2023-2024学年江西省宜春市高安市八年级（上）第一次月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省宜春市高安市八年级（上）第一次月考数学试卷（10月份）（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列长度的三条线段不能组成三角形的是( )
A. 3，4，5B. 6，10，8C. 2，3，6D. 2，2，3
2.如图，在△ABC中，利用三角板能表示BC边上的高的为( )
A. B.
C. D.
3.如图，△ACE≌△DBF，AD=8，BC=2，则AC为( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
4.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明∠D′O′C′=∠DOC，需要证明△D′O′C′≌△DOC，则这两个三角形全等的依据是( )
A. SASB. SSSC. ASAD. AAS
5.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，BE平分∠ABC交AC于D，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F.下列说法：①BD=CF；②AD=AF；③CE=AF；④BD=2CE；⑤AB+AD=BC；其中正确结论的个数是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
6.如图，自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有______．
7.在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=2：3：5，这个三角形为______三角形(按角分类)
8.如图，已知AB=AC，请再添加一个条件______，使△ABE≌△ACD(无需添加任何辅助线或点)．
9.已知多边形的各个内角都等于150°，则这个多边形的边数为______．
10.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数为______°.
11.已知点A、B的坐标分别为(2,0)，(2,4)，以A、B、P为顶点的三角形与△ABO全等，写出一个符合条件的点P的坐标：______．
三、解答题：本题共11小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
12.(本小题6分)
已知三角形的两边长为8和10，第三边长x最小．
(1)求x的取值范围；
(2)当x为何值时，围成的三角形周长最大？并求出周长．
13.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，若∠BAE=30°，∠CAD=20°，求∠B的度数．
14.(本小题6分)
如图，△ABC≌△DCB，AC与BD相交于点E，若∠D=80°，∠ABC=60°，求∠BEC的度数．
15.(本小题8分)
为了制作燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图所示，AB=AE，AC=AD，∠BAD=∠EAC，证明：△ABC≌△AED．
16.(本小题6分)
如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB=3cm，AC=4cm，∠CAB=90°．
(1)求AD的长．
(2)求△ABE的面积．
17.(本小题8分)
如图，AC/​/BE，点D在BC上，AB=DE，∠ABE=∠CDE．
(1)求证：△ABC≌△DEB；
(2)若AC=5，BE=7，求CD的长．
18.(本小题8分)
如图①，△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D．
(1)若∠ABC=75°，∠ACB=45°，求∠D的度数；
(2)若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的关系，并说明理由．
19.(本小题8分)
已知：如图，点A、E、C同一条直线上，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=AD．
求证：
(1)△ABC≌△ADC；
(2)BE=DE．
20.(本小题9分)
如图，在△ABC中(AB>BC)，AC=2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成70和50两部分，求AC和AB的长．
21.(本小题9分)
(1)把一大一小两个等腰直角三角板(即EC=CD，AC=BC)如图1放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F.求证：
①ΔACD≌ΔBCE；
②AF⊥BE．
(2)如果把两个等腰直角三角形(即EC=CD，AC=BC)按图2放置，连结AD、BE交一点F，问AF与BE是否垂直？并说明理由．
22.(本小题12分)
阅读理解，自主探究：
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”.当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．
(1)问题解决：如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，求证：△ADC≌△CEB；
(2)问题探究：如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线CE，AD⊥CE于点D，BE⊥CE于点E，AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的长．
(3)拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，A(−1,0)，C(1,3)，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，求B点坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
直接利用三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，进而判断得出答案．
【解答】
解：A.∵3+4=7>5，
∴能组成三角形，不符合题意；
B.∵6+8=14>10，
∴能组成三角形，不符合题意；
C.∵2+3=5<6，
∴不能组成三角形，符合题意；
D.∵2+2=4>3，
∴能组成三角形，不符合题意．
2.【答案】B
【解析】解：A、表示的是△ABC中AB边上的高，故此选项不符合题意；
B、表示的是△ABC中BC边上的高，故此选项符合题意；
C、不能表示△ABC的高，故此选项符合题意；
D、表示的是△ABC中AC边上的高，故此选项符合题意；
故选：B．
从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高，根据此定义逐项判断即可．
本题考查了三角形的高，解题的关键是掌握三角形的高的定义．
3.【答案】A
【解析】解：∵△ACE≌△DBF，
∴AC=DB，
∴AC−BC=DB−BC，即AB=CD，
∵AD=8，BC=2，
∴AB=12(AD−BC)=12×(8−2)=3，
∴AC=AB+BC=3+2=5．
故选：A．
根据全等三角形的对应边相等可得AC=DB，再求出AB=CD=12(AD−BC)=3，那么AC=AB+BC，代入数值计算即可得解．
本题考查了全等三角形对应边相等的性质，熟记性质并求出AB=CD是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查了全等三角形的判定与性质，以及作图−基本作图，全等三角形的判定方法有：ASA；SAS；SSS；AAS，以及HL(直角三角形判定全等的方法)．
由作一个角等于已知角的方法得到O′D′=OD，O′C′=OC，C′D′=CD，利用SSS可得出△D′O′C′和△DOC全等，进而由全等三角形的对应角相等可得出∠D′O′C′=∠DOC，即可得到两三角形全等的依据为SSS．
【解答】
解：在△D′O′C′和△DOC中，
O′D′=ODO′C′=OCC′D′=CD，
∴△D′O′C′≌△DOC(SSS)，
∴∠D′O′C′=∠DOC．
则全等的依据为SSS．
故选B．
5.【答案】C
【解析】解：∵∠BAC=∠BEC=90°，∠ADB=∠CDE，
∴∠ABD=∠ACF，
又∵AB=AC，∠BAD=∠FAC=90°，
∴△ABD≌△ACF，
∴BD=FC，AD=AF，∠ABD=∠FCA，
故①②正确；
又∵BE为△BCF的角平分线，BE⊥CF，
∴△EBF≌△EBC，
∴EF=EC，BF=BC，
∴BD=2CE，故④正确．
假设AF=CE，则CF=2AF，可得∠ACF=∠ABD=30°，显然不可能，故③错误，
∵AB+AD=AB+AF，
∵BC=BF，
∴AB+AD=BC，故⑤正确，
正确个数为4，
故选：C．
根据已知可证△ABD≌△ACF，可判断①②正确，又BE为△BCF的角平分线，BE⊥CF，可判断△EBF≌△EBC，得出④⑤正确．假设③成立，推出矛盾即可；
本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质．关键是通过旋转与轴对称发现图形中的两个全等三角形．
6.【答案】稳定性
【解析】【分析】
本题考查的是三角形的性质，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．
根据三角形具有稳定性解答．
【解答】
解：自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具稳定性，
故答案为：稳定性．
7.【答案】直角
【解析】解：∵∠C=180°×52+3+5=90°，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角．
根据三角形的内角和等于180°求出最大的角∠C，然后作出判断即可．
本题考查了三角形的内角和定理，求出最大的角的度数是解题的关键．
8.【答案】AD=AE(答案不唯一)
【解析】解：再添加一个条件：AD=AE，
理由：在△ABE和△ACD中，
AB=AC∠A=∠AAD=AE，
∴△ABE≌△ACD(SAS)，
故答案为：AD=AE(答案不唯一)．
根据全等三角形的判定方法，即可解答．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
9.【答案】12
【解析】解：∵多边形的各个内角都等于150°，
∴每个外角为30°，
设这个多边形的边数为n，则30°n=360°，解得n=12．
故答案为：12．
设这个多边形的边数为n，根据多边形的外角和是360度求出n的值即可．
本题考查的是多边形的内角与外角，解答此类问题时要找到不变量，即多边形的外角是360°这一关键．
10.【答案】540
【解析】解：如图所示，
由三角形外角的性质可得，∠1=∠A+∠G，
由四边形的内角和是360°可得，
∠1+∠2+∠E+∠F=360°，∠3+∠B+∠C+∠D=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G
=∠1+∠C+∠D+∠E+∠F+∠B
=360°×2−180°
=540°．
故答案为：540．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A+∠G的和，再利用两个四边形的内角和减去一个平角的度数计算即可．
本题考查了多边形的内角和与三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，把角的度数转化为两个四边形的内角和与一个平角的差是解题的关键．
11.【答案】(0,4)或(4,0)或(4,4)
【解析】解：如图所示，以A、B、P为顶点的三角形与△ABO全等，
则点P的坐标为(0,4)或(4,0)或(4,4)．
故答案为：(0,4)或(4,0)或(4,4)．
画出图形，根据全等三角形的性质和坐标轴与图形的性质可求点P的坐标．
本题考查了全等三角形的性质，坐标与图形的性质，作出图形利用数形结合的思想求解更加简单．
12.【答案】解：(1)由三角形的三边关系，得2∵x为最小，
∴x的取值范围是2(2)当x=8时，三角形的周长最大，
且最大值是8+10+8=26．
【解析】(1)根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三条边长x的取值范围；
(2)从求得的自变量的取值范围中找到x的最大值求得周长的最大值即可．
本题考查了三角形的三边关系，熟记性质是解题的关键．
13.【答案】解：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=30°，
∴∠EAD=∠EAC−∠DAC=30°−20°=10°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE=90°，
∴∠AED=90°−∠EAD=80°，
∵∠AED=∠B+∠BAE，
∴∠B=80°−30°=50°．
【解析】想办法求出∠AED，再利用三角形的外角的性质求解即可．
本题考查三角形内角和定理，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14.【答案】解：∵△ABC≌△DCB，
∴∠ACB=∠DBC，∠A=∠D=80°，
∵∠ABC=60°，
∴∠ACB=180°−60°−80°=40°，
∴∠DBC=40°，
∴∠BEC=180°−40°−40°=100°．
【解析】由全等三角形的对应角相等推出∠ACB=∠DBC，∠A=∠D=80°，由三角形内角和定理求出∠ACB=40°，得到∠DBC=40°，即可求出∠BEC=180°−40°−40°=100°．
本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．
15.【答案】证明：∵∠BAD=∠EAC，
∴∠BAD+∠CAD=∠EAC+∠CAD，
即∠BAC=∠EAD，
在△ABC与△AED中，
AB=AE∠BAC=∠EADAC=AD，
∴△ABC≌△AED(SAS)．
【解析】由题意可求得∠BAC=∠EAD，利用SAS即可判定△ABC≌△AED．
本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理并灵活运用．
16.【答案】解：(1)∵AB=3cm，AC=4cm，∠CAB=90°，
∴BC=5cm，
∵AD是边BC上的高，
∴12AB⋅AC=12BC⋅AD，
∴AD=AB⋅ACBC=3×45=125(cm)，
即AD的长度为125cm；
(2)如图，∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，AB=3cm，AC=4cm，
∴S△ABC=12AB⋅AC=12×3×4=6(cm2).
又∵AE是边BC的中线，
∴BE=EC，
∴12BE⋅AD=12EC⋅AD，即S△ABE=S△AEC，
∴S△ABE=12S△ABC=3(cm2).
∴△ABE的面积是3cm2．
【解析】(1)利用“面积法”来求线段AD的长度；
(2)由于AE是中线，那么BE=CE，可知△ABE的面积是△ABC的面积的一半．
本题考查了高线和中线的定义、三角形面积的计算．解题的关键是利用三角形面积相等列式，求出AD．
17.【答案】(1)证明：∵AC/​/BE，
∴∠C=∠EBD，
∵∠CDE=∠E+∠EBD，∠ABE=∠ABC+∠EBD，
又∵∠ABE=∠CDE，
∴∠ABC+∠EBD=∠E+∠EBD，
∴∠ABC=∠E，
在△ABC和△DEB中，
∠ABC=∠E∠C=∠EBDAB=DE，
∴△ABC≌△DEB(AAS)；
(2)解：∵AC=5，BE=7，
由(1)可知：△ABC≌△DEB，
∴AC=BD=5，BC=BE=7，
∴CD=BC−BD=7−5=2．
【解析】(1)先根据AC/​/BE得∠C=∠EBD，再根据∠ABE=∠CDE得∠ABC+∠EBD=∠E+∠EBD，进而得∠ABC=∠E，由此可依据“AAS”判定△ABC和△DEB全等；
(2)由(1)△ABC和△DEB全等得AC=BD=5，BC=BE=7，由此可得CD的长．
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的对应边相等是解决问题的关键．
18.【答案】解：(1)∵∠ACE=∠A+∠ABC，
∴∠ACD+∠ECD=∠A+∠ABD+∠DBE，∠DCE=∠D+∠DBC，
又BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴∠ABD=∠DBE，∠ACD=∠ECD，
∴∠A=2(∠DCE−∠DBC)，∠D=∠DCE−∠DBC，
∴∠A=2∠D，
∵∠ABC=75°，∠ACB=45°，
∴∠A=60°，
∴∠D=30°；
(2)∠D=12(∠M+∠N−180°)；
理由：延长BM、CN交于点A，
则∠A=∠BMN+∠CNM−180°，
由(1)知，∠D=12∠A，
∴∠D=12(∠M+∠N−180°)．
【解析】(1)根据三角形内角和定理以及角平分线性质，先求出∠D、∠A的等式，推出∠A=2∠D，最后代入求出即可；
(2)根据(1)中的结论即可得到结论．
本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的综合运用，解此题的关键是求出∠A=2∠D．
19.【答案】证明：(1)∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
AC=ACAB=AD，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)．
(2)∵Rt△ABC≌Rt△ADC，
∴∠BAC=∠DAC，
在△ABE和△ADE中，
AB=AD∠BAE=∠DAEAE=AE，
∴△ABE≌△ADE(SAS)，
∴BE=DE．
【解析】(1)由AB⊥BC，AD⊥DC，得∠ABC=∠ADC=90°，而AC=AC，AB=AD，即可根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ADC；
(2)由全等三角形的性质得∠BAC=∠DAC，而AB=AD，AE=AE，即可根据“SAS”证明△ABE≌△ADE，得BE=DE．
此题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明△ABC≌△ADC是解题的关键．
20.【答案】解：设BD=CD=x，则AC=2BC=4x，
∵BC边上的中线AD把△ABC的周长分成70和50两部分，AB>BC，
①当AC+CD=70，AB+BD=50时，
4x+x=70，
解得：x=14，
∴AC=4x=4×14=56，
BD=CD=14，
∴AB=50−BD=50−14=36，
∴AB=36>BC=28，满足条件
∵BC+AB=28+36=64>AC=56，满足三边关系，
∴AC=56，AB=36；
②当AC+CD=50，AB+BD=70时，
4x+x=50，
解得：x=10，
∴AC=4x=4×10=40，
∴BD=CD=10，BC=20，
AB=70−BD=70−10=60，
∵AC+BC=AB，
不满足三边关系，∴舍去，
∴AC=56，AB=36．
【解析】先根据AC=2BC和三角形的中线列出方程求解，分类讨论①AC+CD=70，②AC+CD=50，注意答案是否满足条件，即是否满足题目给出的条件、是否满足三角形三边的关系．
本题考查了三角形中线的性质和三边的关系，解题的关键是找到等量关系，列出方程．
21.【答案】(1)证明：①由题意知，∠BCE=∠ACD=90°，
在△ACD和△BCE中，
EC=CD∠ECB=∠DCACB=CA，
∴△ACD≌△BCE(SAS)；
②∵△ACD≌△BCE，
∴∠BEC=∠ADC，
∵∠ADC=∠BDF，
∴∠BDF=∠BEC，
∵∠BEC+∠EBC=90°
∴∠BDF+∠EBC=90°，
∴AF⊥BE；
(2)解：AF⊥BE，
理由：∵∠DCE=∠ACB=90°，
∴∠BCE=∠ACD，
在△ACD和△BCE中，
EC=CD∠ECB=∠DCACB=CA，
∴△ACD≌△BCE(SAS)；
∴∠CBF=∠CAD，
∵∠ABC+∠CAD+∠BAD=90°，
∴∠ABC+∠CBF+∠BAD=90°，
∴∠AFB=90°，
∴AF⊥BE．
【解析】(1)①根据SAS即可证明△ACD≌△BCE；
②根据全等三角形对应角相等得出∠BEC=∠ADC，进而判断出∠BDF=∠BEC，即可证明AF⊥BE；
(2)同(1)①的方法判断出△ACD≌△BCE，得出∠CBF=∠CAD，即可得出结论．
此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的判定，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠ECB=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB∠DAC=∠ECBAC=CB，
∴△ADC≌△CEB(AAS)；
(2)解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠CBE+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBEAC=CB，
∴△ADC≌△CEB(AAS)，
∴AD=CE=2.5cm，CD=BE，
∴BE=CD=CE−DE=2.5−1.7=0.8(cm)，
即BE的长为0.8cm；
(3)解：如图3，过点C作直线l//x轴，交y轴于点G，过A作AE⊥l于点E，过B作BF⊥l于点F，交x轴于点H，

则∠AEC=∠CFB=∠ACB=90°，
∵A(−1,0)，C(1,3)，
∴EG=OA=1，CG=1，FH=AE=OG=3，
∴CE=EG+CG=2，
∵∠ACE+∠EAC=90°，∠ACE+∠FCB=90°，
∴∠EAC=∠FCB，
在△AEC和△CFB中，
∠AEC=∠CFB∠EAC=∠FCBAC=CB，
∴△AEC≌△CFB(AAS)，
∴AE=CF=3，BF=CE=2，
∴FG=CG+CF=1+3=4，BH=FH−BF=3−2=1，
∴B点坐标为(4,1)．
【解析】(1)由余角的性质可证∠DAC=∠ECB，再由AAS证△ADC≌△CEB即可；
(2)由“AAS”可证△ADC≌△CEB，得AD=CE=2.5cm，CD=BE，即可解决问题；
(3)过点C作直线l//x轴，交y轴于点G，过A作AE⊥l于点E，过B作BF⊥l于点F，交x轴于点H，证△AEC≌△CFB(AAS)，得AE=CF=3，BF=CE=2，则FG=CG+CF=4，BH=FH−BF=1，即可得出结论．
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、“一线三垂直”模型等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．