专题03 两角和与差的三角函数（知识串讲+热考题型+专题训练）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末常考考点精讲精练（苏教版必修第二册）

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（一）两角和与差的余弦
C(α－β)：cs(α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ；
C(α＋β)：cs(α＋β)＝csαcsβ－sinαsinβ；
【点拨】
①简记为：“同名相乘，符号反”．
②公式本身的变用，如
cs(α－β)－csαcsβ＝sinαsinβ．
= 3 \* GB3 ③公式中的α，β不仅可以是任意具体的角.角的变用，也称为角的变换，如csα＝cs[(α＋β)－β]，cs2β＝cs[(α＋β)－(α－β)]．
（二）两角和与差的正弦
S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcsβ＋csαsinβ；
S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcsβ－csαsinβ；
【点拨】
①简记为：“异名相乘，符号同”．
②公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，还可以是任意形式的“整体”.
（三）两角和与差的正切
T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)；
T(α－β)：tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β).
【点拨】
公式Tα±β只有在α≠＋kπ，β≠＋kπ，α±β≠＋kπ(k∈Z)时才成立，否则就不成立.
②当tanα或tanβ或tan(α±β)的值不存在时，不能使用Tα±β处理有关问题，但可改用诱导公式或其他方法．
= 3 \* GB3 ③变形公式：
tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，
tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)，
如tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β)，
tan(α＋β)－tanα－tanβ＝tanαtanβtan(α＋β)，
1－tanαtanβ＝．
1＋tanαtanβ＝．
（四）辅助角公式
函数f(α)＝acs α＋bsin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cs(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．
.
题型一 公式的正用
【典例1】【多选题】（2022春·江苏徐州·高一统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，角、的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于、两点，若点、的坐标分别为和，则以下结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】利用三角函数的定义可判断AB选项，利用两角和与差的余弦公式可判断CD选项.
【详解】由三角函数定义可得，，，，A对B错；
，
，C错D对.
故选：AD.
【典例2】（2023·江苏·高一专题练习）已知，是方程的两根，且，，则的值为______．
【答案】
【分析】结合根与系数关系、两角和的正切公式求得正确答案.
【详解】由于，是方程的两根，
所以，
所以.
故答案为：
【典例3】（2023·江苏·高一专题练习）已知是第四象限角．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2)，
【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系列方程组求解即可；
（2）由两角和的余弦、正切公式化简求解即可.
【详解】（1）因为，是第四象限角，
所以解得，
所以.
（2）；
.
【规律方法】
正用公式问题，一般属于“给角求值”、“给值求值” 问题，应该通过应用公式，转化成“特殊角”的三角函数值计算问题．给角求值问题的策略：一般先要用诱导公式把角化整化小，化“切”为“弦”，统一函数名称，然后观察角的关系以及式子的结构特点，选择合适的公式进行求值．
题型二 公式的变用、逆用
【典例4】（2022春·江苏泰州·高一江苏省姜堰第二中学校联考阶段练习）已知，，，那么M，N，P之间的大小顺序是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】逆用两角和与差的正弦、余弦、正切公式化简函数式，利用诱导公式化为同名函数，借助正弦函数的性质结合中间值比较大小可得．
【详解】，
，
，
而，
所以．
故选：C
【典例5】【多选题】（2023秋·山西太原·高一统考期末）计算下列各式，结果为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】运用辅助角公式、诱导公式、和差角公式的逆用、特殊角的三角函数值、三角恒等变换中“1”的代换化简即可.
【详解】对于选项A，由辅助角公式得.故选项A正确；
对于选项B，，故选项B错误；
对于选项C，，故选项C错误；
对于选项D，，故选项D正确.
故选：AD.
【典例6】求下列各式的值：
(1)eq \f(1－tan75°,1＋tan75°)；
(2)(1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan44°)；
(3)tan25°＋tan35°＋eq \r(3)tan25°tan35°．
【答案】（1）；（2）222；（3）.
【解析】尝试使用两角和与差的正切公式及其变形式对原式进行变形求值．
详解：(1)原式＝eq \f(tan45°－tan75°,1＋tan45°tan75°)＝tan(45°－75°)＝．
(2)因为(1＋tan1°)(1＋tan44°)＝1＋tan1°＋tan44°＋tan1°×tan44°＝2，同理(1＋tan2°)(1＋tan43°)＝2，…，
所以原式＝222．
(3)∵tan60°＝tan(25°＋35°)＝eq \f(tan25°＋tan35°,1－tan25°tan35°)＝，
∴tan25°＋tan35°＝eq \r(3)(1－tan25°tan35°)
∴tan25°＋tan35°＋tan25°tan35°＝．
【规律方法】
1.“1”的代换：在Tα±β中如果分子中出现“1”常利用1＝tan45°来代换，以达到化简求值的目的．
2．若α＋β＝＋kπ，k∈Z，则有(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2．
3．若化简的式子里出现了“tanα±tanβ”及“tanαtanβ”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．
题型三 给值求值
【典例7】（2023·江苏·高一专题练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对题干条件平方后相加，结合余弦的差角公式得到答案.
【详解】因为，所以（1），
因为，所以（2），
（1）+（2）得，
∴.
故选：A．
【典例8】（2022春·江苏徐州·高一校考阶段练习）已知函数在时取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】化简函数，利用正弦函数的性质可得到，然后用两角和的余弦公式即可求解
【详解】因为在时取得最大值，
所以，即，
所以
故选：C
【典例9】（2021春·江苏南京·高一校考阶段练习）已知，，，，求：
(1)的值；
(2)的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由已知条件判断的范围，再利用同角三角函数的关系求出，则由利用两角差的余弦公式可求得，
（2）由同角三角函数的关系求出，从而可求得的值，再利用正切的二倍角公式可求得的值.
【详解】（1）因为，，
所以，，
所以，
，
所以
.
（2）因为，，
所以，
所以，
所以.
【规律方法】
给值求值问题的解题策略．
(1)从角的关系中找解题思路：
已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．
(2)常见角的变换．
①α＝(α－β)＋β；②α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)；
③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．
题型四 给值求角
【典例10】（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】结合式子中角的特点以及范围，分别求，
，再根据正切值缩小的范围，从而得到的范围，即可得到角的大小.
【详解】因为 ，
，
而，，所以，，，，所以．
故选：D．
【典例11】（2021春·江苏苏州·高一统考期末）若，求的值．
【答案】
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而利用两角差的余弦函数公式可求的值，结合，即可得解．
【详解】，，
，
，
，
或1，即或1，
，，
，．
故答案为：．
【规律方法】
解题的一般步骤是：(1)先确定角α的范围，且使这个范围尽量小（极易由于角的范围过大致误）；(2)根据(1)所得范围来确定求tanα、sinα、csα中哪一个的值，尽量使所选函数在(1)得到的范围内是单调函数；(3)求α的一个三角函数值；(4)写出α的大小．
题型五 三角函数式化简问题
【典例12】（2022春·江苏镇江·高一统考期末）计算：（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据两角差的正弦公式化简求解即可.
【详解】，
故选：C
【典例13】（2022春·江苏泰州·高一校考阶段练习）已知，且，则___________.
【答案】
【分析】先由结合题目中关系求得，同时除以即可求解.
【详解】，
，
则，
即，又，
则，则，
即，则.
故答案为：.
【规律方法】
1.三角公式化简求值的策略
(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．
(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
2.注意三角函数公式逆用、变形用及“变角、变名、变号”的“三变”问题
(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．
(2)注意特殊角的应用，当式子中出现eq \f(1,2)，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．
题型六 三角恒等式证明问题
【典例14】（2023春·上海浦东新·高一校考阶段练习）求证：
(1)；
(2)在非直角三角形ABC中，
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】(1)先把等式左边切化弦，再借助立方和公式分解化简从而得证；
(2) 借助得到，再利用和角正切公式展开整理即可得证.
【详解】（1）左边
=右边
故.
（2）
又
故.
【典例15】（2023·高一课时练习）求证：
(1)当时，；
(2)当时，．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据正切两角和公式求解即可.
（2）根据正切两角和公式求解即可.
【详解】（1）因为
所以
.
即证：.
（2）因为
所以
.
即证：.
【总结提升】
三角恒等式的证明方法
(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．
(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．
(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立．
提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号．
一、单选题
1．（2023秋·江苏连云港·高一江苏省海头高级中学校考期末）（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接利用两角和的余弦公式即可得解.
【详解】解：.
故选：A.
2．（2023·江苏·高一专题练习）化简（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用两角和与差的正切公式化简即可.
【详解】解：
.
故选：C.
3．（2022春·江苏淮安·高一校考阶段练习）已知向量，，且，则的值是（ ）
A．1B．C．3D．
【答案】B
【分析】由向量垂直的坐标表示求，再由两角差正切公式求.
【详解】因为，，，
所以，
所以，
所以，
故选：B.
4．（2023·江苏·高一专题练习）若，则的值为（ ）．
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】根据正切的差角公式得，根据正余切的关系即可求解.
【详解】由得，
所以，
故选：C
5．（2023·江苏·高一专题练习）在中，若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】用余弦和角公式展开，代入即可.
【详解】因为在中，，，则，.
故选：D
6．（2023·江苏·高一专题练习）若且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据，求出，再利用正弦和角公式计算出答案.
【详解】，故，
因为，所以，
所以.
故选：A
7．（2022春·江苏苏州·高一统考期中）已知，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据同角平方和关系可求，，然后根据正弦的和角公式即可求解.
【详解】由，可得：，所以，
故选：C
8．（2022春·江苏扬州·高一期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，将角的终边绕点顺时针旋转后，经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据角的概念以及三角函数的定义，可得和，再根据以及两角和的正弦公式计算可得答案.
【详解】∵角的终边按顺时针方向旋转后得到的角为，
∴由三角函数的定义，可得：，，
∴，
故选：B.
二、多选题
9．（2022春·江苏泰州·高一校考阶段练习）对任意的锐角，下列不等关系恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】对于A，C选项，利用三角恒等变换的公式化简即可得到恒成立的不等式，对于B，D选项，利用特殊值排除即可.
【详解】对于A，若，则，
整理可得：，
对任意的锐角，恒成立，故A正确；
对于B，，
当，，，，故B不正确；
对于C，若，则，
整理可得：，
对任意的锐角，恒成立，故C正确；
对于D，，
当，，，，故D不正确.
故选：AC
10．（2023秋·江苏连云港·高一江苏省海头高级中学校考期末）下列计算中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】结合诱导公式及正余弦的和差角公式分别进行化简，即可求解；
【详解】解：对于A，
，故A正确；
对于B，
，故B错误；
对于C，
，故C正确；
对于D，
，故D正确.
故选：ACD
三、填空题
11．（2023·江苏·高一专题练习）化简：______．
【答案】
【分析】利用两角和的正切公式，化简可得.
【详解】
故答案为：
12．（2023秋·陕西西安·高一西安市第六中学校考期末）已知，满足，，，，则______．
【答案】
【分析】根据题意得到的值，然后由正弦的和差角公式，代入计算即可得到结果.
【详解】因为，则，
因为，则，
所以，
，
则
故答案为:
四、解答题
13．（2023春·湖北黄冈·高一校考阶段练习）求的值．
【答案】
【分析】根据题意，由正余弦以及正切的和差角公式，化简计算，即可得到结果.
【详解】解：原式

．
14．（2022春·江苏泰州·高一统考期末）已知向量，，且．
(1)求的值；
(2)若，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知可得出，结合两角和的余弦公式化简可得结果；
（2）求出的值，利用两角和的正切公式可求得的值，求出的取值范围，即可得解.
(1)
解：，则
，
因此，.
(2)
解：因为且，所以，，
因为，则，，
因为，故，
所以，，所以，，
所以，，
因此，.
15．（2023春·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考阶段练习）观察下列各等式：
，
，
．
(1)尝试再写出一个相同规律的式子；
(2)写出能反映以上式子一般规律的恒等式，并对你写出的恒等式进行证明．
【答案】(1)
(2)若，则；证明见解析
【分析】（1）根据已知的3个例子即可发现规律求解，
（2）根据已知式子发现规律，利用弦切互化以及正切的和角关系公式即可求解.
【详解】（1）．
（2）若，则．
证明：．
又因为，
所以，
化简得．
16．（2023春·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考开学考试）已知.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用同角三角函数之间的基本关系式求得，再利用两角和的余弦公式即可求出结果；（2）根据平方关系可求得再进行角的转化即，之后利用两角差的余弦公式进行求解可得出.
【详解】（1）由，可得；
所以；
即
（2）由可得，
又，所以
由可得.
即的值为