩形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、C两点的坐标为（3，0）， （0，5） （1）请直接写出点B的坐标； （2）若过点C的直线CD交AB边于点D，且把矩形OABC的周长分为1:3的两部分，求直线CD的解析式． 11.如图所示，直线L与轴、轴分别交于A（6，0）、B（0，3）两点，点C（4，0） 为轴上一点，点P在线段AB（包括端点A、B）上运动． （1）求直线L的解析式； （2）当点P的纵坐标为1时，按角的大小进行分类，请你确定△PAC是哪一类三角形，并说明理由； （3）是否存在这样的点P，使得△POC为直角三角形?若存在，求出点P的坐标；若不存在， 请说明理由． 12.如图，在平面直角坐标系中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是，，，，，．若直线经过点，且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，求直线的函数表达式． 13．（2019·上海松江区·八年级期中）已知一次函数的图像与轴、轴分别交于点B、A．以AB为边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，且∠ABC=90°，BA=BC，作OB的垂直平分线l,交直线AB与点E，交x轴于点G. （1）求点的坐标； （2）在OB的垂直平分线l上有一点M,且点M与点C位于直线AB的同侧，使得,求点M的坐标； （3）在（2）的条件下，联结CE、CM，判断△CEM的形状，并给予证明； 14．（2019·上海外国语大学秀洲外国语学校八年级期中）某校八年级举行“生活中的数学”数学小论文比赛活动，购买A、B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是12元和8元，根据比赛设奖情况，需要购买两种笔记本共30本，若学校决定购买本次笔记本所需资金不能超过280元，设买A种笔记本x本． （1）根据题意完成以下表格（用含x的代数式表示） （2）那么最多能购买A笔记本多少本？ （3）若购买B笔记本的数量要小于A笔记本的数量的3倍，则购买这两种笔记本各多少本时，费用最少，最少的费用是多少元？ 15．（2018·上海全国·八年级期中）某地A、B两村盛产柑橘，A村有柑橘200吨，B村有柑橘300吨，现将这些柑橘运到C、D两个冷藏仓库．已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨，从A村运往C、D两处的费用分别为每吨20元、25元，从B村运往C、D两处的费用分别为每吨15元、18元．设从A村运往C仓库的柑橘重量为x吨，A、B两村运往两仓库的柑橘运输费用分别为yA元、yB元． (1)请填写下表，并求出yA、yB与x之间的函数表达式； (2)试讨论A、B两村中，哪个村的运费较少； (3)考虑到B村的经济承受能力，B村的柑橘运费不得超过4830元，在这种情况下，请问怎样调运才能使两村运费之和最小？求出这个最小值． 16．（2018·上海黄浦区·八年级期中）已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E． （1）求点B的坐标； （2）求直线AE的表达式； （3）过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积． （4）若将已知条件“AE平分∠BAO，交x轴于点E”改变为“点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F．设OE=x，BF=y，试求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域． 第3讲 一次函数的复习 本讲整理了一次函数的概念、图像及性质的相关练习，以帮助同学们巩固一次函数章节所学的内容． 一、选择题 1.下列函数关系式：①；②；③；④y =2；⑤y =2x-1；其中是一 次函数的是（ ） A.①⑤ B.①④⑤ C.②⑤ D.②④⑤ 【难度】★ 【答案】 A 【解析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可， 一次函数；②反比例函数；③二次函数；④常值函数；⑤一次函数． 【总结】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0 自变量次数为1． 2.函数中，当自变量x增加1时，函数值y就（ ） A．增加3 B．减少3 C．增加1 D．减少1 【难度】★ 【答案】 B 【解析】当自变量增加1时，有，所以当自变量 增加1时，函数值y就减少3 【总结】本题主要考查的是函数的自变量与函数值的对应关系的问题，解决本题的关键是正确理解自变量增加1的意义． 3.在同一直角坐标系中，对于函数：①y =-x-1；②y=x+1；③y=-x+1；④y=-2(x+1)的图象， 下列说法正确的是（ ） A．通过点（-1，0）的是①和③ B．交点在y轴上的是②和④ C．互相平行的是 ①和③ D．互相平行的是②和③ 【难度】★ 【答案】 C 【解析】A、分别把点（-1，0）代入函数解析式可知，通过点（-1，0）的是①、②、④，故错误； B、交点坐标在y轴上，即x=0时y的值相等，故交点在y轴上的是②和③，故错误； C、当k值相等时，直线平行，所以相互平行的是①和③，正确； D、当k值相等时，直线平行，故错误． 【总结】主要考查了函数的对称性和比例系数的意义，要熟悉函数中有关对称性的知识． 4.一次函数y=-3x+6的图象不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【难度】★ 【答案】 C 【解析】当k＜0时，图像经过二、四象限，b=6，直线经过一、二、四象限，所以直线不经过第三象限． 【总结】一次函数y=kx+b中，k＞0，b＞0时，直线过一、二、三象限；k＞0，b＜0时，直线经过一、三、四象限；k＜0，b＞0时，直线过一、二、四象限；k＜0，b＜0时，直线过二、三、四象限． 5.下列语句不正确的是（ ） A．所有的正比例函数都是一次函数 B．一次函数的一般形式是 C．正比例函数和一次函数的图象都是直线 D．正比例函数的图象是一条过原点的直线 【难度】★ 【答案】 B 【解析】A、所有的正比例函数肯定是一次函数，命题正确； B、一次函数的一般形式是y=kx+b（k≠0），命题错误，符合题意； C、正比例函数和一次函数图像都是直线，命题正确； D、正比例函数图像是直线，过原点，命题正确． 【总结】此题主要考查一次函数和正比例函数的定义、图像，解题关键是牢记这些基本知识，所有正比例函数都是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数． 6.若直线中，k>0，b>0，则直线不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【难度】★ 【答案】 D 【解析】k＞0，图像经过一、三象限，b＞0，直线经过一、二、三象限，所以直线不经过第四象限． 【总结】一次函数y=kx+b中，k＞0，b＞0时，直线过一、二、三象限；k＞0，b＜0时，直线经过一、三、四象限；k＜0，b＞0时，直线过一、二、四象限；k＜0，b＜0时，直线过二、三、四象限． 7.如图，直线与x轴交于点（-4，0）则当y＞0时，x的取值范围是（ ） A．x＞-4 B．x＞0 C．x＜-4 D．x＜0 【难度】★ 【答案】 A 【解析】根据题意，结合图像，通过观察可知y＞0， 即为图像在x轴上方的部分，可知x＞-4． 【总结】本题主要考查的是一次函数的图像及其变量取值范围间的关系，解答此类题型的关键在于利用数形结合思想，理清题意结合图像进行解答． 8.关于直线，下列结论正确的是（ ） A．图象必过点（-2，1） B．图象经过第一、二、三象限 C．当x＞时，y＜0 D．y随x的增大而增大 【难度】★ 【答案】 C 【解析】A、将（-2，1）带入y=-2x+1中得左边=1，右边=5，左≠右，错误； B、根据直线图像性质，直线经过一、二、四象限，错误； C、直线y=-2x+1与x轴的交点为，当时，，正确； D、根据一次函数性质，k＜0，y随x增大而减小． 【总结】本题考查的是一次函数的性质及一次函数图像上点的坐标特点． 9.一次函数与的图象如图，则下列结论①；②；③当x<3 时，中，正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3ww.zk5u.com 【难度】★★ 【答案】 B 【解析】①y1=kx+b函数值随x的增大而减小，所以k＜0，正确； y2=x+a与y轴交于负半轴，所以a＜0，错误； 当x小于3时，y1的图像在y2上方，y1＞y2． 【总结】本题主要考查了一次函数图像的性质，当k＞0时，一次函数的图像y随x的增大而增大，b表示函数图像与y轴的交点纵坐标，解决本题的关键是准确识图并熟练掌握一次函数的性质． 二、填空题 1.在函数y=（m+6）x+（m-2）中，当_______时是一次函数；当_______时是正比例 函数． 【难度】★ 【答案】；m=2． 【解析】一次函数定义y=kx+b（k≠0），正比例函数定义y=kx（k≠0），所以y=（m+6）x+（m-2） 是一次函数时，m+6≠0，m≠-6；当y=（m+6）x+（m-2）是正比例函数时，b=0， 即m-2=0，m=2． 【总结】根据一次函数和正比例函数的定义求解． 2.一次函数y=-2x+4的图象与x轴交点坐标是______，与y轴交点坐标是______，与 坐标轴围成的三角形面积是______． 【难度】★ 【答案】（2，0）；（0，4）；4． 【解析】当y=0时，x=2，一次函数与x轴交点坐标是（2，0），当x=0时，一次函数与y轴交点是（0，4），图像与坐标轴围成的三角形面积是． 【总结】本题利用了直线与x轴的交点的纵坐标为0，直线与y轴交点的横坐标为0求解． 3.当______时，一次函数y=(m+1)x+6的函数值随x的增大而减小． 【难度】★ 【答案】． 【解析】一次函数y=(m+1)x+6的函数值随x的增大而减小，所以m+1＜0，即m＜-1 【总结】本题主要考查了一次函数的性质，正确记忆一次函数增减性是解题关键． 4.将直线y=-2x+1沿y轴方向向上平移3个单位长，得到的直线解析式为____________． 【难度】★ 【答案】． 【解析】由“上加下减”的原则可知，直线y=-2x+1沿y轴向上平移3个单位，所得直线的函数关系是：． 【总结】本题考查一次函数的图像与几何变换，需要熟知函数图像的平移法则． 5.当m=__________时，是一次函数． 【难度】★ 【答案】 或． 【解析】根据一次函数y=kx+b定义知，解得：或，经检验均成立． 【总结】本题考查一次函数的定义，注意基础概念的掌握． 6.直线y=kx+b上有两点A（x1，y1）和点B（x2，y2），且x1＞x2，y1＜y2，则常数k的 取值范围是____________． 【难度】★★ 【答案】 k＜0． 【解析】由x1＞x2，y1＜y2可知函数值随x的增大而减小，所以k＜0． 【总结】本题主要考查一次函数的性质，k＞0时，y随x的增大而增大，k＜0时，y随x的增大而减小． 7.已知一次函数y=(m+2)x+(3-2m)的图象不经过第四象限，则m的范围是______． 【难度】★★ 【答案】 ． 【解析】一次函数不经过第四象限，所以要经过一、二、三象限，或者经过原点 则k＞0，b≥0，即，解得：． 【总结】本题考查了一次函数的图像与系数的关系，熟知一次函数y=kx+b（k≠0）中，k、b与函数图像的关系，注意对不经过某个象限的正确理解． 8.直线y=(m+1)x+m2+1与y轴的交点坐标是（0，3），且直线经过第一、二、四象限， 则m=______． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】带入x=0，得，解得：，又直线经过一、二、四象限，m+1＜0， 即，所以． 【总结】本题考查一次函数与坐标轴的交点特征． 9.如图一次函数的图像如图所示，如果，那么x的取值范围 是____________． 【难度】★★ 【答案】x＜2 【解析】直线y=kx+b与x轴交点坐标是（2，0），由函数图像可知， y＞0时，直线在x轴上方，所以x＜2． 【总结】主要考查运用函数图像解一元一次不等式，考查分析能力和读图能力． 10.一次函数的图像上有一点M，若点M的横坐标小于3，则它的纵坐标 取值范围是____________． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】由可知，若点M的横坐标小于3，即x＜3，解得． 【总结】本题考查一次函数的解析式的运用，一次不等式的解答，注意函数解析式与不等式间的转换． 11.某人用充值50元的IC卡从A地向B地打长途电话，按通话时间收费，3分钟内收费2.4元，以后每超过1分钟加收1元，若此人第一次通话t分钟（3≤t≤45），则IC卡上所余的费用y（元）与t（分）之间的关系式是____________． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】由题意得 【总结】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式，解题的关键是根据题意，找出等量关系， 注意题中y表示卡上剩余费用，以免造成错误． 12.如图，已知A地在B地正南方3千米处，甲乙两人同时分别从A、B两地向正北方向匀 速直行，他们与A地的距离S（千米）与所行的时间t（小时）之间的函数关系图象如图所示的AC和BD给出，当他们行走3小时后，他们之间的距离为______千米． 【难度】★★ 【答案】1.5． 【解析】由图可知，甲行走的是AC路线，乙走的是BD路线， 设直线AC解析式，带入（2，4）可得： 设直线BD解析式带入（0，3）和（2，4）， 得：，当t =3时，， 所以行走3小时后，他们相距1.5千米． 【总结】本题考查了一元函数在实际生活中的应用，数形结合，求解析式，可根据题意解出符合题意的解，这种题是常见的题型，关键是看懂题意，列出函数关系式． 13.函数的图像与坐标轴围成的三角形的面积为6，则的值为______． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】分别令x=0，y=0，解得函数与x轴、y轴交点分别是，，因为函数 的图像与坐标轴围成三角形面积为6，所以，解得： 【总结】本题考查一次函数与坐标轴的交点，结合三角形面积列方程，注意坐标转换成线段时，要加绝对值，并且注意两解的情况． 14.已知一次函数y=kx+b的图像经过点(1，2)，且不经过第三象限，那么关于的不式 的解集是____________． 【难度】★★ 【答案】x＜1． 【解析】一次函数不经过第三象限，那么一定经过二、四象限，又要过（1，2），所以一次函数大致图像如图，由图可知，y＞2时，x＜1 【总结】本题考查一次函数的图像解决一元一次不等式问题，判断出相应的函数图像是解决本题的关键． 15.（1）已知直线与直线关于轴对称，则_______，_______； （2）已知直线与直线关于轴对称，则__________，__________； （3）已知直线与直线关于原点对称，则__________，________． 【难度】★★ 【答案】（1）k=3，b=7；（2）k =3，；（3），． 【解析】关于y轴对称的两直线，b的值相同，k的值相反；关于x轴对称的两直线，k与b都相反；关于原点对称的两直线，k不变，b相反． 16.若，且的图像不经过第四象限，则点所在象限为______． 【难度】★★ 【答案】四． 【解析】不经过第四象限，所以，，所以a、b同号，a、c异号， 当a＞0，b＞0，c＜0，（a+b，c）在第四象限；当a＜0，b＜0，c＞0，则abc＞0， 与已知矛盾，所以答案为第四象限． 【总结】本题考查一次函数的图像与系数的关系，熟知一次函数图像与系数的关系是解答本题的关键． 17.若函数与轴交于点A，直线上有一点M，若△AOM的面积为8，则点 M的坐标______． 【难度】★★ 【答案】或． 【解析】令y =0，求出A（4，0），则OA = 4，设M（a，a4），， 解得：或，所以M点坐标为或． 【总结】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，点在解析式上，点的横纵坐标满足解析式，注意不要漏解 18.如图，直线与轴、轴分别相交于点A、B，△AOB与△ACB关于 直线对称，则点C的坐标为________． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】分别令x=0，y=0，可A，B，，OA=1， 勾股定理可得：AB=2，所以∠BAO=∠BAC=60°， 从C向x轴做垂直，垂足为D，∠CAD=60°，在△CAD中AC=OA=1， 可得：，，所以C． 【总结】本题主要考查了一次函数与直角三角形的综合运用和有关轴对称的性质，要熟练掌握根据函数解析式求得有关线段长度的方法，灵活的运用数形结合的知识解题 19.y=kx+12与两坐标轴围成的三角形面积为24，求的k值． 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】当x=0时，y=12，当y=0时， ，所以直线与两坐标轴的交点分别是（0，12） 和，所以，解得： 【总结】本题考查的是一次函数与坐标轴交点与相关三角形的面积问题，要熟悉函数与坐标轴的交点的求法． 20.已知方程组（、、、为常数，）的解为，则直线 和直线的交点坐标为______． 【难度】★★★ 【答案】（-2，3）． 【解析】与两直线的交点坐标是方程组的解，即是方程组 的解，所以两直线交点坐标是（-2，3）． 【总结】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），两个一次函数的交点坐标就是两函数解析式所组成的方程组的解． 21.直线与轴、轴的交点分别为A、B，则线段AB上（包括端点A、B） 横坐标和纵坐标都是整数的点有__________个． 【难度】★★★ 【答案】 5． 【解析】令x=0，，令y=0，x=19，所以A（19，0），B． 当x=0时，，不符合题意；当x =1时，，不符合题意； 当x=2时，，不符合题意；当x =3时，，符合题意； 当x=4时，，不符合题意；当x=5时，，不符合题意； 当x=6时，，不符合题意；当x=7时，，符合题意； 当x=8时，，不符合题意；当x=9时，，不符合题意； 当x=10时，，不符合题意；当x=11时，，符合题意； 当x=12时，，不符合题意；当x=13时，，不符合题意； 当x=14时，，不符合题意；当x=15时，，符合题意； 当x=16时，，不符合题意；当x=17时，，不符合题意； 当x=18时，，不符合题意；当x=19时，，符合题意； 故横纵坐标都是整数的点有，，，，，共5个． 【总结】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点，注意进行分类讨论． 22图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD运动至点D停止．设点P 运动的路程为，△ABP的面积为．如果关于的函数图像如图2所示，则BD的长是______． 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】根据题意，当P在BC上运动时， △ABP的面积增大，结合图可知，BC=2 当P在CD上时，三角形面积不变，结合图形可知，CD=3，所以BD= 【总结】本题主要考查了动点问题的函数图像，在解题时要能根据函数的图像求出有关线段的长度，从而利用勾股定理来解决问题． 23.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（1，）在直线上，在坐 标轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P的个数有__________个． 【难度】★★★ 【答案】 8 【解析】A点横纵坐标带入直线y=-x+2，可得A（1，1）， 当AO=AP时，以A为圆心，AO长为半径做圆，与坐标轴交于2点，所以P点有2个， 当OA=OP时，以O为圆心，OA长为半径做圆，与坐标轴交于4个不同的点，所以P点有4个，当PA=PO时，做OA的垂直平分线，与坐标轴有2个不同的交点，所以P点有2个， 综上，P点共有8个． 【总结】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定，对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 24.如图所示，直线和轴、轴分别交于点A、B，点C在坐标平面内， 若以线段AB为边作等边△ABC，则点C的坐标是______． 【难度】★★★ 【答案】或（0，-1） 【解析】A（，0），B（0，1），OA=，OB=1，∠ABO=60°，∠BAO=30°，有两种情况： 当C在直线AB上方时，△ABC是等边三角形，所以AC=AB=2，∠CAB=60°，即CA⊥x轴， 所以C 当C在直线AB下方时，△ABC是等边三角形，所以AC=AB=2，∠CAB=60°，∠CBA=60°， 所以C在y轴上，C（0，-1） 【总结】本题考查了勾股定理，一次函数，等边三角形性质，含30度角的直角三角形等知识点应用，关键是根据题意正确画出符合条件的所以情况，注意不要漏解． 25.（1）如图所示，点A的坐标为（1，0），点B在直线上运动，当线段AB 最短时，点B的坐标为__________； （2）如图所示，在平面直角坐标系中有两点A（2，2），B（1，4），P为轴上一点： ①当BPAP的值最小时，P点的坐标为__________； ②当BPAP的值最大时，P点的坐标为__________． 【难度】★★★ 【答案】，（-1，0），（-5，0）． 【解析】（1）当AB垂直直线y=x时，线段AB长最短，从A向直线 y=x作垂线，垂足为C点，则△AOC是等腰直角三角形，所以C （2）A点关于x轴对称点为（-2，-2），根据对称原理，AP=P，点与点B的距离就是BP+P的最小值，直线B为y=2x+2，与x轴交点是（-1，0），即点P（-1，0）． 在△ABP中，根据两边之差小于第三边，所以BP-AP的最大值应为A、B间的距离，直线AB的解析式是：，与x轴交点坐标是（-5，0），即点P（-5，0）． 【总结】本题考查轴对称与最短线段问题及用待定系数法求一次函数的解析式 三、解答题 1.已知一次函数的函数值随的增大而增大，求的值及解析式． 【难度】★★ 【答案】，． 【解析】一次函数定义y=kx+b（k≠0），即，解得：m=2或m=3． 函数值y随x的增大而增大，所以2m-5＞0，所以m=3，故解析式为y=x+6． 【总结】本题考查一次函数的性质与定义． 2.如图，已知一次函数的图像交轴于A（6，0），交正比例函数的图像于点B，且点B在第三象限，它的横坐标为，△AOB的面积为6，求正比例函数和一次函数的解析式． 【难度】★★ 【答案】，． 【解析】OA=6，从B做BD⊥x轴，则， 解得：BD=2，所以B（-2，-2），设一次函数解析式y=kx+b， 代入A（-6，0），B（-2，-2），解得：， 设正比例函数解析式y=kx，代入B（-2，-2），解得：． 【总结】本题考查了用待定系数法求正比例函数和一次函数的解析式，两函数的直线相交问题，由解析式所组成的方程组的解为交点坐标，注意各个象限里点的坐标的符号． 3.如图所示，一次函数与反比例函数在第一象限的图像交于点B，且点B的横坐标为1，过点B作轴的垂线，点C为垂足，若，求一次函数和反比例函数的解析式． 【难度】★★ 【答案】，． 【解析】B点横坐标为1，所以BC=1，，解得：OC=3． 所以B（1，3）带入一次函数y=x+b，解得：y=x+2， 设反比例函数解析式，代入点B（1，3），解得：k=3，所以反比例函数解析式是． 【总结】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解本题的关键是先根据三角形的面积出b的值，进一步确定出点B的坐标． 4.如图所示，直线经过A（1，2）和B（3，0）两点，则不等式组 的解集是多少? 【难度】★★ 【答案】． 【解析】直线y=kx+b经过A（-1，2）和B（-3，0）， 解得直线解析式为：y=x+3，则不等式组可以转化为，解得：． 【总结】本题考查一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用，解决此类问题关键是观察图形，做到数形结合． 5.如图所示，直线与轴、轴分别交于点A和点B，D是轴上的一点，若将△DAB沿直线DA折叠，点B恰好落在轴正半轴上的点C处，求直线CD的解析式． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】根据题意A（2，0），B（0，）， 在Rt△AOB中，OA=2，OB=，可得AB=4，∠OBA=30°， △DAB由△DAC翻折得到，所以∠OCD=∠OBA=30°，CA=BA， 所以OC=OA+AC=OA+BA=6，在△OCD中，解得：OD=， 所以D（0，），设CD解析式y=kx+b， 代入C（6，0），D（0，），解得：． 【总结】解这类题目要能够把题中的条件转化为图形上表达出来，翻折、重合等关键词的理解都是做题的关键所在，数形结合的思想对解题很有帮助． 6.已知一次函数． （1）求证：无论取何实数，函数的图像恒过一点； （2）当在1≤≤2内变化时，在≤≤5内变化，求的值． 【难度】★★ 【答案】（1）略；（2）m=3． 【解析】（1）因为，直线恒过点（-2，1）， 即函数图像恒过定点（-2，1）； （2）当x=1时，y=3m-5，当x=2时，y=4m-7，所以当1≤x≤2时， 得：，解得：m=3． 【总结】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，解一元一次不等式组的应用，主要考查理解能力和计算能力． 7.已知一次函数中随的增大而增大，它的图像与两坐标轴构成的直角三角形的面积不超过，反比例函数的图像在第二、四象限．求满足以上条件的的整数值． 【难度】★★★ 【答案】1或2． 【解析】因为一次函数，y随x的增大而增大，所以．因为一次函数 与x轴，y轴交点分别是（12k，0）和（0，1），所以直线与坐标轴构成的三角形面积为，又， 所以k满足不等式组不等式组，解得：， 因为k为整数，所以k = 1或者k = 2． 【总结】本题主要考查一次函数的性质及与坐标轴的交点问题，注意此题中要求的是整数解． 8.A市、B市和C市分别有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给D市18台，E市10台．已知：从A市调运1台机器到D市、E市的运费分别为200元和800元；从B市调运1台机器到D市、E市的运费分别为300元和700元；从C市调运1台机器到D市、E市的运费分别为400元和500元．设从A市、B市各调台机器到D市，当28台机器调运完毕后，求总运费W（元）关于（台）的函数关系式，并求W的最大值和最小值． 【难度】★★★ 【答案】W=800x+17200，最大值13200元，最小值10000元． 【解析】由题意可列表 即从A向D、E分别运送x台、10-x台，从B向D、E分别运送x台、10-x台，从C向D、E分别运送18-2x台、2x-10台，其中每一次运送数量都要大于或者等于0，可知x的取值范围是，W=200x+300x+400（18-2x）+800（10-x）+700（10-x）+500（2x-10）=-800x+17200， W随x的增大而减小，所以W最大值为13200元，W最小值为10000元 【总结】本题考查用一次函数解决实际问题，注意利用一次函数求值时，关键是应用一次函数的性质，即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值． 9.中学预计用1500元购买甲商品个，乙商品个，不料甲商品单价上涨1.5元，乙商品单价上涨1元，尽管购买甲商品的个数比预定减少10个，总金额还是多了29元．又若甲、乙商品单价上涨1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么买甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元． （1）求、的关系式； （2）若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210， 求、的值． 【难度】★★★ 【答案】（1）； （2）x =76，y =55． 【解析】（1）设预计购买甲、乙商品的单价分别是a元和b元，可得： ，化简可得：； （2）依题意，有，解得：，由于y是整数， 所以y =55，从而x =76． 【总结】本题是方程组、函数和一元一次不等式的综合题，解决本题的关键是读懂题意，找到合适的关系式，当必需的量没有时，应设出未知数，解题过程中消去无关的量． 如图所示，在矩形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、C两点的坐标为（3，0）， （0，5） （1）请直接写出点B的坐标； （2）若过点C的直线CD交AB边于点D，且把矩形OABC的周长分为1:3的两部分，求直线CD的解析式． 【难度】★★★ 【答案】（1）B（3，5）； （2）． 【解析】由题知B（3，5）过点C的直线CD交AB边于点D， 且把矩形OABC的周长分为1：3两部分， OC =AB＞BD，OA=BC，则一定有：， 即，解得：BD=1，AD=4，即D（3，4），设直线CD的解析式为y=kx+b， 代入C（0，5）和D（3，4），解得直线解析式为：． 【总结】本题考查矩形的性质，比例的性质，以及待定系数法求函数解析式，根据比例的性质求得BD的长，即可求得D的坐标，利用待定系数法，可求函数解析式． 11.如图所示，直线L与轴、轴分别交于A（6，0）、B（0，3）两点，点C（4，0） 为轴上一点，点P在线段AB（包括端点A、B）上运动． （1）求直线L的解析式； （2）当点P的纵坐标为1时，按角的大小进行分类，请你确定△PAC是哪一类三角形，并说明理由； （3）是否存在这样的点P，使得△POC为直角三角形?若存在，求出点P的坐标；若不存在， 请说明理由． 【难度】★★★ 【答案】（1）；（2）直角三角形；（3）（0，3），（4，1），（2，2），P． 【解析】（1）设L解析式y=kx+b，代入A，B坐标， 可解得直线解析式为：； （2）当y=1时，x=4，P、C两点横坐标都是4，PC⊥x轴，所以△PAC是直角三角形； （3）设P（x，），则，，OC=4， 当O为直角顶点时，，解得：x=0，所以P（0，3）； 当C为直角顶点时，，解得：x=4，所以P（4，1）； 当P为直角顶点时，，解得：x=2或，所以P（2，2）或P 综上，P点存在，坐标是（0，3），（4，1），（2，2），P 【总结】求函数的解析式的常用方法是待定系数法，并且本题是存在性问题，是考试中常见题型，注意进行分类讨论． 12.如图，在平面直角坐标系中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是，，，，，．若直线经过点，且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，求直线的函数表达式． 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】延长BC交x轴于点F，联结OB，AF，联结CE，DF，且相交于点N， 点M（2，3）是矩形ABFO的中心，所以直线l把矩形ABFO分成面积相等的两部分， 又点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分于是直线MN即为所求的直线l， 设直线解析式为：y=kx+b，带入M、N两点坐标，解得直线解析式为：． 【总结】本题考查矩形性质，关键是掌握过矩形对角线交点的直线平分矩形的面积，同事也考查了待定系数法求直线的解析式． 13．（2019·上海松江区·八年级期中）已知一次函数的图像与轴、轴分别交于点B、A．以AB为边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，且∠ABC=90°，BA=BC，作OB的垂直平分线l,交直线AB与点E，交x轴于点G. （1）求点的坐标； （2）在OB的垂直平分线l上有一点M,且点M与点C位于直线AB的同侧，使得,求点M的坐标； （3）在（2）的条件下，联结CE、CM，判断△CEM的形状，并给予证明； 【答案】(1) C（6，2）;(2) M(1,7);(3)见解析. 【分析】（1）过点C作x轴的垂线，交x轴于点H，通过“角边角”易证≌，得到BH=AO=4,CH=OB=2，即可得到C点坐标； （2）根据题意可设点M（1，a），根据可得关于m的方程，然后求解方程即可； （3）由（2）可得CE=5,EM=5,CM=，根据勾股定理的逆定理即可得到是等腰直角三角形. 【详解】解：（1）过点C作x轴的垂线，交x轴于点H， ∵，∴A（0，4），B（2，0），∵BA=BC，∴≌（ASA）， ∴BH=AO=4,CH=OB=2，∴C（6，2） （2）如图，由题意可知点G（1，0），点E（1，2）， ∵AB=BC=2，∴，∵，∴， 而，设M（1，a）,则， 解的a=7,则M(1,7) ； （3）联结CM,CE， 由于点E(1,2),C(6,2),M(1,7)， 则CE=5,EM=5,CM=，可得：， CE=EM，∴是等腰直角三角形. 【点睛】本题主要考查一次函数与几何综合，综合性较强，属于中考常考题型，解此题的关键在于熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理等知识点. 14．（2019·上海外国语大学秀洲外国语学校八年级期中）某校八年级举行“生活中的数学”数学小论文比赛活动，购买A、B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是12元和8元，根据比赛设奖情况，需要购买两种笔记本共30本，若学校决定购买本次笔记本所需资金不能超过280元，设买A种笔记本x本． （1）根据题意完成以下表格（用含x的代数式表示） （2）那么最多能购买A笔记本多少本？ （3）若购买B笔记本的数量要小于A笔记本的数量的3倍，则购买这两种笔记本各多少本时，费用最少，最少的费用是多少元？ 【答案】（1）30-x， 8(30-x)； （2）12x+8(30-x)≤280，x≤10； （3）7.5＜ x≤10，x=8时，最少费用272元． 【详解】解：（1）由题意，得 （2）由题意，得 12x+8（30-x）≤280， 解得：x≤10． ∴最多能购买A笔记本10本； （3）设购买两种笔记本的总费用为W元，由题意，得 W=12x+8（30-x）=4x+240． 30-x＜3x， ∴x＞7.5． ∵k=4＞0， ∴W随x的增大而增大， ∴x=8时，W最小=272元． 15．（2018·上海全国·八年级期中）某地A、B两村盛产柑橘，A村有柑橘200吨，B村有柑橘300吨，现将这些柑橘运到C、D两个冷藏仓库．已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨，从A村运往C、D两处的费用分别为每吨20元、25元，从B村运往C、D两处的费用分别为每吨15元、18元．设从A村运往C仓库的柑橘重量为x吨，A、B两村运往两仓库的柑橘运输费用分别为yA元、yB元． (1)请填写下表，并求出yA、yB与x之间的函数表达式； (2)试讨论A、B两村中，哪个村的运费较少； (3)考虑到B村的经济承受能力，B村的柑橘运费不得超过4830元，在这种情况下，请问怎样调运才能使两村运费之和最小？求出这个最小值． 【答案】（1）(200－x)吨，(240－x)吨，(x＋60)吨；yA＝5000－5x(0≤x≤200)，yB＝3x＋4680(0≤x≤200)；（2）当x＝40时，两村的运费一样多；以当0≤x＜40时，B村的运费较少；当40＜x≤200时，A村的运费较少； （3）调运方案为A村运往C仓库50吨柑橘，运往D仓库150吨柑橘，B村运往C仓库190吨柑橘，运往D仓库110吨柑橘，两村的费用之和最小，最小值为9580元． 分析：（1）由A村共有柑橘200吨，从A村运往C仓库x吨，剩下的运往D仓库，故运往D仓库为（200﹣x）吨，由A村已经运往C仓库x吨，C仓库可储存240吨，故B村应往C仓库运（240﹣x）吨，剩下的运往D仓库，剩下的为300﹣（240﹣x），化简后即可得到B村运往D仓库的吨数，填表即可； （2）由从A村运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元；从B村运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元，由表格中的代数式求得总费用即可； （3）由B村的柑橘运费不得超过4830元，得到不等式，求出x的取值范围．再求出两村运费之和w，由一次函数的性质即可得出结论． 详解：(1)从左往右，从上往下依次填：(200－x)吨，(240－x)吨，(x＋60)吨． yA＝20x＋25(200－x)＝5000－5x(0≤x≤200)， yB＝15(240－x)＋18(x＋60)＝3x＋4680(0≤x≤200)． (2)当yA＝yB，即5000－5x＝3x＋4680时， 解得：x＝40，所以当x＝40时，两村的运费一样多； 当yA＞yB，即5000－5x＞3x＋4680时， 解得：x＜40，所以当0≤x＜40时，B村的运费较少； 当yA＜yB，即5000－5x＜3x＋4680时，解得：x＞40， 所以当40＜x≤200时，A村的运费较少． (3)由B村的柑橘运费不得超过4830元，得3x＋4680≤4830，解得：x≤50． 两村运费之和w＝yA＋yB＝5000－5x＋3x＋4680＝9680－2x．∵－2＜0， ∴w随x的增大而减小，∴当x＝50时，两村的运费之和最小， ∴调运方案为A村运往C仓库50吨柑橘，运往D仓库150吨柑橘，B村运往C仓库190吨柑橘，运往D仓库110吨柑橘，两村的费用之和最小，最小值为9680－2×50＝9580(元)． 点睛：本题考查了列代数式，以及代数式求值，利用题目蕴含的基本数量关系解决问题． 16．（2018·上海黄浦区·八年级期中）已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E． （1）求点B的坐标； （2）求直线AE的表达式； （3）过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积． （4）若将已知条件“AE平分∠BAO，交x轴于点E”改变为“点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F．设OE=x，BF=y，试求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域． 【答案】（1）B（8，0）；（2）y=﹣2x+6；（3）△OFB为等腰三角形，S△OBF=8； （4）y=（0＜x＜8）． 【分析】（1）如图1中，设OE=x，作EM⊥AB于M．首先证明△AEO≌△AEM，推出AM=AO=6，由OA=6，OB=8，∠AOB=90°，推出AB=10，推出BM=4，在Rt△EBM中，根据EM2+BM2=EB2，可得x2+42=（8-x）2，解方程即可． （2）根据S△AEB=，即可解决问题． （3）利用面积即可解决，方法类似（2）． 【详解】解: （1）如图1中， ∵一次函数y=-x+6的图象与坐标轴交于A、B点， ∴A（0，6），B（8，0），设OE=x，作EM⊥AB于M． ∵AE平分∠OAB，OE⊥OA，∴OE=EM=x， 在△AEO和△AEM中，，∴△AEO≌△AEM，∴AM=AO=6， ∵OA=6，OB=8，∠AOB=90°，∴AB=10，∴BM=4， 在Rt△EBM中，∵EM2+BM2=EB2，∴x2+42=（8-x）2，∴x=3，∴E（3，0）， 设直线AE的解析式为y=kx+b则，解得， ∴直线AE的解析式为y=-2x+6． （2）由（1）可知OE=3，AE=，EB=5， ∵S△AEB=•EB•OA=•AE•BF，∴BF=． （3）如图2中， 在Rt△AOE中，，∴AE=， ∵S△AEB=•EB•OA=•AE•BF，∴BF=，∴y=（0＜x＜8）． 【点睛】本题考查一次函数综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积．勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用面积法求高. ABCDxx18-2x18E10-x10-x2x-101010108笔记本型号AB数量（本）x30-x价格（元/本）128售价（元）12x8（30-x）
第3讲 一次函数的复习 本讲整理了一次函数的概念、图像及性质的相关练习，以帮助同学们巩固一次函数章节所学的内容． 一、选择题 1.下列函数关系式：①；②；③；④y =2；⑤y =2x-1；其中是一 次函数的是（ ） A.①⑤ B.①④⑤ C.②⑤ D.②④⑤ 2.函数中，当自变量x增加1时，函数值y就（ ） A．增加3 B．减少3 C．增加1 D．减少1 3.在同一直角坐标系中，对于函数：①y =-x-1；②y=x+1；③y=-x+1；④y=-2(x+1)的图象， 下列说法正确的是（ ） A．通过点（-1，0）的是①和③ B．交点在y轴上的是②和④ C．互相平行的是 ①和③ D．互相平行的是②和③ 4.一次函数y=-3x+6的图象不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5.下列语句不正确的是（ ） A．所有的正比例函数都是一次函数 B．一次函数的一般形式是 C．正比例函数和一次函数的图象都是直线 D．正比例函数的图象是一条过原点的直线 6.若直线中，k>0，b>0，则直线不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7.如图，直线与x轴交于点（-4，0）则当y＞0时，x的取值范围是（ ） A．x＞-4 B．x＞0 C．x＜-4 D．x＜0 8.关于直线，下列结论正确的是（ ） A．图象必过点（-2，1） B．图象经过第一、二、三象限 C．当x＞时，y＜0 D．y随x的增大而增大 9.一次函数与的图象如图，则下列结论①；②；③当x<3 时，中，正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3ww.zk5u.com 二、填空题 1.在函数y=（m+6）x+（m-2）中，当_______时是一次函数；当_______时是正比例 函数． 2.一次函数y=-2x+4的图象与x轴交点坐标是______，与y轴交点坐标是______，与 坐标轴围成的三角形面积是______． 3.当______时，一次函数y=(m+1)x+6的函数值随x的增大而减小． 4.将直线y=-2x+1沿y轴方向向上平移3个单位长，得到的直线解析式为____________． 5.当m=__________时，是一次函数． 6.直线y=kx+b上有两点A（x1，y1）和点B（x2，y2），且x1＞x2，y1＜y2，则常数k的 取值范围是____________． 7.已知一次函数y=(m+2)x+(3-2m)的图象不经过第四象限，则m的范围是______． 8.直线y=(m+1)x+m2+1与y轴的交点坐标是（0，3），且直线经过第一、二、四象限， 则m=______． 9.如图一次函数的图像如图所示，如果，那么x的取值范围 是____________． 10.一次函数的图像上有一点M，若点M的横坐标小于3，则它的纵坐标 取值范围是____________． 11.某人用充值50元的IC卡从A地向B地打长途电话，按通话时间收费，3分钟内收费2.4元，以后每超过1分钟加收1元，若此人第一次通话t分钟（3≤t≤45），则IC卡上所余的费用y（元）与t（分）之间的关系式是____________． 12.如图，已知A地在B地正南方3千米处，甲乙两人同时分别从A、B两地向正北方向匀 速直行，他们与A地的距离S（千米）与所行的时间t（小时）之间的函数关系图象如图所示的AC和BD给出，当他们行走3小时后，他们之间的距离为______千米． 13.函数的图像与坐标轴围成的三角形的面积为6，则的值为______． 14.已知一次函数y=kx+b的图像经过点(1，2)，且不经过第三象限，那么关于的不式 的解集是____________． 15.（1）已知直线与直线关于轴对称，则_______，_______； （2）已知直线与直线关于轴对称，则__________，__________； （3）已知直线与直线关于原点对称，则__________，________． 16.若，且的图像不经过第四象限，则点所在象限为______． 17.若函数与轴交于点A，直线上有一点M，若△AOM的面积为8，则点 M的坐标______． 18.如图，直线与轴、轴分别相交于点A、B，△AOB与△ACB关于 直线对称，则点C的坐标为________． 19.y=kx+12与两坐标轴围成的三角形面积为24，求的k值． 20.已知方程组（、、、为常数，）的解为，则直线 和直线的交点坐标为______． 21.直线与轴、轴的交点分别为A、B，则线段AB上（包括端点A、B） 横坐标和纵坐标都是整数的点有__________个． 22图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD运动至点D停止．设点P运动的路程为，△ABP的面积为．如果关于的函数图像如图2所示，则BD的长是______． 23.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（1，）在直线上，在坐 标轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P的个数有__________个． 24.如图所示，直线和轴、轴分别交于点A、B，点C在坐标平面内， 若以线段AB为边作等边△ABC，则点C的坐标是______． 25.（1）如图所示，点A的坐标为（1，0），点B在直线上运动，当线段AB 最短时，点B的坐标为__________； （2）如图所示，在平面直角坐标系中有两点A（2，2），B（1，4），P为轴上一点： ①当BPAP的值最小时，P点的坐标为__________； ②当BPAP的值最大时，P点的坐标为__________． 三、解答题 1.已知一次函数的函数值随的增大而增大，求的值及解析式． 2.如图，已知一次函数的图像交轴于A（6，0），交正比例函数的图像于点B，且点B在第三象限，它的横坐标为，△AOB的面积为6，求正比例函数和一次函数的解析式． 3.如图所示，一次函数与反比例函数在第一象限的图像交于点B，且点B的横坐标为1，过点B作轴的垂线，点C为垂足，若，求一次函数和反比例函数的解析式． 4.如图所示，直线经过A（1，2）和B（3，0）两点，则不等式组 的解集是多少? 5.如图所示，直线与轴、轴分别交于点A和点B，D是轴上的一点，若将△DAB沿直线DA折叠，点B恰好落在轴正半轴上的点C处，求直线CD的解析式． 6.已知一次函数． （1）求证：无论取何实数，函数的图像恒过一点； （2）当在1≤≤2内变化时，在≤≤5内变化，求的值． 7.已知一次函数中随的增大而增大，它的图像与两坐标轴构成的直角三角形的面积不超过，反比例函数的图像在第二、四象限．求满足以上条件的的整数值． 8.A市、B市和C市分别有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给D市18台，E市10台．已知：从A市调运1台机器到D市、E市的运费分别为200元和800元；从B市调运1台机器到D市、E市的运费分别为300元和700元；从C市调运1台机器到D市、E市的运费分别为400元和500元．设从A市、B市各调台机器到D市，当28台机器调运完毕后，求总运费W（元）关于（台）的函数关系式，并求W的最大值和最小值． 9.中学预计用1500元购买甲商品个，乙商品个，不料甲商品单价上涨1.5元，乙商品单价上涨1元，尽管购买甲商品的个数比预定减少10个，总金额还是多了29元．又若甲、乙商品单价上涨1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么买甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元． （1）求、的关系式； （2）若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210， 求、的值． 如图所示，在矩形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、C两点的坐标为（3，0）， （0，5） （1）请直接写出点B的坐标； （2）若过点C的直线CD交AB边于点D，且把矩形OABC的周长分为1:3的两部分，求直线CD的解析式． 11.如图所示，直线L与轴、轴分别交于A（6，0）、B（0，3）两点，点C（4，0） 为轴上一点，点P在线段AB（包括端点A、B）上运动． （1）求直线L的解析式； （2）当点P的纵坐标为1时，按角的大小进行分类，请你确定△PAC是哪一类三角形，并说明理由； （3）是否存在这样的点P，使得△POC为直角三角形?若存在，求出点P的坐标；若不存在， 请说明理由． 12.如图，在平面直角坐标系中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是，，，，，．若直线经过点，且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，求直线的函数表达式． 13．（2019·上海松江区·八年级期中）已知一次函数的图像与轴、轴分别交于点B、A．以AB为边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，且∠ABC=90°，BA=BC，作OB的垂直平分线l,交直线AB与点E，交x轴于点G. （1）求点的坐标； （2）在OB的垂直平分线l上有一点M,且点M与点C位于直线AB的同侧，使得,求点M的坐标； （3）在（2）的条件下，联结CE、CM，判断△CEM的形状，并给予证明； 14．（2019·上海外国语大学秀洲外国语学校八年级期中）某校八年级举行“生活中的数学”数学小论文比赛活动，购买A、B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是12元和8元，根据比赛设奖情况，需要购买两种笔记本共30本，若学校决定购买本次笔记本所需资金不能超过280元，设买A种笔记本x本． （1）根据题意完成以下表格（用含x的代数式表示） （2）那么最多能购买A笔记本多少本？ （3）若购买B笔记本的数量要小于A笔记本的数量的3倍，则购买这两种笔记本各多少本时，费用最少，最少的费用是多少元？ 15．（2018·上海全国·八年级期中）某地A、B两村盛产柑橘，A村有柑橘200吨，B村有柑橘300吨，现将这些柑橘运到C、D两个冷藏仓库．已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨，从A村运往C、D两处的费用分别为每吨20元、25元，从B村运往C、D两处的费用分别为每吨15元、18元．设从A村运往C仓库的柑橘重量为x吨，A、B两村运往两仓库的柑橘运输费用分别为yA元、yB元． (1)请填写下表，并求出yA、yB与x之间的函数表达式； (2)试讨论A、B两村中，哪个村的运费较少； (3)考虑到B村的经济承受能力，B村的柑橘运费不得超过4830元，在这种情况下，请问怎样调运才能使两村运费之和最小？求出这个最小值． 16．（2018·上海黄浦区·八年级期中）已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E． （1）求点B的坐标； （2）求直线AE的表达式； （3）过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积． （4）若将已知条件“AE平分∠BAO，交x轴于点E”改变为“点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F．设OE=x，BF=y，试求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域． 第3讲 一次函数的复习 本讲整理了一次函数的概念、图像及性质的相关练习，以帮助同学们巩固一次函数章节所学的内容． 一、选择题 1.下列函数关系式：①；②；③；④y =2；⑤y =2x-1；其中是一 次函数的是（ ） A.①⑤ B.①④⑤ C.②⑤ D.②④⑤ 【难度】★ 【答案】 A 【解析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可， 一次函数；②反比例函数；③二次函数；④常值函数；⑤一次函数． 【总结】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0 自变量次数为1． 2.函数中，当自变量x增加1时，函数值y就（ ） A．增加3 B．减少3 C．增加1 D．减少1 【难度】★ 【答案】 B 【解析】当自变量增加1时，有，所以当自变量 增加1时，函数值y就减少3 【总结】本题主要考查的是函数的自变量与函数值的对应关系的问题，解决本题的关键是正确理解自变量增加1的意义． 3.在同一直角坐标系中，对于函数：①y =-x-1；②y=x+1；③y=-x+1；④y=-2(x+1)的图象， 下列说法正确的是（ ） A．通过点（-1，0）的是①和③ B．交点在y轴上的是②和④ C．互相平行的是 ①和③ D．互相平行的是②和③ 【难度】★ 【答案】 C 【解析】A、分别把点（-1，0）代入函数解析式可知，通过点（-1，0）的是①、②、④，故错误； B、交点坐标在y轴上，即x=0时y的值相等，故交点在y轴上的是②和③，故错误； C、当k值相等时，直线平行，所以相互平行的是①和③，正确； D、当k值相等时，直线平行，故错误． 【总结】主要考查了函数的对称性和比例系数的意义，要熟悉函数中有关对称性的知识． 4.一次函数y=-3x+6的图象不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【难度】★ 【答案】 C 【解析】当k＜0时，图像经过二、四象限，b=6，直线经过一、二、四象限，所以直线不经过第三象限． 【总结】一次函数y=kx+b中，k＞0，b＞0时，直线过一、二、三象限；k＞0，b＜0时，直线经过一、三、四象限；k＜0，b＞0时，直线过一、二、四象限；k＜0，b＜0时，直线过二、三、四象限． 5.下列语句不正确的是（ ） A．所有的正比例函数都是一次函数 B．一次函数的一般形式是 C．正比例函数和一次函数的图象都是直线 D．正比例函数的图象是一条过原点的直线 【难度】★ 【答案】 B 【解析】A、所有的正比例函数肯定是一次函数，命题正确； B、一次函数的一般形式是y=kx+b（k≠0），命题错误，符合题意； C、正比例函数和一次函数图像都是直线，命题正确； D、正比例函数图像是直线，过原点，命题正确． 【总结】此题主要考查一次函数和正比例函数的定义、图像，解题关键是牢记这些基本知识，所有正比例函数都是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数． 6.若直线中，k>0，b>0，则直线不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【难度】★ 【答案】 D 【解析】k＞0，图像经过一、三象限，b＞0，直线经过一、二、三象限，所以直线不经过第四象限． 【总结】一次函数y=kx+b中，k＞0，b＞0时，直线过一、二、三象限；k＞0，b＜0时，直线经过一、三、四象限；k＜0，b＞0时，直线过一、二、四象限；k＜0，b＜0时，直线过二、三、四象限． 7.如图，直线与x轴交于点（-4，0）则当y＞0时，x的取值范围是（ ） A．x＞-4 B．x＞0 C．x＜-4 D．x＜0 【难度】★ 【答案】 A 【解析】根据题意，结合图像，通过观察可知y＞0， 即为图像在x轴上方的部分，可知x＞-4． 【总结】本题主要考查的是一次函数的图像及其变量取值范围间的关系，解答此类题型的关键在于利用数形结合思想，理清题意结合图像进行解答． 8.关于直线，下列结论正确的是（ ） A．图象必过点（-2，1） B．图象经过第一、二、三象限 C．当x＞时，y＜0 D．y随x的增大而增大 【难度】★ 【答案】 C 【解析】A、将（-2，1）带入y=-2x+1中得左边=1，右边=5，左≠右，错误； B、根据直线图像性质，直线经过一、二、四象限，错误； C、直线y=-2x+1与x轴的交点为，当时，，正确； D、根据一次函数性质，k＜0，y随x增大而减小． 【总结】本题考查的是一次函数的性质及一次函数图像上点的坐标特点． 9.一次函数与的图象如图，则下列结论①；②；③当x<3 时，中，正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3ww.zk5u.com 【难度】★★ 【答案】 B 【解析】①y1=kx+b函数值随x的增大而减小，所以k＜0，正确； y2=x+a与y轴交于负半轴，所以a＜0，错误； 当x小于3时，y1的图像在y2上方，y1＞y2． 【总结】本题主要考查了一次函数图像的性质，当k＞0时，一次函数的图像y随x的增大而增大，b表示函数图像与y轴的交点纵坐标，解决本题的关键是准确识图并熟练掌握一次函数的性质． 二、填空题 1.在函数y=（m+6）x+（m-2）中，当_______时是一次函数；当_______时是正比例 函数． 【难度】★ 【答案】；m=2． 【解析】一次函数定义y=kx+b（k≠0），正比例函数定义y=kx（k≠0），所以y=（m+6）x+（m-2） 是一次函数时，m+6≠0，m≠-6；当y=（m+6）x+（m-2）是正比例函数时，b=0， 即m-2=0，m=2． 【总结】根据一次函数和正比例函数的定义求解． 2.一次函数y=-2x+4的图象与x轴交点坐标是______，与y轴交点坐标是______，与 坐标轴围成的三角形面积是______． 【难度】★ 【答案】（2，0）；（0，4）；4． 【解析】当y=0时，x=2，一次函数与x轴交点坐标是（2，0），当x=0时，一次函数与y轴交点是（0，4），图像与坐标轴围成的三角形面积是． 【总结】本题利用了直线与x轴的交点的纵坐标为0，直线与y轴交点的横坐标为0求解． 3.当______时，一次函数y=(m+1)x+6的函数值随x的增大而减小． 【难度】★ 【答案】． 【解析】一次函数y=(m+1)x+6的函数值随x的增大而减小，所以m+1＜0，即m＜-1 【总结】本题主要考查了一次函数的性质，正确记忆一次函数增减性是解题关键． 4.将直线y=-2x+1沿y轴方向向上平移3个单位长，得到的直线解析式为____________． 【难度】★ 【答案】． 【解析】由“上加下减”的原则可知，直线y=-2x+1沿y轴向上平移3个单位，所得直线的函数关系是：． 【总结】本题考查一次函数的图像与几何变换，需要熟知函数图像的平移法则． 5.当m=__________时，是一次函数． 【难度】★ 【答案】 或． 【解析】根据一次函数y=kx+b定义知，解得：或，经检验均成立． 【总结】本题考查一次函数的定义，注意基础概念的掌握． 6.直线y=kx+b上有两点A（x1，y1）和点B（x2，y2），且x1＞x2，y1＜y2，则常数k的 取值范围是____________． 【难度】★★ 【答案】 k＜0． 【解析】由x1＞x2，y1＜y2可知函数值随x的增大而减小，所以k＜0． 【总结】本题主要考查一次函数的性质，k＞0时，y随x的增大而增大，k＜0时，y随x的增大而减小． 7.已知一次函数y=(m+2)x+(3-2m)的图象不经过第四象限，则m的范围是______． 【难度】★★ 【答案】 ． 【解析】一次函数不经过第四象限，所以要经过一、二、三象限，或者经过原点 则k＞0，b≥0，即，解得：． 【总结】本题考查了一次函数的图像与系数的关系，熟知一次函数y=kx+b（k≠0）中，k、b与函数图像的关系，注意对不经过某个象限的正确理解． 8.直线y=(m+1)x+m2+1与y轴的交点坐标是（0，3），且直线经过第一、二、四象限， 则m=______． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】带入x=0，得，解得：，又直线经过一、二、四象限，m+1＜0， 即，所以． 【总结】本题考查一次函数与坐标轴的交点特征． 9.如图一次函数的图像如图所示，如果，那么x的取值范围 是____________． 【难度】★★ 【答案】x＜2 【解析】直线y=kx+b与x轴交点坐标是（2，0），由函数图像可知， y＞0时，直线在x轴上方，所以x＜2． 【总结】主要考查运用函数图像解一元一次不等式，考查分析能力和读图能力． 10.一次函数的图像上有一点M，若点M的横坐标小于3，则它的纵坐标 取值范围是____________． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】由可知，若点M的横坐标小于3，即x＜3，解得． 【总结】本题考查一次函数的解析式的运用，一次不等式的解答，注意函数解析式与不等式间的转换． 11.某人用充值50元的IC卡从A地向B地打长途电话，按通话时间收费，3分钟内收费2.4元，以后每超过1分钟加收1元，若此人第一次通话t分钟（3≤t≤45），则IC卡上所余的费用y（元）与t（分）之间的关系式是____________． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】由题意得 【总结】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式，解题的关键是根据题意，找出等量关系， 注意题中y表示卡上剩余费用，以免造成错误． 12.如图，已知A地在B地正南方3千米处，甲乙两人同时分别从A、B两地向正北方向匀 速直行，他们与A地的距离S（千米）与所行的时间t（小时）之间的函数关系图象如图所示的AC和BD给出，当他们行走3小时后，他们之间的距离为______千米． 【难度】★★ 【答案】1.5． 【解析】由图可知，甲行走的是AC路线，乙走的是BD路线， 设直线AC解析式，带入（2，4）可得： 设直线BD解析式带入（0，3）和（2，4）， 得：，当t =3时，， 所以行走3小时后，他们相距1.5千米． 【总结】本题考查了一元函数在实际生活中的应用，数形结合，求解析式，可根据题意解出符合题意的解，这种题是常见的题型，关键是看懂题意，列出函数关系式． 13.函数的图像与坐标轴围成的三角形的面积为6，则的值为______． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】分别令x=0，y=0，解得函数与x轴、y轴交点分别是，，因为函数 的图像与坐标轴围成三角形面积为6，所以，解得： 【总结】本题考查一次函数与坐标轴的交点，结合三角形面积列方程，注意坐标转换成线段时，要加绝对值，并且注意两解的情况． 14.已知一次函数y=kx+b的图像经过点(1，2)，且不经过第三象限，那么关于的不式 的解集是____________． 【难度】★★ 【答案】x＜1． 【解析】一次函数不经过第三象限，那么一定经过二、四象限，又要过（1，2），所以一次函数大致图像如图，由图可知，y＞2时，x＜1 【总结】本题考查一次函数的图像解决一元一次不等式问题，判断出相应的函数图像是解决本题的关键． 15.（1）已知直线与直线关于轴对称，则_______，_______； （2）已知直线与直线关于轴对称，则__________，__________； （3）已知直线与直线关于原点对称，则__________，________． 【难度】★★ 【答案】（1）k=3，b=7；（2）k =3，；（3），． 【解析】关于y轴对称的两直线，b的值相同，k的值相反；关于x轴对称的两直线，k与b都相反；关于原点对称的两直线，k不变，b相反． 16.若，且的图像不经过第四象限，则点所在象限为______． 【难度】★★ 【答案】四． 【解析】不经过第四象限，所以，，所以a、b同号，a、c异号， 当a＞0，b＞0，c＜0，（a+b，c）在第四象限；当a＜0，b＜0，c＞0，则abc＞0， 与已知矛盾，所以答案为第四象限． 【总结】本题考查一次函数的图像与系数的关系，熟知一次函数图像与系数的关系是解答本题的关键． 17.若函数与轴交于点A，直线上有一点M，若△AOM的面积为8，则点 M的坐标______． 【难度】★★ 【答案】或． 【解析】令y =0，求出A（4，0），则OA = 4，设M（a，a4），， 解得：或，所以M点坐标为或． 【总结】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，点在解析式上，点的横纵坐标满足解析式，注意不要漏解 18.如图，直线与轴、轴分别相交于点A、B，△AOB与△ACB关于 直线对称，则点C的坐标为________． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】分别令x=0，y=0，可A，B，，OA=1， 勾股定理可得：AB=2，所以∠BAO=∠BAC=60°， 从C向x轴做垂直，垂足为D，∠CAD=60°，在△CAD中AC=OA=1， 可得：，，所以C． 【总结】本题主要考查了一次函数与直角三角形的综合运用和有关轴对称的性质，要熟练掌握根据函数解析式求得有关线段长度的方法，灵活的运用数形结合的知识解题 19.y=kx+12与两坐标轴围成的三角形面积为24，求的k值． 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】当x=0时，y=12，当y=0时， ，所以直线与两坐标轴的交点分别是（0，12） 和，所以，解得： 【总结】本题考查的是一次函数与坐标轴交点与相关三角形的面积问题，要熟悉函数与坐标轴的交点的求法． 20.已知方程组（、、、为常数，）的解为，则直线 和直线的交点坐标为______． 【难度】★★★ 【答案】（-2，3）． 【解析】与两直线的交点坐标是方程组的解，即是方程组 的解，所以两直线交点坐标是（-2，3）． 【总结】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），两个一次函数的交点坐标就是两函数解析式所组成的方程组的解． 21.直线与轴、轴的交点分别为A、B，则线段AB上（包括端点A、B） 横坐标和纵坐标都是整数的点有__________个． 【难度】★★★ 【答案】 5． 【解析】令x=0，，令y=0，x=19，所以A（19，0），B． 当x=0时，，不符合题意；当x =1时，，不符合题意； 当x=2时，，不符合题意；当x =3时，，符合题意； 当x=4时，，不符合题意；当x=5时，，不符合题意； 当x=6时，，不符合题意；当x=7时，，符合题意； 当x=8时，，不符合题意；当x=9时，，不符合题意； 当x=10时，，不符合题意；当x=11时，，符合题意； 当x=12时，，不符合题意；当x=13时，，不符合题意； 当x=14时，，不符合题意；当x=15时，，符合题意； 当x=16时，，不符合题意；当x=17时，，不符合题意； 当x=18时，，不符合题意；当x=19时，，符合题意； 故横纵坐标都是整数的点有，，，，，共5个． 【总结】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点，注意进行分类讨论． 22图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD运动至点D停止．设点P 运动的路程为，△ABP的面积为．如果关于的函数图像如图2所示，则BD的长是______． 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】根据题意，当P在BC上运动时， △ABP的面积增大，结合图可知，BC=2 当P在CD上时，三角形面积不变，结合图形可知，CD=3，所以BD= 【总结】本题主要考查了动点问题的函数图像，在解题时要能根据函数的图像求出有关线段的长度，从而利用勾股定理来解决问题． 23.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（1，）在直线上，在坐 标轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P的个数有__________个． 【难度】★★★ 【答案】 8 【解析】A点横纵坐标带入直线y=-x+2，可得A（1，1）， 当AO=AP时，以A为圆心，AO长为半径做圆，与坐标轴交于2点，所以P点有2个， 当OA=OP时，以O为圆心，OA长为半径做圆，与坐标轴交于4个不同的点，所以P点有4个，当PA=PO时，做OA的垂直平分线，与坐标轴有2个不同的交点，所以P点有2个， 综上，P点共有8个． 【总结】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定，对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 24.如图所示，直线和轴、轴分别交于点A、B，点C在坐标平面内， 若以线段AB为边作等边△ABC，则点C的坐标是______． 【难度】★★★ 【答案】或（0，-1） 【解析】A（，0），B（0，1），OA=，OB=1，∠ABO=60°，∠BAO=30°，有两种情况： 当C在直线AB上方时，△ABC是等边三角形，所以AC=AB=2，∠CAB=60°，即CA⊥x轴， 所以C 当C在直线AB下方时，△ABC是等边三角形，所以AC=AB=2，∠CAB=60°，∠CBA=60°， 所以C在y轴上，C（0，-1） 【总结】本题考查了勾股定理，一次函数，等边三角形性质，含30度角的直角三角形等知识点应用，关键是根据题意正确画出符合条件的所以情况，注意不要漏解． 25.（1）如图所示，点A的坐标为（1，0），点B在直线上运动，当线段AB 最短时，点B的坐标为__________； （2）如图所示，在平面直角坐标系中有两点A（2，2），B（1，4），P为轴上一点： ①当BPAP的值最小时，P点的坐标为__________； ②当BPAP的值最大时，P点的坐标为__________． 【难度】★★★ 【答案】，（-1，0），（-5，0）． 【解析】（1）当AB垂直直线y=x时，线段AB长最短，从A向直线 y=x作垂线，垂足为C点，则△AOC是等腰直角三角形，所以C （2）A点关于x轴对称点为（-2，-2），根据对称原理，AP=P，点与点B的距离就是BP+P的最小值，直线B为y=2x+2，与x轴交点是（-1，0），即点P（-1，0）． 在△ABP中，根据两边之差小于第三边，所以BP-AP的最大值应为A、B间的距离，直线AB的解析式是：，与x轴交点坐标是（-5，0），即点P（-5，0）． 【总结】本题考查轴对称与最短线段问题及用待定系数法求一次函数的解析式 三、解答题 1.已知一次函数的函数值随的增大而增大，求的值及解析式． 【难度】★★ 【答案】，． 【解析】一次函数定义y=kx+b（k≠0），即，解得：m=2或m=3． 函数值y随x的增大而增大，所以2m-5＞0，所以m=3，故解析式为y=x+6． 【总结】本题考查一次函数的性质与定义． 2.如图，已知一次函数的图像交轴于A（6，0），交正比例函数的图像于点B，且点B在第三象限，它的横坐标为，△AOB的面积为6，求正比例函数和一次函数的解析式． 【难度】★★ 【答案】，． 【解析】OA=6，从B做BD⊥x轴，则， 解得：BD=2，所以B（-2，-2），设一次函数解析式y=kx+b， 代入A（-6，0），B（-2，-2），解得：， 设正比例函数解析式y=kx，代入B（-2，-2），解得：． 【总结】本题考查了用待定系数法求正比例函数和一次函数的解析式，两函数的直线相交问题，由解析式所组成的方程组的解为交点坐标，注意各个象限里点的坐标的符号． 3.如图所示，一次函数与反比例函数在第一象限的图像交于点B，且点B的横坐标为1，过点B作轴的垂线，点C为垂足，若，求一次函数和反比例函数的解析式． 【难度】★★ 【答案】，． 【解析】B点横坐标为1，所以BC=1，，解得：OC=3． 所以B（1，3）带入一次函数y=x+b，解得：y=x+2， 设反比例函数解析式，代入点B（1，3），解得：k=3，所以反比例函数解析式是． 【总结】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解本题的关键是先根据三角形的面积出b的值，进一步确定出点B的坐标． 4.如图所示，直线经过A（1，2）和B（3，0）两点，则不等式组 的解集是多少? 【难度】★★ 【答案】． 【解析】直线y=kx+b经过A（-1，2）和B（-3，0）， 解得直线解析式为：y=x+3，则不等式组可以转化为，解得：． 【总结】本题考查一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用，解决此类问题关键是观察图形，做到数形结合． 5.如图所示，直线与轴、轴分别交于点A和点B，D是轴上的一点，若将△DAB沿直线DA折叠，点B恰好落在轴正半轴上的点C处，求直线CD的解析式． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】根据题意A（2，0），B（0，）， 在Rt△AOB中，OA=2，OB=，可得AB=4，∠OBA=30°， △DAB由△DAC翻折得到，所以∠OCD=∠OBA=30°，CA=BA， 所以OC=OA+AC=OA+BA=6，在△OCD中，解得：OD=， 所以D（0，），设CD解析式y=kx+b， 代入C（6，0），D（0，），解得：． 【总结】解这类题目要能够把题中的条件转化为图形上表达出来，翻折、重合等关键词的理解都是做题的关键所在，数形结合的思想对解题很有帮助． 6.已知一次函数． （1）求证：无论取何实数，函数的图像恒过一点； （2）当在1≤≤2内变化时，在≤≤5内变化，求的值． 【难度】★★ 【答案】（1）略；（2）m=3． 【解析】（1）因为，直线恒过点（-2，1）， 即函数图像恒过定点（-2，1）； （2）当x=1时，y=3m-5，当x=2时，y=4m-7，所以当1≤x≤2时， 得：，解得：m=3． 【总结】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，解一元一次不等式组的应用，主要考查理解能力和计算能力． 7.已知一次函数中随的增大而增大，它的图像与两坐标轴构成的直角三角形的面积不超过，反比例函数的图像在第二、四象限．求满足以上条件的的整数值． 【难度】★★★ 【答案】1或2． 【解析】因为一次函数，y随x的增大而增大，所以．因为一次函数 与x轴，y轴交点分别是（12k，0）和（0，1），所以直线与坐标轴构成的三角形面积为，又， 所以k满足不等式组不等式组，解得：， 因为k为整数，所以k = 1或者k = 2． 【总结】本题主要考查一次函数的性质及与坐标轴的交点问题，注意此题中要求的是整数解． 8.A市、B市和C市分别有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给D市18台，E市10台．已知：从A市调运1台机器到D市、E市的运费分别为200元和800元；从B市调运1台机器到D市、E市的运费分别为300元和700元；从C市调运1台机器到D市、E市的运费分别为400元和500元．设从A市、B市各调台机器到D市，当28台机器调运完毕后，求总运费W（元）关于（台）的函数关系式，并求W的最大值和最小值． 【难度】★★★ 【答案】W=800x+17200，最大值13200元，最小值10000元． 【解析】由题意可列表 即从A向D、E分别运送x台、10-x台，从B向D、E分别运送x台、10-x台，从C向D、E分别运送18-2x台、2x-10台，其中每一次运送数量都要大于或者等于0，可知x的取值范围是，W=200x+300x+400（18-2x）+800（10-x）+700（10-x）+500（2x-10）=-800x+17200， W随x的增大而减小，所以W最大值为13200元，W最小值为10000元 【总结】本题考查用一次函数解决实际问题，注意利用一次函数求值时，关键是应用一次函数的性质，即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值． 9.中学预计用1500元购买甲商品个，乙商品个，不料甲商品单价上涨1.5元，乙商品单价上涨1元，尽管购买甲商品的个数比预定减少10个，总金额还是多了29元．又若甲、乙商品单价上涨1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么买甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元． （1）求、的关系式； （2）若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210， 求、的值． 【难度】★★★ 【答案】（1）； （2）x =76，y =55． 【解析】（1）设预计购买甲、乙商品的单价分别是a元和b元，可得： ，化简可得：； （2）依题意，有，解得：，由于y是整数， 所以y =55，从而x =76． 【总结】本题是方程组、函数和一元一次不等式的综合题，解决本题的关键是读懂题意，找到合适的关系式，当必需的量没有时，应设出未知数，解题过程中消去无关的量． 如图所示，在矩形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、C两点的坐标为（3，0）， （0，5） （1）请直接写出点B的坐标； （2）若过点C的直线CD交AB边于点D，且把矩形OABC的周长分为1:3的两部分，求直线CD的解析式． 【难度】★★★ 【答案】（1）B（3，5）； （2）． 【解析】由题知B（3，5）过点C的直线CD交AB边于点D， 且把矩形OABC的周长分为1：3两部分， OC =AB＞BD，OA=BC，则一定有：， 即，解得：BD=1，AD=4，即D（3，4），设直线CD的解析式为y=kx+b， 代入C（0，5）和D（3，4），解得直线解析式为：． 【总结】本题考查矩形的性质，比例的性质，以及待定系数法求函数解析式，根据比例的性质求得BD的长，即可求得D的坐标，利用待定系数法，可求函数解析式． 11.如图所示，直线L与轴、轴分别交于A（6，0）、B（0，3）两点，点C（4，0） 为轴上一点，点P在线段AB（包括端点A、B）上运动． （1）求直线L的解析式； （2）当点P的纵坐标为1时，按角的大小进行分类，请你确定△PAC是哪一类三角形，并说明理由； （3）是否存在这样的点P，使得△POC为直角三角形?若存在，求出点P的坐标；若不存在， 请说明理由． 【难度】★★★ 【答案】（1）；（2）直角三角形；（3）（0，3），（4，1），（2，2），P． 【解析】（1）设L解析式y=kx+b，代入A，B坐标， 可解得直线解析式为：； （2）当y=1时，x=4，P、C两点横坐标都是4，PC⊥x轴，所以△PAC是直角三角形； （3）设P（x，），则，，OC=4， 当O为直角顶点时，，解得：x=0，所以P（0，3）； 当C为直角顶点时，，解得：x=4，所以P（4，1）； 当P为直角顶点时，，解得：x=2或，所以P（2，2）或P 综上，P点存在，坐标是（0，3），（4，1），（2，2），P 【总结】求函数的解析式的常用方法是待定系数法，并且本题是存在性问题，是考试中常见题型，注意进行分类讨论． 12.如图，在平面直角坐标系中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是，，，，，．若直线经过点，且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，求直线的函数表达式． 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】延长BC交x轴于点F，联结OB，AF，联结CE，DF，且相交于点N， 点M（2，3）是矩形ABFO的中心，所以直线l把矩形ABFO分成面积相等的两部分， 又点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分于是直线MN即为所求的直线l， 设直线解析式为：y=kx+b，带入M、N两点坐标，解得直线解析式为：． 【总结】本题考查矩形性质，关键是掌握过矩形对角线交点的直线平分矩形的面积，同事也考查了待定系数法求直线的解析式． 13．（2019·上海松江区·八年级期中）已知一次函数的图像与轴、轴分别交于点B、A．以AB为边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，且∠ABC=90°，BA=BC，作OB的垂直平分线l,交直线AB与点E，交x轴于点G. （1）求点的坐标； （2）在OB的垂直平分线l上有一点M,且点M与点C位于直线AB的同侧，使得,求点M的坐标； （3）在（2）的条件下，联结CE、CM，判断△CEM的形状，并给予证明； 【答案】(1) C（6，2）;(2) M(1,7);(3)见解析. 【分析】（1）过点C作x轴的垂线，交x轴于点H，通过“角边角”易证≌，得到BH=AO=4,CH=OB=2，即可得到C点坐标； （2）根据题意可设点M（1，a），根据可得关于m的方程，然后求解方程即可； （3）由（2）可得CE=5,EM=5,CM=，根据勾股定理的逆定理即可得到是等腰直角三角形. 【详解】解：（1）过点C作x轴的垂线，交x轴于点H， ∵，∴A（0，4），B（2，0），∵BA=BC，∴≌（ASA）， ∴BH=AO=4,CH=OB=2，∴C（6，2） （2）如图，由题意可知点G（1，0），点E（1，2）， ∵AB=BC=2，∴，∵，∴， 而，设M（1，a）,则， 解的a=7,则M(1,7) ； （3）联结CM,CE， 由于点E(1,2),C(6,2),M(1,7)， 则CE=5,EM=5,CM=，可得：， CE=EM，∴是等腰直角三角形. 【点睛】本题主要考查一次函数与几何综合，综合性较强，属于中考常考题型，解此题的关键在于熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理等知识点. 14．（2019·上海外国语大学秀洲外国语学校八年级期中）某校八年级举行“生活中的数学”数学小论文比赛活动，购买A、B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是12元和8元，根据比赛设奖情况，需要购买两种笔记本共30本，若学校决定购买本次笔记本所需资金不能超过280元，设买A种笔记本x本． （1）根据题意完成以下表格（用含x的代数式表示） （2）那么最多能购买A笔记本多少本？ （3）若购买B笔记本的数量要小于A笔记本的数量的3倍，则购买这两种笔记本各多少本时，费用最少，最少的费用是多少元？ 【答案】（1）30-x， 8(30-x)； （2）12x+8(30-x)≤280，x≤10； （3）7.5＜ x≤10，x=8时，最少费用272元． 【详解】解：（1）由题意，得 （2）由题意，得 12x+8（30-x）≤280， 解得：x≤10． ∴最多能购买A笔记本10本； （3）设购买两种笔记本的总费用为W元，由题意，得 W=12x+8（30-x）=4x+240． 30-x＜3x， ∴x＞7.5． ∵k=4＞0， ∴W随x的增大而增大， ∴x=8时，W最小=272元． 15．（2018·上海全国·八年级期中）某地A、B两村盛产柑橘，A村有柑橘200吨，B村有柑橘300吨，现将这些柑橘运到C、D两个冷藏仓库．已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨，从A村运往C、D两处的费用分别为每吨20元、25元，从B村运往C、D两处的费用分别为每吨15元、18元．设从A村运往C仓库的柑橘重量为x吨，A、B两村运往两仓库的柑橘运输费用分别为yA元、yB元． (1)请填写下表，并求出yA、yB与x之间的函数表达式； (2)试讨论A、B两村中，哪个村的运费较少； (3)考虑到B村的经济承受能力，B村的柑橘运费不得超过4830元，在这种情况下，请问怎样调运才能使两村运费之和最小？求出这个最小值． 【答案】（1）(200－x)吨，(240－x)吨，(x＋60)吨；yA＝5000－5x(0≤x≤200)，yB＝3x＋4680(0≤x≤200)；（2）当x＝40时，两村的运费一样多；以当0≤x＜40时，B村的运费较少；当40＜x≤200时，A村的运费较少； （3）调运方案为A村运往C仓库50吨柑橘，运往D仓库150吨柑橘，B村运往C仓库190吨柑橘，运往D仓库110吨柑橘，两村的费用之和最小，最小值为9580元． 分析：（1）由A村共有柑橘200吨，从A村运往C仓库x吨，剩下的运往D仓库，故运往D仓库为（200﹣x）吨，由A村已经运往C仓库x吨，C仓库可储存240吨，故B村应往C仓库运（240﹣x）吨，剩下的运往D仓库，剩下的为300﹣（240﹣x），化简后即可得到B村运往D仓库的吨数，填表即可； （2）由从A村运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元；从B村运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元，由表格中的代数式求得总费用即可； （3）由B村的柑橘运费不得超过4830元，得到不等式，求出x的取值范围．再求出两村运费之和w，由一次函数的性质即可得出结论． 详解：(1)从左往右，从上往下依次填：(200－x)吨，(240－x)吨，(x＋60)吨． yA＝20x＋25(200－x)＝5000－5x(0≤x≤200)， yB＝15(240－x)＋18(x＋60)＝3x＋4680(0≤x≤200)． (2)当yA＝yB，即5000－5x＝3x＋4680时， 解得：x＝40，所以当x＝40时，两村的运费一样多； 当yA＞yB，即5000－5x＞3x＋4680时， 解得：x＜40，所以当0≤x＜40时，B村的运费较少； 当yA＜yB，即5000－5x＜3x＋4680时，解得：x＞40， 所以当40＜x≤200时，A村的运费较少． (3)由B村的柑橘运费不得超过4830元，得3x＋4680≤4830，解得：x≤50． 两村运费之和w＝yA＋yB＝5000－5x＋3x＋4680＝9680－2x．∵－2＜0， ∴w随x的增大而减小，∴当x＝50时，两村的运费之和最小， ∴调运方案为A村运往C仓库50吨柑橘，运往D仓库150吨柑橘，B村运往C仓库190吨柑橘，运往D仓库110吨柑橘，两村的费用之和最小，最小值为9680－2×50＝9580(元)． 点睛：本题考查了列代数式，以及代数式求值，利用题目蕴含的基本数量关系解决问题． 16．（2018·上海黄浦区·八年级期中）已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E． （1）求点B的坐标； （2）求直线AE的表达式； （3）过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积． （4）若将已知条件“AE平分∠BAO，交x轴于点E”改变为“点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F．设OE=x，BF=y，试求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域． 【答案】（1）B（8，0）；（2）y=﹣2x+6；（3）△OFB为等腰三角形，S△OBF=8； （4）y=（0＜x＜8）． 【分析】（1）如图1中，设OE=x，作EM⊥AB于M．首先证明△AEO≌△AEM，推出AM=AO=6，由OA=6，OB=8，∠AOB=90°，推出AB=10，推出BM=4，在Rt△EBM中，根据EM2+BM2=EB2，可得x2+42=（8-x）2，解方程即可． （2）根据S△AEB=，即可解决问题． （3）利用面积即可解决，方法类似（2）． 【详解】解: （1）如图1中， ∵一次函数y=-x+6的图象与坐标轴交于A、B点， ∴A（0，6），B（8，0），设OE=x，作EM⊥AB于M． ∵AE平分∠OAB，OE⊥OA，∴OE=EM=x， 在△AEO和△AEM中，，∴△AEO≌△AEM，∴AM=AO=6， ∵OA=6，OB=8，∠AOB=90°，∴AB=10，∴BM=4， 在Rt△EBM中，∵EM2+BM2=EB2，∴x2+42=（8-x）2，∴x=3，∴E（3，0）， 设直线AE的解析式为y=kx+b则，解得， ∴直线AE的解析式为y=-2x+6． （2）由（1）可知OE=3，AE=，EB=5， ∵S△AEB=•EB•OA=•AE•BF，∴BF=． （3）如图2中， 在Rt△AOE中，，∴AE=， ∵S△AEB=•EB•OA=•AE•BF，∴BF=，∴y=（0＜x＜8）． 【点睛】本题考查一次函数综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积．勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用面积法求高. 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