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专题12 统计综合（知识串讲+热考题型+专题训练）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末考点大串讲（人教A版2019必修第二册）
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这是一份专题12 统计综合（知识串讲+热考题型+专题训练）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末考点大串讲（人教A版2019必修第二册），文件包含专题12统计综合原卷版docx、专题12统计综合解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共62页， 欢迎下载使用。
知识点1 简单随机抽样
1、放回与不放回简单随机抽样
（1）放回简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取n（1≤n（2）不放回简单随机抽样：如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.
2、简单随机抽样的特点：
（1）总体个数有限：简单随机抽样要求被抽取样本的总体个数有限，这样便于通过样本对总体进行分析；
（2）逐个抽取：简单随机抽验是从总体中种逐个进行抽取，这样便于实际操作；
（3）不放回抽样：简单随机抽样是一种不放回抽样，这样便于样本的获取和一些相关的计算。
（4）等可能抽样：不仅每次从总体中抽取一个个体时各个个体被抽到的可能性相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽到的可能性也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性。
3、抽签法
（1）定义：把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个样本容量为n的样本。
（2）抽签法的操作步骤：
第一步，编号：将N个个体编号（号码可以从1到N，也可以使用已有的号码）
第二步，写签：将N个号码写到大小、形状相同的号签上.
第三步，抽签：将号签搅拌均匀，每次从中抽取一个号签，连续不放回地抽取n次，并记录其编号.
第四部，定样：从总体中找出与号签上的号码对应的个体，组成样本.
（3）抽签法的注意事项：
= 1 \* GB3 ①对个体编号时，也可以利用已有的编号.
= 2 \* GB3 ②制作号签时，所使用的工具（如纸条、小球等）的形状、大小要一样，以确保每个号签被抽到的可能性相等.
= 3 \* GB3 ③抽取样本前总体要“均匀搅拌”，目的是让每个号签被抽到的机会相等.
（4）优点与缺点
优点：简单易形，当总体的个体数不多时，使总体处于“搅拌”均匀的状态比较容易，
此时，每个个体都有均等的机会被抽中，从而能够保证样本的代表性；
缺点：仅适用于个体数较少的总体，当总体的容量较大时，费时费力又不方便，
况且，如果号签搅拌的不均匀，可能导致抽样不公平。
4、随机数法
（1）定义：简单随机抽样中，另一个经常被采用的方法是随机数表法，即利用随机试验或信息技术（即计算器、电子表格软件和R统计软件）生成的随机数进行抽样.
（2）随机数表法步骤：
= 1 \* GB3 ①把总体中的每个个体编号。
= 2 \* GB3 ②用随机数工具产生编号范围内的整数随机数.
= 3 \* GB3 ③把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样本。重复上述过程，知道抽足样本所需要的数量.
5、总体均值与样本均值
（1）总体均值
一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称Y=Y1+Y2+…+YNN=1Ni=1NYi为总体均值，又称总体平均数
如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数fi(i=1,2,…,k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式Y=1Ni=1kfiYi.
（2）样本均值
如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称y=y1+y2+…+ynn=1ni=1nyi为样本均值，又称样本平均数。在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数。
知识点2 分层随机抽样
1、分层随机抽样的定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．
2、比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．
3、分层随机抽样的步骤
（1）分层：按某种特征将总体分成若干部分（层）；
（2）计算抽样比：抽样比k=样本容量总体容量；
（3）定数：按抽样比确定每层抽取的个体数；
（4）抽样：每层分贝按简单随机抽样的方法抽取样本
（5）成样：综合各层抽样，组成样本。
4、分层随机抽样的相关计算关系：
（1）eq \f(样本容量n,总体的个数N)＝eq \f(该层抽取的个体数,该层的个体数)；
（2）总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．
（3）样本的平均数和各层的样本平均数的关系为：eq \x\t(ω)＝eq \f(m,m＋n)＋eq \f(n,m＋n)＝eq \f(M,M＋N)＋eq \f(N,M＋N).
知识点3 用样本估计总体
1、频率分布直方图
（1）列出样本数据的频率分布表和频率分布直方图的步骤：
①计算极差：找出数据的最大值与最小值，计算它们的差；
②决定组距与组数：当样本容量不超过100时，按照数据的多少分成5~12组，且；
③将数据分组：通常对组内数值所在区间区左闭右开区间，最后一组取闭区间；也可以将样本数据多取一位小数分组．
④列频率分布表：对落入各小组的数据累计，算出各小数的频数，除以样本容量，得到各小组的频率．
⑤绘制频率分布直方图：以数据的值为横坐标，以的值为纵坐标绘制直方图。
（2）频率分布直方图的特点：
①，
②个小长方形的面积等于1，
③．
（3）频率分布折线图：将频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图，
一般把折线图画成与横轴相连，所以横轴左右两端点没有实际意义．
（4）总体密度曲线：样本容量不断增大时，所分组数不断增加，分组的组距不断缩小，
频率分布直方图可以用一条光滑曲线来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线．
总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律．
2、总体百分位数的估计
（1）第p百分位数的定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
（2）计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
第1步，按从小到大排列原始数据．
第2步，计算i＝n×p%.
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；
若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
3、总体集中趋势的估计
（1）众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据；
（2）中位数：将样本数据按大小顺序排列，若数据的个数为奇数，则最中间的数据为中位数，
若样本数据个数为偶数，则取中间两个数据的平均数作为中位数。
（3）平均数：设样本的数据为,则样本的算术平均数为；
（4）平均数相关结论：
= 1 \* GB3 ①如果两组数和的平均数分别是和，
则一组数的平均数是；
= 2 \* GB3 ②如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为。
= 3 \* GB3 ③如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为
= 4 \* GB3 ④根据频率分布直方图求平均数、中位数和众数
平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替．
中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等．
众数：众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据．
4、总体离散程度的估计
用样本的标准差估计总体的标准差
（1）数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述；
（2）极差（又叫全距）是一组数据的最大值和最小值之差，反映一组数据的变动幅度；
（3）样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小；
一般地，设样本的数据为，样本的平均数为，
定义样本方差为；
简化公式：=
（方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方）
（4）样本的标准差是方差的算术平方根．
样本标准差．
标准差越大数据离散程度越大，数据家分散；标准差越小，数据集中在平均数周围．
（5）方差相关结论：
①如果一组数的方差为，则一组数的方差为；
②如果一组数的方差为，则一组数的方差为。
考点1 简单随机抽样的判断
【例1】（2023春·高一课时练习）（多选）关于简单随机抽样，下列说法正确的是（ ）
A．它要求被抽取样本的总体的个数有限
B．它是从总体中逐个地进行抽取
C．它是一种不放回抽样
D．它是一种等可能性抽样
【答案】ABCD
【解析】①简单随机抽样中被抽取样本的总体的个数有限，正确;
②简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取,正确; .
③简单随机抽样是一种不放回抽样，正确;
④简单随机抽样是-种等可能抽样，即每个个体被抽取的可能性相等，正确；
故答案为：ABCD.
【变式1-1】（2022春·高一课时练习）下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ）
A．将10个大小相同、质量不相等的小球放入黑筒中搅拌均匀后，逐个地抽取5个小球
B．从50个零件中有放回地抽取5个做质量检验
C．从实数中逐个抽取10个做奇偶性分析
D．某运动员从8个跑道中随机选取一个跑道
【答案】D
【解析】由于小球质量不等，导致每个小球被抽到的机会不等，
所以选项A不属于简单随机抽样；
选项B错在“有放回”抽取；
选项C错在总体容量无限.故答案为：D.
【变式1-2】（2023·全国·高一专题练习）下列抽取样本的方式是简单随机抽样的有（ ）
A．某连队从200名官兵中，挑选出50名最优秀的官兵赶赴某地参加救灾工作；
B．箱子中有100支铅笔，从中选10支进行试验，在抽样操作时，从中任意拿出一支检测后再放回箱子；
C．从50个个体中一次性抽取8个个体作为样本；
D．从2000个灯泡中不放回地逐个抽取20个进行质量检查．
【答案】BD
【解析】对A：由于挑选出50名最优秀的官兵，不具备随机性，
故不是简单随机抽样，A错误；
对B：简单随机抽样分为放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，
从中任意拿出一支铅笔检测后再放回箱子，是有放回的抽样，
属于放回简单随机抽样，B正确；
对C：简单随机抽样要求是逐个抽取，而选项中从50个个体中一次性
抽取8个个体作为样本，不是逐个抽取，所以不是简单随机抽样，C错误；
对D：从2000个灯泡中不放回地逐个抽取20个进行质量检查，
是简单随机抽样，D正确.故选：BD.
【变式1-3】（2022·高一课时练习）(多选)下面抽样方法不属于简单随机抽样的是( )
A．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本
B．某饮料公司从仓库中的1 000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查
C．某连队从200名战士中，挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动
D．从10台手机中逐个不放回地随机抽取2台进行质量检验(假设10台手机已编号，对编号进行随机抽取.
【答案】AC
【解析】选项A中，平面直角坐标系中有无数个点，
这与要求总体中的个体数有限不相符，故错误；
选项B中，一次性抽取与逐次不放回抽取等价，所以符合简单随机抽样，故正确；
选项C中，50名战士是最优秀的，不符合简单随机抽样的等可能性，故错误；
选项D符合简单随机抽样的要求．故选：AC．
考点2 简单随机抽样的概率
【例2】（2022春·江苏盐城·高三江苏省响水中学校考阶段练习）为了解高三学生对“社会主义核心价值观”的学习情况，现从全年级人中抽取人参加测试.首先由简单随机抽样剔除名学生，学生甲在这名学生之中，然后剩余的名学生再用分层抽样的方法抽取，把名学生随机分成组，每组人，学生乙被分在第四组，则（ ）
A．甲入选的概率为且乙入选的概率为
B．甲与乙入选的概率不相等且乙入选的概率小于甲入选的概率
C．这名学生入选的概率都相等，且为
D．这名学生入选的概率都相等，且为
【答案】C
【解析】由于随机抽样对于每个人都是公平的，
因此，这名学生入选的概率都相等，且为.
ABD选项均错，C对.故选：C.
【变式2-1】（2022春·全国·高一课时练习）对一个容量为的总体抽取容量为的样本，选取简单随机抽样和分层随机抽样两种不同方法抽取样本，在简单随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率为，某个体第一次被抽中的概率为；在分层随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率分别为则（ ）
A． B． C． D．，没有关系
【答案】B
【解析】根据抽样调查的原理可得简单随机抽样，
分层抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即.故选：B.
【变式2-2】（2022·全国·高一课时练习）某校高一年级从815名学生中选取30名学生参加庆祝建党98周年的大合唱节目，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从 815 人中剔除5人，剩下的810人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（ ）
A．不全相等 B．均不相等 C．都相等，且为 D．都相等，且为
【答案】C
【解析】抽样要保证机会均等，故从名学生中抽取名，概率为，故选C.
【变式2-3】用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中, 抽取一个容量为3的样本, 其中个体甲被第三次抽到的可能性为( ).
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在抽样过程中，个体甲每一次被抽中的概率是相等的，
由于总体容量为10，所以“个体甲被第三次抽到的可能性为”．故选：D．
考点3 抽签法与随机数表法
【例3】（2022秋·高一课时练习）某学校数学组要从11名数学老师中推选3名老师参加市里举办的教学能手比赛，制作了11个形状、大小相同的签，抽签中确保公平性的关键是（ ）
A．制签 B．搅拌均匀 C．逐一抽取 D．抽取后不放回
【答案】B
【解析】确保公平性要保证每个签抽到是等概率的，
因此抽签法要做到搅拌均匀，才具有公平性．故选：B
【变式3-1】（2023·全国·高一专题练习）下列抽样试验中，适合用抽签法的是（ ）
A．从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验
【答案】B
【解析】因为A，D中总体的个体数较大，不适合用抽签法；
C中甲、乙两厂生产的产品质量可能差别较大，
因此未达到搅拌均匀的条件，也不适合用抽签法；
B中总体容量和样本容量都较小，且同厂生产的产品可视为搅拌均匀了.故选：B
【变式3-2】（2023·全国·高一专题练习）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（ ）
7816 6572 0802 6314 0702 4369 1128 0598
A．07 B．02 C．11 D．05
【答案】D
【解析】由题意可知，选出的6个个体的编号分别为：08,02,14,07,11,05，故选:D.
【变式3-3】（2022秋·河南南阳·高一校考阶段练习）现从700瓶水中抽取5瓶进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将700瓶水编号，可以编为000，001，002，…，699，在随机数表中任选一个数，例如选出第8行第6列的数3.（下面摘取了附表1的第8行与第9行）
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
规定从选定的数3开始向右读，得到的第5个样本的编号为（ ）
A．719 B．556 C．512 D．050
【答案】D
【解析】从3开始向右读，第一个符合条件的数为378，第二个数为591，第三个数为695，第四个数为556，第五个数为719，大于699，不符合，
第六个数为981，大于699，不符合，
第七个数为050，符合，所以第5个样本为050.故选：D.
考点4 分层随机抽样的判断
【例4】（2023·全国·高一专题练习）分层抽样使用的范围是（ ）
A．总体中个数较少 B．总体中个数较多
C．总体由个体差异明显的几部分组成 D．以上都可以
【答案】C
【解析】根据分层抽样的概念知，总体由个体差异明显的几部分构成，
可考虑分层抽样，故选：C
【变式4-1】（2022春·全国·高一课时练习）某地区的高一新生中，来自东部平原地区的学生有2400人，中部丘陵地区的学生有1600人，西部山区的学生有1000人．计划从中选取100人调查学生的视力情况，现已了解到来自东部、中部、西部三个地区学生的视力情况有较大差异，而这三个地区男、女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）
A．抽签法 B．按性别分层抽样 C．随机数法 D．按地区分层抽样
【答案】D
【解析】由于来自东部、中部、西部三个地区学生的视力情况有较大差异，
故最合理的抽样方法是按地区分层抽样．故选：D
【变式4-2】（2022·全国·高一专题练习）某地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大，为了解该地区中小学生的视力情况，最合理的抽样方法是（ ）
A．简单随机抽样 B．按性别分层随机抽样
C．按学段分层随机抽样 D．其他抽样方法
【答案】C
【解析】因为某地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，
男、女生视力情况差异不大，然而学段的视力情况有较大差异，
则应按学段分层抽样，故选：.
【变式4-3】（2022春·全国·高一课时练习）下列抽样调查中，最适合用分层抽样法抽样的是（ ）
A．某兴趣小组10人决定去郊游，选择1人去购买所需物品
B．从100名学生中抽取20人调查其身体发育情况
C．某校有2000名学生，其中高一年级700人，高二年级600人，高三年级700人，现从中抽取20人了解其在校学习压力的情况
D．从某生产线的30名工人中选出5人调查其工作强度情况
【答案】C
【解析】对于A，10人没有明显差异，且只选1人，所以不需要分层抽样；
对于B，100名学生没有明显差异，所以不适用分层抽样；
对于C，三个年级的学生个体差异比较明显，所以适用分层抽样；
对于D，30名工人没有明显差异，所以不适用分层抽样，故选：C
考点5 分层随机抽样的计算
【例5】（2022秋·河南南阳·高一校联考阶段练习）某中学有高中生1800人，初中生1200人，为了解学生课外锻炼情况，用分层抽样的方法从学生中抽取一个容量为的样本.已知从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24，则（ ）
A．48 B．72 C．60 D．120
【答案】D
【解析】由题意可知：分层抽样按照的比例进行抽取，
则高中生抽取的人数为：；
初中生抽取的人数为：；
因为从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24，
则，解得：，故选：.
【变式5-1】（2022秋·河南·高一武陟县第一中学校联考阶段练习）宏伟公司有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该公司职工的健康状况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的中年职工为5人，则样本容量为（ ）
A．7 B．15 C．25 D．35
【答案】B
【解析】因为使用分层抽样，
所以样本容量为.故选：B.
【变式5-2】（2022春·福建泉州·高一校考阶段练习）某大学为了了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为，则应从一年级本科生中抽取学生的人数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为，
应从一年级本科生中抽取学生人数为：．故选：C.
【变式5-3】（2023春·黑龙江牡丹江·高一校考阶段练习）电影《长津湖之水门桥》于2022年2月1日上映．某新闻机构想了解市民对《长津湖之水门桥》的评价，决定从某市3个区按人口数用分层随机抽样的方法抽取一个样本．若3个区人口数之比为2：3：5，且人口最多的一个区抽出了100人，则这个样本的容量为（ ）.
A．100 B．160 C．200 D．240
【答案】C
【解析】由3个区人口数之比为2：3：5，
得第三个区所抽取的人数最多，所占比例为50%．
又因为此区抽取了100人，所以3个区所抽取的总人数为100÷50%=200，
即这个样本的容量为200．故选： C．
考点6 总体百分位数的计算
【例6】（2022春·湖北襄阳·高一襄阳四中校考阶段练习）给出下列数据：2.1，3.0，3.2，3.8，3.4，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6．则这组数据的第25百分位数是 （ ）
A．3.2 B．3.0 C．4.4 D．2.5
【答案】A
【解析】由题意，一组数据2.1，3.0，3.2，3.8，3.4，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6，
从小到大为：2.1，3.0，3.2，3.4， 3.8，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6，
因为，所以该组数据的25百分位数是.故选：A.
【变式6-1】（2022春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习）名跳高运动员参加一项校际比赛，成绩分别为、、、、、、、、、、、、、、、（单位：），则比赛成绩的分位数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将成绩由小到大进行排列：、、、、、、
、、、、、、、、、，
，故比赛成绩的分位数是.故选：C.
【变式6-2】（2022秋·河南·高一武陟县第一中学校联考阶段练习）已知按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：；乙组：，若这两组数据的第30百分位数､第50百分位数都分别对应相等，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
甲组：第30百分位数为，第50百分位数为，
乙组：第30百分位数为，第50百分位数为，
由已知得：，，解得，所以故选：A
【变式6-3】（2022春·安徽合肥·高一校考阶段练习）棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标．在一批棉花中随机抽测了60根棉花的纤维长度（单位：mm），按从小到大排序结果如下：
由此，你估计这批棉花的第95百分位数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，
∴第百分位数为第57、58项数据的平均值，
第百分位数为．故选：.
考点7 平均数、中位数、众数的计算
【例7】（2023春·甘肃金昌·高一永昌县第一高级中学校考阶段练习）一个样本的数据在60左右波动，各个数据都减去60后得到一组新数据，算得其平均数是6，则这个样本的平均数是（ ）
A．6.6 B．6 C．66 D．60
【答案】C
【解析】设原来的一组数据是，
则每一个数据都减去得到新数据且求得新数据的平均数是，
所以，即，
所以，故样本的平均数是.故选：C
【变式7-1】（2022春·山西朔州·高一校考阶段练习）一个公司有8名员工，其中6位员工的月工资分别为6200、6300、6500、7100、7500、7600，另两位员工的月工资数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（ ）
A．6800 B．7000 C．7200 D．7400
【答案】D
【解析】∵一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为
6200，6300，6500，7100，7500，7600，
∴当另外两名员工的工资都小于6300时,中位数为(6300+6500)÷2=6400，
当另外两名员工的工资都大于7500时,中位数为(7100+7500)÷2=7300，
∴8位员工月工资的中位数的取值区间为[6400,7300]，
∴8位员工月工资的中位数不可能是7400.故选：D.
【变式7-2】（2022春·湖南永州·高一统考期末）已知一组数据为30，40，50，50，55，60，70，80，90，则其极差、第50百分位数和众数的大小关系是（ ）
A．极差第50百分位数众数 B．众数第50百分位数极差
C．极差众数第50百分位数 D．极差第50百分位数众数
【答案】A
【解析】极差为，
因为%，所以第5个数55即为第50百分位数，
又众数为50，
所以它们大小关系是极差第50百分位数众数.故选:A.
【变式7-3】（2023春·江西南昌·高一南昌市外国语学校校考阶段练习）某学校高一年级有300名男生，200名女生，通过分层随机抽样的方法调查数学考试成绩，抽取总样本量为50，男生平均成绩为120分，女生平均成绩为110分，那么可以推测高一年级学生的数学平均成绩约为（ ）
A．110分 B．115分 C．116分 D．120分
【答案】C
【解析】由题意，应抽取男生（人），
应抽取女生（人），
所以推测高一年级学生的数学平均成绩约为（分）．故选：C
考点8 方差、标准差的计算
【例8】（2022春·河北承德·高一校联考阶段练习）已知一组数据，，，1，1，3，4，6，6，7的平均数为3，则这组数据方差的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】由题意得，得，
所以这组数据的方差
，
所以这组数据方差的最小值为7.故选：C.
【变式8-1】（2022春·山东·高一济南市章丘区第四中学校联考阶段练习）已知一组数据：的平均数是10，方差是4，则，，，，，的方差是（ ）
A．16 B．14 C．12 D．11
【答案】A
【解析】由题意，数据，，，，，的平均数为
，
所以方差为
.故选：A.
【变式8-2】（2022春·山东青岛·高一山东省莱西市第一中学校考阶段练习）已知某5个数据的平均数为5，方差为3，现加入4、6两个数，此时这7个数据的平均数为，方差为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得： ， .故选：B
【变式8-3】（2023春·辽宁大连·高一大连市一0三中学校考阶段练习）经过简单随机抽样获得的样本数据为，且数据的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（ ）
A．若数据，方差，则所有的数据都为0
B．若数据，的平均数为，则的平均数为6
C．若数据，的方差为，则的方差为12
D．若数据，的分位数为90，则可以估计总体中有至少有的数据不大于90
【答案】C
【解析】对于，数据的方差时，说明所有的数据都相等，
但不一定为，故选项错误；
对于，数据，的平均数为，
数据的平均数为，故选项错误；
对于，数据的方差为，
数据的方差为，故选项正确；
对于，数据，的分位数为90，
则可以估计总体中有至少有的数据大于90，故选项错误，故选：.
考点9 频率分布直方图的综合
【例9】（2022春·湖北襄阳·高一襄阳四中校考阶段练习）某市要对全市出租车司机的年龄（单位：岁）进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在区间[20，45]内，根据调查结果得出司机年龄情况的残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数是 （ ）
A．31.6岁 B．32.6岁 C．33.6岁 D．36.6岁
【答案】C
【解析】根据频率分布直方图中的频率和为1，设的频率为，
可列式得：
又因为的频率为，
的频率为，
所以中位数位于之间，
设为可列示为岁，故选：C
【变式9-1】（2023春·江西南昌·高一校考阶段练习）某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，准备举办读书活动，并购买一定数量的书籍丰富小区图书站.由于不同年龄段的人看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了40名读书者进行调查，将他们的年龄（单位：岁）分成6段：，，后得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求在这40名读书者中年龄分布在的人数；
（2）求这40名读书者的年龄的百分之50分位数.
【答案】（1）30；（2）55
【解析】（1）由频率分布直方图知，年龄在的频率为
，
故这40名读书者中年龄分布在的人数为.
（2）设这40名读书者年龄的百分之50分位数为x，
则，解得，
故这40名读书者年龄的百分之50分位数为55.
【变式9-2】（2022春·湖北襄阳·高一襄阳四中校考阶段练习）手机支付也称为移动支付(Mbile Payment)，是当今社会比较流行的一种付款方式．某金融机构为了了解移动支付在大众中的熟知度，对15岁至65岁的人群作了问题为“你会使用移动支付吗？”的调查，把回答“会”的100个人按照年龄分成5组，绘制成如图所示的频数分布表和频率分布直方图．
（1）求x，y，a的值；
（2）若从第1，3组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取5人，求两组中分别抽取的人数．
【答案】（1），，；（2）2人，3人
【解析】（1）由题意可知，，
所以，
从而．
（2）第1，3组共有50人，所以抽取的比例，
则从第1组抽取的人数为，
从第3组抽取的人数为．
【变式9-3】（2022秋·辽宁铁岭·高一昌图县第一高级中学校考阶段练习）为了调查某市市民对出行的满意程度，研究人员随机抽取了1000名市民进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如图所示的频率分布直方图，其中．
（1）求、的值；
（2）求被调查的市民的满意程度的平均数、众数、中位数；
（3）若按照分层抽样从，中随机抽取8人，应如何抽取？
【答案】（1），；（2）平均数为74.9，众数为75，中位数为75.14
（3）从应抽取2人，从应抽取6人
【解析】（1）由题意得，所以，
又，所以，.
（2）平均数为，
众数为，
中位数为.
（3）根据频率分布直方图可知的频数有，
的频数有，
所以按照分层抽样从应抽取人，
从应抽取人.
考点10 五种特征数在实际问题中的应用
【例10】（2022秋·浙江衢州·高一校考阶段练习）因工作需求，张先生的汽车一周需两次加同一种汽油．现张先生本周按照以下两种方案加油（两次加油时油价不一样），甲方案：每次购买汽油的量一定；乙方案：每次加油的钱数一定．问哪种加油的方案更经济？（ ）
A．甲方案 B．乙方案 C．一样 D．无法确定
【答案】B
【解析】设两次加油的油价分别为，（，且），
甲方案每次加油的量为；乙方案每次加油的钱数为，
则甲方案的平均油价为：，乙方案的平均油价为：，
因为，
所以，即乙方案更经济．故选：B．
【变式10-1】（2022春·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）在十六进八的比赛中，16名参赛同学成绩各不相同，取成绩排名前八的选手进入下一轮比赛.小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入下一轮比赛，他还需要知道16名同学成绩的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】B
【解析】选项A：平均数只是表示16名同学成绩的平均水平，
不能得到16名同学成绩的大小顺序以及是否进入了前8名的判定标准，
因而不能判断小明同学是否位于前8名.判断错误；
选项B：中位数是将这16名同学成绩从小到大排列，
取第8名与第9名同学成绩的平均值得到的，
因而通过与小明同学成绩进行比较即可得出小明同学是否位于前8名.判断正确；
选项C：众数只是表示16名同学成绩中重复最多的成绩，
不能得到16名同学成绩的大小顺序以及是否进入了前8名的判定标准，
因而不能判断小明同学是否位于前8名.判断错误；
选项D：方差只是表示16名同学成绩的波动幅度，
不能得到16名同学成绩的大小顺序以及是否进入了前8名的判定标准，
因而不能判断小明同学是否位于前8名.判断错误.故选：B
【变式10-2】（2023·全国·高一专题练习）甲、乙、丙、丁四人参加射击项目选拔赛，成绩如下， 则他们中参加奥运会的最佳人选是_____.
【答案】丙
【解析】由平均数及方差的定义知，丙的平均成绩较高且较稳定.
故答案为：丙
【变式10-3】（2023·全国·高一专题练习）高一三班有男同学27名、女同学21名，在一次语文测验中，男同学的平均分是82分，中位数是75分，女同学的平均分是80分，中位数是80分．
（1）求这次测验全班的平均分（精确到0.01）；
（2）估计全班成绩在80分以下（含80分）的同学至少有多少人？
（3）分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么？
【答案】（1）（分）；（2）25人；（3）答案见解析
【解析】（1）由题意知，27名男同学的平均分是82分，21名女同学的平均分是80分，
所以这次语文测验全班的平均分为（分）.
（2）因为男同学的中位数是75分，所以至少有14人得分不超过75分，
又因为女同学的中位数是80分，所以至少有11人得分不超过80分．
所以全班至少有25人得分在80分以下（含80分）．
（3）男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学的得分两极分化现象严重，
得分高的和得分低的相差较大．
1．（2023·全国·高一专题练习）下列哪种工作不能使用抽样方法进行（ ）
A．测定一批炮弹的射程
B．测定海洋水域的某种微生物的含量
C．高考结束后，国家高考命题中心计算数学试卷中每个题目的难度
D．检测某学校全体高三学生的身高和体重的情况
【答案】D
【解析】抽样是为了用总体中的部分个体(即样本)来估计总体的情况，
选项A、B、C都是从总体中抽取部分个体进行检验.
选项D是检测全体学生的身体状况，
所以，要对全体学生的身体都进行检验，而不能采取抽样的方法.故选:D.
2．（2022春·湖南长沙·高一湖南师大附中校考阶段练习）在以下调查中，适合用全面调查的是（ ）
A．调查一个班级学生每周的体育锻炼时间
B．调查一个地区结核病的发病率
C．调查一批炮弹的杀伤半径
D．调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例
【答案】A
【解析】全面调查是对调查对象的所有单位一一进行调查的调查方式，
所以，A选项中的问题适合全面调查，BCD选项中的调查适合抽样调查.故选：A.
3．（2022秋·甘肃白银·高一校考期中）①某班数学期中考试有14人在120分以上，35人在90~119分，7人不及格，现从中抽出8人研讨进一步改进教与学；②高一某班级春节聚会，要产生两位“幸运者”．上述两件事，合适的抽样方法分别为（ ）
A．分层抽样，简单随机抽样B．简单随机抽样，分层抽样
C．简单随机抽样，简单随机抽样D．分层抽样，分层抽样
【答案】A
【解析】①由于学生的成绩是差异比较大的几部分，应用分层抽样．
②由于总体与样本容量较小，应用简单随机抽样．故选：A
4．（2023·全国·高一专题练习）为了支持民营企业发展壮大，帮助民营企业解决发展中的困难，某市政府采用分层抽样调研走访各层次的民营企业.该市的小型企业、中型企业、大型企业分别有900家、90家、10家.若大型企业的抽样家数是2，则中型企业的抽样家数应该是（ ）
A．180B．90C．18D．9
【答案】C
【解析】该市中型企业和大型企业的家数比为，
由分层抽样的意义可得中型企业的抽样家数应该是.故选：C.
5．（2023春·甘肃金昌·高一永昌县第一高级中学校考期中）某工厂生产的A，B，C三种不同型号的产品数量之比为2：3：5，为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的A，B，C三种产品中抽出100件进行测试，则应该抽取的A型号产品的件数为（ ）
A．20B．30C．50D．80
【答案】A
【解析】某工厂生产的A，B，C三种不同型号产品的数量之比为，
则A被抽的抽样比为，
所以抽出100件产品中A型号产品的件数为，故选：A
6．（2022春·河北邢台·高一校联考阶段练习）已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【解析】设7个数为，
则，
，
所以，
所以，
则这个数的平均数为，
方差为．
故选：D．
7．（2022春·广东揭阳·高一普宁市华侨中学校考阶段练习）（多选）为了解某市高三毕业生升学考试中数学成绩的情况，从参加考试的学生中随机地抽查了名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法错误的是（ ）
A．总体指的是该市参加升学考试的全体学生
B．个体指的是名学生中的每一名学生
C．样本容量指的是名学生
D．样本是指名学生的数学升学考试成绩
【答案】ABC
【解析】因为要了解某市高三毕业生升学考试中学生的数学成绩的情况，
所以要进行成绩统计，
因此，本题的总体是该市高三毕业生的数学成绩，
个体是指每名学生的成绩，样本容量是，
因此样本是指名学生的数学成绩，故选：ABC
8．（2022春·贵州六盘水·高一校考阶段练习）（多选）已知一组数据丢失了其中一个大于3的数据，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失的数据可能是（ ）
A．4B．12C．18D．20
【答案】AC
【解析】设丢失的数据为，则这七个数据的平均数为，众数是3，
若，则中位数为，此时，解得；
若，则中位数为5，此时，解得.
综上所述，丢失的数据可能是4，18.故选：AC.
9．（2023春·江西上饶·高一校联考阶段练习）（多选）已知某选手40次射击成绩的环数如下表所示.
下列说法正确的是（ ）
A．这40次射击成绩的众数为8B．这40次射击成绩的中位数为8
C．这40次射击成绩的35%分位数为7D．这40次射击成绩的平均数为8.075
【答案】ABD
【解析】对于A：由表可知，这40次射击成绩的众数为8，故A正确；
对于B：这40次射击成绩从小到大排在第20个和第21个的环数分别为8，8，
则这40次射击成绩的中位数为，故B正确；
对于C：，
因为这40次射击成绩从小到大排在第14个和第15个的环数分别为7，8，
则这40次射击成绩的35%分位数为，故C错误；
对于D：这40次射击成绩的平均数为，故D正确；
故选：ABD
10．（2022春·山东·高一济南市章丘区第四中学校联考阶段练习）（多选）为丰富老年人的业余生活，某小区组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个兴趣社团，该小区共有2000名老年人，每位老人依据自己兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社的老人有8名，参加太极拳社团的有12名，则（ ）
A．这五个社团的总人数为100
B．脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%
C．这五个社团总人数占该小区老年人数的4%
D．从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为40%
【答案】BC
【解析】参加朗诵社的老人有8名，占五个社团的总人数的，
故总人数为，A错误；
参加太极拳社团的人数为12，占五个社团的总人数的，
所以脱口秀社团的人数占五个社团总人数的，B正确；
这五个社团总人数占该小区老年人数的，C正确；
从这五个杜团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为
，D错误.故选：BC
11．（2022春·河北承德·高一校联考阶段练习）（多选）2021年4月至2021年12月我国规模以上工业天然气产量保持平稳，日均产量（亿立方米）与当月增速（%）如图所示，则（ ）
备注：日均产品产量是以当月公布的我国规模以上工业企业总产量除以该月日历天数计算得到．
当月增速．
A．2021年12月份我国规模以上工业天然气产量当月增速比上月放缓2.1个百分点
B．2021年4月至2021年12月我国规模以上工业天然气产量当月增速的极差为12.6%
C．2021年7月份我国规模以上工业天然气产量为153亿立方米
D．2021年4月至2021年12月我国规模以上工业天然气日均产量的40%分位数为5.3亿立方米
【答案】ABD
【解析】2021年12月份我国规模以上工业天然气产量当月增速为2.3个百分点，
11月份增速为个百分点，比上月放缓2.1个百分点.故A正确；
2021年4月至12月我国规模以上工业天然气产量当月增速的极差
为.故B正确；
2021年7月我国规模以上工业天然气产量为亿立方米.故C错误
2021年4月至12月我国规模以上工业天然气日均产量从小到大为
5.1，5.1，5.2，5.3，5.4，5.6，5.7，5.9，6.2，
因为，所以该组数据的40%分位数为5.3亿立方米．故D正确
故选：ABD
12．（2023春·江西南昌·高一南昌市第三中学校考阶段练习）PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为：PM2.5日均值在以下，空气质量为一级：PM2.5日均值在，空气质量为二级：PM2.5日均值超过为超标.如图是某地12月1日至10日PM2.5的日均值（单位：）变化的折线图，关于PM2.5日均值说法正确的是（ ）
A．这10天的日均值的80%分位数为60
B．前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差
C．这10天的日均值的中位数为41
D．前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差
【答案】BD
【解析】个数据为：，
，故80%分位数为，A错误.
5天的日均值的极差为，后5天的日均值的极差为，B正确.
中位数是，C错误.
根据折线图可知，前天数据波动性小于后天数据波动性，所以D正确.故选：BD
13．（2023·全国·高一专题练习）某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名同学只参加一个小组）：
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层随机抽样，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果武术组被抽出12人，则a的值为______．
【答案】30
【解析】由题意可知三个小组的人数比为，
从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果武术组被抽出12人，
故 ，解得，
故答案为：30
14．（2023·全国·高一专题练习）总体由编号01，02，…，29，30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从如下随机数表的第1行的第7列和第8列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为__________．
第1行：78 16 62 32 08 02 62 42 01 52 53 69 97 28 01 98
第2行：32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81
【答案】04
【解析】从第1行的第7列和第8列数字开始由左到右
依次选取两个数字满足要求的编号有：08,02,01,28,04,23…,
所以第5个个体的编号为,04,
故答案为：04
15．（2023·全国·高一专题练习）“二十四节气歌”是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗.某校高二共有学生400名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校高二年级的400名学生中，对“二十四节气歌”一句也说不出的有__________人.
【答案】
【解析】由题意可知，随机抽查100名学生中有人一句也说不出，
又抽查比例为，
所以，该校高二年级的400名学生中共有人
对“二十四节气歌”一句也说不出.
故答案为：
16．（2022春·福建厦门·高一厦门双十中学校考阶段练习）已知样本数据都为正数，其方差，则样本数据的平均数为___________.
【答案】
【解析】根据题意，设样本数据、、、、的平均数为，
其方差
，
又，
则有，解可得，
则样本数据、、、、的平均数为；
故答案为：．
17．（2022春·江西宜春·高一江西省万载中学校考期中）某企业共有3200名职工，其中，中年、青年、老年职工的比例为5：3：2，从所有职工中抽取一个样本容量为400的样本.
（1）应采用哪种抽样方法更合理？
（2）中年、青年、老年职工应分别抽取多少人？
【答案】（1）分层抽样，理由见解析；
（2）抽取的中年、青年、老年职工分别为200人，120人，80人.
【解析】（1）因为中、青、老年职工有明显的差异，故采用分层抽样更合理；
（2）按照比例抽取中、青、老年职工的人数分别为，
，，
因此应抽取的中年、青年、老年职工分别为200人，120人，80人.
18．（2022秋·辽宁·高一东北育才学校校考阶段练习）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（单位：吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费，为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中a的值；
（2）设该市有50万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（3）若该市政府希望使80%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），求x的值，并说明理由．（结果保留到小数点后三位）
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）
【解析】（1）由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为，
同理，在中的频率
分别为
由，解得 ．
（2）由（1），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为．
根据样本估计总体，由以上样本的频率分布，
可以估计全市50万居民中月均用水量不低于3吨的人数为人．
所以，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为人.
（3）因为前6组的频率之和为，
而前5组的频率之和为 ，所以 ．
由 ，解得 ．
所以，估计月用水量标准为吨时，80%的居民每月的用水量不超过标准．
19．（2022春·广东梅州·高一大埔县虎山中学校考阶段练习）某校100名学生期中考试化学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是，．
（1）求图中a的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生化学成绩的平均分，第60百分位数；
（3）若这100名学生化学成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如下表所示，求数学成绩在之外的人数．
【答案】（1）；（2）平均分73分，第60百分位数为75；（3）30
【解析】（1）依题意得，，解得．
（2）这100名学生化学成绩的平均分为：
（分）
，
第60百分位数为；
（3）数学成绩在的人数为，
数学成绩在的人数为，
数学成绩在的人数为，
数学成绩在的人数为，
所以数学成绩在之外的人数为．
20．（2022春·河北沧州·高一校考阶段练习）某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按元/千瓦时收费.
（1）求某户居民的用电费用（单位：元）关于月用电量（单位：千瓦时）的函数解析式；
（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.若这100户居民中今年1月份用电费用小于260元的占，求的值；
（3）根据（2）中求得的数据计算用电量的分位数和平均数.
【答案】（1）；（2）
（3）电量的分位数为375千瓦时.平均数275千瓦时
【解析】（1）当时，；
当时，；
当时，.
所以与之间的函数解析式为
（2）由（1）可知，当时，，即用电量小于400千瓦时的占，
结合频率分布直方图可知，
解得.
（3）设75%分位数为，
由题图知，用电量低于300千瓦时的频率为，
用电量低于400千瓦时的频率为，
所以分位数在内，所以，解得，
即用电量的分位数为375千瓦时.
平均数=
千瓦时.25
28
33
50
52
58
59
60
61
62
82
86
113
115
140
143
146
170
175
195
202
206
233
236
238
255
260
263
264
265
293
293
294
296
301
302
303
305
305
306
321
323
325
326
328
340
343
346
348
350
352
355
357
357
358
360
370
380
383
385
组数
第1组
第2组
第3组
第4组
第5组
分组
[15，25)
[25，35)
[35，45)
[45，55)
[55，65]
频数
x
35
y
12
3
甲
乙
丙
丁
平均环数
8.5
8.8
8.8
8
方 差
3.5
3.5
2.1
8.7
成绩
6
7
8
9
10
次数
4
10
11
9
6
武术组
书画组
乐器组
高一
45
30
a
高二
15
10
20
分数段
知识点1 简单随机抽样
1、放回与不放回简单随机抽样
（1）放回简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取n（1≤n
2、简单随机抽样的特点：
（1）总体个数有限：简单随机抽样要求被抽取样本的总体个数有限，这样便于通过样本对总体进行分析；
（2）逐个抽取：简单随机抽验是从总体中种逐个进行抽取，这样便于实际操作；
（3）不放回抽样：简单随机抽样是一种不放回抽样，这样便于样本的获取和一些相关的计算。
（4）等可能抽样：不仅每次从总体中抽取一个个体时各个个体被抽到的可能性相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽到的可能性也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性。
3、抽签法
（1）定义：把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个样本容量为n的样本。
（2）抽签法的操作步骤：
第一步，编号：将N个个体编号（号码可以从1到N，也可以使用已有的号码）
第二步，写签：将N个号码写到大小、形状相同的号签上.
第三步，抽签：将号签搅拌均匀，每次从中抽取一个号签，连续不放回地抽取n次，并记录其编号.
第四部，定样：从总体中找出与号签上的号码对应的个体，组成样本.
（3）抽签法的注意事项：
= 1 \* GB3 ①对个体编号时，也可以利用已有的编号.
= 2 \* GB3 ②制作号签时，所使用的工具（如纸条、小球等）的形状、大小要一样，以确保每个号签被抽到的可能性相等.
= 3 \* GB3 ③抽取样本前总体要“均匀搅拌”，目的是让每个号签被抽到的机会相等.
（4）优点与缺点
优点：简单易形，当总体的个体数不多时，使总体处于“搅拌”均匀的状态比较容易，
此时，每个个体都有均等的机会被抽中，从而能够保证样本的代表性；
缺点：仅适用于个体数较少的总体，当总体的容量较大时，费时费力又不方便，
况且，如果号签搅拌的不均匀，可能导致抽样不公平。
4、随机数法
（1）定义：简单随机抽样中，另一个经常被采用的方法是随机数表法，即利用随机试验或信息技术（即计算器、电子表格软件和R统计软件）生成的随机数进行抽样.
（2）随机数表法步骤：
= 1 \* GB3 ①把总体中的每个个体编号。
= 2 \* GB3 ②用随机数工具产生编号范围内的整数随机数.
= 3 \* GB3 ③把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样本。重复上述过程，知道抽足样本所需要的数量.
5、总体均值与样本均值
（1）总体均值
一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称Y=Y1+Y2+…+YNN=1Ni=1NYi为总体均值，又称总体平均数
如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数fi(i=1,2,…,k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式Y=1Ni=1kfiYi.
（2）样本均值
如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称y=y1+y2+…+ynn=1ni=1nyi为样本均值，又称样本平均数。在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数。
知识点2 分层随机抽样
1、分层随机抽样的定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．
2、比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．
3、分层随机抽样的步骤
（1）分层：按某种特征将总体分成若干部分（层）；
（2）计算抽样比：抽样比k=样本容量总体容量；
（3）定数：按抽样比确定每层抽取的个体数；
（4）抽样：每层分贝按简单随机抽样的方法抽取样本
（5）成样：综合各层抽样，组成样本。
4、分层随机抽样的相关计算关系：
（1）eq \f(样本容量n,总体的个数N)＝eq \f(该层抽取的个体数,该层的个体数)；
（2）总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．
（3）样本的平均数和各层的样本平均数的关系为：eq \x\t(ω)＝eq \f(m,m＋n)＋eq \f(n,m＋n)＝eq \f(M,M＋N)＋eq \f(N,M＋N).
知识点3 用样本估计总体
1、频率分布直方图
（1）列出样本数据的频率分布表和频率分布直方图的步骤：
①计算极差：找出数据的最大值与最小值，计算它们的差；
②决定组距与组数：当样本容量不超过100时，按照数据的多少分成5~12组，且；
③将数据分组：通常对组内数值所在区间区左闭右开区间，最后一组取闭区间；也可以将样本数据多取一位小数分组．
④列频率分布表：对落入各小组的数据累计，算出各小数的频数，除以样本容量，得到各小组的频率．
⑤绘制频率分布直方图：以数据的值为横坐标，以的值为纵坐标绘制直方图。
（2）频率分布直方图的特点：
①，
②个小长方形的面积等于1，
③．
（3）频率分布折线图：将频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图，
一般把折线图画成与横轴相连，所以横轴左右两端点没有实际意义．
（4）总体密度曲线：样本容量不断增大时，所分组数不断增加，分组的组距不断缩小，
频率分布直方图可以用一条光滑曲线来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线．
总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律．
2、总体百分位数的估计
（1）第p百分位数的定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
（2）计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
第1步，按从小到大排列原始数据．
第2步，计算i＝n×p%.
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；
若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
3、总体集中趋势的估计
（1）众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据；
（2）中位数：将样本数据按大小顺序排列，若数据的个数为奇数，则最中间的数据为中位数，
若样本数据个数为偶数，则取中间两个数据的平均数作为中位数。
（3）平均数：设样本的数据为,则样本的算术平均数为；
（4）平均数相关结论：
= 1 \* GB3 ①如果两组数和的平均数分别是和，
则一组数的平均数是；
= 2 \* GB3 ②如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为。
= 3 \* GB3 ③如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为
= 4 \* GB3 ④根据频率分布直方图求平均数、中位数和众数
平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替．
中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等．
众数：众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据．
4、总体离散程度的估计
用样本的标准差估计总体的标准差
（1）数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述；
（2）极差（又叫全距）是一组数据的最大值和最小值之差，反映一组数据的变动幅度；
（3）样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小；
一般地，设样本的数据为，样本的平均数为，
定义样本方差为；
简化公式：=
（方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方）
（4）样本的标准差是方差的算术平方根．
样本标准差．
标准差越大数据离散程度越大，数据家分散；标准差越小，数据集中在平均数周围．
（5）方差相关结论：
①如果一组数的方差为，则一组数的方差为；
②如果一组数的方差为，则一组数的方差为。
考点1 简单随机抽样的判断
【例1】（2023春·高一课时练习）（多选）关于简单随机抽样，下列说法正确的是（ ）
A．它要求被抽取样本的总体的个数有限
B．它是从总体中逐个地进行抽取
C．它是一种不放回抽样
D．它是一种等可能性抽样
【答案】ABCD
【解析】①简单随机抽样中被抽取样本的总体的个数有限，正确;
②简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取,正确; .
③简单随机抽样是一种不放回抽样，正确;
④简单随机抽样是-种等可能抽样，即每个个体被抽取的可能性相等，正确；
故答案为：ABCD.
【变式1-1】（2022春·高一课时练习）下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ）
A．将10个大小相同、质量不相等的小球放入黑筒中搅拌均匀后，逐个地抽取5个小球
B．从50个零件中有放回地抽取5个做质量检验
C．从实数中逐个抽取10个做奇偶性分析
D．某运动员从8个跑道中随机选取一个跑道
【答案】D
【解析】由于小球质量不等，导致每个小球被抽到的机会不等，
所以选项A不属于简单随机抽样；
选项B错在“有放回”抽取；
选项C错在总体容量无限.故答案为：D.
【变式1-2】（2023·全国·高一专题练习）下列抽取样本的方式是简单随机抽样的有（ ）
A．某连队从200名官兵中，挑选出50名最优秀的官兵赶赴某地参加救灾工作；
B．箱子中有100支铅笔，从中选10支进行试验，在抽样操作时，从中任意拿出一支检测后再放回箱子；
C．从50个个体中一次性抽取8个个体作为样本；
D．从2000个灯泡中不放回地逐个抽取20个进行质量检查．
【答案】BD
【解析】对A：由于挑选出50名最优秀的官兵，不具备随机性，
故不是简单随机抽样，A错误；
对B：简单随机抽样分为放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，
从中任意拿出一支铅笔检测后再放回箱子，是有放回的抽样，
属于放回简单随机抽样，B正确；
对C：简单随机抽样要求是逐个抽取，而选项中从50个个体中一次性
抽取8个个体作为样本，不是逐个抽取，所以不是简单随机抽样，C错误；
对D：从2000个灯泡中不放回地逐个抽取20个进行质量检查，
是简单随机抽样，D正确.故选：BD.
【变式1-3】（2022·高一课时练习）(多选)下面抽样方法不属于简单随机抽样的是( )
A．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本
B．某饮料公司从仓库中的1 000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查
C．某连队从200名战士中，挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动
D．从10台手机中逐个不放回地随机抽取2台进行质量检验(假设10台手机已编号，对编号进行随机抽取.
【答案】AC
【解析】选项A中，平面直角坐标系中有无数个点，
这与要求总体中的个体数有限不相符，故错误；
选项B中，一次性抽取与逐次不放回抽取等价，所以符合简单随机抽样，故正确；
选项C中，50名战士是最优秀的，不符合简单随机抽样的等可能性，故错误；
选项D符合简单随机抽样的要求．故选：AC．
考点2 简单随机抽样的概率
【例2】（2022春·江苏盐城·高三江苏省响水中学校考阶段练习）为了解高三学生对“社会主义核心价值观”的学习情况，现从全年级人中抽取人参加测试.首先由简单随机抽样剔除名学生，学生甲在这名学生之中，然后剩余的名学生再用分层抽样的方法抽取，把名学生随机分成组，每组人，学生乙被分在第四组，则（ ）
A．甲入选的概率为且乙入选的概率为
B．甲与乙入选的概率不相等且乙入选的概率小于甲入选的概率
C．这名学生入选的概率都相等，且为
D．这名学生入选的概率都相等，且为
【答案】C
【解析】由于随机抽样对于每个人都是公平的，
因此，这名学生入选的概率都相等，且为.
ABD选项均错，C对.故选：C.
【变式2-1】（2022春·全国·高一课时练习）对一个容量为的总体抽取容量为的样本，选取简单随机抽样和分层随机抽样两种不同方法抽取样本，在简单随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率为，某个体第一次被抽中的概率为；在分层随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率分别为则（ ）
A． B． C． D．，没有关系
【答案】B
【解析】根据抽样调查的原理可得简单随机抽样，
分层抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即.故选：B.
【变式2-2】（2022·全国·高一课时练习）某校高一年级从815名学生中选取30名学生参加庆祝建党98周年的大合唱节目，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从 815 人中剔除5人，剩下的810人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（ ）
A．不全相等 B．均不相等 C．都相等，且为 D．都相等，且为
【答案】C
【解析】抽样要保证机会均等，故从名学生中抽取名，概率为，故选C.
【变式2-3】用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中, 抽取一个容量为3的样本, 其中个体甲被第三次抽到的可能性为( ).
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在抽样过程中，个体甲每一次被抽中的概率是相等的，
由于总体容量为10，所以“个体甲被第三次抽到的可能性为”．故选：D．
考点3 抽签法与随机数表法
【例3】（2022秋·高一课时练习）某学校数学组要从11名数学老师中推选3名老师参加市里举办的教学能手比赛，制作了11个形状、大小相同的签，抽签中确保公平性的关键是（ ）
A．制签 B．搅拌均匀 C．逐一抽取 D．抽取后不放回
【答案】B
【解析】确保公平性要保证每个签抽到是等概率的，
因此抽签法要做到搅拌均匀，才具有公平性．故选：B
【变式3-1】（2023·全国·高一专题练习）下列抽样试验中，适合用抽签法的是（ ）
A．从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验
【答案】B
【解析】因为A，D中总体的个体数较大，不适合用抽签法；
C中甲、乙两厂生产的产品质量可能差别较大，
因此未达到搅拌均匀的条件，也不适合用抽签法；
B中总体容量和样本容量都较小，且同厂生产的产品可视为搅拌均匀了.故选：B
【变式3-2】（2023·全国·高一专题练习）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（ ）
7816 6572 0802 6314 0702 4369 1128 0598
A．07 B．02 C．11 D．05
【答案】D
【解析】由题意可知，选出的6个个体的编号分别为：08,02,14,07,11,05，故选:D.
【变式3-3】（2022秋·河南南阳·高一校考阶段练习）现从700瓶水中抽取5瓶进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将700瓶水编号，可以编为000，001，002，…，699，在随机数表中任选一个数，例如选出第8行第6列的数3.（下面摘取了附表1的第8行与第9行）
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
规定从选定的数3开始向右读，得到的第5个样本的编号为（ ）
A．719 B．556 C．512 D．050
【答案】D
【解析】从3开始向右读，第一个符合条件的数为378，第二个数为591，第三个数为695，第四个数为556，第五个数为719，大于699，不符合，
第六个数为981，大于699，不符合，
第七个数为050，符合，所以第5个样本为050.故选：D.
考点4 分层随机抽样的判断
【例4】（2023·全国·高一专题练习）分层抽样使用的范围是（ ）
A．总体中个数较少 B．总体中个数较多
C．总体由个体差异明显的几部分组成 D．以上都可以
【答案】C
【解析】根据分层抽样的概念知，总体由个体差异明显的几部分构成，
可考虑分层抽样，故选：C
【变式4-1】（2022春·全国·高一课时练习）某地区的高一新生中，来自东部平原地区的学生有2400人，中部丘陵地区的学生有1600人，西部山区的学生有1000人．计划从中选取100人调查学生的视力情况，现已了解到来自东部、中部、西部三个地区学生的视力情况有较大差异，而这三个地区男、女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）
A．抽签法 B．按性别分层抽样 C．随机数法 D．按地区分层抽样
【答案】D
【解析】由于来自东部、中部、西部三个地区学生的视力情况有较大差异，
故最合理的抽样方法是按地区分层抽样．故选：D
【变式4-2】（2022·全国·高一专题练习）某地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大，为了解该地区中小学生的视力情况，最合理的抽样方法是（ ）
A．简单随机抽样 B．按性别分层随机抽样
C．按学段分层随机抽样 D．其他抽样方法
【答案】C
【解析】因为某地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，
男、女生视力情况差异不大，然而学段的视力情况有较大差异，
则应按学段分层抽样，故选：.
【变式4-3】（2022春·全国·高一课时练习）下列抽样调查中，最适合用分层抽样法抽样的是（ ）
A．某兴趣小组10人决定去郊游，选择1人去购买所需物品
B．从100名学生中抽取20人调查其身体发育情况
C．某校有2000名学生，其中高一年级700人，高二年级600人，高三年级700人，现从中抽取20人了解其在校学习压力的情况
D．从某生产线的30名工人中选出5人调查其工作强度情况
【答案】C
【解析】对于A，10人没有明显差异，且只选1人，所以不需要分层抽样；
对于B，100名学生没有明显差异，所以不适用分层抽样；
对于C，三个年级的学生个体差异比较明显，所以适用分层抽样；
对于D，30名工人没有明显差异，所以不适用分层抽样，故选：C
考点5 分层随机抽样的计算
【例5】（2022秋·河南南阳·高一校联考阶段练习）某中学有高中生1800人，初中生1200人，为了解学生课外锻炼情况，用分层抽样的方法从学生中抽取一个容量为的样本.已知从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24，则（ ）
A．48 B．72 C．60 D．120
【答案】D
【解析】由题意可知：分层抽样按照的比例进行抽取，
则高中生抽取的人数为：；
初中生抽取的人数为：；
因为从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24，
则，解得：，故选：.
【变式5-1】（2022秋·河南·高一武陟县第一中学校联考阶段练习）宏伟公司有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该公司职工的健康状况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的中年职工为5人，则样本容量为（ ）
A．7 B．15 C．25 D．35
【答案】B
【解析】因为使用分层抽样，
所以样本容量为.故选：B.
【变式5-2】（2022春·福建泉州·高一校考阶段练习）某大学为了了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为，则应从一年级本科生中抽取学生的人数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为，
应从一年级本科生中抽取学生人数为：．故选：C.
【变式5-3】（2023春·黑龙江牡丹江·高一校考阶段练习）电影《长津湖之水门桥》于2022年2月1日上映．某新闻机构想了解市民对《长津湖之水门桥》的评价，决定从某市3个区按人口数用分层随机抽样的方法抽取一个样本．若3个区人口数之比为2：3：5，且人口最多的一个区抽出了100人，则这个样本的容量为（ ）.
A．100 B．160 C．200 D．240
【答案】C
【解析】由3个区人口数之比为2：3：5，
得第三个区所抽取的人数最多，所占比例为50%．
又因为此区抽取了100人，所以3个区所抽取的总人数为100÷50%=200，
即这个样本的容量为200．故选： C．
考点6 总体百分位数的计算
【例6】（2022春·湖北襄阳·高一襄阳四中校考阶段练习）给出下列数据：2.1，3.0，3.2，3.8，3.4，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6．则这组数据的第25百分位数是 （ ）
A．3.2 B．3.0 C．4.4 D．2.5
【答案】A
【解析】由题意，一组数据2.1，3.0，3.2，3.8，3.4，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6，
从小到大为：2.1，3.0，3.2，3.4， 3.8，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6，
因为，所以该组数据的25百分位数是.故选：A.
【变式6-1】（2022春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习）名跳高运动员参加一项校际比赛，成绩分别为、、、、、、、、、、、、、、、（单位：），则比赛成绩的分位数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将成绩由小到大进行排列：、、、、、、
、、、、、、、、、，
，故比赛成绩的分位数是.故选：C.
【变式6-2】（2022秋·河南·高一武陟县第一中学校联考阶段练习）已知按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：；乙组：，若这两组数据的第30百分位数､第50百分位数都分别对应相等，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
甲组：第30百分位数为，第50百分位数为，
乙组：第30百分位数为，第50百分位数为，
由已知得：，，解得，所以故选：A
【变式6-3】（2022春·安徽合肥·高一校考阶段练习）棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标．在一批棉花中随机抽测了60根棉花的纤维长度（单位：mm），按从小到大排序结果如下：
由此，你估计这批棉花的第95百分位数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，
∴第百分位数为第57、58项数据的平均值，
第百分位数为．故选：.
考点7 平均数、中位数、众数的计算
【例7】（2023春·甘肃金昌·高一永昌县第一高级中学校考阶段练习）一个样本的数据在60左右波动，各个数据都减去60后得到一组新数据，算得其平均数是6，则这个样本的平均数是（ ）
A．6.6 B．6 C．66 D．60
【答案】C
【解析】设原来的一组数据是，
则每一个数据都减去得到新数据且求得新数据的平均数是，
所以，即，
所以，故样本的平均数是.故选：C
【变式7-1】（2022春·山西朔州·高一校考阶段练习）一个公司有8名员工，其中6位员工的月工资分别为6200、6300、6500、7100、7500、7600，另两位员工的月工资数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（ ）
A．6800 B．7000 C．7200 D．7400
【答案】D
【解析】∵一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为
6200，6300，6500，7100，7500，7600，
∴当另外两名员工的工资都小于6300时,中位数为(6300+6500)÷2=6400，
当另外两名员工的工资都大于7500时,中位数为(7100+7500)÷2=7300，
∴8位员工月工资的中位数的取值区间为[6400,7300]，
∴8位员工月工资的中位数不可能是7400.故选：D.
【变式7-2】（2022春·湖南永州·高一统考期末）已知一组数据为30，40，50，50，55，60，70，80，90，则其极差、第50百分位数和众数的大小关系是（ ）
A．极差第50百分位数众数 B．众数第50百分位数极差
C．极差众数第50百分位数 D．极差第50百分位数众数
【答案】A
【解析】极差为，
因为%，所以第5个数55即为第50百分位数，
又众数为50，
所以它们大小关系是极差第50百分位数众数.故选:A.
【变式7-3】（2023春·江西南昌·高一南昌市外国语学校校考阶段练习）某学校高一年级有300名男生，200名女生，通过分层随机抽样的方法调查数学考试成绩，抽取总样本量为50，男生平均成绩为120分，女生平均成绩为110分，那么可以推测高一年级学生的数学平均成绩约为（ ）
A．110分 B．115分 C．116分 D．120分
【答案】C
【解析】由题意，应抽取男生（人），
应抽取女生（人），
所以推测高一年级学生的数学平均成绩约为（分）．故选：C
考点8 方差、标准差的计算
【例8】（2022春·河北承德·高一校联考阶段练习）已知一组数据，，，1，1，3，4，6，6，7的平均数为3，则这组数据方差的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】由题意得，得，
所以这组数据的方差
，
所以这组数据方差的最小值为7.故选：C.
【变式8-1】（2022春·山东·高一济南市章丘区第四中学校联考阶段练习）已知一组数据：的平均数是10，方差是4，则，，，，，的方差是（ ）
A．16 B．14 C．12 D．11
【答案】A
【解析】由题意，数据，，，，，的平均数为
，
所以方差为
.故选：A.
【变式8-2】（2022春·山东青岛·高一山东省莱西市第一中学校考阶段练习）已知某5个数据的平均数为5，方差为3，现加入4、6两个数，此时这7个数据的平均数为，方差为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得： ， .故选：B
【变式8-3】（2023春·辽宁大连·高一大连市一0三中学校考阶段练习）经过简单随机抽样获得的样本数据为，且数据的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（ ）
A．若数据，方差，则所有的数据都为0
B．若数据，的平均数为，则的平均数为6
C．若数据，的方差为，则的方差为12
D．若数据，的分位数为90，则可以估计总体中有至少有的数据不大于90
【答案】C
【解析】对于，数据的方差时，说明所有的数据都相等，
但不一定为，故选项错误；
对于，数据，的平均数为，
数据的平均数为，故选项错误；
对于，数据的方差为，
数据的方差为，故选项正确；
对于，数据，的分位数为90，
则可以估计总体中有至少有的数据大于90，故选项错误，故选：.
考点9 频率分布直方图的综合
【例9】（2022春·湖北襄阳·高一襄阳四中校考阶段练习）某市要对全市出租车司机的年龄（单位：岁）进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在区间[20，45]内，根据调查结果得出司机年龄情况的残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数是 （ ）
A．31.6岁 B．32.6岁 C．33.6岁 D．36.6岁
【答案】C
【解析】根据频率分布直方图中的频率和为1，设的频率为，
可列式得：
又因为的频率为，
的频率为，
所以中位数位于之间，
设为可列示为岁，故选：C
【变式9-1】（2023春·江西南昌·高一校考阶段练习）某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，准备举办读书活动，并购买一定数量的书籍丰富小区图书站.由于不同年龄段的人看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了40名读书者进行调查，将他们的年龄（单位：岁）分成6段：，，后得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求在这40名读书者中年龄分布在的人数；
（2）求这40名读书者的年龄的百分之50分位数.
【答案】（1）30；（2）55
【解析】（1）由频率分布直方图知，年龄在的频率为
，
故这40名读书者中年龄分布在的人数为.
（2）设这40名读书者年龄的百分之50分位数为x，
则，解得，
故这40名读书者年龄的百分之50分位数为55.
【变式9-2】（2022春·湖北襄阳·高一襄阳四中校考阶段练习）手机支付也称为移动支付(Mbile Payment)，是当今社会比较流行的一种付款方式．某金融机构为了了解移动支付在大众中的熟知度，对15岁至65岁的人群作了问题为“你会使用移动支付吗？”的调查，把回答“会”的100个人按照年龄分成5组，绘制成如图所示的频数分布表和频率分布直方图．
（1）求x，y，a的值；
（2）若从第1，3组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取5人，求两组中分别抽取的人数．
【答案】（1），，；（2）2人，3人
【解析】（1）由题意可知，，
所以，
从而．
（2）第1，3组共有50人，所以抽取的比例，
则从第1组抽取的人数为，
从第3组抽取的人数为．
【变式9-3】（2022秋·辽宁铁岭·高一昌图县第一高级中学校考阶段练习）为了调查某市市民对出行的满意程度，研究人员随机抽取了1000名市民进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如图所示的频率分布直方图，其中．
（1）求、的值；
（2）求被调查的市民的满意程度的平均数、众数、中位数；
（3）若按照分层抽样从，中随机抽取8人，应如何抽取？
【答案】（1），；（2）平均数为74.9，众数为75，中位数为75.14
（3）从应抽取2人，从应抽取6人
【解析】（1）由题意得，所以，
又，所以，.
（2）平均数为，
众数为，
中位数为.
（3）根据频率分布直方图可知的频数有，
的频数有，
所以按照分层抽样从应抽取人，
从应抽取人.
考点10 五种特征数在实际问题中的应用
【例10】（2022秋·浙江衢州·高一校考阶段练习）因工作需求，张先生的汽车一周需两次加同一种汽油．现张先生本周按照以下两种方案加油（两次加油时油价不一样），甲方案：每次购买汽油的量一定；乙方案：每次加油的钱数一定．问哪种加油的方案更经济？（ ）
A．甲方案 B．乙方案 C．一样 D．无法确定
【答案】B
【解析】设两次加油的油价分别为，（，且），
甲方案每次加油的量为；乙方案每次加油的钱数为，
则甲方案的平均油价为：，乙方案的平均油价为：，
因为，
所以，即乙方案更经济．故选：B．
【变式10-1】（2022春·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）在十六进八的比赛中，16名参赛同学成绩各不相同，取成绩排名前八的选手进入下一轮比赛.小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入下一轮比赛，他还需要知道16名同学成绩的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】B
【解析】选项A：平均数只是表示16名同学成绩的平均水平，
不能得到16名同学成绩的大小顺序以及是否进入了前8名的判定标准，
因而不能判断小明同学是否位于前8名.判断错误；
选项B：中位数是将这16名同学成绩从小到大排列，
取第8名与第9名同学成绩的平均值得到的，
因而通过与小明同学成绩进行比较即可得出小明同学是否位于前8名.判断正确；
选项C：众数只是表示16名同学成绩中重复最多的成绩，
不能得到16名同学成绩的大小顺序以及是否进入了前8名的判定标准，
因而不能判断小明同学是否位于前8名.判断错误；
选项D：方差只是表示16名同学成绩的波动幅度，
不能得到16名同学成绩的大小顺序以及是否进入了前8名的判定标准，
因而不能判断小明同学是否位于前8名.判断错误.故选：B
【变式10-2】（2023·全国·高一专题练习）甲、乙、丙、丁四人参加射击项目选拔赛，成绩如下， 则他们中参加奥运会的最佳人选是_____.
【答案】丙
【解析】由平均数及方差的定义知，丙的平均成绩较高且较稳定.
故答案为：丙
【变式10-3】（2023·全国·高一专题练习）高一三班有男同学27名、女同学21名，在一次语文测验中，男同学的平均分是82分，中位数是75分，女同学的平均分是80分，中位数是80分．
（1）求这次测验全班的平均分（精确到0.01）；
（2）估计全班成绩在80分以下（含80分）的同学至少有多少人？
（3）分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么？
【答案】（1）（分）；（2）25人；（3）答案见解析
【解析】（1）由题意知，27名男同学的平均分是82分，21名女同学的平均分是80分，
所以这次语文测验全班的平均分为（分）.
（2）因为男同学的中位数是75分，所以至少有14人得分不超过75分，
又因为女同学的中位数是80分，所以至少有11人得分不超过80分．
所以全班至少有25人得分在80分以下（含80分）．
（3）男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学的得分两极分化现象严重，
得分高的和得分低的相差较大．
1．（2023·全国·高一专题练习）下列哪种工作不能使用抽样方法进行（ ）
A．测定一批炮弹的射程
B．测定海洋水域的某种微生物的含量
C．高考结束后，国家高考命题中心计算数学试卷中每个题目的难度
D．检测某学校全体高三学生的身高和体重的情况
【答案】D
【解析】抽样是为了用总体中的部分个体(即样本)来估计总体的情况，
选项A、B、C都是从总体中抽取部分个体进行检验.
选项D是检测全体学生的身体状况，
所以，要对全体学生的身体都进行检验，而不能采取抽样的方法.故选:D.
2．（2022春·湖南长沙·高一湖南师大附中校考阶段练习）在以下调查中，适合用全面调查的是（ ）
A．调查一个班级学生每周的体育锻炼时间
B．调查一个地区结核病的发病率
C．调查一批炮弹的杀伤半径
D．调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例
【答案】A
【解析】全面调查是对调查对象的所有单位一一进行调查的调查方式，
所以，A选项中的问题适合全面调查，BCD选项中的调查适合抽样调查.故选：A.
3．（2022秋·甘肃白银·高一校考期中）①某班数学期中考试有14人在120分以上，35人在90~119分，7人不及格，现从中抽出8人研讨进一步改进教与学；②高一某班级春节聚会，要产生两位“幸运者”．上述两件事，合适的抽样方法分别为（ ）
A．分层抽样，简单随机抽样B．简单随机抽样，分层抽样
C．简单随机抽样，简单随机抽样D．分层抽样，分层抽样
【答案】A
【解析】①由于学生的成绩是差异比较大的几部分，应用分层抽样．
②由于总体与样本容量较小，应用简单随机抽样．故选：A
4．（2023·全国·高一专题练习）为了支持民营企业发展壮大，帮助民营企业解决发展中的困难，某市政府采用分层抽样调研走访各层次的民营企业.该市的小型企业、中型企业、大型企业分别有900家、90家、10家.若大型企业的抽样家数是2，则中型企业的抽样家数应该是（ ）
A．180B．90C．18D．9
【答案】C
【解析】该市中型企业和大型企业的家数比为，
由分层抽样的意义可得中型企业的抽样家数应该是.故选：C.
5．（2023春·甘肃金昌·高一永昌县第一高级中学校考期中）某工厂生产的A，B，C三种不同型号的产品数量之比为2：3：5，为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的A，B，C三种产品中抽出100件进行测试，则应该抽取的A型号产品的件数为（ ）
A．20B．30C．50D．80
【答案】A
【解析】某工厂生产的A，B，C三种不同型号产品的数量之比为，
则A被抽的抽样比为，
所以抽出100件产品中A型号产品的件数为，故选：A
6．（2022春·河北邢台·高一校联考阶段练习）已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【解析】设7个数为，
则，
，
所以，
所以，
则这个数的平均数为，
方差为．
故选：D．
7．（2022春·广东揭阳·高一普宁市华侨中学校考阶段练习）（多选）为了解某市高三毕业生升学考试中数学成绩的情况，从参加考试的学生中随机地抽查了名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法错误的是（ ）
A．总体指的是该市参加升学考试的全体学生
B．个体指的是名学生中的每一名学生
C．样本容量指的是名学生
D．样本是指名学生的数学升学考试成绩
【答案】ABC
【解析】因为要了解某市高三毕业生升学考试中学生的数学成绩的情况，
所以要进行成绩统计，
因此，本题的总体是该市高三毕业生的数学成绩，
个体是指每名学生的成绩，样本容量是，
因此样本是指名学生的数学成绩，故选：ABC
8．（2022春·贵州六盘水·高一校考阶段练习）（多选）已知一组数据丢失了其中一个大于3的数据，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失的数据可能是（ ）
A．4B．12C．18D．20
【答案】AC
【解析】设丢失的数据为，则这七个数据的平均数为，众数是3，
若，则中位数为，此时，解得；
若，则中位数为5，此时，解得.
综上所述，丢失的数据可能是4，18.故选：AC.
9．（2023春·江西上饶·高一校联考阶段练习）（多选）已知某选手40次射击成绩的环数如下表所示.
下列说法正确的是（ ）
A．这40次射击成绩的众数为8B．这40次射击成绩的中位数为8
C．这40次射击成绩的35%分位数为7D．这40次射击成绩的平均数为8.075
【答案】ABD
【解析】对于A：由表可知，这40次射击成绩的众数为8，故A正确；
对于B：这40次射击成绩从小到大排在第20个和第21个的环数分别为8，8，
则这40次射击成绩的中位数为，故B正确；
对于C：，
因为这40次射击成绩从小到大排在第14个和第15个的环数分别为7，8，
则这40次射击成绩的35%分位数为，故C错误；
对于D：这40次射击成绩的平均数为，故D正确；
故选：ABD
10．（2022春·山东·高一济南市章丘区第四中学校联考阶段练习）（多选）为丰富老年人的业余生活，某小区组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个兴趣社团，该小区共有2000名老年人，每位老人依据自己兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社的老人有8名，参加太极拳社团的有12名，则（ ）
A．这五个社团的总人数为100
B．脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%
C．这五个社团总人数占该小区老年人数的4%
D．从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为40%
【答案】BC
【解析】参加朗诵社的老人有8名，占五个社团的总人数的，
故总人数为，A错误；
参加太极拳社团的人数为12，占五个社团的总人数的，
所以脱口秀社团的人数占五个社团总人数的，B正确；
这五个社团总人数占该小区老年人数的，C正确；
从这五个杜团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为
，D错误.故选：BC
11．（2022春·河北承德·高一校联考阶段练习）（多选）2021年4月至2021年12月我国规模以上工业天然气产量保持平稳，日均产量（亿立方米）与当月增速（%）如图所示，则（ ）
备注：日均产品产量是以当月公布的我国规模以上工业企业总产量除以该月日历天数计算得到．
当月增速．
A．2021年12月份我国规模以上工业天然气产量当月增速比上月放缓2.1个百分点
B．2021年4月至2021年12月我国规模以上工业天然气产量当月增速的极差为12.6%
C．2021年7月份我国规模以上工业天然气产量为153亿立方米
D．2021年4月至2021年12月我国规模以上工业天然气日均产量的40%分位数为5.3亿立方米
【答案】ABD
【解析】2021年12月份我国规模以上工业天然气产量当月增速为2.3个百分点，
11月份增速为个百分点，比上月放缓2.1个百分点.故A正确；
2021年4月至12月我国规模以上工业天然气产量当月增速的极差
为.故B正确；
2021年7月我国规模以上工业天然气产量为亿立方米.故C错误
2021年4月至12月我国规模以上工业天然气日均产量从小到大为
5.1，5.1，5.2，5.3，5.4，5.6，5.7，5.9，6.2，
因为，所以该组数据的40%分位数为5.3亿立方米．故D正确
故选：ABD
12．（2023春·江西南昌·高一南昌市第三中学校考阶段练习）PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为：PM2.5日均值在以下，空气质量为一级：PM2.5日均值在，空气质量为二级：PM2.5日均值超过为超标.如图是某地12月1日至10日PM2.5的日均值（单位：）变化的折线图，关于PM2.5日均值说法正确的是（ ）
A．这10天的日均值的80%分位数为60
B．前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差
C．这10天的日均值的中位数为41
D．前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差
【答案】BD
【解析】个数据为：，
，故80%分位数为，A错误.
5天的日均值的极差为，后5天的日均值的极差为，B正确.
中位数是，C错误.
根据折线图可知，前天数据波动性小于后天数据波动性，所以D正确.故选：BD
13．（2023·全国·高一专题练习）某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名同学只参加一个小组）：
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层随机抽样，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果武术组被抽出12人，则a的值为______．
【答案】30
【解析】由题意可知三个小组的人数比为，
从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果武术组被抽出12人，
故 ，解得，
故答案为：30
14．（2023·全国·高一专题练习）总体由编号01，02，…，29，30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从如下随机数表的第1行的第7列和第8列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为__________．
第1行：78 16 62 32 08 02 62 42 01 52 53 69 97 28 01 98
第2行：32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81
【答案】04
【解析】从第1行的第7列和第8列数字开始由左到右
依次选取两个数字满足要求的编号有：08,02,01,28,04,23…,
所以第5个个体的编号为,04,
故答案为：04
15．（2023·全国·高一专题练习）“二十四节气歌”是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗.某校高二共有学生400名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校高二年级的400名学生中，对“二十四节气歌”一句也说不出的有__________人.
【答案】
【解析】由题意可知，随机抽查100名学生中有人一句也说不出，
又抽查比例为，
所以，该校高二年级的400名学生中共有人
对“二十四节气歌”一句也说不出.
故答案为：
16．（2022春·福建厦门·高一厦门双十中学校考阶段练习）已知样本数据都为正数，其方差，则样本数据的平均数为___________.
【答案】
【解析】根据题意，设样本数据、、、、的平均数为，
其方差
，
又，
则有，解可得，
则样本数据、、、、的平均数为；
故答案为：．
17．（2022春·江西宜春·高一江西省万载中学校考期中）某企业共有3200名职工，其中，中年、青年、老年职工的比例为5：3：2，从所有职工中抽取一个样本容量为400的样本.
（1）应采用哪种抽样方法更合理？
（2）中年、青年、老年职工应分别抽取多少人？
【答案】（1）分层抽样，理由见解析；
（2）抽取的中年、青年、老年职工分别为200人，120人，80人.
【解析】（1）因为中、青、老年职工有明显的差异，故采用分层抽样更合理；
（2）按照比例抽取中、青、老年职工的人数分别为，
，，
因此应抽取的中年、青年、老年职工分别为200人，120人，80人.
18．（2022秋·辽宁·高一东北育才学校校考阶段练习）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（单位：吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费，为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中a的值；
（2）设该市有50万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（3）若该市政府希望使80%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），求x的值，并说明理由．（结果保留到小数点后三位）
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）
【解析】（1）由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为，
同理，在中的频率
分别为
由，解得 ．
（2）由（1），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为．
根据样本估计总体，由以上样本的频率分布，
可以估计全市50万居民中月均用水量不低于3吨的人数为人．
所以，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为人.
（3）因为前6组的频率之和为，
而前5组的频率之和为 ，所以 ．
由 ，解得 ．
所以，估计月用水量标准为吨时，80%的居民每月的用水量不超过标准．
19．（2022春·广东梅州·高一大埔县虎山中学校考阶段练习）某校100名学生期中考试化学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是，．
（1）求图中a的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生化学成绩的平均分，第60百分位数；
（3）若这100名学生化学成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如下表所示，求数学成绩在之外的人数．
【答案】（1）；（2）平均分73分，第60百分位数为75；（3）30
【解析】（1）依题意得，，解得．
（2）这100名学生化学成绩的平均分为：
（分）
，
第60百分位数为；
（3）数学成绩在的人数为，
数学成绩在的人数为，
数学成绩在的人数为，
数学成绩在的人数为，
所以数学成绩在之外的人数为．
20．（2022春·河北沧州·高一校考阶段练习）某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按元/千瓦时收费.
（1）求某户居民的用电费用（单位：元）关于月用电量（单位：千瓦时）的函数解析式；
（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.若这100户居民中今年1月份用电费用小于260元的占，求的值；
（3）根据（2）中求得的数据计算用电量的分位数和平均数.
【答案】（1）；（2）
（3）电量的分位数为375千瓦时.平均数275千瓦时
【解析】（1）当时，；
当时，；
当时，.
所以与之间的函数解析式为
（2）由（1）可知，当时，，即用电量小于400千瓦时的占，
结合频率分布直方图可知，
解得.
（3）设75%分位数为，
由题图知，用电量低于300千瓦时的频率为，
用电量低于400千瓦时的频率为，
所以分位数在内，所以，解得，
即用电量的分位数为375千瓦时.
平均数=
千瓦时.25
28
33
50
52
58
59
60
61
62
82
86
113
115
140
143
146
170
175
195
202
206
233
236
238
255
260
263
264
265
293
293
294
296
301
302
303
305
305
306
321
323
325
326
328
340
343
346
348
350
352
355
357
357
358
360
370
380
383
385
组数
第1组
第2组
第3组
第4组
第5组
分组
[15，25)
[25，35)
[35，45)
[45，55)
[55，65]
频数
x
35
y
12
3
甲
乙
丙
丁
平均环数
8.5
8.8
8.8
8
方 差
3.5
3.5
2.1
8.7
成绩
6
7
8
9
10
次数
4
10
11
9
6
武术组
书画组
乐器组
高一
45
30
a
高二
15
10
20
分数段
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