冀教版八年级下册22.6 正方形习题课件ppt

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▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：________，使得▱ABCD为正方形．
AC＝BD(答案不唯一)
根据题意可知▱ABCD为菱形，要使菱形ABCD为正方形，添加的条件为AB⊥AD，AC＝BD等．
如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°，若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于(　　)A．2α B．90°－2α C．45°－α D．90°－α
在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，如图所示．则AF＝AG，∠DAF＝∠BAG.∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝∠BAE＋∠BAG＝45°.∴∠GAE＝∠FAE＝45°.
连接AF，根据正方形ABCD及已知得到AB＝BC＝BE，∠ABC＝90°，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质，求得∠BFE＝45°，再证明△ABF≌△EBF，求得∠AFC＝90°，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出OF的长度．
[2023·常德]如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别为AO，DO上的一点，且EF∥ AD，连接AF，DE.若∠FAC＝15°，则∠AED的度数为(　　)A．80° B．90° C．105° D．115°
∵四边形ABCD为正方形，EF∥AD，∴OA＝OD，∠OBC＝∠OCB＝∠OAD＝∠ODA＝45°，EF∥ BC.∵EF∥ BC，∴∠OEF＝∠OCB＝45°，∠OFE＝∠OBC＝45°. ∴∠OEF＝∠OFE＝45°.∴∠AEF＝∠DFE＝135°，OE＝OF.∵OA＝OD，∴AE＝DF.
又∵EF＝FE，∴△AEF≌ △DFE(SAS)．∴∠FDE＝∠CAF＝15°. ∴∠ADE＝∠ODA－∠FDE＝45°－15°＝30°. ∴∠AED＝180°－∠OAD－∠ADE＝180°－45°－30°＝105°.
[2022·重庆B卷]如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.E，F分别为AC，BD上一点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF.若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为(　　)A．50° B．55° C．65° D．70°
由正方形的性质可得AC⊥BD，OA＝OB＝OC＝OD，易得∠AFO＝70°，利用全等三角形的判定和性质得∠BEO＝∠AFO＝70°.从而可求出∠CBE的度数．
如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°到正方形AB1C1D1的位置，则阴影部分的面积是________．
设B1C1与CD交于点E，连接AE.利用作差法求出AE一侧的阴影部分的面积，再利用对称性即可得解．
[2023·绍兴]如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD＝60°，动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE＝OF.
点E关于AD，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2，在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是(　　)A．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形B．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形C．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形
如图①，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠BAD＝∠ABC＝90°.∴∠BDC＝∠ABD＝60°.∴∠ADB＝∠CBD＝90°－60°＝30°.∵OE＝OF，OB＝OD，∴DF＝EB.
由题意得DF＝DF2，DE＝DE1，BF＝BF1，BE＝BE2，∠F2DC＝∠CDF＝60°，∠EDA＝∠E1DA＝30°.∴∠E1DB＝60°.易得E1F2＝E2F1.同理∠F1BD＝60°.∴DE1∥BF1.又∵E1F2＝E2F1，∴四边形E1E2F1F2是平行四边形．
如图②，当E，F，O三点重合时，易知DE1＝DF2＝AE1＝AE2，即E1E2＝E1F2.∴四边形E1E2F1F2 是菱形．
如图④，当F，E分别与D，B重合时，△BE1D，△BDF1都是等边三角形，则四边形 E1E2F1F2是菱形．∴在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形，故选A.
如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB上的一点，AF＝2，P为AC上一个动点，则PF＋PE的最小值为________.
[2022·随州]如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF为正方形．
(1)求证：AE＝CF；
【证明】∵四边形BEDF为正方形，∴EB＝DF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC.∴AE＝CF.
(2)已知平行四边形ABCD的面积为20，AB＝5，求CF的长.
【解】∵四边形BEDF为正方形，∴DE＝EB，DE⊥AB.∵平行四边形ABCD的面积为20，AB＝5，∴DE＝EB＝4.∴AE＝AB－EB＝5－4＝1.由(1)知AE＝CF，∴CF＝1.
[2023·绍兴]如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点(与点B，D不重合)，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足，连接EF，AG，并延长AG交EF于点H.
(1)求证：∠DAG＝∠EGH；
【证明】在正方形ABCD中，AD⊥CD，GE⊥CD，∴∠ADE＝∠GEC＝90°.∴AD∥GE.∴∠DAG＝∠EGH.
(2)判断AH与EF是否垂直，并说明理由．
【解】AH⊥EF.理由如下：如图，连接GC与EF交于点O.∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD，∠ECF＝90°.∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ADG＝∠CDG＝45°.
又∵DG＝DG，AD＝CD，∴△ADG≌△CDG(SAS)．∴∠DAG＝∠DCG.∵GE⊥CD，GF⊥BC，∠ECF＝90°，∴四边形FCEG为矩形．∴OE＝OC.∴∠OEC＝∠OCE.∴∠DAG＝∠OEC.由(1)得∠DAG＝∠EGH，∴∠EGH＝∠OEC.∴∠EGH＋∠GEH＝∠OEC＋∠GEH＝∠GEC＝90°.∴∠GHE＝90°.∴AH⊥EF.
如图，作EP⊥BC，EQ⊥CD.∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°.又∵∠EPM＝∠EQC＝90°，∴四边形PCQE为矩形．∴∠PEQ＝90°.∴∠PEM＋∠MEQ＝90°.
∵△FEG是直角三角形，∴∠NEF＝∠NEQ＋∠MEQ＝90°.∴∠PEM＝∠NEQ.∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC＝∠EQC＝90°，∴EP＝EQ，四边形PCQE是正方形．∴△EPM≌△EQN(SAS)．∴S△EQN＝S△EPM.∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积．
如图①，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与点C，D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE.(1)猜想图①中线段BG，线段DE的长度关系及所在直线的位置关系，并说明理由．
【解】BG＝DE，BG⊥DE.理由如下：如图①，延长BG交DE于点H.∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC＝DC，∠BCG＝∠DCE＝90°，CG＝CE.∴△BCG≌△DCE.∴BG＝DE，∠1＝∠2.∵∠1＋∠CGB＝90°，∠1＝∠2，∠CGB＝∠DGH，∴∠2＋∠DGH＝90°.∴∠DHG＝90°.∴BH⊥DE，即BG⊥DE.
(2)将图①中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图②③的情形．请你通过观察、测量等方法判断(1)中得到的结论是否仍然成立，并选取图②证明你的判断．