2024年河南省普通高中毕业班高考适应性测试数学试题

这是一份2024年河南省普通高中毕业班高考适应性测试数学试题，共10页。试卷主要包含了已知，则的值为等内容，欢迎下载使用。

数学
本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的考生号､姓名､考点学校､考场号及座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（ ）
A. B.
C. D.
3.已知，则的值大约为（ ）

4.已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径和高分别相等，圆柱的轴截面是一个正方形，则这个圆柱的侧面积和圆锥的侧面积的比值是（ ）
A. B. C. D.
5.函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，若函数的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若的面积是的面积的两倍，则（ ）
A.2 B. C. D.
7.已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.2
8.对于数列，定义为数列的“加权和”.设数列的“加权和”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.约翰逊多面体是指除了正多面体､半正多面体（包括13种阿基米德多面体､无穷多种侧棱与底棱相等的正棱柱､无穷多种正反棱柱）以外，所有由正多边形面组成的凸多面体.其中，由正多边形构成的台塔是一种特殊的约翰逊多面体，台塔，又叫帐塔､平顶塔，是指在两个平行的多边形（其中一个的边数是另一个的两倍）之间加入三角形和四边形所组成的多面体.各个面为正多边形的台塔，包括正三､四､五角台塔.如图是所有棱长均为1的正三角台塔，则该台塔（ ）
A.共有15条棱 B.表面积为
C.高为 D.外接球的体积为
10.已知定义在上的函数，满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B.为偶函数
C. D.2是函数的一个周期
11.泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻受.已知点，直线，动点到点的距离是点到直线的距离的.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”.则下列结论中正确的是（ ）
A.点的轨迹方程是
B.直线是“最远距离直线”
C.点的轨迹与圆没有交点
D.平面上有一点，则的最小值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知圆，圆，直线.分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为__________.
13.的展开式中的系数为__________.
14.若，且，则的最大值是__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知中，角的对边分别是，且.
（1）求角的大小；
（2）若向量与向量垂直，求的值.
16.（15分）
在如图所示的四棱锥中，四边形为矩形，平面为线段上的动点.
（1）若平面，求的值；
（2）在（1）的条件下，若，求平面与平面夹角的余弦值.
17.（15分）
已知函数.
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）若对于任意，都有恒成立，求实数的取值范围.
18.（17分）
已知分别为双曲线的左､右顶点，，动直线与双曲线交于两点.当轴，且时，四边形的面积为.
（1）求双曲线的标准方程.
（2）设均在双曲线的右支上，直线与分别交轴于两点，若，判断直线是否过定点.若过，求出该定点的坐标；若不过，请说明理由.
19.（17分）
甲､乙､丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中.
（1）设前三次投掷骰子后，球在甲手中的次数为，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）投掷次骰子后，记球在乙手中的概率为，求数列的通项公式；
（3）设，求证：.
2024年河南省普通高中毕业班高考适应性测试
数学试题参考答案及评分标准
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分：
1.D 2.A 3.A 4.B 5.D 6.C 7.A 8.B
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.ACD 10.ABD 11.AC
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 13. 14.
四､解答题：本题共5小题，共77分.
15.解：（1）因为，所以，即.所以.
因为是的内角，所以.
（2）因为向量与向量垂直，所以.
由正弦定理可得.所以.
由余弦定理可得，即.
解得.所以的值为2.
16.解：（1）如图1，连接，交于点，连接.
平面平面，平面平面，
.
又为的中点，
为的中点，即.
（2）如图2，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.
则.
平面，
平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，
则
令，得.
.
平面与平面的夹角的余弦值为.
17.解：（1），切点为，
，
所以切线的斜率为0，在点处的切线方程为.
（2）令，则.所以为单调递增函数.
因为，所以时，时，.
所以在单调递减，在单调递增.
若对于任意，都有恒成立，即只需.
因为在单调递减，在单调递增，
所以的最大值为和中最大的一个.
所以
设，所以在单调递减，在单调递增.
，故当时，.
当时，，则成立.
当时，由的单调性，，即，不符合题意.
当时，，即，也不符合题意.
综上，的取值范围为.
18.解：（1）由知，.
当轴时，根据双曲线的对称性，不妨设点在第一象限，则由，可得.代入双曲线的方程，得.
因为四边形的面积为，所以.
解得.
所以双曲线的标准方程为.
（2）因为，所以可设.
直线的方程为，直线的方程为.
又双曲线的渐近线方程为，
显然直线与双曲线的两支各交于一点，直线与双曲线的右支交于两点，
则有解得.
由消去，得.
设点，则.解得.
所以.
由消去，得.
设点，则.解得.
所以.
当直线不垂直于轴时，.
所以直线的方程为.
所以，也即.
显然直线恒过定点.
当直线垂直于轴时，由，得.此时.
直线的方程为，恒过定点.
综上可知，直线恒过定点.
19.解：（1）由题意知，.
所以随机变量的分布列为
随机变量的数学期望为.
（2）由于投掷次骰子后球不在乙手中的概率为，此时无论球在甲手中还是球在丙手中，均有的概率传给乙，故有.
变形为.
又，所以数列是首项为，公比为的等比数列.
所以.
所以数列的通项公式.
（3）由（2）可得.则.
所以.
又因为，
所以.
综上，.0
1
2
3