2023-2024学年江西省宜春市丰城中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）(含解析）

这是一份2023-2024学年江西省宜春市丰城中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）(含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式变形中，是因式分解的是( )
A. x2−2x−1=x(x−2)−1B. 2x+1=x(2+1x)
C. (x+2)(x−2)=x2−4D. x2−1=(x+1)(x−1)
2.若x2−2(m−3)x+16是完全平方式，则m的值是( )
A. 3B. −5C. 7D. 7或−1
3.已知2x−y=3，则代数式x2−xy+14y2+74的值为( )
A. 434B. 134C. 3D. 4
4.若(a2+b2+1)(a2+b2−1)=35，则a2+b2=( )
A. 3B. 6C. ±3D. ±6
5.随着科技不断发展，芯片的集成度越来越高，我国企业已经实现7纳米量产，已知7纳米=0.000007毫米用科学记数法表示为( )
A. 7×10−6B. 7×10−7C. 70×10−7D. 0.7×10−5
6.若关于x的方程ax+1+1=x+ax−1的解为负数，且关于x的不等式组−12(x−a)>0x−1≥2x−13无解．则所有满足条件的整数a的值之积是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.已知实数x满足x2+3x−1=0，则代数式x−1x−1的值为______．
8.若(x+2)(x2−ax+5)的乘积中不含x的一次项，则a=______．
9.如图1.将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图2的无盖纸盒，若纸盒的容积为4a2b，则图2中纸盒底部长方形的周长为______．
10.已知关于x的方程2x+mx−1=1的解是正数，那么m的取值范围为______．
11.已知a=2020m+2021n+2020，b=2020m+2021n+2021，c=2020m+2021n+2022，那么a2+b2+c2−ab−bc−ca的值为______．
12.已知关于x的分式方程2x−1+mx(x−1)(x+2)=1x+2无解，则m的值为=______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
13.王涵想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：xx−3=2−？x−3．
(1)她把这个数“？”猜成−2，请你帮王涵解这个分式方程；
(2)王涵的妈妈说：“我看到标准答案是：x=3是方程的增根，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
四、解答题：本题共10小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题6分)
计算：
(1)(2b−3c+4)(3c−2b+4)−2(b−c)2；
(2)(x2y)3⋅(−2xy3)2；
(3)(xny3n)2+(x2y6)n．
15.(本小题6分)
解分式方程．
(1)x+32x−6=xx−3+2；
(2)2x2−4−x2−x=1．
16.(本小题6分)
(1)已知2x+5y−3=0，试求4x×32y的值．
(2)已知2m=3，2n=5，求24m+2n的值．
17.(本小题6分)
计算：
(1)20222−4044×2021+20212；
(2)(1−π)0+(−2)−3−(−8)−1．
18.(本小题6分)
分解因式：
(1)−3a3+6a2b−3ab2；
(2)4a2(x−y)+9b2(y−x)；
(3)(a+b)2+a+b+14．
19.(本小题8分)
先化简：(2mm+2−mm−2)÷mm2−4，然后从−320.(本小题8分)
(1)已知关于x的分式方程ax−1+31−x=1．
①当a=5时，求方程的解．
②若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求a的值．
(2)关于x的方程mx−1x−2+12−x=2有整数解，求此时整数m的值．
21.(本小题9分)
某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．
(1)今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
(2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？
(3)按照(2)中两种汽车进价不变，如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使(2)中所有的方案获利相同，a值应是多少？
22.(本小题9分)
阅读材料：若m2−2mn+2n2−8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2−2mn+2n2−8n+16=0，∴(m2−2mn+n2)+(n2−8n+16)=0
∴(m−n)2+(n−4)2=0，∴(m−n)2=0，(n−4)2=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知x2−2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；
(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2−10a−12b+61=0，求△ABC的最大边c的值；
(3)已知a−b=8，ab+c2−16c+80=0，求a+b+c的值．
23.(本小题12分)
(1)阅读以下内容：
(x−1)(x+1)=x2−1
(x−1)(x2+x+1)=x3−1
(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1
⋯
①根据以上规律，可得(x−1)(xn+xn−1+xn−2+…+x+1)=______(n为正整数)；
②根据这一规律，计算：1+2+22+23+24+⋯+22017+22018+22019=______．
(2)阅读下列材料，回答问题：
关于x的方程：x+1x=a+1a的解是x1=a，x2=1a；x+2x=a+2a的解是x1=a，x2=2a；
x+3x=a+3a的解是x1=a，x2=3a．
⋯
①请观察上述方程与解的特征，猜想关于x的方程x+mx=a+ma(m≠0)的解；
②请你写出关于x的方程x+2x−3=m+2m−3的解．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、x2−2x−1=x(x−2)−1，没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故不合题意；
B、2x+1=x(2+1x)，没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故不合题意；
C、(x+2)(x−2)=x2−4，是整式乘法，故不合题意；
D、x2−1=(x+1)(x−1)，是因式分解，故符合题意．
故选：D．
直接利用因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解分析得出答案．
此题主要考查了因式分解的意义，正确掌握因式分解的意义是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：因为x2−2(m−3)x+16是完全平方式，
所以−(m−3)=±4，
解得：m=7或m=−1，
故选：D．
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵2x−y=3，
∴x2−xy+14y2+74
=14(4x2−4xy+y2)+74
=14(2x−y)2+74
=14×32+74
=4，
故选：D．
先把前三项分解因式，再整体代入求解．
本题考查了因式分解的应用，整体代入法是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵(a2+b2+1)(a2+b2−1)=35，
∴[(a2+b2)+1][(a2+b2)−1]=35，
(a2+b2)2−1=35，
(a2+b2)2=36，
∵a2+b2≥0，
∴a2+b2=6，
故选：B．
根据平方差公式即可求解．
本题主要考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键，运用了整体思想．
5.【答案】A
【解析】解：0.000007=7×10−6．
故选：A．
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂．
本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了含参数分式方程和含参数一元一次不等式组的解的问题，注意分式方程取增根的情况及明确不等式组解集的取法，是解题的关键．
分别解分式方程和不等式组，从而得出a的范围，从而得整数a的取值，进而得所有满足条件的整数a的值之积．
【解答】
解：将分式方程去分母得：a(x−1)+(x+1)(x−1)=(x+a)(x+1)
解得：x=−2a−1，
∵解为负数，
∴−2a−1<0，
∴a>−12，
∵当x=1时，a=−1；x=−1时，a=0，此时分式的分母为0，
∴a>−12，且a≠0；
将不等式组整理得：x∵不等式组无解，
∴a≤2，
∴a的取值范围为：−12∴满足条件的整数a的值为：1，2
∴所有满足条件的整数a的值之积是2．
故选：C．
7.【答案】−4
【解析】【分析】
此题考查了分式的混合运算，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
已知等式两边除以x变形求出x−1x的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】
解：已知等式整理得：x−1x=−3，
则原式=−3−1=−4．
故答案为：−4．
8.【答案】52
【解析】解：(x+2)(x2−ax+5)
=x3−ax2−2ax+5x+2x2+10
=x3+(2−a)x2+(−2a+5)x+10，
∵乘积中不含x的一次项，
∴−2a+5=0，
解得：a=52，
故答案为：52．
首先利用多项式乘多项式的计算方法进行乘法运算，再根据乘积中不含x的一次项，使含x的一次项的系数之和等于0即可．
此题主要考查了多项式的乘法，关键是掌握多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
9.【答案】8a+2b
【解析】解：根据题意，得
纸盒底部长方形的宽为4a2bab=4a，
∴纸盒底部长方形的周长为：2(4a+b)=8a+2b．
故答案为：8a+2b．
根据长方体纸盒的容积等于底面积乘以高，底面积等于底面长方形的长与宽的乘积可以先求出宽，再计算纸盒底部长方形的周长即可．
本题考查了整式的除法，解决本题的关键是先求出纸盒底部长方形的宽．
10.【答案】m<−1且m≠−2
【解析】解：去分母得：2x+m=x−1，
解得：x=−m−1，
由分式方程的解为正数，得到−m−1>0，且−m−1≠1，
解得：m<−1且m≠−2，
故答案为：m<−1且m≠−2
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为正数求出m的范围即可．
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11.【答案】3
【解析】解：设x=a2+b2+c2−ab−bc−ca，
则2x=2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ca，
=(a−b)2+(b−c)2+(a−c)2，
=(2020m+2021n+2020−2020m−2021n−2021)2+(2020m+2021n+2021−2020m−2021n−2022)2+(2020m+2021n+2020−2020m−2021n−2022)2，
=(−1)2+(−1)2+(−2)2，
=1+1+4，
=6，
∴x=3．
∴a2+b2+c2−ab−bc−ca的值为3．
设x=a2+b2+c2−ab−bc−ca，根据因式分解的应用，先求2x的值，再求x．
本题考查了因式分解的应用，解题的关键是会对所求代数式进行变形．
12.【答案】−6或1.5或−1
【解析】解：2x−1+mx(x−1)(x+2)=1x+2，
去分母得：2(x+2)+mx=x−1，
2x+4+mx=x−1，
(m+1)x=−5，
由分式方程无解，得到(x−1)(x+2)=0，即x=1或x=−2，
当x=1时，m+1=−5，解得m=−6；
当x=−2时，−2(m+1)=−5，解得m=1.5；
当m+1=0时，分式方程无解，解得m=−1．
故m的值是−6或1.5或−1，
故答案为−6或1.5或−1．
分式方程去分母转化为整式方程，整理后根据一元一次方程无解条件求出m的值；由分式方程无解求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
此题考查了分式方程的解，弄清分式方程无解的条件是解本题的关键．
13.【答案】解：(1)由题意，得xx−3=2−−2x−3，
去分母，得x=2(x−3)+2，
去括号，得x=2x−6+2，
移项、合并同类项，得x=4，
经检验，当x=4时x−3≠0，
∴x=4是原分式方程的解；
(2)设原分式方程中“？”代表的数为m，
方程两边同时乘(x−3)得x=2(x−3)−m，
由于x=3是原分式方程的增根，
把x=3代入上面的等式解得m=−3，
∴原分式程中“？”代表的数是−3．
【解析】(1)根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、检验；
(2)设原分式方程中“？”代表的数为m，把分式方程化为整式方程，再把x=3代入代入整式方程，求出m．
本题考查了分式方程的增根，掌握根据增根求相关字母值的步骤：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程是解题的关键．
14.【答案】解：(1)(2b−3c+4)(3c−2b+4)−2(b−c)2
=−(3c−2b−4)(3c−2b+4)−2(b−c)2
=−[(3c−2b)2−16]−2(b−c)2
=−(9c2−12bc+4b2−16)−2(b2−2bc+c2)
=−9c2+12bc−4b2+16−2b2+4bc−2c2
=−11c2+16bc−6b2+16；
(2)(x2y)3⋅(−2xy3)2
=x6y3⋅4x2y6
=4x8y9；
(3)(xny3n)2+(x2y6)n
=x2ny6n+x2ny6n
=2x2ny6n．
【解析】(1)利用平方差公式及完全平方公式进行运算，再合并同类项即可；
(2)先算积的乘方，再算单项式乘单项式即可；
(3)先算积的乘方，再合并同类项即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
15.【答案】解：(1)x+32x−6=xx−3+2，
x+32(x−3)=xx−3+2，
方程两边都乘2(x−3)，得x+3=2x+4(x−3)，
解得：x=3，
检验：当x=3时，2(x−3)=0，
所以x=3是增根，
即原方程无解；
(2)2x2−4−x2−x=1，
2(x+2)(x−2)+xx−2=1，
方程两边都乘(x+2)(x−2)，得2+x(x+2)=(x+2)(x−2)，
解得：x=−3，
检验：当x=−3时，(x+2)(x−2)≠0，
所以x=−3是原方程的解，
即原方程的解是x=−3．
【解析】(1)方程两边都乘2(x−3)得出x+3=2x+4(x−3)，求出方程的解，再进行检验即可；
(2)方程两边都乘(x+2)(x−2)得出2+x(x+2)=(x+2)(x−2)，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
16.【答案】解：(1)4x×32y
=(22)x×(25)y
=22x⋅25y
=22x+5y，
∵2x+5y−3=0，
∴2x+5y=3，
∴22x+5y=23=8，
∴4x×32y的值为8；
(2)24m+2n=(2m)4×(2n)2，
∵2m=3，2n=5，
∴(2m)4×(2n)2=34×52=2025，
∴24m+2n的值为2025．
【解析】(1)4x×32y=(22)x×(25)y=22x⋅25y=22x+5y，再代入求值即可；
(2)24m+2n=(2m)4×(2n)2，再代入求值即可．
本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方运算是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
17.【答案】解：(1)20222−4044×2021+20212
=20222−2×2022×2021+20212
=(2022−2021)2
=12
=1；
(2)(1−π)0+(−2)−3−(−8)−1
=1+(−18)−(−18)
=1．
【解析】(1)根据完全平方公式计算即可；
(2)根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算即可．
本题考查了实数的运算，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式、零指数幂、负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
18.【答案】(1)原式=−3a(a2−2ab+b2)
=−3a(a−b)2；
(2)原式=(x−y)(4a2−9b2)
=(x−y)(2a+3b)(2a−3b)；
(3)原式=(a+b+12)2．
【解析】(1)首先提取公因式−3a，再利用完全平方公式分解因式即可；
(2)首先提取公因式(x−y)，再利用平方差公式分解因式即可；
(3)把(a+b)看作整体，利用完全平方公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
19.【答案】解：(2mm+2−mm−2)÷mm2−4
=2m(m−2)−m(m+2)(m+2)(m−2)÷mm+2)(m−2)( )
=m2−6m(m+2)(m−2)⋅(m+2)(m−2)m
=m(m−6)(m+2)(m−2)⋅(m+2)(m−2)m
=m−6，
要使分式有意义，必须m+2≠0且m−2≠0且m≠0，
所以m不能为−2、2、0，
∵m是满足−3∴取m=−1，
∴原式=−1−6=−7．
【解析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，根据分式有意义的条件得出m不能为−2，2和0，取m=−1，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
20.【答案】解：(1)①当a=5时，分式方程为：5x−1+31−x=1，
5−3=x−1，
解得：x=3，
检验：当x=3时，x−1≠0，
∴x=3是原方程的根；
②ax−1+31−x=1，
a−3=x−1，
解得：x=a−2，
由题意得：x−1=0，
解得：x=1，
∴a−2=1，
解得：a=3，
∴a的值为3；
(2)mx−1x−2+12−x=2，
mx−1−1=2(x−2)，
解得：x=22−m，
∵方程有整数解，
∴2−m=±1或2−m=±2且22−m≠2，
解得：m=1或3或0或4且m≠1，
∴m=3或0或4，
∴此时整数m的值为3或0或4．
【解析】(1)①把a=5代入原方程中，然后按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答；
②先解分式方程可得x=a−2，再根据题意得：x=1，从而可得a−2=1，然后进行计算即可解答；
(2)先解分式方程可得：x=22−m，再根据题意可得2−m=±1或2−m=±2且22−m≠2，然后进行计算即可解答．
本题考查了分式方程的增根，分式方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设今年5月份A款汽车每辆售价m万元．根据题意，得：
90m=100m+1，
解得：m=9．
经检验，m=9是原方程的根且符合题意．
答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元；
(2)设购进A款汽车x辆．根据题意，得：
99≤7.5x+6(15−x)≤105．
解得：6≤x≤10．
∵x的正整数解为6，7，8，9，10，
∴共有5种进货方案，
方案1.购进A款汽车6辆，购进B款汽车9辆．
方案2.购进A款汽车7辆，购进B款汽车8辆．
方案3.购进A款汽车8辆，购进B款汽车7辆．
方案4.购进A款汽车9辆，购进B款汽车6辆．
方案5.购进A款汽车10辆，购进B款汽车5辆；
(3)设总获利为W万元，购进A款汽车x辆，根据题意，得：
W=(9−7.5)x+(8−6−a)(15−x)=(a−0.5)x+30−15a．
当a=0.5时，(2)中所有方案获利相同．
【解析】(1)求单价，总价明显，应根据数量来列等量关系．
(2)关系式为：99≤A款汽车总价+B款汽车总价≤105．
(3)方案获利相同，说明与所设的未知数无关，让未知数x的系数为0即可；多进B款汽车对公司更有利，因为A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，所以要多进B款．
本题考查分式方程和一元一次不等式组的综合应用，找到合适的等量关系及不等关系是解决问题的关键．
22.【答案】解：(1)∵x2−2xy+2y2+6y+9=0，
∴(x2−2xy+y2)+(y2+6y+9)=0，
∴(x−y)2+(y+3)2=0，
∴x−y=0，y+3=0，
∴x=−3，y=−3，
∴xy=(−3)×(−3)=9，
即xy的值是9．
(2)∵a2+b2−10a−12b+61=0，
∴(a2−10a+25)+(b2−12b+36)=0，
∴(a−5)2+(b−6)2=0，
∴a−5=0，b−6=0，
∴a=5，b=6，
∵6−5∴6≤c<11，
∴△ABC的最大边c的值可能是7、8、9、10．
(3)∵a−b=8，ab+c2−16c+80=0，
∴a(a−8)+16+(c−8)2=0，
∴(a−4)2+(c−8)2=0，
∴a−4=0，c−8=0，
∴a=4，c=8，b=a−8=4−8=−4，
∴a+b+c=4−4+8=8，
即a+b+c的值是8．
【解析】此题主要考查了因式分解方法的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．此题还考查了三角形的三条边之间的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．
(1)根据x2−2xy+2y2+6y+9=0，应用因式分解的方法，判断出(x−y)2+(y+3)2=0，求出x、y的值各是多少，再把它们相乘，求出xy的值是多少即可；
(2)首先根据a2+b2−10a−12b+61=0，应用因式分解的方法，判断出(a−5)2+(b−6)2=0，求出a、b的值各是多少；然后根据三角形的三条边的长度的关系，求出△ABC的最大边c的值是多少即可；
(3)首先根据a−b=8，ab+c2−16c+80=0，应用因式分解的方法，判断出(a−4)2+(c−8)2=0，求出a、c、b的值各是多少；然后把a、b、c的值求和，求出a+b+c的值是多少即可．
23.【答案】xn+1−1 22020−1
【解析】解：(1)①(x−1)(xn+xn−1+xn−2+…+x+1)=xn+1−1；
②1+2+22+23+24+⋯+22017+22018+22019=22020−1；
故答案为：①xn+1−1；②22020−1；
(2)①根据题意得：方程的解为x1=a，x2=ma；
②方程变形得：x−3+2x−3=m−3+2m−3，
∴x−3=m−3，x−3=2m−3，
则x1=m，x2=3m−7m−3．
(1)观察阅读材料中的等式得出一般性规律，根据规律得出所求即可；
(2)观察阅读材料中的方程解的特征，确定出所求即可．
此题考查了解分式方程，分式方程的解，以及规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．