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中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练专题11反比例函数与一次函数二次函数的综合运用(原卷版+解析)
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这是一份中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练专题11反比例函数与一次函数二次函数的综合运用(原卷版+解析)，共22页。试卷主要包含了反比例函数与一次函数的综合运用，反比例函数与二次函数的综合运用等内容，欢迎下载使用。
类型一 反比例函数与一次函数的综合运用
1． (2023•蓬江区校级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝kx与反比例函数y=−8x的图象交于A，B（﹣2，a）两点，过原点O的另一条直线l与双曲线y=kx交于P，Q两点（Q点在第四象限），若以点A，B，P，Q为顶点的四边形面积为24，则点P的坐标是 ．
第1题图 第2题图
2． (2023•荆州中考）边长为1的8个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线y＝k1x平分这8个正方形所组成的图形的面积，交其中两个正方形的边于A，B两点，过B点的双曲线y=k2x的一支交其中两个正方形的边于C，D两点，连接OC，OD，CD，则S△OCD＝ ．
类型二 反比例函数与二次函数的综合运用
3． (2023秋•赛罕区校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则反比例函数y=ax与一次函数y＝﹣cx+b在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
4．（遂宁中考）如图，已知抛物线y＝ax2﹣4x+c（a≠0）与反比例函数y=9x的图象相交于点B，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0，6），A是抛物线y＝ax2﹣4x+c的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为 ．
类型三 反比例函数与一次函数、二次函数的综合运用
5． (2023•枣庄模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”给出下列函数①y＝﹣x；②y=2x；③y＝x+2；④y＝x2﹣2x．其图象中不存在“好点”的函数个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6． (2023•平原县模拟）在下列函数图象上任取不同两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），一定能使（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0成立的是（ ）
A．y＝﹣3x+1B．y＝﹣x2﹣2x﹣3（x＜1）
C．y＝﹣x2+4x+1（x＜0）D．y=−6x
7．（宜昌中考）如图，在平面直角坐标系中，矩形OADB的顶点A，B的坐标分别为A（﹣6，0），B（0，4）．过点C（﹣6，1）的双曲线y=kx（k≠0）与矩形OADB的边BD交于点E．
（1）填空：OA＝ ，k＝ ，点E的坐标为 ；
（2）当1≤t≤6时，经过点M（t﹣1，−12t2+5t−32）与点N（﹣t﹣3，−12t2+3t−72）的直线交y轴于点F，点P是过M，N两点的抛物线y=−12x2+bx+c的顶点．
①当点P在双曲线y=kx上时，求证：直线MN与双曲线y=kx没有公共点；
②当抛物线y=−12x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点，求t的值；
③当点F和点P随着t的变化同时向上运动时，求t的取值范围，并求在运动过程中直线MN在四边形OAEB中扫过的面积．
专题提优训练
1． (2023春•西乡塘区校级月考）下列各曲线中不能表示y是x的函数是（ ）
A．B．C． D．
2． (2023秋•萧山区期中）已知点A（1，m），B（2，m﹣n）（n＞0）在同一个函数的图象上，则这个函数可能是（ ）
A．y＝xB．y=−2xC．y＝x2D．y＝﹣x2
3． (2023秋•鸡西期末）已知一次函数y＝2x﹣3与反比例函数y=kx的图象交于点P（a﹣2，3），则k＝ ．
4． (2023•成华区）如图，直线y=3x﹣8交x轴于点A，交y轴于点B，点C是反比例函数y=kx(x＞0)的图象上位于直线AB上方的一点，CD∥x轴交AB于点D，CE⊥CD交AB于点E，若AD•BE＝4，则k的值为 ．
5． (2023秋•兴义市期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则一次函数y＝ax+b和反比例函数y=cx的图象为（ ）
A．B．C．D．
6． (2023秋•龙湾区期中）如图，抛物线y＝ax2+4x+c（a≠0）与反比例函数y=5x的图象相交于点B，且点B的横坐标为5，抛物线与y轴交于点C（0，6），A是抛物线的顶点，P和Q分别是x轴和y轴上的两个动点，则AQ+QP+PB的最小值为 ．
7． (2023秋•沙坪坝区校级月考）阅读材料：在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“星之点”，例如：点（1，﹣1），（2，﹣2），（2，−2）都是“星之点”，显然“星之点“有无数个，我们知道关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式x=−b±b2−4ac2a，故有x1=−b+b2−4ac2a，x2=−b−b2−4ac2a
两根之和x1+x2=−b+b2−4ac2a+−b−b2−4ac2a=−ba
两根之积x1x2＝（−b+b2−4ac2a）•（−b−b2−4ac2a）=ca
根据以上信息，回答下列的问题：
（1）若点P（−3，m）是反比例函数y=kx（k≠0）的图象上的”星之点”，求这个反比例函数的解析式；
（2）函数y＝4kx+s﹣2（k，s为常数）的图象上存在“星之点”吗？若存在，请求出“星之点”的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若二次函数y＝ax2+bx+1（a、b是常数，且a＞0）的图象上存在两个“星之点”A（x1，﹣x1），B（x2，﹣x2），且满足﹣2≤x1＜2，|x1﹣x2|＝2，令t＝b2+2b+15748，试求t的取值范围．
专题11 反比例函数与一次函数二次函数的综合运用（解析版）
第一部分 典例剖析
类型一 反比例函数与一次函数的综合运用
1． (2023•蓬江区校级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝kx与反比例函数y=−8x的图象交于A，B（﹣2，a）两点，过原点O的另一条直线l与双曲线y=kx交于P，Q两点（Q点在第四象限），若以点A，B，P，Q为顶点的四边形面积为24，则点P的坐标是 ．
思路引领：先将B（﹣2，a）代入y=−8x，可得出a＝4，求得点B（﹣2，4），再根据点A与B关于原点对称，得出A点坐标，由于双曲线是关于原点的中心对称图形，因此以A、B、P、Q为顶点的四边形应该是平行四边形，那么△POB的面积就应该是四边形面积的四分之一即6．可根据双曲线的解析式设出P点的坐标，然后表示出△POB的面积，由于△POB的面积为6，由此可得出关于P点横坐标的方程，即可求出P点的坐标．
解：∵B（﹣2，a）在反比例函数y=−8x的图象上，
∴a=−8−2=4，
∴点B（﹣2，4），
∵点A与B关于原点对称，
∴A点坐标为（2，﹣4），
∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，
∴OP＝OQ，OA＝OB，
∴四边形AQBP是平行四边形，
∵OP＝OQ，OA＝OB，
∴S△POA＝S△QOA，S△POB＝S△QOB，S△POB＝S△POA，S△AOQ＝S△BOQ，
∴S△POA＝S△QOA＝S△QOB＝S△POB=14S平行四边形AQBP，
∴S△POB＝S平行四边形AQBP×14=14×24＝6，
设点P的横坐标为m（m＜0且m≠﹣2），
得P（m，−8m），
过点P、B分别做x轴的垂线，垂足为M、N，
∵点P、B在双曲线上，
∴S△POM＝S△BON＝4，
若m＜﹣2，如图1，
∵S△BON+S梯形PMNB＝S△POB+S△POM，
∴S梯形PMNB＝S△POB＝6．
∴12（4−8m）•（﹣2﹣m）＝6．
∴m1＝﹣4，m2＝1（舍去），
∴P（﹣4，2）；
若﹣2＜m＜0，如图2，
∵S△POM+S梯形BNMP＝S△BOP+S△BON，
∴S梯形BNMP＝S△POB＝6．
∴12（4−8m）•（m+2）＝6，
解得m1＝﹣1，m2＝4（舍去），
∴P（﹣1，8）．
∴点P的坐标是P（﹣4，2）或P（﹣1，8），
故答案为（﹣4，2）或（﹣1，8）．
总结提升：本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数y=kx中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．利用数形结合的思想，求得三角形的面积．
2． (2023•荆州）边长为1的8个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线y＝k1x平分这8个正方形所组成的图形的面积，交其中两个正方形的边于A，B两点，过B点的双曲线y=k2x的一支交其中两个正方形的边于C，D两点，连接OC，OD，CD，则S△OCD＝ ．
思路引领：设A（4，t），利用面积法得到12×4×t＝4+1，解方程得到A（4，52），利用待定系数法求出直线解析式为y=58x，再确定B（2，54），接着利用待定系数法确定双曲线的解析式为y=52x，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出C（54，2），D（3，56），然后用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积计算S△OCD．
解：设A（4，t），
∵直线y＝k1x平分这8个正方形所组成的图形的面积，
∴12×4×t＝4+1，解得t=52，
∴A（4，52），
把A（4，52）代入直线y＝k1x得4k1=52，解得k1=58，
∴直线解析式为y=58x，
当x＝2时，y=58x=54，则B（2，54），
∵双曲线y=k2x经过点B，
∴k2＝2×54=52，
∴双曲线的解析式为y=52x=52x，
当y＝2时，52x=2，解得x=54，则C（54，2）；
当x＝3时，y=52x=56，则D（3，56），
∴S△OCD＝3×2−12×3×56−12×2×54−12（2−56）×（3−54）=11948．
故答案为11948．
总结提升：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
类型二 反比例函数与二次函数的综合运用
3． (2023秋•赛罕区校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则反比例函数y=ax与一次函数y＝﹣cx+b在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
思路引领：首先根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b＞0，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案．
解：根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b＞0，
则反比例函数y=ax的图象在第二、四象限，
一次函数y＝﹣cx+b经过第一、二、四象限，
故选：C．
总结提升：此题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，关键是根据二次函数图象确定出a、b、c的符号．
4．（遂宁中考）如图，已知抛物线y＝ax2﹣4x+c（a≠0）与反比例函数y=9x的图象相交于点B，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0，6），A是抛物线y＝ax2﹣4x+c的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为 ．
思路引领：根据题意作出合适的辅助线，然后求出点B的坐标，从而可以求得二次函数解析式，然后求出点A的坐标，进而求得A′的坐标，从而可以求得直线A′B的函数解析式，进而求得与x轴的交点，从而可以解答本题．
解：作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，则A′B与x轴的交点即为所求，
∵抛物线y＝ax2﹣4x+c（a≠0）与反比例函数y=9x的图象相交于点B，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0，6），
∴点B（3，3），
∴a×32−4×3+c=3c=6，
解得，a=1c=6，
∴y＝x2﹣4x+6＝（x﹣2）2+2，
∴点A的坐标为（2，2），
∴点A′的坐标为（2，﹣2），
设过点A′（2，﹣2）和点B（3，3）的直线解析式为y＝mx+n，
2m+n=−23m+n=3，得m=5n=−12，
∴直线A′B的函数解析式为y＝5x﹣12，
令y＝0，则0＝5x﹣12得x=125，
故答案为：（125，0）．
总结提升：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
类型三 反比例函数与一次函数、二次函数的综合运用
5． (2023•枣庄模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”给出下列函数①y＝﹣x；②y=2x；③y＝x+2；④y＝x2﹣2x．其图象中不存在“好点”的函数个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
思路引领：根据题意可得x＝y，然后代入每一个解析式进行计算即可判断．
解：∵横、纵坐标相等的点称为“好点”，
∴x＝y，
∴①x＝﹣x，解得x＝0，所以y＝﹣x图象中存在“好点”，
②x=2x，解得x＝±2，所以y=2x图象中存在“好点”，
③x＝x+2，此方程无解，所以y＝x+2图象中不存在“好点”，
④x＝x2﹣2x，解得x＝0或x＝3，所以y＝x2﹣2x图象中存在“好点”，
上述图象中不存在“好点”的函数个数为：1，
故选：A．
总结提升：本题考查了函数的概念，根据题意得出x＝y，然后代入每一个解析式进行计算是解题的关键．
6． (2023•平原县模拟）在下列函数图象上任取不同两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），一定能使（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0成立的是（ ）
A．y＝﹣3x+1B．y＝﹣x2﹣2x﹣3（x＜1）
C．y＝﹣x2+4x+1（x＜0）D．y=−6x
思路引领：根据各函数的增减性依次进行判断即可．
解：A、∵k＝﹣3＜0，
∴y随x的增大而减小，即当x1＞x2时，必有y1＜y2，
∴（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，
故A选项不符合；
B、∵a＝﹣1＜0，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当﹣1＜x＜1时，y随x的增大而减小，当x＜﹣1时y随x的增大而增大，
∴当x＜﹣1时，能使（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0成立，
故B选项不符合；
C、∵a＝﹣1＜0，对称轴为直线x＝2，
∴当x＜2时，y随x的增大而增大，
∴当x＜0时，能使（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0成立，
故C选项符合；
D、∵﹣6＜0，
∴当x＞0或x＜0时，y随x的增大而增大，
∴当P1（x1，y1）、P2（x2，y2）不在同一象限时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0不成立，
故D选项不符合；
故选：C．
总结提升：本题主要考查了一次函数、反比例函数和二次函数的图象和性质，需要结合图象去一一分析，熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质是解题的关键．
7．（宜昌中考）如图，在平面直角坐标系中，矩形OADB的顶点A，B的坐标分别为A（﹣6，0），B（0，4）．过点C（﹣6，1）的双曲线y=kx（k≠0）与矩形OADB的边BD交于点E．
（1）填空：OA＝ ，k＝ ，点E的坐标为 ；
（2）当1≤t≤6时，经过点M（t﹣1，−12t2+5t−32）与点N（﹣t﹣3，−12t2+3t−72）的直线交y轴于点F，点P是过M，N两点的抛物线y=−12x2+bx+c的顶点．
①当点P在双曲线y=kx上时，求证：直线MN与双曲线y=kx没有公共点；
②当抛物线y=−12x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点，求t的值；
③当点F和点P随着t的变化同时向上运动时，求t的取值范围，并求在运动过程中直线MN在四边形OAEB中扫过的面积．
思路引领：（1）根据题意将先关数据代入
（2）①用t表示直线MN解析式，及b，c，得到P点坐标代入双曲线y=kx解析式，证明关于t的方程无解即可；
②根据抛物线开口和对称轴，分别讨论抛物线过点B和在BD上时的情况；
③由②中部分结果，用t表示F、P点的纵坐标，求出t的取值范围及直线MN在四边形OAEB中所过的面积．
解：（1）∵A点坐标为（﹣6，0）
∴OA＝6
∵过点C（﹣6，1）的双曲线y=kx
∴k＝﹣6
y＝4时，x=−64=−32
∴点E的坐标为（−32，4）
故答案为：6，﹣6，（−32，4）
（2）①设直线MN解析式为：y1＝k1x+b1
由题意得：−12t2+5t−32=k1(t−1)+b1−12t2+3t−72=k1(−t−3)+b1
解得k1=1b=−12t2+4t−12
∵抛物线y=−12x2+bx+c过点M、N
∴−12t2+5t−32=−12(t−1)2+b(t−1)+c−12t2+3t−72=−12(−t−3)2+b(−t−3)+c
解得b=−1c=5t−2
∴抛物线解析式为：y=−12x2﹣x+5t﹣2=−12（x+1）2+5t−32
∴顶点P坐标为（﹣1，5t−32）
∵P在双曲线y=−6x上
∴（5t−32）×（﹣1）＝﹣6
∴t=32
此时直线MN解析式为：
联立y=x+358y=−6x
∴8x2+35x+49＝0
∵△＝352﹣4×8×48＝1225﹣1536＜0
∴直线MN与双曲线y=−6x没有公共点．
②当抛物线过点B，此时抛物线y=−12x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点
∴4＝5t﹣2，得t=65
当抛物线的顶点在线段DB上，此时抛物线与矩形OADB有且只有三个公共点
∴10t−32=4，得t=1110
∴t=65或t=1110
③∵点P的坐标为（﹣1，5t−32）
∴yP＝5t−32
当1≤t≤6时，yP随t的增大而增大
此时，点P在直线x＝﹣1上向上运动
∵点F的坐标为（0，−12t2+4t−12）
∴yF=−12(t−4)2+152
∴当1≤t≤4时，随者yF随t的增大而增大
此时，随着t的增大，点F在y轴上向上运动
∴1≤t≤4
当t＝1时，直线MN：y＝x+3与x轴交于点G（﹣3，0），与y轴交于点H（0，3）
当t＝4−3时，直线MN过点A．
当1≤t≤4时，直线MN在四边形AEBO中扫过的面积为
S=12×(32+6)×4−12×3×3=212
总结提升：本题为二次函数与反比例函数综合题，考查了数形结合思想和分类讨论的数学思想．解题过程中，应注意充分利用字母t表示相关点坐标．
专题提优训练
1． (2023春•西乡塘区校级月考）下列各曲线中不能表示y是x的函数是（ ）
A．B．C． D．
思路引领：根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，判断即可．
解：上列曲线中，A、B、D选项，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，
所以A、B、D能表示y是x的函数，
C选项，对于自变量x的每一个值，y不是有唯一的值和它对应，
所以C不能表示y是x的函数，
故选：C．
总结提升：本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．
2． (2023秋•萧山区期中）已知点A（1，m），B（2，m﹣n）（n＞0）在同一个函数的图象上，则这个函数可能是（ ）
A．y＝xB．y=−2xC．y＝x2D．y＝﹣x2
思路引领：由B（1，m），C（2，m﹣n）可知，在y轴的右侧，y随x的增大而减小，据此判断即可．
解：∵点A（1，m），B（2，m﹣n）（n＞0）在同一个函数的图象上，
∴在y轴的右侧，y随x的增大而减小，
A、对于函数y＝x，y随x的增大而增大，故不可能；
B、对于函数y=−2x，图象位于二、四象限，每个象限内y随x的增大而增大，故不可能；
C、对于函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而增大，故不可能；
D、对于函数y＝﹣x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，故有可能；
故选：D．
总结提升：考查正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案．
3． (2023秋•鸡西期末）已知一次函数y＝2x﹣3与反比例函数y=kx的图象交于点P（a﹣2，3），则k＝ ．
思路引领：先把P（a﹣2，3）代入y＝2x﹣3，求得P的坐标，然后根据待定系数法即可求得．
解：∵一次函数y＝2x﹣3经过点P（a﹣2，3），
∴3＝2（a﹣2）﹣3，
解得a＝5，
∴P（3，3），
∵点P在反比例函数y=kx的图象上，
∴k＝3×3＝9，
故答案为9．
总结提升：本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，求得交点坐标是解题的关键．
4． (2023•成华区模拟）如图，直线y=3x﹣8交x轴于点A，交y轴于点B，点C是反比例函数y=kx(x＞0)的图象上位于直线AB上方的一点，CD∥x轴交AB于点D，CE⊥CD交AB于点E，若AD•BE＝4，则k的值为 ．
思路引领：过D作DF⊥AO于F，过EG⊥OB于G，则DF∥OB，GE∥AO，设C（x，y），则GE＝x，DF＝﹣y，由△ADF∽△ABO，可得AD=−233y，由△BEG∽△BAO，可得BE＝2x，再根据AD•BE＝4，即可得到k＝xy=3．
解：如图，过D作DF⊥AO于F，过EG⊥OB于G，则DF∥OB，GE∥AO，
由直线y=3x﹣8，可得A（833，0），B（0，﹣8），
∴AO=833，BO＝8，AB=1633，
设C（x，y），则GE＝x，DF＝﹣y，
由△ADF∽△ABO，可得ADAB=DFBO，
即AD1633=−y8，
∴AD=−233y，
由△BEG∽△BAO，可得BEBA=GEOA，
即BE1633=x833，
∴BE＝2x，
∵AD•BE＝4，
∴−233y×2x＝4，
∴xy=−3，
∴k＝xy=−3，
故答案为：−3．
总结提升：本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是作辅助线构造相似三角形，根据相似三角形的对应边成比例求出AD、BE．
5． (2023秋•兴义市期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则一次函数y＝ax+b和反比例函数y=cx的图象为（ ）
A．B．
C．D．
思路引领：直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b，c的取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．
解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，
∴a＜0，
∵该抛物线对称轴位于y轴的右侧，
∴a、b异号，即b＞0．
∵抛物线交y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，反比例函数y=cx（c≠0）在二、四象限．
故选：C．
总结提升：此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键．
6． (2023秋•龙湾区期中）如图，抛物线y＝ax2+4x+c（a≠0）与反比例函数y=5x的图象相交于点B，且点B的横坐标为5，抛物线与y轴交于点C（0，6），A是抛物线的顶点，P和Q分别是x轴和y轴上的两个动点，则AQ+QP+PB的最小值为 ．
思路引领：根据题意求得B的坐标，然后根据待定系数法求得抛物线的解析式，从而求得顶点A的坐标，求得A关于y轴的对称点A′（﹣2，10），B点关于x轴的对称点B′为（5，﹣1），根据两点之间线段最短，即可判断AQ+QP+PB＝A′B′是AQ+QP+PB的最小值，利用勾股定理求得即可．
解：∵点B在反比例函数y=5x的图象，且点B的横坐标为5，
∴点B的纵坐标为：y=55=1，
∴B（5，1），
∵抛物线y＝ax2+4x+c（a≠0）与反比例函数y=5x的图象相交于点B，与y轴交于点C（0，6），
∴25a+20+c=1c=6，解得a=−1c=6，
∴抛物线为y＝﹣x2+4x+6，
∵y＝﹣x2+4x+6＝﹣（x﹣2）2+10，
∴A（2，10），
∴A关于y轴的对称点A′（﹣2，10），
∵B（5，1），
∴B点关于x轴的对称点B′为（5，﹣1），
连接A′B′交x轴于P，交y轴于Q，此时AQ+QP+PB的值最小，即AQ+QP+PB＝A′B′，
A′B′=(5+2)2+(−1−10)2=170，
故AQ+QP+PB的最小值为170．
总结提升：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，明确AQ+QP+PB＝A′B′是AQ+QP+PB的最小值是解题的关键．
7． (2023秋•沙坪坝区校级月考）阅读材料：在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“星之点”，例如：点（1，﹣1），（2，﹣2），（2，−2）都是“星之点”，显然“星之点“有无数个，我们知道关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式x=−b±b2−4ac2a，故有x1=−b+b2−4ac2a，x2=−b−b2−4ac2a
两根之和x1+x2=−b+b2−4ac2a+−b−b2−4ac2a=−ba
两根之积x1x2＝（−b+b2−4ac2a）•（−b−b2−4ac2a）=ca
根据以上信息，回答下列的问题：
（1）若点P（−3，m）是反比例函数y=kx（k≠0）的图象上的”星之点”，求这个反比例函数的解析式；
（2）函数y＝4kx+s﹣2（k，s为常数）的图象上存在“星之点”吗？若存在，请求出“星之点”的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若二次函数y＝ax2+bx+1（a、b是常数，且a＞0）的图象上存在两个“星之点”A（x1，﹣x1），B（x2，﹣x2），且满足﹣2≤x1＜2，|x1﹣x2|＝2，令t＝b2+2b+15748，试求t的取值范围．
思路引领：（1）由“星之点”定义得到点P坐标为（−3，3），用待定系数法即求得反比例函数解析式．
（2）把“星之点”（x，﹣x）代入函数解析式，化简得到关于x的一元一次方程．讨论x的一次项系数：①若一次项系数和常数项都为0，则方程有无数解，故有无数个“星之点”；②若一次项系数为0而常数项不为0，则方程无解，不存在“星之点”；③若一次项系数和常数项均不为0，方程有唯一解，则求得“星之点”坐标．
（3）把点A、B坐标代入二次函数并化简，可得x1、x2即为方程ax2+（b+1）x+1＝0的两个不相等实数根．根据韦达定理可得x1+x2=−b+1a，x1•x2=1a，利用|x1﹣x2|＝2和完全平方公式变形|x1﹣x2|2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2可得a与b的关系式，化简得b2+2b＝4a2+4a﹣1＝4（a+12）2﹣2．根据﹣2≤x1＜2，|x1﹣x2|＝2与x1•x2=1a（a＞0）讨论得a＞18，根据抛物线性质可求得b2+2b的取值范围，代入t即求得t的取值范围．
解：（1）∵点P（−3，m）是“星之点”
∴P（−3，3）
∵点P是反比例函数y=kx（k≠0）的图象上的点
∴3=k−3 解得：k＝﹣3
∴这个反比例函数的解析式为y=−3x
（2）函数y＝4kx+s﹣2（k，s为常数）的图象上存在“星之点”．
设“星之点”（x，﹣x）在函数y＝4kx+s﹣2（k，s为常数）的图象上
∴﹣x＝4kx+s﹣2
整理得：（4k+1）x＝2﹣s
①当4k+1＝0，即k=−14时，若2﹣s＝0，即s＝2，方程有无数解，此时有无数个“星之点”
②当4k+1＝0，即k=−14时，若s≠2，则方程无解，没有“星之点”
③当4k+1≠0，即k≠−14时，x=2−s4k+1
∴“星之点”坐标为（2−s4k+1，s−24k+1）
综上所述，函数y＝4kx+s﹣2（k，s为常数）的图象上存在“星之点”，坐标为（2−s4k+1，s−24k+1）或无数个．
（3）依题意得：﹣x1＝ax12+bx1+1，﹣x2＝ax22+bx2+1
整理得：ax12+（b+1）x1+1＝0，ax22+（b+1）x2+1＝0
∴x1、x2是方程ax2+（b+1）x+1＝0的两个不相等实数根
∴x1+x2=−b+1a，x1•x2=1a
∵a＞0
∴x1•x2=1a＞0，即x1、x2同号
∵﹣2≤x1＜2，|x1﹣x2|＝2
i）当x1﹣x2＝2时，x1＝x2+2
∴﹣2≤x2+2＜2，即﹣4≤x2＜0
∴﹣2≤x1＜0
∴x1•x2=1a＜8
ii）当x1﹣x2＝﹣2时，x1＝x2﹣2
∴﹣2≤x2﹣2＜2，即0≤x2＜4
∴0＜x1＜2
∴x1•x2=1a＜8
综上，a＞18
∵|x1﹣x2|2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2＝（−b+1a）2−4a=b2+2b+1−4aa2=4
∴b2+2b+1﹣4a＝4a2
∴b2+2b＝4a2+4a﹣1＝4（a+12）2﹣2
∵当a＞−12时，b2+2b的值随a的增大而增大
∴当a＞18时，b2+2b＞4（18+12）2﹣2=−716
∴t＝b2+2b+15748＞−716+15748=176
∴t的取值范围为t＞176．
总结提升：本题考查了新定义的理解和应用，反比例函数的性质，一次函数的性质，二次函数的图象与性质，一元二次方程根与系数的关系，不等式的性质．第（3）题的解题关键是由点A、B代入二次函数后得到以x1、x2为根的方程，利用韦达定理列得关于a、b的等式，进而根据a的范围确定含b的二次项式子取值范围，最终求得t的取值范围．
类型一 反比例函数与一次函数的综合运用
1． (2023•蓬江区校级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝kx与反比例函数y=−8x的图象交于A，B（﹣2，a）两点，过原点O的另一条直线l与双曲线y=kx交于P，Q两点（Q点在第四象限），若以点A，B，P，Q为顶点的四边形面积为24，则点P的坐标是 ．
第1题图 第2题图
2． (2023•荆州中考）边长为1的8个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线y＝k1x平分这8个正方形所组成的图形的面积，交其中两个正方形的边于A，B两点，过B点的双曲线y=k2x的一支交其中两个正方形的边于C，D两点，连接OC，OD，CD，则S△OCD＝ ．
类型二 反比例函数与二次函数的综合运用
3． (2023秋•赛罕区校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则反比例函数y=ax与一次函数y＝﹣cx+b在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
4．（遂宁中考）如图，已知抛物线y＝ax2﹣4x+c（a≠0）与反比例函数y=9x的图象相交于点B，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0，6），A是抛物线y＝ax2﹣4x+c的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为 ．
类型三 反比例函数与一次函数、二次函数的综合运用
5． (2023•枣庄模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”给出下列函数①y＝﹣x；②y=2x；③y＝x+2；④y＝x2﹣2x．其图象中不存在“好点”的函数个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6． (2023•平原县模拟）在下列函数图象上任取不同两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），一定能使（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0成立的是（ ）
A．y＝﹣3x+1B．y＝﹣x2﹣2x﹣3（x＜1）
C．y＝﹣x2+4x+1（x＜0）D．y=−6x
7．（宜昌中考）如图，在平面直角坐标系中，矩形OADB的顶点A，B的坐标分别为A（﹣6，0），B（0，4）．过点C（﹣6，1）的双曲线y=kx（k≠0）与矩形OADB的边BD交于点E．
（1）填空：OA＝ ，k＝ ，点E的坐标为 ；
（2）当1≤t≤6时，经过点M（t﹣1，−12t2+5t−32）与点N（﹣t﹣3，−12t2+3t−72）的直线交y轴于点F，点P是过M，N两点的抛物线y=−12x2+bx+c的顶点．
①当点P在双曲线y=kx上时，求证：直线MN与双曲线y=kx没有公共点；
②当抛物线y=−12x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点，求t的值；
③当点F和点P随着t的变化同时向上运动时，求t的取值范围，并求在运动过程中直线MN在四边形OAEB中扫过的面积．
专题提优训练
1． (2023春•西乡塘区校级月考）下列各曲线中不能表示y是x的函数是（ ）
A．B．C． D．
2． (2023秋•萧山区期中）已知点A（1，m），B（2，m﹣n）（n＞0）在同一个函数的图象上，则这个函数可能是（ ）
A．y＝xB．y=−2xC．y＝x2D．y＝﹣x2
3． (2023秋•鸡西期末）已知一次函数y＝2x﹣3与反比例函数y=kx的图象交于点P（a﹣2，3），则k＝ ．
4． (2023•成华区）如图，直线y=3x﹣8交x轴于点A，交y轴于点B，点C是反比例函数y=kx(x＞0)的图象上位于直线AB上方的一点，CD∥x轴交AB于点D，CE⊥CD交AB于点E，若AD•BE＝4，则k的值为 ．
5． (2023秋•兴义市期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则一次函数y＝ax+b和反比例函数y=cx的图象为（ ）
A．B．C．D．
6． (2023秋•龙湾区期中）如图，抛物线y＝ax2+4x+c（a≠0）与反比例函数y=5x的图象相交于点B，且点B的横坐标为5，抛物线与y轴交于点C（0，6），A是抛物线的顶点，P和Q分别是x轴和y轴上的两个动点，则AQ+QP+PB的最小值为 ．
7． (2023秋•沙坪坝区校级月考）阅读材料：在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“星之点”，例如：点（1，﹣1），（2，﹣2），（2，−2）都是“星之点”，显然“星之点“有无数个，我们知道关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式x=−b±b2−4ac2a，故有x1=−b+b2−4ac2a，x2=−b−b2−4ac2a
两根之和x1+x2=−b+b2−4ac2a+−b−b2−4ac2a=−ba
两根之积x1x2＝（−b+b2−4ac2a）•（−b−b2−4ac2a）=ca
根据以上信息，回答下列的问题：
（1）若点P（−3，m）是反比例函数y=kx（k≠0）的图象上的”星之点”，求这个反比例函数的解析式；
（2）函数y＝4kx+s﹣2（k，s为常数）的图象上存在“星之点”吗？若存在，请求出“星之点”的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若二次函数y＝ax2+bx+1（a、b是常数，且a＞0）的图象上存在两个“星之点”A（x1，﹣x1），B（x2，﹣x2），且满足﹣2≤x1＜2，|x1﹣x2|＝2，令t＝b2+2b+15748，试求t的取值范围．
专题11 反比例函数与一次函数二次函数的综合运用（解析版）
第一部分 典例剖析
类型一 反比例函数与一次函数的综合运用
1． (2023•蓬江区校级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝kx与反比例函数y=−8x的图象交于A，B（﹣2，a）两点，过原点O的另一条直线l与双曲线y=kx交于P，Q两点（Q点在第四象限），若以点A，B，P，Q为顶点的四边形面积为24，则点P的坐标是 ．
思路引领：先将B（﹣2，a）代入y=−8x，可得出a＝4，求得点B（﹣2，4），再根据点A与B关于原点对称，得出A点坐标，由于双曲线是关于原点的中心对称图形，因此以A、B、P、Q为顶点的四边形应该是平行四边形，那么△POB的面积就应该是四边形面积的四分之一即6．可根据双曲线的解析式设出P点的坐标，然后表示出△POB的面积，由于△POB的面积为6，由此可得出关于P点横坐标的方程，即可求出P点的坐标．
解：∵B（﹣2，a）在反比例函数y=−8x的图象上，
∴a=−8−2=4，
∴点B（﹣2，4），
∵点A与B关于原点对称，
∴A点坐标为（2，﹣4），
∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，
∴OP＝OQ，OA＝OB，
∴四边形AQBP是平行四边形，
∵OP＝OQ，OA＝OB，
∴S△POA＝S△QOA，S△POB＝S△QOB，S△POB＝S△POA，S△AOQ＝S△BOQ，
∴S△POA＝S△QOA＝S△QOB＝S△POB=14S平行四边形AQBP，
∴S△POB＝S平行四边形AQBP×14=14×24＝6，
设点P的横坐标为m（m＜0且m≠﹣2），
得P（m，−8m），
过点P、B分别做x轴的垂线，垂足为M、N，
∵点P、B在双曲线上，
∴S△POM＝S△BON＝4，
若m＜﹣2，如图1，
∵S△BON+S梯形PMNB＝S△POB+S△POM，
∴S梯形PMNB＝S△POB＝6．
∴12（4−8m）•（﹣2﹣m）＝6．
∴m1＝﹣4，m2＝1（舍去），
∴P（﹣4，2）；
若﹣2＜m＜0，如图2，
∵S△POM+S梯形BNMP＝S△BOP+S△BON，
∴S梯形BNMP＝S△POB＝6．
∴12（4−8m）•（m+2）＝6，
解得m1＝﹣1，m2＝4（舍去），
∴P（﹣1，8）．
∴点P的坐标是P（﹣4，2）或P（﹣1，8），
故答案为（﹣4，2）或（﹣1，8）．
总结提升：本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数y=kx中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．利用数形结合的思想，求得三角形的面积．
2． (2023•荆州）边长为1的8个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线y＝k1x平分这8个正方形所组成的图形的面积，交其中两个正方形的边于A，B两点，过B点的双曲线y=k2x的一支交其中两个正方形的边于C，D两点，连接OC，OD，CD，则S△OCD＝ ．
思路引领：设A（4，t），利用面积法得到12×4×t＝4+1，解方程得到A（4，52），利用待定系数法求出直线解析式为y=58x，再确定B（2，54），接着利用待定系数法确定双曲线的解析式为y=52x，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出C（54，2），D（3，56），然后用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积计算S△OCD．
解：设A（4，t），
∵直线y＝k1x平分这8个正方形所组成的图形的面积，
∴12×4×t＝4+1，解得t=52，
∴A（4，52），
把A（4，52）代入直线y＝k1x得4k1=52，解得k1=58，
∴直线解析式为y=58x，
当x＝2时，y=58x=54，则B（2，54），
∵双曲线y=k2x经过点B，
∴k2＝2×54=52，
∴双曲线的解析式为y=52x=52x，
当y＝2时，52x=2，解得x=54，则C（54，2）；
当x＝3时，y=52x=56，则D（3，56），
∴S△OCD＝3×2−12×3×56−12×2×54−12（2−56）×（3−54）=11948．
故答案为11948．
总结提升：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
类型二 反比例函数与二次函数的综合运用
3． (2023秋•赛罕区校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则反比例函数y=ax与一次函数y＝﹣cx+b在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
思路引领：首先根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b＞0，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案．
解：根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b＞0，
则反比例函数y=ax的图象在第二、四象限，
一次函数y＝﹣cx+b经过第一、二、四象限，
故选：C．
总结提升：此题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，关键是根据二次函数图象确定出a、b、c的符号．
4．（遂宁中考）如图，已知抛物线y＝ax2﹣4x+c（a≠0）与反比例函数y=9x的图象相交于点B，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0，6），A是抛物线y＝ax2﹣4x+c的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为 ．
思路引领：根据题意作出合适的辅助线，然后求出点B的坐标，从而可以求得二次函数解析式，然后求出点A的坐标，进而求得A′的坐标，从而可以求得直线A′B的函数解析式，进而求得与x轴的交点，从而可以解答本题．
解：作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，则A′B与x轴的交点即为所求，
∵抛物线y＝ax2﹣4x+c（a≠0）与反比例函数y=9x的图象相交于点B，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0，6），
∴点B（3，3），
∴a×32−4×3+c=3c=6，
解得，a=1c=6，
∴y＝x2﹣4x+6＝（x﹣2）2+2，
∴点A的坐标为（2，2），
∴点A′的坐标为（2，﹣2），
设过点A′（2，﹣2）和点B（3，3）的直线解析式为y＝mx+n，
2m+n=−23m+n=3，得m=5n=−12，
∴直线A′B的函数解析式为y＝5x﹣12，
令y＝0，则0＝5x﹣12得x=125，
故答案为：（125，0）．
总结提升：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
类型三 反比例函数与一次函数、二次函数的综合运用
5． (2023•枣庄模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”给出下列函数①y＝﹣x；②y=2x；③y＝x+2；④y＝x2﹣2x．其图象中不存在“好点”的函数个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
思路引领：根据题意可得x＝y，然后代入每一个解析式进行计算即可判断．
解：∵横、纵坐标相等的点称为“好点”，
∴x＝y，
∴①x＝﹣x，解得x＝0，所以y＝﹣x图象中存在“好点”，
②x=2x，解得x＝±2，所以y=2x图象中存在“好点”，
③x＝x+2，此方程无解，所以y＝x+2图象中不存在“好点”，
④x＝x2﹣2x，解得x＝0或x＝3，所以y＝x2﹣2x图象中存在“好点”，
上述图象中不存在“好点”的函数个数为：1，
故选：A．
总结提升：本题考查了函数的概念，根据题意得出x＝y，然后代入每一个解析式进行计算是解题的关键．
6． (2023•平原县模拟）在下列函数图象上任取不同两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），一定能使（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0成立的是（ ）
A．y＝﹣3x+1B．y＝﹣x2﹣2x﹣3（x＜1）
C．y＝﹣x2+4x+1（x＜0）D．y=−6x
思路引领：根据各函数的增减性依次进行判断即可．
解：A、∵k＝﹣3＜0，
∴y随x的增大而减小，即当x1＞x2时，必有y1＜y2，
∴（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，
故A选项不符合；
B、∵a＝﹣1＜0，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当﹣1＜x＜1时，y随x的增大而减小，当x＜﹣1时y随x的增大而增大，
∴当x＜﹣1时，能使（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0成立，
故B选项不符合；
C、∵a＝﹣1＜0，对称轴为直线x＝2，
∴当x＜2时，y随x的增大而增大，
∴当x＜0时，能使（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0成立，
故C选项符合；
D、∵﹣6＜0，
∴当x＞0或x＜0时，y随x的增大而增大，
∴当P1（x1，y1）、P2（x2，y2）不在同一象限时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0不成立，
故D选项不符合；
故选：C．
总结提升：本题主要考查了一次函数、反比例函数和二次函数的图象和性质，需要结合图象去一一分析，熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质是解题的关键．
7．（宜昌中考）如图，在平面直角坐标系中，矩形OADB的顶点A，B的坐标分别为A（﹣6，0），B（0，4）．过点C（﹣6，1）的双曲线y=kx（k≠0）与矩形OADB的边BD交于点E．
（1）填空：OA＝ ，k＝ ，点E的坐标为 ；
（2）当1≤t≤6时，经过点M（t﹣1，−12t2+5t−32）与点N（﹣t﹣3，−12t2+3t−72）的直线交y轴于点F，点P是过M，N两点的抛物线y=−12x2+bx+c的顶点．
①当点P在双曲线y=kx上时，求证：直线MN与双曲线y=kx没有公共点；
②当抛物线y=−12x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点，求t的值；
③当点F和点P随着t的变化同时向上运动时，求t的取值范围，并求在运动过程中直线MN在四边形OAEB中扫过的面积．
思路引领：（1）根据题意将先关数据代入
（2）①用t表示直线MN解析式，及b，c，得到P点坐标代入双曲线y=kx解析式，证明关于t的方程无解即可；
②根据抛物线开口和对称轴，分别讨论抛物线过点B和在BD上时的情况；
③由②中部分结果，用t表示F、P点的纵坐标，求出t的取值范围及直线MN在四边形OAEB中所过的面积．
解：（1）∵A点坐标为（﹣6，0）
∴OA＝6
∵过点C（﹣6，1）的双曲线y=kx
∴k＝﹣6
y＝4时，x=−64=−32
∴点E的坐标为（−32，4）
故答案为：6，﹣6，（−32，4）
（2）①设直线MN解析式为：y1＝k1x+b1
由题意得：−12t2+5t−32=k1(t−1)+b1−12t2+3t−72=k1(−t−3)+b1
解得k1=1b=−12t2+4t−12
∵抛物线y=−12x2+bx+c过点M、N
∴−12t2+5t−32=−12(t−1)2+b(t−1)+c−12t2+3t−72=−12(−t−3)2+b(−t−3)+c
解得b=−1c=5t−2
∴抛物线解析式为：y=−12x2﹣x+5t﹣2=−12（x+1）2+5t−32
∴顶点P坐标为（﹣1，5t−32）
∵P在双曲线y=−6x上
∴（5t−32）×（﹣1）＝﹣6
∴t=32
此时直线MN解析式为：
联立y=x+358y=−6x
∴8x2+35x+49＝0
∵△＝352﹣4×8×48＝1225﹣1536＜0
∴直线MN与双曲线y=−6x没有公共点．
②当抛物线过点B，此时抛物线y=−12x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点
∴4＝5t﹣2，得t=65
当抛物线的顶点在线段DB上，此时抛物线与矩形OADB有且只有三个公共点
∴10t−32=4，得t=1110
∴t=65或t=1110
③∵点P的坐标为（﹣1，5t−32）
∴yP＝5t−32
当1≤t≤6时，yP随t的增大而增大
此时，点P在直线x＝﹣1上向上运动
∵点F的坐标为（0，−12t2+4t−12）
∴yF=−12(t−4)2+152
∴当1≤t≤4时，随者yF随t的增大而增大
此时，随着t的增大，点F在y轴上向上运动
∴1≤t≤4
当t＝1时，直线MN：y＝x+3与x轴交于点G（﹣3，0），与y轴交于点H（0，3）
当t＝4−3时，直线MN过点A．
当1≤t≤4时，直线MN在四边形AEBO中扫过的面积为
S=12×(32+6)×4−12×3×3=212
总结提升：本题为二次函数与反比例函数综合题，考查了数形结合思想和分类讨论的数学思想．解题过程中，应注意充分利用字母t表示相关点坐标．
专题提优训练
1． (2023春•西乡塘区校级月考）下列各曲线中不能表示y是x的函数是（ ）
A．B．C． D．
思路引领：根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，判断即可．
解：上列曲线中，A、B、D选项，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，
所以A、B、D能表示y是x的函数，
C选项，对于自变量x的每一个值，y不是有唯一的值和它对应，
所以C不能表示y是x的函数，
故选：C．
总结提升：本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．
2． (2023秋•萧山区期中）已知点A（1，m），B（2，m﹣n）（n＞0）在同一个函数的图象上，则这个函数可能是（ ）
A．y＝xB．y=−2xC．y＝x2D．y＝﹣x2
思路引领：由B（1，m），C（2，m﹣n）可知，在y轴的右侧，y随x的增大而减小，据此判断即可．
解：∵点A（1，m），B（2，m﹣n）（n＞0）在同一个函数的图象上，
∴在y轴的右侧，y随x的增大而减小，
A、对于函数y＝x，y随x的增大而增大，故不可能；
B、对于函数y=−2x，图象位于二、四象限，每个象限内y随x的增大而增大，故不可能；
C、对于函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而增大，故不可能；
D、对于函数y＝﹣x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，故有可能；
故选：D．
总结提升：考查正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案．
3． (2023秋•鸡西期末）已知一次函数y＝2x﹣3与反比例函数y=kx的图象交于点P（a﹣2，3），则k＝ ．
思路引领：先把P（a﹣2，3）代入y＝2x﹣3，求得P的坐标，然后根据待定系数法即可求得．
解：∵一次函数y＝2x﹣3经过点P（a﹣2，3），
∴3＝2（a﹣2）﹣3，
解得a＝5，
∴P（3，3），
∵点P在反比例函数y=kx的图象上，
∴k＝3×3＝9，
故答案为9．
总结提升：本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，求得交点坐标是解题的关键．
4． (2023•成华区模拟）如图，直线y=3x﹣8交x轴于点A，交y轴于点B，点C是反比例函数y=kx(x＞0)的图象上位于直线AB上方的一点，CD∥x轴交AB于点D，CE⊥CD交AB于点E，若AD•BE＝4，则k的值为 ．
思路引领：过D作DF⊥AO于F，过EG⊥OB于G，则DF∥OB，GE∥AO，设C（x，y），则GE＝x，DF＝﹣y，由△ADF∽△ABO，可得AD=−233y，由△BEG∽△BAO，可得BE＝2x，再根据AD•BE＝4，即可得到k＝xy=3．
解：如图，过D作DF⊥AO于F，过EG⊥OB于G，则DF∥OB，GE∥AO，
由直线y=3x﹣8，可得A（833，0），B（0，﹣8），
∴AO=833，BO＝8，AB=1633，
设C（x，y），则GE＝x，DF＝﹣y，
由△ADF∽△ABO，可得ADAB=DFBO，
即AD1633=−y8，
∴AD=−233y，
由△BEG∽△BAO，可得BEBA=GEOA，
即BE1633=x833，
∴BE＝2x，
∵AD•BE＝4，
∴−233y×2x＝4，
∴xy=−3，
∴k＝xy=−3，
故答案为：−3．
总结提升：本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是作辅助线构造相似三角形，根据相似三角形的对应边成比例求出AD、BE．
5． (2023秋•兴义市期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则一次函数y＝ax+b和反比例函数y=cx的图象为（ ）
A．B．
C．D．
思路引领：直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b，c的取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．
解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，
∴a＜0，
∵该抛物线对称轴位于y轴的右侧，
∴a、b异号，即b＞0．
∵抛物线交y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，反比例函数y=cx（c≠0）在二、四象限．
故选：C．
总结提升：此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键．
6． (2023秋•龙湾区期中）如图，抛物线y＝ax2+4x+c（a≠0）与反比例函数y=5x的图象相交于点B，且点B的横坐标为5，抛物线与y轴交于点C（0，6），A是抛物线的顶点，P和Q分别是x轴和y轴上的两个动点，则AQ+QP+PB的最小值为 ．
思路引领：根据题意求得B的坐标，然后根据待定系数法求得抛物线的解析式，从而求得顶点A的坐标，求得A关于y轴的对称点A′（﹣2，10），B点关于x轴的对称点B′为（5，﹣1），根据两点之间线段最短，即可判断AQ+QP+PB＝A′B′是AQ+QP+PB的最小值，利用勾股定理求得即可．
解：∵点B在反比例函数y=5x的图象，且点B的横坐标为5，
∴点B的纵坐标为：y=55=1，
∴B（5，1），
∵抛物线y＝ax2+4x+c（a≠0）与反比例函数y=5x的图象相交于点B，与y轴交于点C（0，6），
∴25a+20+c=1c=6，解得a=−1c=6，
∴抛物线为y＝﹣x2+4x+6，
∵y＝﹣x2+4x+6＝﹣（x﹣2）2+10，
∴A（2，10），
∴A关于y轴的对称点A′（﹣2，10），
∵B（5，1），
∴B点关于x轴的对称点B′为（5，﹣1），
连接A′B′交x轴于P，交y轴于Q，此时AQ+QP+PB的值最小，即AQ+QP+PB＝A′B′，
A′B′=(5+2)2+(−1−10)2=170，
故AQ+QP+PB的最小值为170．
总结提升：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，明确AQ+QP+PB＝A′B′是AQ+QP+PB的最小值是解题的关键．
7． (2023秋•沙坪坝区校级月考）阅读材料：在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“星之点”，例如：点（1，﹣1），（2，﹣2），（2，−2）都是“星之点”，显然“星之点“有无数个，我们知道关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式x=−b±b2−4ac2a，故有x1=−b+b2−4ac2a，x2=−b−b2−4ac2a
两根之和x1+x2=−b+b2−4ac2a+−b−b2−4ac2a=−ba
两根之积x1x2＝（−b+b2−4ac2a）•（−b−b2−4ac2a）=ca
根据以上信息，回答下列的问题：
（1）若点P（−3，m）是反比例函数y=kx（k≠0）的图象上的”星之点”，求这个反比例函数的解析式；
（2）函数y＝4kx+s﹣2（k，s为常数）的图象上存在“星之点”吗？若存在，请求出“星之点”的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若二次函数y＝ax2+bx+1（a、b是常数，且a＞0）的图象上存在两个“星之点”A（x1，﹣x1），B（x2，﹣x2），且满足﹣2≤x1＜2，|x1﹣x2|＝2，令t＝b2+2b+15748，试求t的取值范围．
思路引领：（1）由“星之点”定义得到点P坐标为（−3，3），用待定系数法即求得反比例函数解析式．
（2）把“星之点”（x，﹣x）代入函数解析式，化简得到关于x的一元一次方程．讨论x的一次项系数：①若一次项系数和常数项都为0，则方程有无数解，故有无数个“星之点”；②若一次项系数为0而常数项不为0，则方程无解，不存在“星之点”；③若一次项系数和常数项均不为0，方程有唯一解，则求得“星之点”坐标．
（3）把点A、B坐标代入二次函数并化简，可得x1、x2即为方程ax2+（b+1）x+1＝0的两个不相等实数根．根据韦达定理可得x1+x2=−b+1a，x1•x2=1a，利用|x1﹣x2|＝2和完全平方公式变形|x1﹣x2|2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2可得a与b的关系式，化简得b2+2b＝4a2+4a﹣1＝4（a+12）2﹣2．根据﹣2≤x1＜2，|x1﹣x2|＝2与x1•x2=1a（a＞0）讨论得a＞18，根据抛物线性质可求得b2+2b的取值范围，代入t即求得t的取值范围．
解：（1）∵点P（−3，m）是“星之点”
∴P（−3，3）
∵点P是反比例函数y=kx（k≠0）的图象上的点
∴3=k−3 解得：k＝﹣3
∴这个反比例函数的解析式为y=−3x
（2）函数y＝4kx+s﹣2（k，s为常数）的图象上存在“星之点”．
设“星之点”（x，﹣x）在函数y＝4kx+s﹣2（k，s为常数）的图象上
∴﹣x＝4kx+s﹣2
整理得：（4k+1）x＝2﹣s
①当4k+1＝0，即k=−14时，若2﹣s＝0，即s＝2，方程有无数解，此时有无数个“星之点”
②当4k+1＝0，即k=−14时，若s≠2，则方程无解，没有“星之点”
③当4k+1≠0，即k≠−14时，x=2−s4k+1
∴“星之点”坐标为（2−s4k+1，s−24k+1）
综上所述，函数y＝4kx+s﹣2（k，s为常数）的图象上存在“星之点”，坐标为（2−s4k+1，s−24k+1）或无数个．
（3）依题意得：﹣x1＝ax12+bx1+1，﹣x2＝ax22+bx2+1
整理得：ax12+（b+1）x1+1＝0，ax22+（b+1）x2+1＝0
∴x1、x2是方程ax2+（b+1）x+1＝0的两个不相等实数根
∴x1+x2=−b+1a，x1•x2=1a
∵a＞0
∴x1•x2=1a＞0，即x1、x2同号
∵﹣2≤x1＜2，|x1﹣x2|＝2
i）当x1﹣x2＝2时，x1＝x2+2
∴﹣2≤x2+2＜2，即﹣4≤x2＜0
∴﹣2≤x1＜0
∴x1•x2=1a＜8
ii）当x1﹣x2＝﹣2时，x1＝x2﹣2
∴﹣2≤x2﹣2＜2，即0≤x2＜4
∴0＜x1＜2
∴x1•x2=1a＜8
综上，a＞18
∵|x1﹣x2|2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2＝（−b+1a）2−4a=b2+2b+1−4aa2=4
∴b2+2b+1﹣4a＝4a2
∴b2+2b＝4a2+4a﹣1＝4（a+12）2﹣2
∵当a＞−12时，b2+2b的值随a的增大而增大
∴当a＞18时，b2+2b＞4（18+12）2﹣2=−716
∴t＝b2+2b+15748＞−716+15748=176
∴t的取值范围为t＞176．
总结提升：本题考查了新定义的理解和应用，反比例函数的性质，一次函数的性质，二次函数的图象与性质，一元二次方程根与系数的关系，不等式的性质．第（3）题的解题关键是由点A、B代入二次函数后得到以x1、x2为根的方程，利用韦达定理列得关于a、b的等式，进而根据a的范围确定含b的二次项式子取值范围，最终求得t的取值范围．
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