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专题14 概率（知识串讲+热考题型+专题训练）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末常考考点精讲精练（苏教版必修第二册）
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这是一份专题14 概率（知识串讲+热考题型+专题训练）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末常考考点精讲精练（苏教版必修第二册），文件包含专题14概率知识串讲+热考题型+专题训练原卷版docx、专题14概率知识串讲+热考题型+专题训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。
（一）随机事件和样本空间
1．事件的相关概念
2．随机事件的概率
对于给定的随机事件，在相同的条件，随着试验次数的增加，事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件的概率，记作.
3．频率与概率
频率是随机的，不同的试验，得到频率也可能不同，概率是频率的稳定值，反映了随机事件发生的可能性的大小．
4.概率的性质
（1）
（2）必然事件的概率：；不可能事件的概率：.
（二）古典概型
1.古典概型：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．
②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．
概率公式：P(A)＝eq \f(A包含的基本事件的个数,基本事件的总数).
2. 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成.如果一次试验的等可能基本事件有n个,即基本事件空间有n个样本点,那么每一个等可能基本事件发生的概率都是.如果某个事件A由其中m个等可能基本事件组合而成，即A包含m个样本点，那么事件A发生的概率P（A）=.
（三）互斥事件与对立事件
1.
注：对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.
2.事件间的关系的判断方法
(1)判断事件间的关系时，可把所有的试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件间的关系．
(2)对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两个事件一定不是对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和事件是不是必然事件，这是判断两个事件是否为对立事件的基本方法．判断互斥事件、对立事件时，注意事件的发生与否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断．
3. 互斥事件的概率加法公式：
①(互斥)，且有．
② (彼此互斥)．
= 3 \* GB3 ③ 对立事件的概率：．
（四）事件的相互独立性
(1)对任意两个事件，如果,则说事件相互独立，简称独立.
(2)若与相互独立，则与，与，与也都相互独立．
题型一 随机事件和样本空间
【典例1】（2022·江苏·高一专题练习）某高中共有30个班级，每班40人，每班选派2人参加反诈骗知识调查活动，在此次调查活动中样本量是（ ）
A．40B．60C．80D．1200
【答案】B
【分析】由题意直接计算即可
【详解】解：因为共有30个班组，且每班选派2人参加反诈骗知识调查活动，
所以共选派60人参加反诈骗知识调查活动，
所以样本容量为60，
故选：B
【典例2】（2022·江苏·高一专题练习）从，，，这个数中，任取个数求和，那么“这个数的和大于”为事件，“这个数的和为偶数” 为事件，则和包含的样本点数分别为（ ）
A．;B．;
C．;D．;
【答案】C
【分析】运用列举法进行列举样本点可得选项.
【详解】解：从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间为Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4) }．
其中事件A包含的样本点有：(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共4个．
事件B包含的样本点有：(1，3)，(2，4)，共2个．
所以事件A＋B包含的样本点有：(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共5个；
事件AB包含的样本点有： (2，4)，共1个．
故选：C.
【典例3】（2022秋·江苏淮安·高一统考期末）为了加快新冠病毒检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再单独做检测．该检测机构采用了“10合1检测法”对2000人进行检测，检测结果为5人呈阳性，且这5个人来自4个不同的检测组，则总检测的次数是（ ）
A．210B．230C．240D．250
【答案】C
【分析】根据第一轮、第二轮检测的次数求得总检测的次数.
【详解】根据题意，采用“10合1检测法”对2000人进行检测，
需要先将2000人按每组10人进行分组，需要分200组，即需要检测200次，
结果为5人呈阳性，且这5个人来自4个不同的检测组，需要对这4组进行第二轮检测，需要检测40次，
则一共需要检测200+40=240次.
故选：C
题型二 频率与概率
【典例4】（2023·全国·高一专题练习）某工厂生产的产品的合格率是99.99%，这说明（ ）
A．该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件
B．该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件
C．该厂生产的10 000件产品中没有不合格的产品
D．该厂生产的产品合格的可能性是99.99%
【答案】D
【分析】由概率的定义逐一分析即可.
【详解】对于A：该厂生产的10000件产品中不合格的产品不一定有1件，
可能是多件或者没有，故A错误；
对于B：该厂生产的10000件产品中合格的产品不一定是9999件，故B错误；
对于C：该厂生产的10000件产品中可能有不合格产品，故C错误；
对于D：该厂生产的产品合格的可能性是99.99%，故D正确；
故选：D.
【典例5】（2022春·江苏南通·高一统考期末）某种彩票中奖的概率为，这是指
A．买10000张彩票一定能中奖
B．买10000张彩票只能中奖1次
C．若买9999张彩票未中奖，则第10000张必中奖
D．买一张彩票中奖的可能性是
【答案】D
【分析】彩票中奖的概率为，只是指中奖的可能性为
【详解】彩票中奖的概率为，只是指中奖的可能性为，
不是买10000张彩票一定能中奖，
概率是指试验次数越来越大时，频率越接近概率．所以选D.
【点睛】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，是否中奖是随机事件．
【典例6】（2021·高一单元测试）下列正确的结论是
A．事件A的概率的值满足
B．如，则为必然事件
C．灯泡的合格率是，从一批灯泡中任取一个，这是合格品的可能性为
D．如，则为不可能事件
【答案】C
【分析】根据必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，利用排除法可得结果.
【详解】因为必然事件的概率为1，
所以可排除选项；
因为不可能事件的概率为0，
所以可排除选项
根据概率的定义可知，灯泡的合格率是，从一批灯泡中任取一个是合格品的可能性为，故选C
【总结提升】
1.概率与频率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的．而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．
2．随机事件概率的求法
利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率．
题型三 古典概型
【典例7】（2021·全国·高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8
【答案】C
【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.
【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：
，
共10种排法，
其中2个0不相邻的排列方法为：
，
共6种方法，
故2个0不相邻的概率为，
故选：C.
【典例8】（2020·全国·统考高考真题）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）
A．10名B．18名C．24名D．32名
【答案】B
【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.
【详解】由题意，第二天新增订单数为，
，故至少需要志愿者名.
故选：B
【典例9】（2023·全国·高一专题练习）从5张分别写有1，2，3，4，5的卡片中不放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是偶数的概率为___________.
【答案】/
【分析】利用列举法写出基本事件，再结合古典概型的计算公式即可求解.
【详解】从5张卡片中无放回抽取2张，共有，
这10种情况，
其中数字之积为奇数的有共3种情况，
故所求概率为.
故答案为：.
【总结提升】
1.计算古典概型事件的概率可分三步
(1)判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A；(2)分别计算基本事件的总个数n和所求的事件A所包含的基本事件个数m；(3)利用古典概型的概率公式P(A)＝eq \f(m,n)求出事件A的概率．
2. 古典概型中基本事件的探求方法
(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同．有时也可以看成是无序的，如(1,2)(2,1)相同．
3.古典概型中的基本事件都是互斥的
4.解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.
题型四 互斥事件与对立事件的概率
【典例10】（2023春·江西南昌·高一南昌市外国语学校校考阶段练习）已知事件A，B，C两两互斥，若，，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据事件A，，两两互斥，求出，进而利用求出答案.
【详解】因为事件A，，两两互斥，所以，
所以.
故选：B．
【典例11】【多选题】（2022·江苏·高一专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．一对夫妇生2个小孩，恰好一男一女的概率为
B．掷一颗骰子2次，两次向上的点数相同的概率为
C．若，为两个任意事件，则事件对立事件是事件，都发生
D．试验次数足够多，事件发生的频率其实就是事件发生的概率
【答案】AD
【分析】由题意得出基本事件的个数由古典概型求概率可判断AB，根据和事件、互斥事件、对立事件的概念判断C，由频率与概率的关系判断D.
【详解】对于A，一对夫妇生2个小孩，共有（男，男），（女，女），（男，女），（女，男）四个基本事件，由古典概型可知，恰好一男一女的概率为，故A错；
对于B，掷一颗骰子2次出现的点数为基本事件，共36个，其中两次点数相同的共有，6个基本事件，故由古典概型可知，故B正确；
对于C，和事件发生，就是，事件至少一个发生，它的对立事件就是，事件都不发生，即事件，都发生，故C正确；
对于D，试验次数足够多，事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近，不一定是事件发生的概率，故D错误.
故选：AD
【典例12】（2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期中）为迎接2022年北京冬奥会，某工厂生产了一批雪车，这批产品中按质量分为一等品、二等品、三等品.从这批雪车中随机抽取一件雪车检测，已知抽到不是三等品的概率为0.93，抽到一等品或三等品的概率为0.82，则抽到一等品的概率为___________.
【答案】/
【分析】由互斥事件的概率加法公式进行求解即可．
【详解】设抽到一等品，二等品，三等品的事件分别为，，，
则，解得，
所以抽到一等品的概率为.
故答案为：.
【总结提升】
1.对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：
第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系；
第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的；
第三，两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的
2．对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，事件的对立事件记作，从集合的角度来看，事件所含结果的集合正是全集中由事件所含结果组成集合的补集，即，，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.
事件的和记作，表示事件至少有一个发生.当为互斥事件时，事件是由“发生而不发生”以及“发生而不发生”构成的.
当计算事件的概率比较困难时，有时计算它的对立事件的概率则要容易些，为此有.这不仅体现逆向思维，同时对培养思维的灵活性是非常有益的.求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率.
题型五 独立事件的概率
【典例13】（2021·全国·统考高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立
【答案】B
【分析】根据独立事件概率关系逐一判断
【详解】 ，
故选：B
【点睛】判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立
【典例14】【多选题】（2023·全国·高一专题练习）若则（ ）
A．B．事件A与B不互斥
C．事件A与B相互独立D．事件A与B不一定相互独立
【答案】BC
【分析】根据互斥与独立事件的定义判断即可.
【详解】因为，所以与能同时发生，不是互斥事件，故B正确；
，所以，故A不正确；
又，故成立，
故事件A与B相互独立，故C正确，D错误
故选：BC.
【典例15】（2022春·江苏苏州·高一校考期末）猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动.在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了道.假设每道灯谜被猜对的可能性都相等.
(1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
(2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题设求出甲、乙、丙猜对或错的概率值，应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
（2）利用对立事件的概率求法及独立事件乘法公式列方程求.
(1)
设“任选一道灯谜甲猜对”，“任选一道灯谜乙猜对”，“任选一道灯谜丙猜对”.
则，，，故，，.
“甲，乙两位同学恰有一个人猜对”，且与互斥.
每位同学独立竞猜，故，互相独立，则与，与，与均相互独立.
所以.
答：任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率为.
(2)
设“甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对”，则.
所以.
解得.
【总结提升】
1.判断事件是否相互独立的方法
（1）定义法：事件A，B相互独立⇔P(A∩B)＝P(A)·P(B)．
（2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
2.求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)首先确定各事件之间是相互独立的；
(2)确定这些事件可以同时发生；
(3)求出每个事件的概率，再求积．
题型六 概率统计综合问题
【典例16】（2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末）某校从高三年级学生中随机抽取名学生的某次数学考试成绩，将其成绩分成，，，，的组，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中的值；
(2)估计这组数据的平均数；
(3)若成绩在内的学生中男生占.现从成绩在内的学生中随机抽取人进行分析，求人中恰有名女生的概率.
【答案】(1)
(2)77
(3)
【分析】(1)根据给定条件结合频率分布直方图中各小矩形面积和为1的特点列式计算即得.
(2)利用频率分布直方图求平均数的方法直接列式计算即得.
(3)求出成绩在内的学生及男女生人数，再用列举法即可求出概率.
(1)
由频率分布直方图得，解得，
所以图中的值是0.020.
(2)
由频率分布直方图得这组数据的平均数：
，
所以这组数据的平均数为77.
(3)
数学成绩在内的人数为(人)，其中男生人数为(人)，则女生人数为人，
记名男生分别为，，名女生分别为，，，从数学成绩在内的人中随机抽取人进行分析的基本事件为：
，共个不同结果，它们等可能，
其中人中恰有名女生的基本事件为，共种结果，
所以人中恰有名女生的概率为为.
【典例17】（2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末）某城市缺水问题比较严重，市政府计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价，为了解家庭用水量的情况，相关部分在某区随机调查了户居民的月平均用水量（单位：）
得到如下频率分布表
（1）求上表中，，的值；
（2）试估计该区居民的月平均用水量；
（3）从上表月平均用水量不少于的户居民中随机抽取户调查，求户居民来自不同分组的概率．
【答案】（1），，；（2）；（3）.
【分析】（1）根据表中频数和为，频率和为，频数总数频率求解即可；（2）用各组组中值乘频率再相加即可；（3）运用列举法列举样本空间和事件，利用概率公式求解即可.
【详解】（1）由表可知，，
由频数相加为可得得，
则.
（2）由表可得，所以该区居民的月平均用水量为
（3）上表月平均用水量不少于的户居民人来自组，分别记为；人来自组，分别记为.
设“户居民来自不同分组”为事件，
则，基本事件总数，
，包含的基本事件数，
故.
所以户居民来自不同分组的概率为
【典例18】（2020·全国·统考高考真题）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
乙分厂产品等级的频数分布表
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?
【答案】（1）甲分厂加工出来的级品的概率为，乙分厂加工出来的级品的概率为；（2）选甲分厂，理由见解析.
【分析】（1）根据两个频数分布表即可求出；
（2）根据题意分别求出甲乙两厂加工件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择．
【详解】（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为级品的概率为，乙厂加工出来的一件产品为级品的概率为；
（2）甲分厂加工件产品的总利润为元，
所以甲分厂加工件产品的平均利润为元每件；
乙分厂加工件产品的总利润为
元，
所以乙分厂加工件产品的平均利润为元每件．
故厂家选择甲分厂承接加工任务．
【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出决策，属于基础题．
【总结提升】
求解以统计图表为背景的随机事件的频率或概率问题的关键点
求解该类问题的关键是由所给频率分布表、频率分布直方图或茎叶图等图表，计算出所求随机事件出现的频数．
一、单选题
1．（2022·高一课时练习）中国农历的二十四节气是中华民族的智慧与传统文化的结晶，二十四节气歌是以春、夏、秋、冬开始的四句诗．在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”．2016年11月30日，二十四节气被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出两句的有45人，能说出三句及以上的有32人，据此估计该校三年级的500名学生中，对二十四节气歌只能说出一句或一句也说不出的有（ ）
A．69人B．84人C．108人D．115人
【答案】D
【分析】首先求100名学生中只能说出一句或一句也说不出的学生人数，确定人数比例，再由等比例的性质求500名学生中只能说出一句或一句也说不出的人数即可.
【详解】由题意，随机抽查的100名学生中，只能说出一句或一句也说不出的学生有（人），
∴只能说出一句或一句也说不出的学生占的比例为，
估计该校三年级的500名学生中，只能说出一句或一句也说不出的学生共有（人）．
故选：D．
2．（2020春·江苏徐州·高一统考期末）下列叙述正确的是
A．频率是稳定的，概率是随机的
B．互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
C．5张奖券中有1张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小
D．若事件A发生的概率为P(A)，则
【答案】D
【分析】根据概率的意义判断，根据互斥事件和对立事件的定义判断．
【详解】频率是随机变化的，概率是频率的稳定值，A错；
互斥事件也可能是对立事件，对立事件一定是互斥事件，B错；
5张奖券中有1张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙、甲抽到有奖奖券的可能性一样大，都是，C错；
由概率的定义，随机事件的概率在上，D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查概率的意义，考查互斥事件和对立事件的定义，属于基础题．
3．（2021春·江苏·高一校联考期中）我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷28粒，则这批米谷约为（ ）
A．134石B．169石C．338石D．454石
【答案】B
【分析】根据条件“254粒夹谷28粒”即可估计这批米内夹谷大约多少.
【详解】由题意可知：这批米内夹谷约为石，故选B.
【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，用样本估计总体是统计的基本思想，属于容易题.
4．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考阶段练习）甲乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10：10平后，先多得2分者为胜方．在10：10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方10：10平后，甲先发球，则甲以13：11赢下此局的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意，分为乙分别在第一二场胜两种情况，结合概率的乘法公式以及加法公式，可得答案.
【详解】由题意，此局分两种情况：
（1）后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为：；
（2）后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为：；
所以，所求事件概率为.
故选：C.
5．（2022·江苏·高一专题练习）从甲袋中摸出1个红球的概率是，从乙袋中摸出1个红球的概率是，从两袋中各摸出1个球，则可能是（ ）
A．2个球不都是红球的概率B．2个球都是红球的概率
C．至少有1个红球的概率D．2个球中恰有1个红球的概率
【答案】C
【分析】运用概率计算公式分别计算四个选项中事件的概率即可.
【详解】记4个选项中的事件依次分别为A，B，C，D，
则，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
．故D错误.
故选：C．
6．（2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期中）黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表：
已知同种血型的人可以输血，O型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给AB血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血，下列结论正确的是（ ）
A．任找一个人，AB型血的人能为其输血的概率是0.65
B．任找一个人，B型血的人能为其输血的概率是0.29
C．任找一个人，其血可以输给O型血的人的概率是1
D．任找一个人，其血可以输给B型血的人的概率是0.64
【答案】D
【分析】根据输血的规则，AB血型只能给AB血型人输血，B型血能输给B型、AB型，可以输给B型血的人为B或O型，可以输给O型血的人只能是O型.
【详解】对于A，AB血型的人只能给AB型的输血，故概率为0.08，错误；
对于B，B血型的人能给B型输血，也可给AB血型输血，故概率为，错误；
对于C，能给O型血输血的只能是O型，故概率为0.35，错误；
对于D，O型、 B型血可以输给B型血的人，故概率为，正确.
故选：D
二、多选题
7．（2020春·江苏淮安·高一马坝高中校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．一个人打靶，打了10发子弹，有6发子弹中靶，因此这个人中靶的概率为0.6
B．某地发行福利彩票，其回报率为47%，有个人花了100元钱买彩票，一定会有47元回报
C．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，则乙与甲中奖的可能性相同
D．大量试验后，可以用频率近似估计概率.
【答案】CD
【分析】由概率统计的基本概念逐一核对四个选项得答案．
【详解】解：、某人打靶，射击10次，击中6次，那么此人中靶的频率为0.6，故错误；
、买这种彩票是一个随机事件，中奖或者不中奖都有可能，但事先无法预料，故错误；
、根据古典概型的概率公式可知C正确；
、大量试验后，可以用频率近似估计概率，故正确．
故选：CD．
8．（2022春·江苏南京·高一南京市秦淮中学校考期中）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ）
A．2个球都是红球的概率为
B．2个球不都是红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为
D．2个球中恰有1个红球的概率为
【答案】ACD
【分析】根据独立事件乘法公式计算2个球都是红球的概率，判断A;利用对立事件的概率计算方法求得2个球不都是红球的概率，判断B;根据对立事件的概率计算判断C;根据互斥事件的概率计算可判断D.
【详解】设“从甲袋中摸出一个红球”为事件，从“乙袋中摸出一个红球”为事件，
则，，
对于A选项，2个球都是红球为，其概率为，故A选项正确，
对于B选项，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为，故B选项错误，
对于C选项，2个球至少有一个红球的概率为，故C选项正确，
对于D选项，2个球中恰有1个红球的概率为，故D选项正确．
故选：ACD．
三、填空题
9．（2022春·江苏无锡·高一统考期末）已知，，且，互斥，则___________.
【答案】0
【分析】根据互斥事件的概念即可得结果.
【详解】由于，互斥，即不可能同时发生，
所以，
故答案为：0.
10．（2021春·江苏泰州·高一泰州中学校考期末）某地有1000人参加自学考试，为了了解他们的成绩，从中抽取一个样本，若每个考生被抽到的概率都是0.04，则这个样本的容量是__________.
【答案】40
【分析】每个考生被抽到的概率等于样本容量与总体数目的比值.
【详解】由题知，样本容量.
故答案为：40.
11.（2020·江苏·统考高考真题）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.
【答案】
【分析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可．
【详解】根据题意可得基本事件数总为个.
点数和为5的基本事件有，，，共4个.
∴出现向上的点数和为5的概率为.
故答案为：.
12．（2022·江苏·高一开学考试）某水果公司新购进千克柑橘，每千克柑橘的成本为元．柑橘在运输、存储过程中会有损坏，销售人员从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录如表所示：
根据表中数据，估计柑橘损坏的概率为_________（结果保留小数点后一位）；由此可知，去掉损坏的柑橘后，水果公司为了不亏本，完好柑橘每千克的售价至少为_________元．
【答案】 ； .
【分析】（1）通过观察表格即可得解；
（2）设每千克柑橘的销售价为元，解不等式即得解.
【详解】解：（1）从表格可以看出，柑橘损坏的频率在常数左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，可以把柑橘损坏的概率估计为这个常数为；
（2）根据估计的概率可以知道，在千克柑橘中完好柑橘的质量为千克．
设每千克柑橘的销售价为元，则应有，
解得．
所以去掉损坏的柑橘后，水果公司为了不亏本，完好柑橘每千克的售价至少为元，
故答案为：，．
四、解答题
14．（2022春·江苏无锡·高一辅仁高中校考期末）（1）抛掷两枚质地均匀的骰子，设“第一次出现奇数点”，“两枚骰子点数之和为3的倍数”，判断事件A与事件B是否相互独立，并说明理由.
（2）甲乙两名射击运动员进行射击考核测试，每人每次有两次射击机会，若两次机会中至少有一次中靶，则考核通过.已知甲的中靶概率是0.7，乙的中靶概率是0.6，甲乙两人射击互不影响.求两人中恰有一人通过考核的概率.
【答案】（1）事件A与B独立，理由见解析；（2）0.2212.
【分析】（1）验证是否有即可得；
（2）设C=“甲通过考核”，D=“乙通过考核”，由对立事件和互斥事件的概率公式计算．
【详解】（1），
，
，
则，所以事件A与B独立；
（2）设C=“甲通过考核”，D=“乙通过考核”.
，
，
.
即恰有一人通过考核的概率为0.2212.
15.（2022·全国·高一专题练习）在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病：为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：
（1）求样本中患病者的人数和图中a，b的值；
（2）试估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数；
（3）某研究机构提出，可以选取常数，若一名从业者该项身体指标检测值大于，则判定其患有这种职业病；若检测值小于，则判定其未患有这种职业病.从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患病，求判断错误的概率.
【答案】（1）患病者的人数为40，，；（2）31450；（3）.
【分析】（1）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为40人，由此能求出，．
（2）指标检测值不低于5的样本中，有患病者28人，未患病者9人，共37人，此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数．
（3）当时，在100个样本数据中，有12名患病者被误判为未患病，有9名未患病者被误判为患病者，由此能判断错误的概率．
【详解】（1）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为.
，.
（2）由（1）可知，患病者的人数为，未患病的人数为，该项身体指标检测值不低于5的样本中，有患病者（人），未患病者（人），共37人.
故估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数为.
（3）当时，在100个样本数据中，有（名）患病者被误判为未患病，有（名）未患病者被误判为患病，
因此判断错误的概率为.
16．（2020·全国·统考高考真题）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率；
（2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
（3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率.
【详解】（1）记事件甲连胜四场，则；
（2）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，
则四局内结束比赛的概率为
，
所以，需要进行第五场比赛的概率为；
（3）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，
记事件甲赢，记事件丙赢，
则甲赢的基本事件包括：、、、
、、、、，
所以，甲赢的概率为.
由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，
所以丙赢的概率为.
名称
条件
结论
符号表示
互斥事件
AB为不可能事件
事件A与事件B互斥
AB＝∅
对立事件
AB为不可能事件，A+B为必然事件
事件A与事件B互为对立事件
AB＝∅，P(A+B)＝1
分组
频数
频率
合计
等级
A
B
C
D
频数
40
20
20
20
等级
A
B
C
D
频数
28
17
34
21
血型
A
B
AB
O
该血型的人所占比例
0.28
0.29
0.08
0.35
柑橘总重量千克
损坏柑橘重量千克
柑橘损坏的频率
（一）随机事件和样本空间
1．事件的相关概念
2．随机事件的概率
对于给定的随机事件，在相同的条件，随着试验次数的增加，事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件的概率，记作.
3．频率与概率
频率是随机的，不同的试验，得到频率也可能不同，概率是频率的稳定值，反映了随机事件发生的可能性的大小．
4.概率的性质
（1）
（2）必然事件的概率：；不可能事件的概率：.
（二）古典概型
1.古典概型：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．
②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．
概率公式：P(A)＝eq \f(A包含的基本事件的个数,基本事件的总数).
2. 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成.如果一次试验的等可能基本事件有n个,即基本事件空间有n个样本点,那么每一个等可能基本事件发生的概率都是.如果某个事件A由其中m个等可能基本事件组合而成，即A包含m个样本点，那么事件A发生的概率P（A）=.
（三）互斥事件与对立事件
1.
注：对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.
2.事件间的关系的判断方法
(1)判断事件间的关系时，可把所有的试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件间的关系．
(2)对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两个事件一定不是对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和事件是不是必然事件，这是判断两个事件是否为对立事件的基本方法．判断互斥事件、对立事件时，注意事件的发生与否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断．
3. 互斥事件的概率加法公式：
①(互斥)，且有．
② (彼此互斥)．
= 3 \* GB3 ③ 对立事件的概率：．
（四）事件的相互独立性
(1)对任意两个事件，如果,则说事件相互独立，简称独立.
(2)若与相互独立，则与，与，与也都相互独立．
题型一 随机事件和样本空间
【典例1】（2022·江苏·高一专题练习）某高中共有30个班级，每班40人，每班选派2人参加反诈骗知识调查活动，在此次调查活动中样本量是（ ）
A．40B．60C．80D．1200
【答案】B
【分析】由题意直接计算即可
【详解】解：因为共有30个班组，且每班选派2人参加反诈骗知识调查活动，
所以共选派60人参加反诈骗知识调查活动，
所以样本容量为60，
故选：B
【典例2】（2022·江苏·高一专题练习）从，，，这个数中，任取个数求和，那么“这个数的和大于”为事件，“这个数的和为偶数” 为事件，则和包含的样本点数分别为（ ）
A．;B．;
C．;D．;
【答案】C
【分析】运用列举法进行列举样本点可得选项.
【详解】解：从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间为Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4) }．
其中事件A包含的样本点有：(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共4个．
事件B包含的样本点有：(1，3)，(2，4)，共2个．
所以事件A＋B包含的样本点有：(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共5个；
事件AB包含的样本点有： (2，4)，共1个．
故选：C.
【典例3】（2022秋·江苏淮安·高一统考期末）为了加快新冠病毒检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再单独做检测．该检测机构采用了“10合1检测法”对2000人进行检测，检测结果为5人呈阳性，且这5个人来自4个不同的检测组，则总检测的次数是（ ）
A．210B．230C．240D．250
【答案】C
【分析】根据第一轮、第二轮检测的次数求得总检测的次数.
【详解】根据题意，采用“10合1检测法”对2000人进行检测，
需要先将2000人按每组10人进行分组，需要分200组，即需要检测200次，
结果为5人呈阳性，且这5个人来自4个不同的检测组，需要对这4组进行第二轮检测，需要检测40次，
则一共需要检测200+40=240次.
故选：C
题型二 频率与概率
【典例4】（2023·全国·高一专题练习）某工厂生产的产品的合格率是99.99%，这说明（ ）
A．该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件
B．该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件
C．该厂生产的10 000件产品中没有不合格的产品
D．该厂生产的产品合格的可能性是99.99%
【答案】D
【分析】由概率的定义逐一分析即可.
【详解】对于A：该厂生产的10000件产品中不合格的产品不一定有1件，
可能是多件或者没有，故A错误；
对于B：该厂生产的10000件产品中合格的产品不一定是9999件，故B错误；
对于C：该厂生产的10000件产品中可能有不合格产品，故C错误；
对于D：该厂生产的产品合格的可能性是99.99%，故D正确；
故选：D.
【典例5】（2022春·江苏南通·高一统考期末）某种彩票中奖的概率为，这是指
A．买10000张彩票一定能中奖
B．买10000张彩票只能中奖1次
C．若买9999张彩票未中奖，则第10000张必中奖
D．买一张彩票中奖的可能性是
【答案】D
【分析】彩票中奖的概率为，只是指中奖的可能性为
【详解】彩票中奖的概率为，只是指中奖的可能性为，
不是买10000张彩票一定能中奖，
概率是指试验次数越来越大时，频率越接近概率．所以选D.
【点睛】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，是否中奖是随机事件．
【典例6】（2021·高一单元测试）下列正确的结论是
A．事件A的概率的值满足
B．如，则为必然事件
C．灯泡的合格率是，从一批灯泡中任取一个，这是合格品的可能性为
D．如，则为不可能事件
【答案】C
【分析】根据必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，利用排除法可得结果.
【详解】因为必然事件的概率为1，
所以可排除选项；
因为不可能事件的概率为0，
所以可排除选项
根据概率的定义可知，灯泡的合格率是，从一批灯泡中任取一个是合格品的可能性为，故选C
【总结提升】
1.概率与频率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的．而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．
2．随机事件概率的求法
利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率．
题型三 古典概型
【典例7】（2021·全国·高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8
【答案】C
【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.
【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：
，
共10种排法，
其中2个0不相邻的排列方法为：
，
共6种方法，
故2个0不相邻的概率为，
故选：C.
【典例8】（2020·全国·统考高考真题）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）
A．10名B．18名C．24名D．32名
【答案】B
【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.
【详解】由题意，第二天新增订单数为，
，故至少需要志愿者名.
故选：B
【典例9】（2023·全国·高一专题练习）从5张分别写有1，2，3，4，5的卡片中不放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是偶数的概率为___________.
【答案】/
【分析】利用列举法写出基本事件，再结合古典概型的计算公式即可求解.
【详解】从5张卡片中无放回抽取2张，共有，
这10种情况，
其中数字之积为奇数的有共3种情况，
故所求概率为.
故答案为：.
【总结提升】
1.计算古典概型事件的概率可分三步
(1)判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A；(2)分别计算基本事件的总个数n和所求的事件A所包含的基本事件个数m；(3)利用古典概型的概率公式P(A)＝eq \f(m,n)求出事件A的概率．
2. 古典概型中基本事件的探求方法
(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同．有时也可以看成是无序的，如(1,2)(2,1)相同．
3.古典概型中的基本事件都是互斥的
4.解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.
题型四 互斥事件与对立事件的概率
【典例10】（2023春·江西南昌·高一南昌市外国语学校校考阶段练习）已知事件A，B，C两两互斥，若，，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据事件A，，两两互斥，求出，进而利用求出答案.
【详解】因为事件A，，两两互斥，所以，
所以.
故选：B．
【典例11】【多选题】（2022·江苏·高一专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．一对夫妇生2个小孩，恰好一男一女的概率为
B．掷一颗骰子2次，两次向上的点数相同的概率为
C．若，为两个任意事件，则事件对立事件是事件，都发生
D．试验次数足够多，事件发生的频率其实就是事件发生的概率
【答案】AD
【分析】由题意得出基本事件的个数由古典概型求概率可判断AB，根据和事件、互斥事件、对立事件的概念判断C，由频率与概率的关系判断D.
【详解】对于A，一对夫妇生2个小孩，共有（男，男），（女，女），（男，女），（女，男）四个基本事件，由古典概型可知，恰好一男一女的概率为，故A错；
对于B，掷一颗骰子2次出现的点数为基本事件，共36个，其中两次点数相同的共有，6个基本事件，故由古典概型可知，故B正确；
对于C，和事件发生，就是，事件至少一个发生，它的对立事件就是，事件都不发生，即事件，都发生，故C正确；
对于D，试验次数足够多，事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近，不一定是事件发生的概率，故D错误.
故选：AD
【典例12】（2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期中）为迎接2022年北京冬奥会，某工厂生产了一批雪车，这批产品中按质量分为一等品、二等品、三等品.从这批雪车中随机抽取一件雪车检测，已知抽到不是三等品的概率为0.93，抽到一等品或三等品的概率为0.82，则抽到一等品的概率为___________.
【答案】/
【分析】由互斥事件的概率加法公式进行求解即可．
【详解】设抽到一等品，二等品，三等品的事件分别为，，，
则，解得，
所以抽到一等品的概率为.
故答案为：.
【总结提升】
1.对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：
第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系；
第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的；
第三，两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的
2．对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，事件的对立事件记作，从集合的角度来看，事件所含结果的集合正是全集中由事件所含结果组成集合的补集，即，，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.
事件的和记作，表示事件至少有一个发生.当为互斥事件时，事件是由“发生而不发生”以及“发生而不发生”构成的.
当计算事件的概率比较困难时，有时计算它的对立事件的概率则要容易些，为此有.这不仅体现逆向思维，同时对培养思维的灵活性是非常有益的.求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率.
题型五 独立事件的概率
【典例13】（2021·全国·统考高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立
【答案】B
【分析】根据独立事件概率关系逐一判断
【详解】 ，
故选：B
【点睛】判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立
【典例14】【多选题】（2023·全国·高一专题练习）若则（ ）
A．B．事件A与B不互斥
C．事件A与B相互独立D．事件A与B不一定相互独立
【答案】BC
【分析】根据互斥与独立事件的定义判断即可.
【详解】因为，所以与能同时发生，不是互斥事件，故B正确；
，所以，故A不正确；
又，故成立，
故事件A与B相互独立，故C正确，D错误
故选：BC.
【典例15】（2022春·江苏苏州·高一校考期末）猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动.在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了道.假设每道灯谜被猜对的可能性都相等.
(1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
(2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题设求出甲、乙、丙猜对或错的概率值，应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
（2）利用对立事件的概率求法及独立事件乘法公式列方程求.
(1)
设“任选一道灯谜甲猜对”，“任选一道灯谜乙猜对”，“任选一道灯谜丙猜对”.
则，，，故，，.
“甲，乙两位同学恰有一个人猜对”，且与互斥.
每位同学独立竞猜，故，互相独立，则与，与，与均相互独立.
所以.
答：任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率为.
(2)
设“甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对”，则.
所以.
解得.
【总结提升】
1.判断事件是否相互独立的方法
（1）定义法：事件A，B相互独立⇔P(A∩B)＝P(A)·P(B)．
（2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
2.求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)首先确定各事件之间是相互独立的；
(2)确定这些事件可以同时发生；
(3)求出每个事件的概率，再求积．
题型六 概率统计综合问题
【典例16】（2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末）某校从高三年级学生中随机抽取名学生的某次数学考试成绩，将其成绩分成，，，，的组，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中的值；
(2)估计这组数据的平均数；
(3)若成绩在内的学生中男生占.现从成绩在内的学生中随机抽取人进行分析，求人中恰有名女生的概率.
【答案】(1)
(2)77
(3)
【分析】(1)根据给定条件结合频率分布直方图中各小矩形面积和为1的特点列式计算即得.
(2)利用频率分布直方图求平均数的方法直接列式计算即得.
(3)求出成绩在内的学生及男女生人数，再用列举法即可求出概率.
(1)
由频率分布直方图得，解得，
所以图中的值是0.020.
(2)
由频率分布直方图得这组数据的平均数：
，
所以这组数据的平均数为77.
(3)
数学成绩在内的人数为(人)，其中男生人数为(人)，则女生人数为人，
记名男生分别为，，名女生分别为，，，从数学成绩在内的人中随机抽取人进行分析的基本事件为：
，共个不同结果，它们等可能，
其中人中恰有名女生的基本事件为，共种结果，
所以人中恰有名女生的概率为为.
【典例17】（2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末）某城市缺水问题比较严重，市政府计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价，为了解家庭用水量的情况，相关部分在某区随机调查了户居民的月平均用水量（单位：）
得到如下频率分布表
（1）求上表中，，的值；
（2）试估计该区居民的月平均用水量；
（3）从上表月平均用水量不少于的户居民中随机抽取户调查，求户居民来自不同分组的概率．
【答案】（1），，；（2）；（3）.
【分析】（1）根据表中频数和为，频率和为，频数总数频率求解即可；（2）用各组组中值乘频率再相加即可；（3）运用列举法列举样本空间和事件，利用概率公式求解即可.
【详解】（1）由表可知，，
由频数相加为可得得，
则.
（2）由表可得，所以该区居民的月平均用水量为
（3）上表月平均用水量不少于的户居民人来自组，分别记为；人来自组，分别记为.
设“户居民来自不同分组”为事件，
则，基本事件总数，
，包含的基本事件数，
故.
所以户居民来自不同分组的概率为
【典例18】（2020·全国·统考高考真题）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
乙分厂产品等级的频数分布表
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?
【答案】（1）甲分厂加工出来的级品的概率为，乙分厂加工出来的级品的概率为；（2）选甲分厂，理由见解析.
【分析】（1）根据两个频数分布表即可求出；
（2）根据题意分别求出甲乙两厂加工件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择．
【详解】（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为级品的概率为，乙厂加工出来的一件产品为级品的概率为；
（2）甲分厂加工件产品的总利润为元，
所以甲分厂加工件产品的平均利润为元每件；
乙分厂加工件产品的总利润为
元，
所以乙分厂加工件产品的平均利润为元每件．
故厂家选择甲分厂承接加工任务．
【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出决策，属于基础题．
【总结提升】
求解以统计图表为背景的随机事件的频率或概率问题的关键点
求解该类问题的关键是由所给频率分布表、频率分布直方图或茎叶图等图表，计算出所求随机事件出现的频数．
一、单选题
1．（2022·高一课时练习）中国农历的二十四节气是中华民族的智慧与传统文化的结晶，二十四节气歌是以春、夏、秋、冬开始的四句诗．在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”．2016年11月30日，二十四节气被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出两句的有45人，能说出三句及以上的有32人，据此估计该校三年级的500名学生中，对二十四节气歌只能说出一句或一句也说不出的有（ ）
A．69人B．84人C．108人D．115人
【答案】D
【分析】首先求100名学生中只能说出一句或一句也说不出的学生人数，确定人数比例，再由等比例的性质求500名学生中只能说出一句或一句也说不出的人数即可.
【详解】由题意，随机抽查的100名学生中，只能说出一句或一句也说不出的学生有（人），
∴只能说出一句或一句也说不出的学生占的比例为，
估计该校三年级的500名学生中，只能说出一句或一句也说不出的学生共有（人）．
故选：D．
2．（2020春·江苏徐州·高一统考期末）下列叙述正确的是
A．频率是稳定的，概率是随机的
B．互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
C．5张奖券中有1张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小
D．若事件A发生的概率为P(A)，则
【答案】D
【分析】根据概率的意义判断，根据互斥事件和对立事件的定义判断．
【详解】频率是随机变化的，概率是频率的稳定值，A错；
互斥事件也可能是对立事件，对立事件一定是互斥事件，B错；
5张奖券中有1张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙、甲抽到有奖奖券的可能性一样大，都是，C错；
由概率的定义，随机事件的概率在上，D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查概率的意义，考查互斥事件和对立事件的定义，属于基础题．
3．（2021春·江苏·高一校联考期中）我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷28粒，则这批米谷约为（ ）
A．134石B．169石C．338石D．454石
【答案】B
【分析】根据条件“254粒夹谷28粒”即可估计这批米内夹谷大约多少.
【详解】由题意可知：这批米内夹谷约为石，故选B.
【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，用样本估计总体是统计的基本思想，属于容易题.
4．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考阶段练习）甲乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10：10平后，先多得2分者为胜方．在10：10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方10：10平后，甲先发球，则甲以13：11赢下此局的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意，分为乙分别在第一二场胜两种情况，结合概率的乘法公式以及加法公式，可得答案.
【详解】由题意，此局分两种情况：
（1）后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为：；
（2）后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为：；
所以，所求事件概率为.
故选：C.
5．（2022·江苏·高一专题练习）从甲袋中摸出1个红球的概率是，从乙袋中摸出1个红球的概率是，从两袋中各摸出1个球，则可能是（ ）
A．2个球不都是红球的概率B．2个球都是红球的概率
C．至少有1个红球的概率D．2个球中恰有1个红球的概率
【答案】C
【分析】运用概率计算公式分别计算四个选项中事件的概率即可.
【详解】记4个选项中的事件依次分别为A，B，C，D，
则，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
．故D错误.
故选：C．
6．（2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期中）黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表：
已知同种血型的人可以输血，O型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给AB血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血，下列结论正确的是（ ）
A．任找一个人，AB型血的人能为其输血的概率是0.65
B．任找一个人，B型血的人能为其输血的概率是0.29
C．任找一个人，其血可以输给O型血的人的概率是1
D．任找一个人，其血可以输给B型血的人的概率是0.64
【答案】D
【分析】根据输血的规则，AB血型只能给AB血型人输血，B型血能输给B型、AB型，可以输给B型血的人为B或O型，可以输给O型血的人只能是O型.
【详解】对于A，AB血型的人只能给AB型的输血，故概率为0.08，错误；
对于B，B血型的人能给B型输血，也可给AB血型输血，故概率为，错误；
对于C，能给O型血输血的只能是O型，故概率为0.35，错误；
对于D，O型、 B型血可以输给B型血的人，故概率为，正确.
故选：D
二、多选题
7．（2020春·江苏淮安·高一马坝高中校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．一个人打靶，打了10发子弹，有6发子弹中靶，因此这个人中靶的概率为0.6
B．某地发行福利彩票，其回报率为47%，有个人花了100元钱买彩票，一定会有47元回报
C．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，则乙与甲中奖的可能性相同
D．大量试验后，可以用频率近似估计概率.
【答案】CD
【分析】由概率统计的基本概念逐一核对四个选项得答案．
【详解】解：、某人打靶，射击10次，击中6次，那么此人中靶的频率为0.6，故错误；
、买这种彩票是一个随机事件，中奖或者不中奖都有可能，但事先无法预料，故错误；
、根据古典概型的概率公式可知C正确；
、大量试验后，可以用频率近似估计概率，故正确．
故选：CD．
8．（2022春·江苏南京·高一南京市秦淮中学校考期中）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ）
A．2个球都是红球的概率为
B．2个球不都是红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为
D．2个球中恰有1个红球的概率为
【答案】ACD
【分析】根据独立事件乘法公式计算2个球都是红球的概率，判断A;利用对立事件的概率计算方法求得2个球不都是红球的概率，判断B;根据对立事件的概率计算判断C;根据互斥事件的概率计算可判断D.
【详解】设“从甲袋中摸出一个红球”为事件，从“乙袋中摸出一个红球”为事件，
则，，
对于A选项，2个球都是红球为，其概率为，故A选项正确，
对于B选项，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为，故B选项错误，
对于C选项，2个球至少有一个红球的概率为，故C选项正确，
对于D选项，2个球中恰有1个红球的概率为，故D选项正确．
故选：ACD．
三、填空题
9．（2022春·江苏无锡·高一统考期末）已知，，且，互斥，则___________.
【答案】0
【分析】根据互斥事件的概念即可得结果.
【详解】由于，互斥，即不可能同时发生，
所以，
故答案为：0.
10．（2021春·江苏泰州·高一泰州中学校考期末）某地有1000人参加自学考试，为了了解他们的成绩，从中抽取一个样本，若每个考生被抽到的概率都是0.04，则这个样本的容量是__________.
【答案】40
【分析】每个考生被抽到的概率等于样本容量与总体数目的比值.
【详解】由题知，样本容量.
故答案为：40.
11.（2020·江苏·统考高考真题）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.
【答案】
【分析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可．
【详解】根据题意可得基本事件数总为个.
点数和为5的基本事件有，，，共4个.
∴出现向上的点数和为5的概率为.
故答案为：.
12．（2022·江苏·高一开学考试）某水果公司新购进千克柑橘，每千克柑橘的成本为元．柑橘在运输、存储过程中会有损坏，销售人员从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录如表所示：
根据表中数据，估计柑橘损坏的概率为_________（结果保留小数点后一位）；由此可知，去掉损坏的柑橘后，水果公司为了不亏本，完好柑橘每千克的售价至少为_________元．
【答案】 ； .
【分析】（1）通过观察表格即可得解；
（2）设每千克柑橘的销售价为元，解不等式即得解.
【详解】解：（1）从表格可以看出，柑橘损坏的频率在常数左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，可以把柑橘损坏的概率估计为这个常数为；
（2）根据估计的概率可以知道，在千克柑橘中完好柑橘的质量为千克．
设每千克柑橘的销售价为元，则应有，
解得．
所以去掉损坏的柑橘后，水果公司为了不亏本，完好柑橘每千克的售价至少为元，
故答案为：，．
四、解答题
14．（2022春·江苏无锡·高一辅仁高中校考期末）（1）抛掷两枚质地均匀的骰子，设“第一次出现奇数点”，“两枚骰子点数之和为3的倍数”，判断事件A与事件B是否相互独立，并说明理由.
（2）甲乙两名射击运动员进行射击考核测试，每人每次有两次射击机会，若两次机会中至少有一次中靶，则考核通过.已知甲的中靶概率是0.7，乙的中靶概率是0.6，甲乙两人射击互不影响.求两人中恰有一人通过考核的概率.
【答案】（1）事件A与B独立，理由见解析；（2）0.2212.
【分析】（1）验证是否有即可得；
（2）设C=“甲通过考核”，D=“乙通过考核”，由对立事件和互斥事件的概率公式计算．
【详解】（1），
，
，
则，所以事件A与B独立；
（2）设C=“甲通过考核”，D=“乙通过考核”.
，
，
.
即恰有一人通过考核的概率为0.2212.
15.（2022·全国·高一专题练习）在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病：为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：
（1）求样本中患病者的人数和图中a，b的值；
（2）试估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数；
（3）某研究机构提出，可以选取常数，若一名从业者该项身体指标检测值大于，则判定其患有这种职业病；若检测值小于，则判定其未患有这种职业病.从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患病，求判断错误的概率.
【答案】（1）患病者的人数为40，，；（2）31450；（3）.
【分析】（1）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为40人，由此能求出，．
（2）指标检测值不低于5的样本中，有患病者28人，未患病者9人，共37人，此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数．
（3）当时，在100个样本数据中，有12名患病者被误判为未患病，有9名未患病者被误判为患病者，由此能判断错误的概率．
【详解】（1）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为.
，.
（2）由（1）可知，患病者的人数为，未患病的人数为，该项身体指标检测值不低于5的样本中，有患病者（人），未患病者（人），共37人.
故估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数为.
（3）当时，在100个样本数据中，有（名）患病者被误判为未患病，有（名）未患病者被误判为患病，
因此判断错误的概率为.
16．（2020·全国·统考高考真题）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率；
（2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
（3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率.
【详解】（1）记事件甲连胜四场，则；
（2）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，
则四局内结束比赛的概率为
，
所以，需要进行第五场比赛的概率为；
（3）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，
记事件甲赢，记事件丙赢，
则甲赢的基本事件包括：、、、
、、、、，
所以，甲赢的概率为.
由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，
所以丙赢的概率为.
名称
条件
结论
符号表示
互斥事件
AB为不可能事件
事件A与事件B互斥
AB＝∅
对立事件
AB为不可能事件，A+B为必然事件
事件A与事件B互为对立事件
AB＝∅，P(A+B)＝1
分组
频数
频率
合计
等级
A
B
C
D
频数
40
20
20
20
等级
A
B
C
D
频数
28
17
34
21
血型
A
B
AB
O
该血型的人所占比例
0.28
0.29
0.08
0.35
柑橘总重量千克
损坏柑橘重量千克
柑橘损坏的频率
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