2022届河南省高三普通高中毕业班高考适应性测试文科数学试题 (含答案)

2022年河南省普通高中毕业班高考适应性测试

文科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知i是虚数单位，若z＝1＋i，则（    ）

A．－1＋i B．1－i C．1＋i D．－1－i

3．已知命题p：，；命题q：，（其中e为自然对数的底数），则下列命题中为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

4．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线2x＋y＝0上，则（    ）

A．0 B．1 C． D．

5．已知双曲线的一条渐近线与直线2x－y＋3＝0平行，则该双曲线的离心率是（    ）

A． B． C． D．2

6．2021年秋季河南省在高一推行新教材，为此河南省某市教育部门组织高中教师在暑假期间进行培训，培训后统一举行测试．随机抽取100名教师的测试成绩（满分100分）进行统计，得到如图所示的频率分布折线图，则下列说法正确（    ）

A．这100名教师的测试成绩的极差是20分

B．这100名教师的测试成绩的众数是90分

C．这100名教师的测试成绩的中位数是87.5分

D．这100名教师中测试成绩不低于90分的人数占比超过50%

7．已知函数，且，则（    ）

A．26 B．16 C．－16 D．－26

8．《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，AC⊥CD，AC＝BC＋CD＝2，当△BCD的面积最大时，鳖臑ABCD的表面积为（    ）

A． B． C． D．

9．已知函数的部分图象如图所示，则下列选项正确的是（    ）

A．

B．函数的单调增区间为

C．函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到

D．函数的图象关于点中心对称

10．已知高为4的圆锥外接球的体积为，则圆锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

11．果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为，若采摘后5天，这种水果失去的新鲜度为20%，采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为40%，采摘下来的这种水果失去50%的新鲜度大概是（参考数据：）（    ）

A．第10天 B．第12天 C．第14天 D．第16天

12．已知定义在上的函数满足对任意的，，，都有，．则满足不等式的x的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知函数的极大值点是－1，则a＝______．

14．若向量，，且，则实数x＝______．

15．如图，椭圆的左、右焦点分别为，，过点，分别作弦AB，CD．若AB∥CD，则的最小值为______．

16．被誉为“天下第一名刹”的少林寺，位于河南省郑州市登封市嵩山五乳峰下，因坐落于嵩山腹地少室山茂密丛林之中，故名“少林寺”．在少室山上倚石俯瞰，脚下峰壑开绽，凌嶒参差，大有“一览众山小”之气势．山峰间云岚瞬息万变，美不胜收．如图，某人在山脚A处（海拔约为350米）测得观看日出的最佳观测点B处的仰角约为45°，此人沿着坡角为30°的山路AD走了1050米到达休息点D，此时测得B处的仰角约为75°，则B处的海拔约为______米．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）

河南省省会郑州市从7月20号到7月31号，由刷新降雨极值引发的洪灾，到出现新一轮的疫情，经历过这难熬7月的郑州人民忍不住造了新词“涝疫结合”．新一轮的疫情使得人们的出行受到了极大的限制．在党和政府的正确指挥，全省乃至全国人民的共同努力下郑州疫情得到了有效控制，使出行旅游成为可能．2021年“十一”黄金周，郑州市某旅行社报名去焦作云台山、洛阳老君山两地旅游的游客共有800人，旅行社将去这两个目的地的游客分别分为三批组织游玩，为了做好游客的行程安排，旅行社对参加旅游的游客人数（单位：名）作了如下统计：

已知在参加云台山、老君山两地旅游的800人中，参加第二批云台山游的频率是0.165．

（1）现用分层抽样的方法在所有游客中抽取40人，协助旅途后勤工作，问应在第三批参加旅游的游客中抽取多少人？

（2）已知b≥128，c≥120，求第三批参加旅游的游客中到云台山旅游的人数比到老君山旅游的人数多的概率．

18．（12分）

在①是与的等比中项，②，③这三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并解答．

问题：已知等差数列的公差为，前n项和为，且满足______．

（1）求；

（2）若，且，求数列的前n项和．

19．（12分）

图1是由和组成的一个平面图形，其中PA是的高，，，，将和分别沿着PA，PC折起，使得与重合于点B，G为PC的中点，如图2．

（1）求证：PA⊥BC；

（2）若，求三棱锥C－ABG的高．

20．（12分）

已知函数，

（1）当a＝2时，求函数在点处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性．

21．（12分）

已知抛物线，过点作x轴的垂线交抛物线C于G，H两点，且OG⊥OH（O为坐标原点）．

（1）求p；

（2）过点任意作一条不与x轴垂直的直线交抛物线C于A，B两点，直线AR交抛物线C于不同于点A的另一点M，直线BR交抛物线C于不同于点B的另一点N．求证：直线MN过定点．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，的参数方程为（t为参数，）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为．

（1）求的直角坐标方程；

（2）与相交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，点，若，求的参数方程中的值．

23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）

设函数．

（1）当a＝0时，求不等式的解集；

（2）若a>0，且关于x的不等式有解，求实数a的取值范围．

参考答案

一、选择题（每小题5分，共60分）

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．1    14．    15．    16．1400

三、解答题：共70分．

（一）必考题：共60分．

17．解：（1）因为第二批参加云台山游的频率是0.165，所以．解得a＝132．

所以第三批参加旅游的总人数为b＋c＝800－160－120－132－128＝260．

现用分层抽样的方法在所有游客中抽取40名游客，

则应在第三批参加旅游的游客中抽取人．

（2）由（1）知，b＋c＝260．因为b≥128，c≥120，所以128≤b≤140，120≤c≤132．

若将“第三批参加旅游的游客中到云台山旅游的人数和到老君山旅游的人数”记为，

则满足该事件的基本事件有，，，，，，，，，，，，，共13个．

设“到云台山旅游的人数比到老君山旅游的人数多”为事件A，则事件A满足的基本事件有，，，，，，，，，，共10个．

由古典概型可知，．

所以第三批参加旅游的游客中到云台山旅游的人数比到老君山旅游的人数多的概率为．

18．解：（1）选①②：由①知，是与的等比中项．则，即．

由，可得．由②知，．可得．

则有．解得．则．

选①③：由①知，是与的等比中项．则，即．

由，可得．由③知，．可得．解得．

从而．所以．

选②③：由②知，．可得．

由③知，．可得．解得．

则．解得d＝4．所以．

（2）由题意知，，且．所以．

所以当n≥2时，

．

也满足．所以对任意的，．

则．

所以．

19．解：（1）在图1中，因为PA是的高，所以，PA⊥AC．

所以在图2中，PA⊥AB，PA⊥AC．

又因为，且AB，平面ABC，

所以PA⊥平面ABC．因为平面ABC，所以PA⊥BC．

（2）因为，，，

所以．所以AB⊥BC．

因为PA＝4，，所以，．

所以．所以PB⊥BC．

因为G为PC的中点，所以．同理．

所以．

易知．

设三棱锥C－ABG的高为h，因为，

所以．所以．

所以三棱锥C－ABG的高为．

20．解：（1）当a＝2时，，，，．

所以函数在点处的切线方程为，即y＝3x．

（2）函数的定义域为，．

当a＝0时，由知，函数在区间单调递减；由知，函数在区间单调递增．

当a>0时，由知，函数在区间单调递减；由知，函数在区间单调递增．

当－1<a<0时，由知，函数在区间和单调递减；由知，函数在区间单调递增．

当a≤－1时，恒成立，所以函数在区间单调递减．

综上所述，当a≤－1时，函数在区间单调递减；

当－1<a<0时，函数在区间和单调递减，在区间单调递增；

当a＝0时，函数在区间单调递减，在区间单调递增．

当a>0时，函数在区间单调递减，在区间单调递增．

21．解：（1）由题意知，RG＝OR＝2．不妨设，代入抛物线C的方程可得p＝1．

（2）由（1）知，抛物线C的方程为．设，，，，

则直线AB的斜率为．

所以直线AB的方程为，即．

同理直线AM，BN的方程分别为，．

由直线AB过及直线AM，BN过可得，．

又直线MN的方程为，即．

所以直线MN的方程为．

把代入，得．

由x＋2y＝0，8y＋8＝0可得x＝2，y＝－1．所以直线MN过定点．

（二）选考题：共10分．

22．解：（1）由，得．所以．

将代入，得，即．

所以的直角坐标方程为．

（2）将代入并整理，得．

设A，B对应的参数分别为，，则，是方程的两根．

所以．

因为，所以．所以．

此时，

所以．所以．

所以或．

23．解：（1）由题意知，，即．

当时，－2x－1＋x<1．解得．

当时，2x＋1＋x<1．解得．

当x≥0时，2x＋1－x<1．无解．

综上所述，不等式的解集为．

（2）由题意知，a>0，有解．

当时，－3x－1<2．解得x>－1．此时有解，则．解得a<1．

当时，x＋2a＋1<2．解得x<1－2a．此时有解，则．解得a<1．

当x≥a时，3x＋1<2．解得．此时有解，则．

综上所述，实数a的取值范围为0<a<1．