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中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练专题12含参代数式、方程与函数(原卷版+解析)
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这是一份中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练专题12含参代数式、方程与函数(原卷版+解析)，共28页。试卷主要包含了含有参数的代数式，含有参数的方程，含有参数的函数等内容，欢迎下载使用。
类型一 含有参数的代数式
典例1（南通中考）已知x＝m时，多项式x2+2x+n2的值为﹣1，则x＝﹣m时，该多项式的值为 ．
针对训练1
1． (2023春•西湖区月考）已知当x＝2m+n+2和x＝m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，且m﹣n+2≠0，则当x＝m+n+1时，多项式x2+4x+6的值等于（ ）
A．439B．1399C．3D．11
2． (2023秋•海淀区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m+1＝0有两个相等的实数根，求代数式（m﹣1）2+（m+2）（m﹣2）的值．
类型二 含有参数的方程
典例2 (2023秋•汉阴县期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1x2＞﹣1，则实数m的取值范围为 ．
针对训练
1． (2023•南海区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+2m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且有x2＜2＜x1，那么实数m的取值范围是（ ）
A．m＜2B．m＞2C．m＜﹣2D．m＞﹣2
2． (2023•南通模拟）关于x的一元二次方程ax2+2x﹣a+2＝0的两个不相等的实数根都在﹣2和0之间（不包括﹣2和0），则a的取值范围是 ．
3．已知关于x的方程x2﹣（m+n+2）x+2m＝0（n≥0）的两个实数根为α、β，且α≤β．
（1）试用含有α、β的代数式表示m和n；
（2）求证：α≤2≤β；
（3）若点P（α，β）在△ABC的三条边上运动，且△ABC顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，2），C（2，2），问是否存在点P，使m+n=134？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
类型三 含有参数的函数
典例4 (2023•南通一模）已知抛物线y＝x2+bx+a﹣1过点（2+a，m），（2﹣a，m），（a，n）．
（1）求b的值；
（2）当0＜a＜2时，请确定m，n的大小关系；
（3）若当0＜a≤x≤2+a时，y有最小值3，求a的值．
针对训练
1． (2023•海安市模拟）一次函数y＝（2a﹣3）x+a+2（a为常数）的图象，在﹣1≤x≤1的一段都在x轴上方，则a的取值范围是 ．
2． (2023春•海安市期末）已知一次函数y1＝kx+3（k为常数，k≠0）和y2＝x﹣4．当x＜1时，y1＞y2，则k的取值范围为 ．
3． (2023•南通中考）已知：二次函数y＝x2﹣4x+3a+2（a为常数）．
（1）请写出该二次函数的三条性质；
（2）在同一平面直角坐标系中，若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，求a的取值范围．
4． (2023秋•启东市月考）已知二次函数y＝x2+m2x−12（m为常数）．
（1）若该二次函数的图象经过点（1，2m），求m的值；
（2）求证：无论m取何值，二次函数y＝x2+m2x−12的图象与x轴必有两个交点；
（3）若平行于x轴的直线与该二次函数的图象交于点A，B，且点A，B的横坐标之和大于1，求m的取值范围．
5． (2023•崇川区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝﹣mx2+4mx﹣8（m≠0）．
（1）若m＞0，当﹣1≤x≤4时，函数图象的最低点M的纵坐标为﹣18，求m的值；
（2）若该函数的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），设n≤x1≤n+2，当x2≥6时，总有y1≤y2，求n的取值范围；
（3）已知A（﹣4，0）和B（6，0），若抛物线与线段AB只有一个共同点，求m的取值范围．
第二部分 专题提优训练
一．选择题
1． (2023秋•牡丹江期末）抛物线y＝ax2﹣bx﹣5经过点（2，3），则2a﹣b+1的值是（ ）
A．6B．5C．4D．3
2． (2023秋•工业园区校级期中）关于x的一元二次方程a（x+1）（x﹣2）+b＝0（a＜0，b＞0）的解为x1，x2，且x1＜x2．则下列结论正确的是（ ）
A．﹣1＜x1＜x2＜2B．﹣1＜x1＜2＜x2C．x2＜﹣1＜x2＜2D．x1＜﹣1＜2＜x2
二．填空题
3． (2023秋•灌阳县期中）若一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1+x2＝x1x2，则m的值是 ．
4． (2023秋•冠县期末）若二次函数y＝ax2﹣bx+5（a≠0）的图象与x轴交于（1，0），则b﹣a+2013的值是 ．
5． (2023春•江阴市月考）若一次函数y＝（m﹣1）x+3m﹣2的图象不经过第三象限，则实数m的取值范围为 ．
6． (2023春•锦州期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象分别与x轴，y轴交于点A（3，0），B（0，5），则不等式kx+b≤0的解集为 ．
三．解答题（共4小题）
7． (2023•昌平区二模）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+3a交于点A和点B，点A在x轴上．
（1）点A的坐标为 ．
（2）①用等式表示a与b之间的数量关系，并求抛物线的对称轴；
②当32≤AB≤52时，结合函数图象，求a的取值范围．
8． (2023•姜堰区二模）设一次函数y1＝2x+m+n和二次函数y2＝x（2x+m）+n．
（1）求证：y1，y2的图象必有交点；
（2）若m＞0，y1，y2的图象交于点A（x1，a）、B（x2，b），其中x1＜x2，设C（x3，b）为y2图象上一点，且x3≠x2，求x3﹣x1的值；
（3）在（2）的条件下，如果存在点D（x1+2，c）在y2的图象上，且a＞c，求m的取值范围．
9． (2023•文山市模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2（a为常数，且a≠0）的图象与y轴交于点A，顶点为B（m，n），点C的坐标为（0，a+3）．
（1）求m和n的值（可用含a的式子表示）；
（2）已知点D（x1，y1）是抛物线上的点，2≤x1≤3，当a＞0且BC=5AB时，求y1的最大值．
10． (2023秋•海珠区校级月考）已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．
（1）当m＝0时，请判断点（3，9）是否在该抛物线上；
（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
（3）已知点E（﹣2，﹣3）、F（4，9），若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．
专题12 含参代数式、方程与函数（解析版）
第一部分 典例剖析+针对训练
类型一 含有参数的代数式
典例1（南通中考）已知x＝m时，多项式x2+2x+n2的值为﹣1，则x＝﹣m时，该多项式的值为 ．
思路引领：根据非负数的性质，得出m＝﹣1，n＝0，由此即可解决问题．
解：∵多项式x2+2x+n2＝（x+1）2+n2﹣1，
∵（x+1）2≥0，n2≥0，
∴（x+1）2+n2﹣1的最小值为﹣1，
此时m＝﹣1，n＝0，
∴x＝﹣m时，多项式x2+2x+n2的值为m2﹣2m+n2＝3
故答案为3．
或解：∵多项式x2+2x+n2的值为﹣1，
∴x2+2x+1+n2＝0，
∴（x+1）2+n2＝0，
∵（x+1）2≥0，n2≥0，
∴x+1=0n=0，
∴x＝m＝﹣1，n＝0，
∴x＝﹣m时，多项式x2+2x+n2的值为m2﹣2m+n2＝3
故答案为3．
总结提升：本题考查代数式求值，非负数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
针对训练1
1． (2023春•西湖区月考）已知当x＝2m+n+2和x＝m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，且m﹣n+2≠0，则当x＝m+n+1时，多项式x2+4x+6的值等于（ ）
A．439B．1399C．3D．11
思路引领：将x＝2m+n+2和x＝m+2n代入多项式x2+4x+6，由值相等得到m﹣n+2＝0或m+n+2＝0，由m﹣n+2≠0，则m+n+2＝0，求出x＝m+n+1＝﹣1，即可求解；
解：∵x＝2m+n+2和x＝m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，
∴（2m+n+2）2+4（2m+n+2）+6＝（m+2n）2+4（m+2n）+6，
∴（2m+n+4）2＝（m+2n+2）2，
∴2m+n+4＝m+2n+2或2m+n+4＝﹣（m+2n+2），
∴m﹣n+2＝0或m+n+2＝0，
∵m﹣n+2≠0，
∴m+n+2＝0，
当x＝m+n+1时，x＝﹣1，
∴x2+4x+6＝3；
故选：C．
总结提升：本题考查整式的运算，整体代入思想；能够将多项式整体代入多项式中，进行正确的化简是解题的关键．
2． (2023秋•海淀区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m+1＝0有两个相等的实数根，求代数式（m﹣1）2+（m+2）（m﹣2）的值．
思路引领：根据根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，建立关于m的等式，求出m2＝m+1，代入整理后的代数式求值即可．
解：∵一元二次方程x2﹣2mx+m+1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即Δ＝（﹣2m）2﹣4×1×（m+1）＝0，
整理得，m2﹣m﹣1＝0，
∴m2＝m+1，
（m﹣1）2+（m+2）（m﹣2）
＝m2﹣2m+1+m2﹣4
＝2m2﹣2m﹣3
＝2（m+1）﹣2m﹣3
＝﹣1．
总结提升：本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系是解答此题的关键．
类型二 含有参数的方程
典例2 (2023秋•汉阴县期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1x2＞﹣1，则实数m的取值范围为 ．
思路引领：根据根的情况可得Δ＝（﹣1）2﹣8m＞0，根据根与系数的关系可得2m＞﹣1，即可求出m的取值范围．
解：根据题意，Δ＝（﹣1）2﹣8m＞0，
解得m＜18，
又∵x1x2＝2m＞﹣1，
解得m＞−12，
∴实数m的取值范围是：−12＜m＜18．
故答案为：−12＜m＜18．
总结提升：本题考查了根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键．
针对训练
1． (2023•南海区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+2m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且有x2＜2＜x1，那么实数m的取值范围是（ ）
A．m＜2B．m＞2C．m＜﹣2D．m＞﹣2
思路引领：先用求根公式和x2＜2＜x1，求出x2＝﹣2，x1＝﹣m，根据x1＞2求出m的取值范围．
解：∵x2+（m+2）x+2m＝0，
∴x=−(m+2)±(m+2)2−4×1×2m2=−(m+2)±(m−2)2，
∵x2＜2＜x1，
∴x2＝﹣2，x1＝﹣m，
∴﹣m＞2，
∴m＜﹣2，
故选：C．
总结提升：本题考查了根与系数的关系，关键是求出x1，x2的值．
2． (2023•南通模拟）关于x的一元二次方程ax2+2x﹣a+2＝0的两个不相等的实数根都在﹣2和0之间（不包括﹣2和0），则a的取值范围是 ．
思路引领：首先根据根的情况利用根的判别式解得a的取值范围，然后根据根两个不相等的实数根都在﹣2和0之间（不包括﹣2和0），结合函数图象确定其函数值的取值范围得a，易得a的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x﹣a+2＝0的两个不相等的实数根，
∴△＝22﹣4×a×（﹣a+2）＝4a2﹣8a+4＝4（a﹣1）2＞0，
∴a≠1，
设f（x）＝ax2+2x﹣a+2，
根据题意知，当a＞0时，
如图1，
由f（﹣2）＞0且f（0）＞0可得4a−4−a+2＞0−a+2＞0，
解得：23＜a＜2；
当a＜0时，如图2，
由f（﹣2）＜0且f（0）＜0可得4a−4−a+2＜0−a+2＜0，
∴该不等式组无解；
综上，a的取值范围是23＜a＜2且a≠1，
故答案为：23＜a＜2且a≠1．
总结提升：本题主要考查了一元二次方程根的情况的判别及抛物线与x轴的交点，数形结合确定当x＝0和当x＝﹣2时函数值的取值范围是解答此题的关键．
3．已知关于x的方程x2﹣（m+n+2）x+2m＝0（n≥0）的两个实数根为α、β，且α≤β．
（1）试用含有α、β的代数式表示m和n；
（2）求证：α≤2≤β；
（3）若点P（α，β）在△ABC的三条边上运动，且△ABC顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，2），C（2，2），问是否存在点P，使m+n=134？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
思路引领：（1）因为原方程有两个实数根，故判别式Δ＝（m+n+2）2﹣8m＝（m+n﹣2）2+8n≥0，且α+β＝m+m+2，αβ＝2m，即可得出结论；
（2）因为α≤β，故只需求（2﹣α）（2﹣β）≤0即可；
（3）先根据条件确定动点所在的边，再确定点的坐标．
解：（1）∵α、β为方程x2﹣（m+n+）x+2m＝0（n≥0）的两个实数根，
∴判别式Δ＝（m+n+2）2﹣8m＝（m+n﹣2）2+8n≥0，
且α+β＝m+n+2，αβ＝2m，
于是m=12αβ，
n＝α+β﹣m﹣2＝α+β−12αβ﹣2；
（2）∵（2﹣α）（2﹣β）＝4﹣2（α+β）+αβ＝﹣2n≤0（n≥0），
又α≤β，
∴α≤2≤β；
（3）若使m+n=134成立，只需α+β＝m+n+2=134+2=214①，
①当点M（α，β）在BC边上运动时，
由B（1，2），C（2，2），
得1≤α≤2，β＝2，
而α=214−β=134＞2，
故在BC边上存在满足条件的点，其坐标为（134，2）所以不符合题意舍去；
即在BC边上不存在满足条件的点；
②当点M（α，β）在AC边上运动时，
由A（2，4），C（2，2），
得α＝2，2≤β≤4，
此时β=214−α=134，
又因为2＜134＜4，
故在AC边上存在满足条件的点，其坐标为（2，134）；
③当点M（α，β）在AB边上运动时，
由A（2，4），B（1，2），
得1≤α≤2，2≤β≤4，
由平面几何知识得，2−α2−1=4−β4−2，
于是β＝2α②，
联立①②，解得α=74，β=72，
又因为1＜74＜2，2＜72＜4，
故在AB边上存在满足条件的点，其坐标为（74，72）．
综上所述，当点M（α，β）在△ABC的三条边上运动时，存在点（2，134）和点（74，72），使m+n=134成立．
总结提升：此题是三角形综合题，主要考查了将根与系数的关系、根的判别式与动点问题相结合，体现了运动变化的观点，分类类讨论是解本题的关键．
类型三 含有参数的函数
典例4 (2023•南通一模）已知抛物线y＝x2+bx+a﹣1过点（2+a，m），（2﹣a，m），（a，n）．
（1）求b的值；
（2）当0＜a＜2时，请确定m，n的大小关系；
（3）若当0＜a≤x≤2+a时，y有最小值3，求a的值．
思路引领：（1）根据二次函数的对称轴为直线x＝2，即可得出−b2=2，求得b＝﹣4；
（2）由（2+a，m），（a，n）是抛物线上两点，得出当a＝1时，为（3，m），（1，n），关于对称轴对称，则m＝n，然后根据图象即可得出当0＜a＜2时，m，n的大小关系；
（3）分两种情况讨论，借组图象得到关于a的方程，解方程即可求得．
解：（1）∵（2+a，m），（2﹣a，m）是抛物线上的两点，
∴对称轴为直线x=2+a+2−a2=2，
∴−b2=2，
∴b＝﹣4；
（2）如图，∵（2+a，m），（a，n）是抛物线上两点，
∴当a＝1，2+a＝3时，m＝n，
由图可知，①当0＜a≤1时，m≤n；
②当1＜a＜2时，m＞n；
（3）如图，①当0＜a≤2时，在x＝2时y取最小值，
此时y最小值＝a﹣5，
令a﹣5＝3，
则a＝8（不合题意，舍），
②当a＞2时，在x＝a时y取最小值，
此时y＝x2+4x+a﹣1＝a2﹣4a+a﹣1＝a2﹣3a﹣1，
令a2﹣3a﹣1＝3，
解得：a＝4或a＝﹣1（舍去），
综上所述：a＝4．
总结提升：本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，数形结合是解题的关键
针对训练
1． (2023•海安市模拟）一次函数y＝（2a﹣3）x+a+2（a为常数）的图象，在﹣1≤x≤1的一段都在x轴上方，则a的取值范围是 ．
思路引领：根据一次函数y＝（2a﹣3）x+a+2的图象在﹣1≤x≤1的一段都在x轴的上方，由一次函数的性质，则有2a﹣3≠0，再分2a﹣3＞0和2a﹣3＜0来讨论，解得即可．
解：因为y＝（2a﹣3）x+a+2是一次函数，
所以2a﹣3≠0，a≠32，
当2a﹣3＞0时，y随x的增大而增大，由x＝﹣1得：y＝﹣2a+3+a+2，
根据函数的图象在x轴的上方，则有﹣2a+3+a+2＞0，
解得：32＜a＜5．
当2a﹣3＜0时，y随x的增大而减小，由x＝1得：y＝2a﹣3+a+2，根据函数的图象在x轴的上方，
则有：2a﹣3+a+2＞0，解得：13＜a＜32，
故答案为：32＜a＜5或13＜a＜32．
总结提升：本题考查了一次函数图象和系数的关系，属于基础题，转化为解不等式的问题是解决本题的关键．
2． (2023春•海安市期末）已知一次函数y1＝kx+3（k为常数，k≠0）和y2＝x﹣4．当x＜1时，y1＞y2，则k的取值范围为 ．
思路引领：解不等式kx+3＞x﹣4，根据题意得出k﹣1＜0且−7k−1≥1且k≠0，解此不等式即可．
解：∵一次函数y1＝kx+3（k为常数，k≠0）和y2＝x﹣4，当x＜1时，y1＞y2，
∴kx+3＞x﹣4，
∴kx﹣x＞﹣7，
∴k﹣1＜0且−7k−1≥1且k≠0，
当k﹣1＜0时，−7k−1≥1时，k≥﹣6，
所以不等式组的解集为﹣6≤k＜1且k≠0；
当k＝1时，也成立，
故k的取值范围是﹣6≤k≤1且k≠0，
故答案为：﹣6≤k≤1且k≠0．
总结提升：本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，关键是根据题意得出k﹣1＜0且−7k−1≥1且k≠0解答．
3． (2023•南通中考）已知：二次函数y＝x2﹣4x+3a+2（a为常数）．
（1）请写出该二次函数的三条性质；
（2）在同一平面直角坐标系中，若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，求a的取值范围．
思路引领：（1）把二次函数解析式化为顶点式，则可求得其顶点坐标、对称轴及开口方向；
（2）根据二次函数的图象与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，则x2﹣4x+3a+2＝2x﹣1的方程的Δ＞0，求得a＜2，把x＝4和代入y＝2x﹣1，求得函数值7，把（4，7）代入y＝x2﹣4x+3a+2，得到关于a的方程，解方程求得a=53，根据题意求出a的取值即可．
解：（1）∵二次函数y＝x2﹣4x+3a+2＝（x﹣2）2+3a﹣2，
∴该二次函数开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，3a﹣2），
其性质有：①开口向上，②有最小值3a﹣2，③对称轴为x＝2．
（2）∵二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，
∴x2﹣4x+3a+2＝2x﹣1，
整理为：x2﹣6x+3a+3＝0，
∴△＝36﹣4（3a+3）＞0，
解得a＜2，
把x＝4代入y＝2x﹣1，解得y＝2×4﹣1＝7，
把（4，7）代入y＝x2﹣4x+3a+2得7＝16﹣16+3a+2，解得a=53，
故该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，a的取值为53≤a＜2．
总结提升：本题考查了 二次函数的图象和性质，一次函数的性质，根据题意得到a的取值是解题的关键．
4． (2023秋•启东市月考）已知二次函数y＝x2+m2x−12（m为常数）．
（1）若该二次函数的图象经过点（1，2m），求m的值；
（2）求证：无论m取何值，二次函数y＝x2+m2x−12的图象与x轴必有两个交点；
（3）若平行于x轴的直线与该二次函数的图象交于点A，B，且点A，B的横坐标之和大于1，求m的取值范围．
思路引领：（1）把点（1，2m）代入抛物线解析式即可得解；
（2）计算判别式的值得到Δ=m24+2，利用非负数的性质得到Δ＞0，然后根据判别式的意义得到结论；
（3）将平行于x轴的直线y＝n与抛物线联立得出关于x的方程，由其交点的横坐标之和大于1可得出有关m的不等式，即可求解．
（1）解：把点P（1，2m）代入抛物线y＝x2+m2x−12中，得
1+m2−12=2m，
解得：m=13；
（2）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝（m2）2﹣4×1×（−12）
=m24+2，
∵无论m取何值，m2≥0，
∴m24+2＞0，
∴二次函数y＝x2+m2x−12图象与x轴必有两个交点．
（3）解：设平行于x轴的直线为y＝n，
∵直线y＝n与该二次函数的图象交于点A，B，
∴y=x2+m2x−12y=n，
整理得，x2+m2x−12−n＝0，
若x1，x2是方程x2+m2x−12−n＝0的两根，则x1，x2是直线与抛物线交点A，B的横坐标，
∴x1+x2=−m2，
由题意得，−m2＞1，
解得，m＜﹣2．
∴m的取值范围是m＜﹣2．
总结提升：本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质；要求学生会利用判别式判断抛物线与x轴的交点情况以及灵活运用根与系数的关系解题．
5． (2023•崇川区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝﹣mx2+4mx﹣8（m≠0）．
（1）若m＞0，当﹣1≤x≤4时，函数图象的最低点M的纵坐标为﹣18，求m的值；
（2）若该函数的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），设n≤x1≤n+2，当x2≥6时，总有y1≤y2，求n的取值范围；
（3）已知A（﹣4，0）和B（6，0），若抛物线与线段AB只有一个共同点，求m的取值范围．
思路引领：（1）先求得抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝2，即可得到当x＝﹣1时，y＝﹣18，解得m＝2；
（2）根据题意得到点B在x＝6右侧，点A（x1，y1）在x＝﹣2与x＝6之间，即可得到n≥−2n+2≤6，解得：﹣2≤n≤4；
（3）分三种情况讨论：当抛物线顶点在线段AB上时，令﹣mx2+4mx﹣8＝0，则Δ＝0，解得m＝2；由解析式可知抛物线过点（0，﹣8），且对称轴x＝2，所以点B（6，0）关于x＝2的对称点为M（﹣2，0），故抛物线仅在线段AM上有一个交点，所以当x＝﹣4时，y≥0，当x＝﹣2时，y＜0，解得：−23＜m≤−14，从而求得m＝2或−23＜m≤−14时抛物线与线段AB有一个交点．
解：（1）∵m＞0，
∴﹣m＜0，
∴抛物线开口向下，
∵1≤x≤4，且对称轴为直线x=−b2a=−4m−2m=2，
∴当x＝﹣1时，y＝﹣18，
∴﹣m﹣4m﹣8＝﹣18，
解得：m＝2；
（2）∵当x2≥6时，总有y1≤y2，
∴当x＞2时y随x的增大而增大，
如图，x＝6，关于x＝2对称的直线为x＝﹣2，过此点作x轴的平行线，
∴x≥6，
∴点B在x＝6右侧，
∵当x2≥6时，总有y1≤y2，
∴点A（x1，y1）在x＝﹣2与x＝6之间，
∴n≥−2n+2≤6，
解得：﹣2≤n≤4；
（3）由题意可知，抛物线与x轴有交点，
∴m≠0，且Δ＝（4m）2﹣4×（﹣m）×（﹣8）≥0，即16m2﹣32m≥0，
解得m≥2或m＜0，
当m＝2时，抛物线的顶点在线段AB上，
当m＞2时，抛物线开口向下，
又∵抛物线过点（0，﹣8），且对称轴x＝2，
∴当x＝6时，y＜0，
∴抛物线与线段AB有两个共同点，不合题意；
当m＜0，抛物线开口向上，
又∵抛物线过点（0，﹣8），且对称轴x＝2，如图，点B（6，0）关于x＝2的对称点为M（﹣2，0），
∴抛物线仅在线段AM上有一个交点，
当x＝﹣4时，y≥0，当x＝﹣2时，y＜0，
∴−16m−16m−8≥0−4m−8m−8＜0，
解得：−23＜m≤−14，
综上所述：当m＝2或−23＜m≤−14时抛物线与线段AB有一个交点．
总结提升：本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活运用函数图象的增减性是解题的关键．
第二部分 专题提优训练
一．选择题
1． (2023秋•牡丹江期末）抛物线y＝ax2﹣bx﹣5经过点（2，3），则2a﹣b+1的值是（ ）
A．6B．5C．4D．3
思路引领：将点（2，3）代入y＝ax2﹣bx﹣5可得2a﹣b＝4，再求代数式的值即可．
解：∵抛物线y＝ax2﹣bx﹣5经过点（2，3），
∴3＝4a﹣2b﹣5，
∴4a﹣2b＝8，
∴2a﹣b＝4，
∴2a﹣b+1＝5，
故选：B．
总结提升：本题考查二次函数图象上点的特点，熟练掌握函数图象上的点与二次函数表达式的关系是解题的关键．
2． (2023秋•工业园区校级期中）关于x的一元二次方程a（x+1）（x﹣2）+b＝0（a＜0，b＞0）的解为x1，x2，且x1＜x2．则下列结论正确的是（ ）
A．﹣1＜x1＜x2＜2B．﹣1＜x1＜2＜x2C．x2＜﹣1＜x2＜2D．x1＜﹣1＜2＜x2
思路引领：先把关于x的一元二次方程a（x+1）（x﹣2）+b＝0（a＜0，b＞0）的解转化为直线和抛物线的交点，再结合图形进行判断即可．
解：关于x的一元二次方程a（x+1）（x﹣2）+b＝0（a＜0，b＞0）的解就是函数y＝a（x+1）（x﹣2）与y＝﹣b的交点的横坐标，
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∵b＞0，
∴y＝﹣b在x轴下方，
∵x1＜x2，
如图所示：
∴x1＜﹣1＜2＜x2，
故选：D．
总结提升：本题考查抛物线与x轴的交点，以及直线与抛物线的交点问题，解题关键是把一元二次方程的根转化为直线和抛物线的交点．
二．填空题
3． (2023秋•灌阳县期中）若一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1+x2＝x1x2，则m的值是 ．
思路引领：由根与系数的关系，可得x1+x2＝2m+3，x1•x2＝m2，又由x1+x2＝x1•x2，结合根的判别式即可求得m的值．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝[﹣（2m+3）]2﹣4m2＝12m+9＞0，
∴m＞−34，
∵x1+x2＝2m+3，x1•x2＝m2，
又∵x1+x2＝x1•x2，
∴2m+3＝m2，
解得：m＝﹣1或m＝3，
∵m＞−34，
∴m＝3，
故选：B．
故答案为：3．
总结提升：此题考查了一元二次方程根与系数的关系与判别式的应用．此题难度适中，注意掌握如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根，那么有x1+x2=−ba，x1•x2=ca的应用．
4． (2023秋•冠县期末）若二次函数y＝ax2﹣bx+5（a≠0）的图象与x轴交于（1，0），则b﹣a+2013的值是 ．
思路引领：将（1，0）代入得：a﹣b+5＝0，即a﹣b＝﹣5，代入到原式＝﹣（a﹣b）+2013可得答案．
解：根据题意，将（1，0）代入得：a﹣b+5＝0，
则a﹣b＝﹣5，
∴b﹣a+2013＝﹣（a﹣b）+2013＝5+2013＝2018，
故答案为2018．
总结提升：本题主要考查抛物线与x轴的交点和代数式的求值，熟练掌握整体代入求代数式的值是解题的关键．
5． (2023春•江阴市月考）若一次函数y＝（m﹣1）x+3m﹣2的图象不经过第三象限，则实数m的取值范围为 ．
思路引领：分一次函数y＝（m﹣1）x+3m﹣2的图象经过第二、四象限及一次函数y＝（m﹣1）x+3m﹣2的图象经过第一、二、四象限两种情况考虑，当一次函数y＝（m﹣1）x+3m﹣2的图象经过第二、四象限时，由k＜0，b＝0可求出m的值；当一次函数y＝（m﹣1）x+3m﹣2的图象经过第一、二、四象限时，利用一次函数图象与系数的关系可得出k＜0，b＞0，解之即可得出m的取值范围，综上，即可得出实数m的取值范围．
解：当一次函数y＝（m﹣1）x+3m﹣2的图象经过第二、四象限时，m−1＜03m−2=0，
解得：m=23；
当一次函数y＝（m﹣1）x+3m﹣2的图象经过第一、二、四象限时，m−1＜03m−2＞0，
解得：23＜m＜1．
综上所述，实数m的取值范围为23≤m＜1．
故答案为：23≤m＜1．
总结提升：本题考查了一次函数图象与系数的关系，分一次函数y＝（m﹣1）x+3m﹣2的图象经过第二、四象限及一次函数y＝（m﹣1）x+3m﹣2的图象经过第一、二、四象限两种情况，求出m的值（或m的取值范围）是解题的关键．
6． (2023春•锦州期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象分别与x轴，y轴交于点A（3，0），B（0，5），则不等式kx+b≤0的解集为 ．
思路引领：根据一次函数的性质得出y随x的增大而减小，当x≥3时，y≤0，即可求出答案．
解：∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点（﹣3，0），与y轴交于点（0，﹣5），
∴y随x的增大而减小，且x＝﹣3时，y＝0，
当x≥3时，y≤0，即kx+b≤0，
∴不等式kx+b≤0的解集为x≥3．
故答案为：x≥3．
总结提升：本题主要考查一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
三．解答题（共4小题）
7． (2023•昌平区二模）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+3a交于点A和点B，点A在x轴上．
（1）点A的坐标为 （ ．
（2）①用等式表示a与b之间的数量关系，并求抛物线的对称轴；
②当32≤AB≤52时，结合函数图象，求a的取值范围．
思路引领：（1）令y＝0，x+1＝0，则A点坐标为（﹣1，0）；
（2）①将（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3a，可得b＝4a，由对称轴x=−b2a=−2；
②设B（m，m+1），由m+1＝am2+4am+3a，得m=1a−3，AB=2(m+1)2=2|m+1|=2|1a−2|，结合AB的取值范围即可求解；
解：（1）令y＝0，x+1＝0，则A点坐标为（﹣1，0）；
故答案为（﹣1，0）；
（2）①将（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3a，
∴a﹣b+3a＝4a﹣b＝0，
∴b＝4a，
∵x=−b2a=−2；
②设B（m，m+1），
AB=2(m+1)2=2|m+1|，
∵m+1＝am2+4am+3a，
m+1＝a（m+1）（m+3），
∵m≠﹣1，
∴m=1a−3，
∴AB=2|1a−2|，
∵32≤AB≤52，
∴32≤2|1a−2|≤52，
∴−1≤a≤−13或17≤a≤15．
总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；熟练掌握交点坐标的含义，不等式的解法是解题的关键．
8． (2023•姜堰区二模）设一次函数y1＝2x+m+n和二次函数y2＝x（2x+m）+n．
（1）求证：y1，y2的图象必有交点；
（2）若m＞0，y1，y2的图象交于点A（x1，a）、B（x2，b），其中x1＜x2，设C（x3，b）为y2图象上一点，且x3≠x2，求x3﹣x1的值；
（3）在（2）的条件下，如果存在点D（x1+2，c）在y2的图象上，且a＞c，求m的取值范围．
思路引领：（1）证明y1＝y2时，方程2x+m+n＝x（2x+m）+n有解，进而转化证明一元二次方程的根的判别式非负便可；
（2）由y1＝y2，求出x1与x2，进而求得b，由b的值，求得x3的值，进而得x3﹣x1的值；
（3）把点A（x1，a）、点D（x1+2，c）代入y2＝x（2x+m）+n，根据a＞c得x1（2x1+m）+n﹣2（x1+2）2﹣m（x1+2）﹣n＞0，化简得4x1+4+m＜0，由（2）得x1=−m2，代入求解即可．
（1）证明：当y1＝y2时，得2x+m+n＝x（2x+m）+n，
化简为：2x2+（m﹣2）x﹣m＝0，
△＝（m﹣2）2+8m＝（m+2）2≥0，
∴方程2x+m+n＝x（2x+m）+n有解，
∴y1，y2的图象必有交点；
（2）解：当y1＝y2时，2x+m+n＝x（2x+m）+n，
化简为：2x2+（m﹣2）x﹣m＝0，
（2x+m）（x﹣1）＝0，
∵m＞0，x1＜x2，
∴x1=−m2，x2＝1，
∴b＝2+m+n，
当y＝2+m+n时，y2＝x（2x+m）+n＝2+m+n，
化简为：2x2+mx﹣m﹣2＝0，
2x2﹣2+mx﹣m＝0，
2（x+1）（x﹣1）+m（x﹣1）＝0，
（2x+m+2）（x﹣1）＝0，
解得，x＝1（等于x2），或x=−m−22，
∴x3=−m−22，
∴x3﹣x1=−m−22−（−m2）＝﹣1；
（3）解：∵点D（x1+2，c）在y2的图象上，
∴c＝（x1+2）[2（x1+2）+m]+n＝2（x1+2）2+m（x1+2）+n．
∵点A（x1，a）在y2的图象上，
∴a＝x1（2x1+m）+n．
∵a＞c，
∴a﹣c＞0，
∴x1（2x1+m）+n﹣2（x1+2）2﹣m（x1+2）﹣n＞0，
化简得4x1+4+m＜0，
由（2）得x1=−m2，
∴4×（−m2）+4+m＜0，
﹣2m+4+m＜0，
﹣m+4＜0，
m＞4，
∴m的取值范围为m＞4．
总结提升：本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，待定系数法，第（1）题关键转化证明一元二次方程根的判别式的正负，第（2）题关键求得x3的值．
9． (2023•文山市模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2（a为常数，且a≠0）的图象与y轴交于点A，顶点为B（m，n），点C的坐标为（0，a+3）．
（1）求m和n的值（可用含a的式子表示）；
（2）已知点D（x1，y1）是抛物线上的点，2≤x1≤3，当a＞0且BC=5AB时，求y1的最大值．
思路引领：（1）直接利用抛物线的顶点坐标的公式计算；
（2）利用坐标系中两点间的距离公式求出AB2，BC2，再根据AB，BC之间的关系得到关于a的方程，解方程求出a的值，得到二次函数解析式，然后根据二次函数的增减性及x1的取值范围求出y1的最值．
解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2的顶点坐标为（m，n），
∴m=−2a−2a=1，n=−8a−4a24a=−2−a；即m＝1，n＝﹣2﹣a．
（2）由（1）知，点A的坐标为（0，﹣2），点B坐标为（1，﹣2﹣a），
∴AB2＝（0﹣1）2+（﹣2+2+a）2＝1+a2，
∵点C的坐标为（0，a+3），
∴BC2＝（0﹣1）2+（a+3+2+a）2＝1+（2a+5）2，
∵BC=5AB，
∴BC2＝5AB2，即：1+（2a+5）2＝5（1+a2），
解得a1＝21，a2＝﹣1，
∵a＞0，
∴a＝21，
∴y＝21x2﹣42x﹣2，
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴当2≤x1≤3时，点D（x1，y1）在对称轴右侧，
∵抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∴当x1＝3时，y1最大值＝21×32﹣42×3﹣2＝61．
总结提升：本题考查了二次函数的图像与性质及平面直角坐标系中两点间距离的求法，熟练掌握坐标系中两点间的距离公式是解题的关键．
10． (2023秋•海珠区校级月考）已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．
（1）当m＝0时，请判断点（3，9）是否在该抛物线上；
（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
（3）已知点E（﹣2，﹣3）、F（4，9），若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．
思路引领：（1）由m＝0可得抛物线解析式，将x＝3代入解析式求解．
（2）由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标，通过配方可得顶点纵坐标取最大值时m的值，进而求解．
（3）由点E，F坐标求出直线EF的解析式，联立直线与抛物线方程即可求解交点坐标，分别求出抛物线经过点E，F和抛物线与直线EF相切时m的值，结合图象进而求解．
解：（1）当m＝0时，y＝x2﹣x+3，
将x＝3代入y＝x2﹣x+3得y＝9﹣3+3＝9，
∴点（3，9）在该抛物线上．
（2）∵y＝x2﹣（m+1）x+2m+3，
∴抛物线顶点坐标为（m+12，4(2m+3)−(m+1)24），化简得（m+12，−m2+6m+114），
∵−m2+6m+114=−14（m﹣3）2+5，
∴m＝3时，顶点纵坐标最大值为5，
∴抛物线顶点坐标为（2，5）．
（3）设直线EF解析式为y＝kx+b，
将E（﹣2，﹣3），F（4，9）代入解析式可得−2k+b=−34k+b=9，
解得k=2b=1，
∴y＝2x+1，
联立直线与抛物线方程得y=2x+1y=x2−(m+1)x+2m+3，
解得x=2y=5或x=m+1y=2m+3，
∴直线EF与抛物线的交点坐标为（2，5），（m+1，2m+3）．
∴抛物线经过线段EF上定点（2，5），
如图，当抛物线经过（﹣2，﹣3）时，﹣3＝4+2m+2+2m+3，
解得m＝﹣3，
∴m＜﹣3符合题意．
当抛物线经过（4，9）时，9＝16﹣4m﹣4+2m+3，
解得m＝3，
∴m＞3符合题意．
令x2﹣（m+1）x+2m+3＝2x+1，
整理得x2﹣（m+3）x+2m+2＝0，
∴Δ＝（m+3）2﹣4（2m+2）＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2，
∴m＝1时，Δ＝0，此时抛物线与线段EF有1个交点．
∵m＜﹣3或m＞3或m＝1时，抛物线与线段EF只有一个交点，
∵抛物线顶点横坐标为m+12，
∴x＜﹣1或x＞2或x＝1．
总结提升：本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合求解
类型一 含有参数的代数式
典例1（南通中考）已知x＝m时，多项式x2+2x+n2的值为﹣1，则x＝﹣m时，该多项式的值为 ．
针对训练1
1． (2023春•西湖区月考）已知当x＝2m+n+2和x＝m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，且m﹣n+2≠0，则当x＝m+n+1时，多项式x2+4x+6的值等于（ ）
A．439B．1399C．3D．11
2． (2023秋•海淀区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m+1＝0有两个相等的实数根，求代数式（m﹣1）2+（m+2）（m﹣2）的值．
类型二 含有参数的方程
典例2 (2023秋•汉阴县期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1x2＞﹣1，则实数m的取值范围为 ．
针对训练
1． (2023•南海区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+2m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且有x2＜2＜x1，那么实数m的取值范围是（ ）
A．m＜2B．m＞2C．m＜﹣2D．m＞﹣2
2． (2023•南通模拟）关于x的一元二次方程ax2+2x﹣a+2＝0的两个不相等的实数根都在﹣2和0之间（不包括﹣2和0），则a的取值范围是 ．
3．已知关于x的方程x2﹣（m+n+2）x+2m＝0（n≥0）的两个实数根为α、β，且α≤β．
（1）试用含有α、β的代数式表示m和n；
（2）求证：α≤2≤β；
（3）若点P（α，β）在△ABC的三条边上运动，且△ABC顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，2），C（2，2），问是否存在点P，使m+n=134？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
类型三 含有参数的函数
典例4 (2023•南通一模）已知抛物线y＝x2+bx+a﹣1过点（2+a，m），（2﹣a，m），（a，n）．
（1）求b的值；
（2）当0＜a＜2时，请确定m，n的大小关系；
（3）若当0＜a≤x≤2+a时，y有最小值3，求a的值．
针对训练
1． (2023•海安市模拟）一次函数y＝（2a﹣3）x+a+2（a为常数）的图象，在﹣1≤x≤1的一段都在x轴上方，则a的取值范围是 ．
2． (2023春•海安市期末）已知一次函数y1＝kx+3（k为常数，k≠0）和y2＝x﹣4．当x＜1时，y1＞y2，则k的取值范围为 ．
3． (2023•南通中考）已知：二次函数y＝x2﹣4x+3a+2（a为常数）．
（1）请写出该二次函数的三条性质；
（2）在同一平面直角坐标系中，若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，求a的取值范围．
4． (2023秋•启东市月考）已知二次函数y＝x2+m2x−12（m为常数）．
（1）若该二次函数的图象经过点（1，2m），求m的值；
（2）求证：无论m取何值，二次函数y＝x2+m2x−12的图象与x轴必有两个交点；
（3）若平行于x轴的直线与该二次函数的图象交于点A，B，且点A，B的横坐标之和大于1，求m的取值范围．
5． (2023•崇川区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝﹣mx2+4mx﹣8（m≠0）．
（1）若m＞0，当﹣1≤x≤4时，函数图象的最低点M的纵坐标为﹣18，求m的值；
（2）若该函数的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），设n≤x1≤n+2，当x2≥6时，总有y1≤y2，求n的取值范围；
（3）已知A（﹣4，0）和B（6，0），若抛物线与线段AB只有一个共同点，求m的取值范围．
第二部分 专题提优训练
一．选择题
1． (2023秋•牡丹江期末）抛物线y＝ax2﹣bx﹣5经过点（2，3），则2a﹣b+1的值是（ ）
A．6B．5C．4D．3
2． (2023秋•工业园区校级期中）关于x的一元二次方程a（x+1）（x﹣2）+b＝0（a＜0，b＞0）的解为x1，x2，且x1＜x2．则下列结论正确的是（ ）
A．﹣1＜x1＜x2＜2B．﹣1＜x1＜2＜x2C．x2＜﹣1＜x2＜2D．x1＜﹣1＜2＜x2
二．填空题
3． (2023秋•灌阳县期中）若一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1+x2＝x1x2，则m的值是 ．
4． (2023秋•冠县期末）若二次函数y＝ax2﹣bx+5（a≠0）的图象与x轴交于（1，0），则b﹣a+2013的值是 ．
5． (2023春•江阴市月考）若一次函数y＝（m﹣1）x+3m﹣2的图象不经过第三象限，则实数m的取值范围为 ．
6． (2023春•锦州期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象分别与x轴，y轴交于点A（3，0），B（0，5），则不等式kx+b≤0的解集为 ．
三．解答题（共4小题）
7． (2023•昌平区二模）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+3a交于点A和点B，点A在x轴上．
（1）点A的坐标为 ．
（2）①用等式表示a与b之间的数量关系，并求抛物线的对称轴；
②当32≤AB≤52时，结合函数图象，求a的取值范围．
8． (2023•姜堰区二模）设一次函数y1＝2x+m+n和二次函数y2＝x（2x+m）+n．
（1）求证：y1，y2的图象必有交点；
（2）若m＞0，y1，y2的图象交于点A（x1，a）、B（x2，b），其中x1＜x2，设C（x3，b）为y2图象上一点，且x3≠x2，求x3﹣x1的值；
（3）在（2）的条件下，如果存在点D（x1+2，c）在y2的图象上，且a＞c，求m的取值范围．
9． (2023•文山市模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2（a为常数，且a≠0）的图象与y轴交于点A，顶点为B（m，n），点C的坐标为（0，a+3）．
（1）求m和n的值（可用含a的式子表示）；
（2）已知点D（x1，y1）是抛物线上的点，2≤x1≤3，当a＞0且BC=5AB时，求y1的最大值．
10． (2023秋•海珠区校级月考）已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．
（1）当m＝0时，请判断点（3，9）是否在该抛物线上；
（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
（3）已知点E（﹣2，﹣3）、F（4，9），若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．
专题12 含参代数式、方程与函数（解析版）
第一部分 典例剖析+针对训练
类型一 含有参数的代数式
典例1（南通中考）已知x＝m时，多项式x2+2x+n2的值为﹣1，则x＝﹣m时，该多项式的值为 ．
思路引领：根据非负数的性质，得出m＝﹣1，n＝0，由此即可解决问题．
解：∵多项式x2+2x+n2＝（x+1）2+n2﹣1，
∵（x+1）2≥0，n2≥0，
∴（x+1）2+n2﹣1的最小值为﹣1，
此时m＝﹣1，n＝0，
∴x＝﹣m时，多项式x2+2x+n2的值为m2﹣2m+n2＝3
故答案为3．
或解：∵多项式x2+2x+n2的值为﹣1，
∴x2+2x+1+n2＝0，
∴（x+1）2+n2＝0，
∵（x+1）2≥0，n2≥0，
∴x+1=0n=0，
∴x＝m＝﹣1，n＝0，
∴x＝﹣m时，多项式x2+2x+n2的值为m2﹣2m+n2＝3
故答案为3．
总结提升：本题考查代数式求值，非负数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
针对训练1
1． (2023春•西湖区月考）已知当x＝2m+n+2和x＝m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，且m﹣n+2≠0，则当x＝m+n+1时，多项式x2+4x+6的值等于（ ）
A．439B．1399C．3D．11
思路引领：将x＝2m+n+2和x＝m+2n代入多项式x2+4x+6，由值相等得到m﹣n+2＝0或m+n+2＝0，由m﹣n+2≠0，则m+n+2＝0，求出x＝m+n+1＝﹣1，即可求解；
解：∵x＝2m+n+2和x＝m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，
∴（2m+n+2）2+4（2m+n+2）+6＝（m+2n）2+4（m+2n）+6，
∴（2m+n+4）2＝（m+2n+2）2，
∴2m+n+4＝m+2n+2或2m+n+4＝﹣（m+2n+2），
∴m﹣n+2＝0或m+n+2＝0，
∵m﹣n+2≠0，
∴m+n+2＝0，
当x＝m+n+1时，x＝﹣1，
∴x2+4x+6＝3；
故选：C．
总结提升：本题考查整式的运算，整体代入思想；能够将多项式整体代入多项式中，进行正确的化简是解题的关键．
2． (2023秋•海淀区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m+1＝0有两个相等的实数根，求代数式（m﹣1）2+（m+2）（m﹣2）的值．
思路引领：根据根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，建立关于m的等式，求出m2＝m+1，代入整理后的代数式求值即可．
解：∵一元二次方程x2﹣2mx+m+1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即Δ＝（﹣2m）2﹣4×1×（m+1）＝0，
整理得，m2﹣m﹣1＝0，
∴m2＝m+1，
（m﹣1）2+（m+2）（m﹣2）
＝m2﹣2m+1+m2﹣4
＝2m2﹣2m﹣3
＝2（m+1）﹣2m﹣3
＝﹣1．
总结提升：本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系是解答此题的关键．
类型二 含有参数的方程
典例2 (2023秋•汉阴县期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1x2＞﹣1，则实数m的取值范围为 ．
思路引领：根据根的情况可得Δ＝（﹣1）2﹣8m＞0，根据根与系数的关系可得2m＞﹣1，即可求出m的取值范围．
解：根据题意，Δ＝（﹣1）2﹣8m＞0，
解得m＜18，
又∵x1x2＝2m＞﹣1，
解得m＞−12，
∴实数m的取值范围是：−12＜m＜18．
故答案为：−12＜m＜18．
总结提升：本题考查了根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键．
针对训练
1． (2023•南海区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+2m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且有x2＜2＜x1，那么实数m的取值范围是（ ）
A．m＜2B．m＞2C．m＜﹣2D．m＞﹣2
思路引领：先用求根公式和x2＜2＜x1，求出x2＝﹣2，x1＝﹣m，根据x1＞2求出m的取值范围．
解：∵x2+（m+2）x+2m＝0，
∴x=−(m+2)±(m+2)2−4×1×2m2=−(m+2)±(m−2)2，
∵x2＜2＜x1，
∴x2＝﹣2，x1＝﹣m，
∴﹣m＞2，
∴m＜﹣2，
故选：C．
总结提升：本题考查了根与系数的关系，关键是求出x1，x2的值．
2． (2023•南通模拟）关于x的一元二次方程ax2+2x﹣a+2＝0的两个不相等的实数根都在﹣2和0之间（不包括﹣2和0），则a的取值范围是 ．
思路引领：首先根据根的情况利用根的判别式解得a的取值范围，然后根据根两个不相等的实数根都在﹣2和0之间（不包括﹣2和0），结合函数图象确定其函数值的取值范围得a，易得a的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x﹣a+2＝0的两个不相等的实数根，
∴△＝22﹣4×a×（﹣a+2）＝4a2﹣8a+4＝4（a﹣1）2＞0，
∴a≠1，
设f（x）＝ax2+2x﹣a+2，
根据题意知，当a＞0时，
如图1，
由f（﹣2）＞0且f（0）＞0可得4a−4−a+2＞0−a+2＞0，
解得：23＜a＜2；
当a＜0时，如图2，
由f（﹣2）＜0且f（0）＜0可得4a−4−a+2＜0−a+2＜0，
∴该不等式组无解；
综上，a的取值范围是23＜a＜2且a≠1，
故答案为：23＜a＜2且a≠1．
总结提升：本题主要考查了一元二次方程根的情况的判别及抛物线与x轴的交点，数形结合确定当x＝0和当x＝﹣2时函数值的取值范围是解答此题的关键．
3．已知关于x的方程x2﹣（m+n+2）x+2m＝0（n≥0）的两个实数根为α、β，且α≤β．
（1）试用含有α、β的代数式表示m和n；
（2）求证：α≤2≤β；
（3）若点P（α，β）在△ABC的三条边上运动，且△ABC顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，2），C（2，2），问是否存在点P，使m+n=134？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
思路引领：（1）因为原方程有两个实数根，故判别式Δ＝（m+n+2）2﹣8m＝（m+n﹣2）2+8n≥0，且α+β＝m+m+2，αβ＝2m，即可得出结论；
（2）因为α≤β，故只需求（2﹣α）（2﹣β）≤0即可；
（3）先根据条件确定动点所在的边，再确定点的坐标．
解：（1）∵α、β为方程x2﹣（m+n+）x+2m＝0（n≥0）的两个实数根，
∴判别式Δ＝（m+n+2）2﹣8m＝（m+n﹣2）2+8n≥0，
且α+β＝m+n+2，αβ＝2m，
于是m=12αβ，
n＝α+β﹣m﹣2＝α+β−12αβ﹣2；
（2）∵（2﹣α）（2﹣β）＝4﹣2（α+β）+αβ＝﹣2n≤0（n≥0），
又α≤β，
∴α≤2≤β；
（3）若使m+n=134成立，只需α+β＝m+n+2=134+2=214①，
①当点M（α，β）在BC边上运动时，
由B（1，2），C（2，2），
得1≤α≤2，β＝2，
而α=214−β=134＞2，
故在BC边上存在满足条件的点，其坐标为（134，2）所以不符合题意舍去；
即在BC边上不存在满足条件的点；
②当点M（α，β）在AC边上运动时，
由A（2，4），C（2，2），
得α＝2，2≤β≤4，
此时β=214−α=134，
又因为2＜134＜4，
故在AC边上存在满足条件的点，其坐标为（2，134）；
③当点M（α，β）在AB边上运动时，
由A（2，4），B（1，2），
得1≤α≤2，2≤β≤4，
由平面几何知识得，2−α2−1=4−β4−2，
于是β＝2α②，
联立①②，解得α=74，β=72，
又因为1＜74＜2，2＜72＜4，
故在AB边上存在满足条件的点，其坐标为（74，72）．
综上所述，当点M（α，β）在△ABC的三条边上运动时，存在点（2，134）和点（74，72），使m+n=134成立．
总结提升：此题是三角形综合题，主要考查了将根与系数的关系、根的判别式与动点问题相结合，体现了运动变化的观点，分类类讨论是解本题的关键．
类型三 含有参数的函数
典例4 (2023•南通一模）已知抛物线y＝x2+bx+a﹣1过点（2+a，m），（2﹣a，m），（a，n）．
（1）求b的值；
（2）当0＜a＜2时，请确定m，n的大小关系；
（3）若当0＜a≤x≤2+a时，y有最小值3，求a的值．
思路引领：（1）根据二次函数的对称轴为直线x＝2，即可得出−b2=2，求得b＝﹣4；
（2）由（2+a，m），（a，n）是抛物线上两点，得出当a＝1时，为（3，m），（1，n），关于对称轴对称，则m＝n，然后根据图象即可得出当0＜a＜2时，m，n的大小关系；
（3）分两种情况讨论，借组图象得到关于a的方程，解方程即可求得．
解：（1）∵（2+a，m），（2﹣a，m）是抛物线上的两点，
∴对称轴为直线x=2+a+2−a2=2，
∴−b2=2，
∴b＝﹣4；
（2）如图，∵（2+a，m），（a，n）是抛物线上两点，
∴当a＝1，2+a＝3时，m＝n，
由图可知，①当0＜a≤1时，m≤n；
②当1＜a＜2时，m＞n；
（3）如图，①当0＜a≤2时，在x＝2时y取最小值，
此时y最小值＝a﹣5，
令a﹣5＝3，
则a＝8（不合题意，舍），
②当a＞2时，在x＝a时y取最小值，
此时y＝x2+4x+a﹣1＝a2﹣4a+a﹣1＝a2﹣3a﹣1，
令a2﹣3a﹣1＝3，
解得：a＝4或a＝﹣1（舍去），
综上所述：a＝4．
总结提升：本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，数形结合是解题的关键
针对训练
1． (2023•海安市模拟）一次函数y＝（2a﹣3）x+a+2（a为常数）的图象，在﹣1≤x≤1的一段都在x轴上方，则a的取值范围是 ．
思路引领：根据一次函数y＝（2a﹣3）x+a+2的图象在﹣1≤x≤1的一段都在x轴的上方，由一次函数的性质，则有2a﹣3≠0，再分2a﹣3＞0和2a﹣3＜0来讨论，解得即可．
解：因为y＝（2a﹣3）x+a+2是一次函数，
所以2a﹣3≠0，a≠32，
当2a﹣3＞0时，y随x的增大而增大，由x＝﹣1得：y＝﹣2a+3+a+2，
根据函数的图象在x轴的上方，则有﹣2a+3+a+2＞0，
解得：32＜a＜5．
当2a﹣3＜0时，y随x的增大而减小，由x＝1得：y＝2a﹣3+a+2，根据函数的图象在x轴的上方，
则有：2a﹣3+a+2＞0，解得：13＜a＜32，
故答案为：32＜a＜5或13＜a＜32．
总结提升：本题考查了一次函数图象和系数的关系，属于基础题，转化为解不等式的问题是解决本题的关键．
2． (2023春•海安市期末）已知一次函数y1＝kx+3（k为常数，k≠0）和y2＝x﹣4．当x＜1时，y1＞y2，则k的取值范围为 ．
思路引领：解不等式kx+3＞x﹣4，根据题意得出k﹣1＜0且−7k−1≥1且k≠0，解此不等式即可．
解：∵一次函数y1＝kx+3（k为常数，k≠0）和y2＝x﹣4，当x＜1时，y1＞y2，
∴kx+3＞x﹣4，
∴kx﹣x＞﹣7，
∴k﹣1＜0且−7k−1≥1且k≠0，
当k﹣1＜0时，−7k−1≥1时，k≥﹣6，
所以不等式组的解集为﹣6≤k＜1且k≠0；
当k＝1时，也成立，
故k的取值范围是﹣6≤k≤1且k≠0，
故答案为：﹣6≤k≤1且k≠0．
总结提升：本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，关键是根据题意得出k﹣1＜0且−7k−1≥1且k≠0解答．
3． (2023•南通中考）已知：二次函数y＝x2﹣4x+3a+2（a为常数）．
（1）请写出该二次函数的三条性质；
（2）在同一平面直角坐标系中，若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，求a的取值范围．
思路引领：（1）把二次函数解析式化为顶点式，则可求得其顶点坐标、对称轴及开口方向；
（2）根据二次函数的图象与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，则x2﹣4x+3a+2＝2x﹣1的方程的Δ＞0，求得a＜2，把x＝4和代入y＝2x﹣1，求得函数值7，把（4，7）代入y＝x2﹣4x+3a+2，得到关于a的方程，解方程求得a=53，根据题意求出a的取值即可．
解：（1）∵二次函数y＝x2﹣4x+3a+2＝（x﹣2）2+3a﹣2，
∴该二次函数开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，3a﹣2），
其性质有：①开口向上，②有最小值3a﹣2，③对称轴为x＝2．
（2）∵二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，
∴x2﹣4x+3a+2＝2x﹣1，
整理为：x2﹣6x+3a+3＝0，
∴△＝36﹣4（3a+3）＞0，
解得a＜2，
把x＝4代入y＝2x﹣1，解得y＝2×4﹣1＝7，
把（4，7）代入y＝x2﹣4x+3a+2得7＝16﹣16+3a+2，解得a=53，
故该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，a的取值为53≤a＜2．
总结提升：本题考查了 二次函数的图象和性质，一次函数的性质，根据题意得到a的取值是解题的关键．
4． (2023秋•启东市月考）已知二次函数y＝x2+m2x−12（m为常数）．
（1）若该二次函数的图象经过点（1，2m），求m的值；
（2）求证：无论m取何值，二次函数y＝x2+m2x−12的图象与x轴必有两个交点；
（3）若平行于x轴的直线与该二次函数的图象交于点A，B，且点A，B的横坐标之和大于1，求m的取值范围．
思路引领：（1）把点（1，2m）代入抛物线解析式即可得解；
（2）计算判别式的值得到Δ=m24+2，利用非负数的性质得到Δ＞0，然后根据判别式的意义得到结论；
（3）将平行于x轴的直线y＝n与抛物线联立得出关于x的方程，由其交点的横坐标之和大于1可得出有关m的不等式，即可求解．
（1）解：把点P（1，2m）代入抛物线y＝x2+m2x−12中，得
1+m2−12=2m，
解得：m=13；
（2）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝（m2）2﹣4×1×（−12）
=m24+2，
∵无论m取何值，m2≥0，
∴m24+2＞0，
∴二次函数y＝x2+m2x−12图象与x轴必有两个交点．
（3）解：设平行于x轴的直线为y＝n，
∵直线y＝n与该二次函数的图象交于点A，B，
∴y=x2+m2x−12y=n，
整理得，x2+m2x−12−n＝0，
若x1，x2是方程x2+m2x−12−n＝0的两根，则x1，x2是直线与抛物线交点A，B的横坐标，
∴x1+x2=−m2，
由题意得，−m2＞1，
解得，m＜﹣2．
∴m的取值范围是m＜﹣2．
总结提升：本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质；要求学生会利用判别式判断抛物线与x轴的交点情况以及灵活运用根与系数的关系解题．
5． (2023•崇川区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝﹣mx2+4mx﹣8（m≠0）．
（1）若m＞0，当﹣1≤x≤4时，函数图象的最低点M的纵坐标为﹣18，求m的值；
（2）若该函数的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），设n≤x1≤n+2，当x2≥6时，总有y1≤y2，求n的取值范围；
（3）已知A（﹣4，0）和B（6，0），若抛物线与线段AB只有一个共同点，求m的取值范围．
思路引领：（1）先求得抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝2，即可得到当x＝﹣1时，y＝﹣18，解得m＝2；
（2）根据题意得到点B在x＝6右侧，点A（x1，y1）在x＝﹣2与x＝6之间，即可得到n≥−2n+2≤6，解得：﹣2≤n≤4；
（3）分三种情况讨论：当抛物线顶点在线段AB上时，令﹣mx2+4mx﹣8＝0，则Δ＝0，解得m＝2；由解析式可知抛物线过点（0，﹣8），且对称轴x＝2，所以点B（6，0）关于x＝2的对称点为M（﹣2，0），故抛物线仅在线段AM上有一个交点，所以当x＝﹣4时，y≥0，当x＝﹣2时，y＜0，解得：−23＜m≤−14，从而求得m＝2或−23＜m≤−14时抛物线与线段AB有一个交点．
解：（1）∵m＞0，
∴﹣m＜0，
∴抛物线开口向下，
∵1≤x≤4，且对称轴为直线x=−b2a=−4m−2m=2，
∴当x＝﹣1时，y＝﹣18，
∴﹣m﹣4m﹣8＝﹣18，
解得：m＝2；
（2）∵当x2≥6时，总有y1≤y2，
∴当x＞2时y随x的增大而增大，
如图，x＝6，关于x＝2对称的直线为x＝﹣2，过此点作x轴的平行线，
∴x≥6，
∴点B在x＝6右侧，
∵当x2≥6时，总有y1≤y2，
∴点A（x1，y1）在x＝﹣2与x＝6之间，
∴n≥−2n+2≤6，
解得：﹣2≤n≤4；
（3）由题意可知，抛物线与x轴有交点，
∴m≠0，且Δ＝（4m）2﹣4×（﹣m）×（﹣8）≥0，即16m2﹣32m≥0，
解得m≥2或m＜0，
当m＝2时，抛物线的顶点在线段AB上，
当m＞2时，抛物线开口向下，
又∵抛物线过点（0，﹣8），且对称轴x＝2，
∴当x＝6时，y＜0，
∴抛物线与线段AB有两个共同点，不合题意；
当m＜0，抛物线开口向上，
又∵抛物线过点（0，﹣8），且对称轴x＝2，如图，点B（6，0）关于x＝2的对称点为M（﹣2，0），
∴抛物线仅在线段AM上有一个交点，
当x＝﹣4时，y≥0，当x＝﹣2时，y＜0，
∴−16m−16m−8≥0−4m−8m−8＜0，
解得：−23＜m≤−14，
综上所述：当m＝2或−23＜m≤−14时抛物线与线段AB有一个交点．
总结提升：本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活运用函数图象的增减性是解题的关键．
第二部分 专题提优训练
一．选择题
1． (2023秋•牡丹江期末）抛物线y＝ax2﹣bx﹣5经过点（2，3），则2a﹣b+1的值是（ ）
A．6B．5C．4D．3
思路引领：将点（2，3）代入y＝ax2﹣bx﹣5可得2a﹣b＝4，再求代数式的值即可．
解：∵抛物线y＝ax2﹣bx﹣5经过点（2，3），
∴3＝4a﹣2b﹣5，
∴4a﹣2b＝8，
∴2a﹣b＝4，
∴2a﹣b+1＝5，
故选：B．
总结提升：本题考查二次函数图象上点的特点，熟练掌握函数图象上的点与二次函数表达式的关系是解题的关键．
2． (2023秋•工业园区校级期中）关于x的一元二次方程a（x+1）（x﹣2）+b＝0（a＜0，b＞0）的解为x1，x2，且x1＜x2．则下列结论正确的是（ ）
A．﹣1＜x1＜x2＜2B．﹣1＜x1＜2＜x2C．x2＜﹣1＜x2＜2D．x1＜﹣1＜2＜x2
思路引领：先把关于x的一元二次方程a（x+1）（x﹣2）+b＝0（a＜0，b＞0）的解转化为直线和抛物线的交点，再结合图形进行判断即可．
解：关于x的一元二次方程a（x+1）（x﹣2）+b＝0（a＜0，b＞0）的解就是函数y＝a（x+1）（x﹣2）与y＝﹣b的交点的横坐标，
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∵b＞0，
∴y＝﹣b在x轴下方，
∵x1＜x2，
如图所示：
∴x1＜﹣1＜2＜x2，
故选：D．
总结提升：本题考查抛物线与x轴的交点，以及直线与抛物线的交点问题，解题关键是把一元二次方程的根转化为直线和抛物线的交点．
二．填空题
3． (2023秋•灌阳县期中）若一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1+x2＝x1x2，则m的值是 ．
思路引领：由根与系数的关系，可得x1+x2＝2m+3，x1•x2＝m2，又由x1+x2＝x1•x2，结合根的判别式即可求得m的值．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝[﹣（2m+3）]2﹣4m2＝12m+9＞0，
∴m＞−34，
∵x1+x2＝2m+3，x1•x2＝m2，
又∵x1+x2＝x1•x2，
∴2m+3＝m2，
解得：m＝﹣1或m＝3，
∵m＞−34，
∴m＝3，
故选：B．
故答案为：3．
总结提升：此题考查了一元二次方程根与系数的关系与判别式的应用．此题难度适中，注意掌握如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根，那么有x1+x2=−ba，x1•x2=ca的应用．
4． (2023秋•冠县期末）若二次函数y＝ax2﹣bx+5（a≠0）的图象与x轴交于（1，0），则b﹣a+2013的值是 ．
思路引领：将（1，0）代入得：a﹣b+5＝0，即a﹣b＝﹣5，代入到原式＝﹣（a﹣b）+2013可得答案．
解：根据题意，将（1，0）代入得：a﹣b+5＝0，
则a﹣b＝﹣5，
∴b﹣a+2013＝﹣（a﹣b）+2013＝5+2013＝2018，
故答案为2018．
总结提升：本题主要考查抛物线与x轴的交点和代数式的求值，熟练掌握整体代入求代数式的值是解题的关键．
5． (2023春•江阴市月考）若一次函数y＝（m﹣1）x+3m﹣2的图象不经过第三象限，则实数m的取值范围为 ．
思路引领：分一次函数y＝（m﹣1）x+3m﹣2的图象经过第二、四象限及一次函数y＝（m﹣1）x+3m﹣2的图象经过第一、二、四象限两种情况考虑，当一次函数y＝（m﹣1）x+3m﹣2的图象经过第二、四象限时，由k＜0，b＝0可求出m的值；当一次函数y＝（m﹣1）x+3m﹣2的图象经过第一、二、四象限时，利用一次函数图象与系数的关系可得出k＜0，b＞0，解之即可得出m的取值范围，综上，即可得出实数m的取值范围．
解：当一次函数y＝（m﹣1）x+3m﹣2的图象经过第二、四象限时，m−1＜03m−2=0，
解得：m=23；
当一次函数y＝（m﹣1）x+3m﹣2的图象经过第一、二、四象限时，m−1＜03m−2＞0，
解得：23＜m＜1．
综上所述，实数m的取值范围为23≤m＜1．
故答案为：23≤m＜1．
总结提升：本题考查了一次函数图象与系数的关系，分一次函数y＝（m﹣1）x+3m﹣2的图象经过第二、四象限及一次函数y＝（m﹣1）x+3m﹣2的图象经过第一、二、四象限两种情况，求出m的值（或m的取值范围）是解题的关键．
6． (2023春•锦州期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象分别与x轴，y轴交于点A（3，0），B（0，5），则不等式kx+b≤0的解集为 ．
思路引领：根据一次函数的性质得出y随x的增大而减小，当x≥3时，y≤0，即可求出答案．
解：∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点（﹣3，0），与y轴交于点（0，﹣5），
∴y随x的增大而减小，且x＝﹣3时，y＝0，
当x≥3时，y≤0，即kx+b≤0，
∴不等式kx+b≤0的解集为x≥3．
故答案为：x≥3．
总结提升：本题主要考查一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
三．解答题（共4小题）
7． (2023•昌平区二模）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+3a交于点A和点B，点A在x轴上．
（1）点A的坐标为 （ ．
（2）①用等式表示a与b之间的数量关系，并求抛物线的对称轴；
②当32≤AB≤52时，结合函数图象，求a的取值范围．
思路引领：（1）令y＝0，x+1＝0，则A点坐标为（﹣1，0）；
（2）①将（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3a，可得b＝4a，由对称轴x=−b2a=−2；
②设B（m，m+1），由m+1＝am2+4am+3a，得m=1a−3，AB=2(m+1)2=2|m+1|=2|1a−2|，结合AB的取值范围即可求解；
解：（1）令y＝0，x+1＝0，则A点坐标为（﹣1，0）；
故答案为（﹣1，0）；
（2）①将（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3a，
∴a﹣b+3a＝4a﹣b＝0，
∴b＝4a，
∵x=−b2a=−2；
②设B（m，m+1），
AB=2(m+1)2=2|m+1|，
∵m+1＝am2+4am+3a，
m+1＝a（m+1）（m+3），
∵m≠﹣1，
∴m=1a−3，
∴AB=2|1a−2|，
∵32≤AB≤52，
∴32≤2|1a−2|≤52，
∴−1≤a≤−13或17≤a≤15．
总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；熟练掌握交点坐标的含义，不等式的解法是解题的关键．
8． (2023•姜堰区二模）设一次函数y1＝2x+m+n和二次函数y2＝x（2x+m）+n．
（1）求证：y1，y2的图象必有交点；
（2）若m＞0，y1，y2的图象交于点A（x1，a）、B（x2，b），其中x1＜x2，设C（x3，b）为y2图象上一点，且x3≠x2，求x3﹣x1的值；
（3）在（2）的条件下，如果存在点D（x1+2，c）在y2的图象上，且a＞c，求m的取值范围．
思路引领：（1）证明y1＝y2时，方程2x+m+n＝x（2x+m）+n有解，进而转化证明一元二次方程的根的判别式非负便可；
（2）由y1＝y2，求出x1与x2，进而求得b，由b的值，求得x3的值，进而得x3﹣x1的值；
（3）把点A（x1，a）、点D（x1+2，c）代入y2＝x（2x+m）+n，根据a＞c得x1（2x1+m）+n﹣2（x1+2）2﹣m（x1+2）﹣n＞0，化简得4x1+4+m＜0，由（2）得x1=−m2，代入求解即可．
（1）证明：当y1＝y2时，得2x+m+n＝x（2x+m）+n，
化简为：2x2+（m﹣2）x﹣m＝0，
△＝（m﹣2）2+8m＝（m+2）2≥0，
∴方程2x+m+n＝x（2x+m）+n有解，
∴y1，y2的图象必有交点；
（2）解：当y1＝y2时，2x+m+n＝x（2x+m）+n，
化简为：2x2+（m﹣2）x﹣m＝0，
（2x+m）（x﹣1）＝0，
∵m＞0，x1＜x2，
∴x1=−m2，x2＝1，
∴b＝2+m+n，
当y＝2+m+n时，y2＝x（2x+m）+n＝2+m+n，
化简为：2x2+mx﹣m﹣2＝0，
2x2﹣2+mx﹣m＝0，
2（x+1）（x﹣1）+m（x﹣1）＝0，
（2x+m+2）（x﹣1）＝0，
解得，x＝1（等于x2），或x=−m−22，
∴x3=−m−22，
∴x3﹣x1=−m−22−（−m2）＝﹣1；
（3）解：∵点D（x1+2，c）在y2的图象上，
∴c＝（x1+2）[2（x1+2）+m]+n＝2（x1+2）2+m（x1+2）+n．
∵点A（x1，a）在y2的图象上，
∴a＝x1（2x1+m）+n．
∵a＞c，
∴a﹣c＞0，
∴x1（2x1+m）+n﹣2（x1+2）2﹣m（x1+2）﹣n＞0，
化简得4x1+4+m＜0，
由（2）得x1=−m2，
∴4×（−m2）+4+m＜0，
﹣2m+4+m＜0，
﹣m+4＜0，
m＞4，
∴m的取值范围为m＞4．
总结提升：本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，待定系数法，第（1）题关键转化证明一元二次方程根的判别式的正负，第（2）题关键求得x3的值．
9． (2023•文山市模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2（a为常数，且a≠0）的图象与y轴交于点A，顶点为B（m，n），点C的坐标为（0，a+3）．
（1）求m和n的值（可用含a的式子表示）；
（2）已知点D（x1，y1）是抛物线上的点，2≤x1≤3，当a＞0且BC=5AB时，求y1的最大值．
思路引领：（1）直接利用抛物线的顶点坐标的公式计算；
（2）利用坐标系中两点间的距离公式求出AB2，BC2，再根据AB，BC之间的关系得到关于a的方程，解方程求出a的值，得到二次函数解析式，然后根据二次函数的增减性及x1的取值范围求出y1的最值．
解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2的顶点坐标为（m，n），
∴m=−2a−2a=1，n=−8a−4a24a=−2−a；即m＝1，n＝﹣2﹣a．
（2）由（1）知，点A的坐标为（0，﹣2），点B坐标为（1，﹣2﹣a），
∴AB2＝（0﹣1）2+（﹣2+2+a）2＝1+a2，
∵点C的坐标为（0，a+3），
∴BC2＝（0﹣1）2+（a+3+2+a）2＝1+（2a+5）2，
∵BC=5AB，
∴BC2＝5AB2，即：1+（2a+5）2＝5（1+a2），
解得a1＝21，a2＝﹣1，
∵a＞0，
∴a＝21，
∴y＝21x2﹣42x﹣2，
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴当2≤x1≤3时，点D（x1，y1）在对称轴右侧，
∵抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∴当x1＝3时，y1最大值＝21×32﹣42×3﹣2＝61．
总结提升：本题考查了二次函数的图像与性质及平面直角坐标系中两点间距离的求法，熟练掌握坐标系中两点间的距离公式是解题的关键．
10． (2023秋•海珠区校级月考）已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．
（1）当m＝0时，请判断点（3，9）是否在该抛物线上；
（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
（3）已知点E（﹣2，﹣3）、F（4，9），若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．
思路引领：（1）由m＝0可得抛物线解析式，将x＝3代入解析式求解．
（2）由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标，通过配方可得顶点纵坐标取最大值时m的值，进而求解．
（3）由点E，F坐标求出直线EF的解析式，联立直线与抛物线方程即可求解交点坐标，分别求出抛物线经过点E，F和抛物线与直线EF相切时m的值，结合图象进而求解．
解：（1）当m＝0时，y＝x2﹣x+3，
将x＝3代入y＝x2﹣x+3得y＝9﹣3+3＝9，
∴点（3，9）在该抛物线上．
（2）∵y＝x2﹣（m+1）x+2m+3，
∴抛物线顶点坐标为（m+12，4(2m+3)−(m+1)24），化简得（m+12，−m2+6m+114），
∵−m2+6m+114=−14（m﹣3）2+5，
∴m＝3时，顶点纵坐标最大值为5，
∴抛物线顶点坐标为（2，5）．
（3）设直线EF解析式为y＝kx+b，
将E（﹣2，﹣3），F（4，9）代入解析式可得−2k+b=−34k+b=9，
解得k=2b=1，
∴y＝2x+1，
联立直线与抛物线方程得y=2x+1y=x2−(m+1)x+2m+3，
解得x=2y=5或x=m+1y=2m+3，
∴直线EF与抛物线的交点坐标为（2，5），（m+1，2m+3）．
∴抛物线经过线段EF上定点（2，5），
如图，当抛物线经过（﹣2，﹣3）时，﹣3＝4+2m+2+2m+3，
解得m＝﹣3，
∴m＜﹣3符合题意．
当抛物线经过（4，9）时，9＝16﹣4m﹣4+2m+3，
解得m＝3，
∴m＞3符合题意．
令x2﹣（m+1）x+2m+3＝2x+1，
整理得x2﹣（m+3）x+2m+2＝0，
∴Δ＝（m+3）2﹣4（2m+2）＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2，
∴m＝1时，Δ＝0，此时抛物线与线段EF有1个交点．
∵m＜﹣3或m＞3或m＝1时，抛物线与线段EF只有一个交点，
∵抛物线顶点横坐标为m+12，
∴x＜﹣1或x＞2或x＝1．
总结提升：本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合求解
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