2022-2023学年江西省宜春市丰城中学八年级（下）第一次月考数学试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年江西省宜春市丰城中学八年级（下）第一次月考数学试卷（3月份）

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列函数中，一次函数是(    )

A.  B.
C.  D. 是常数

2.  若一组数据，，，的平均数为，方差为，那么数据，，，的平均数和方差分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

3.  一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  如图所示，一次函数是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点，下列判断错误的是(    )
 

A. 关于的方程的解是
B. 关于的不等式的解集是
C. 当时，函数的值比函数的值大
D. 关于，的方程组的解是

5.  已知，，分别是的三条边长，为斜边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”若点在“勾股一次函数”的图象上，且的面积是，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  ，两地相距，甲、乙两辆汽车从地出发到地，均匀速行驶，甲出发小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距，甲行驶的时间为，与的关系如图所示，下列说法：

甲车行驶的速度是，乙车行驶的速度是；
乙出发后追上甲；
甲比乙晚到；
甲车行驶或，甲，乙两车相距；
其中正确的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7.  若一组数据，，，，的众数和中位数分别是和，则这组数据的平均数为______．

8.  函数的自变量的取值范围是          ．

9.  无论取任何实数，一次函数必过一定点，此定点坐标为        ．

10.  如图，正比例函数的图象经过点，轴于点，将绕点逆时针旋转得到，则直线的函数表达式为______．
 

11.  如图，在矩形中，，，为上一点，平分，则的长为______．

12.  如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点是线段上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的处，若是轴负半轴上一动点，且是等腰三角形，则的坐标为______．

三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13.  本小题分
已知关于的函数．
若该函数是正比例函数，求的值；
若点在函数图象上，求的值．

14.  本小题分
已知点，点，若轴，且点在直线上，求点的坐标．

15.  本小题分
一次函数的图象是直线，将直线向下平移个单位得到直线，
求两条直线，的解析式；
求两条直线，与轴围成的三角形面积．

16.  本小题分
四边形是菱形，对角线，交于点，是边的中点，过点作，，点，为垂足，若，，求的长．

17.  本小题分
如图，已知是矩形的对角线，于点，点是的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图保留作图痕迹．
在图中，在上作点，使；
在图中，在上作点，使．
 

18.  本小题分
月日是“文化和自然遗产日”，某商店为了抓住此次活动的商机，决定购买一些纪念品进行销售，若购进种纪念品件，种纪念品件，需要元；若购进种纪念品件，种纪念品件，需要元．
求购进、两种纪念品每件各需多少元？
若每件种纪念品的售价为元，每件种纪念品的售价为元考虑到市场需求，商店决定购进这两种纪念品共件，要求购进种纪念品的数量不少于件，设购进种纪念品件，总利润为元，请写出总利润元与件的函数关系式，并根据函数关系式说明利润最高时的进货方案．

19.  本小题分
某校八年级学生在一次射击训练中，随机抽取名学生的成绩如下表，请回答问题：

填空：______；
名学生的射击成绩的众数是______环，中位数是______环；
若环含环以上评委为优秀射手，试估计全年级名学生中有多少是优秀射手？

20.  本小题分
直线：与直线：相交于点．
求、的值，并结合图象求关于、的方程组的解．
垂直于轴的直与直线，分别交于点、，若线段的长为，求的值．

21.  本小题分
平面直角坐标系中，点、点的坐标分别是、．
求直线的解析式；
如图，点是直线上一点，若的面积是面积的倍，求点的坐标；
若点满足的条件，且在第一象限内，如图点是轴负半轴上一动点，连接，过点作，交轴于点当点运动时，的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由．
 

22.  本小题分
如图，四边形和四边形都是正方形，与交于点，点在的外部．

求证：；
求证：；
求：的度数．

23.  本小题分
在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点．
如图，连接，求的面积；
如图，在直线上存在点，使得，求点的坐标；
如图，在的条件下，连接，过点作的垂线交轴于点，点在直线上，在平面中存在一点，使得以为一边，，，，为顶点的四边形为菱形，请直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．右边不是整式，不是一次函数，不符合题意；
B.是一次函数，符合题意；
C.中自变量的次数为，不是一次函数，不符合题意；
D.是常数中时，不是一次函数，不符合题意；
故选：．
根据一次函数的定义：形如、是常数的函数，叫做一次函数逐一判断即可．
本题考查一次函数的定义，解题的关键是掌握形如、是常数的函数，叫做一次函数．
 

2.【答案】 

【解析】解：数据，，，的平均数为，那么数据，，，的平均数为，
数据，，，，方差为，那么数据，，，的方差为，
故选：．
根据平均数的概念、方差的性质解答．
本题考查的是平均数和方差，当数据都加上一个数或减去一个数时，方差不变，当数据都乘上一个数或除一个数时，方差乘或除这个数的平方倍．
 

3.【答案】 

【解析】解：由图象可知：函数过点，
把代入得：，
即，
，
，
，
由图象可知：，
除以得：，
故选：．
把代入得出，求出，把代入不等式得出，再求解即可．
本题考查了一元函数与一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
根据条件结合图象对各选项进行判断即可．
【解答】
解：

一次函数是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点，
关于的方程的解是，选项A判断正确，不符合题意；
关于的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意；
当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意；
关于，的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意；
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：点在“勾股一次函数”的图象上，
，即，
又，，分别是的三条边长，，的面积是，
，即，
又，
，
即，
解得，
故选：．
依据题意得到三个关系式：，，，运用完全平方公式即可得到的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的应用，根据题目中所给的材料结合勾股定理和乘法公式是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了一次函数的应用，解决问题的关键是根据函数图象获得关键的信息，利用行程问题的数量关系列式计算．
根据函数图象即可得到甲车行驶的速度以及乙车行驶的速度；根据函数图象即可得到乙出发后追上甲；根据图象，当乙到达地时，甲乙相距，据此可得甲比乙晚到；根据甲，乙两车相距，列出方程进行求解即可．
【解答】
解：由图可得，甲车行驶的速度是，
甲先出发，乙出发后追上甲，
，
，
即乙车行驶的速度是，故正确；
当时，乙出发，当时，乙追上甲，
乙出发后追上甲，故错误；
由图可得，当乙到达地时，甲乙相距，
甲比乙晚到，故正确；
由图可得，当时，
解得；
当时，
解得，
甲车行驶或，甲，乙两车相距，故正确；
综上所述，正确的个数是个．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：一组数据，，，，的众数和中位数分别是和，
这组数据未知的两个数是，，
这组数据的平均数为．
故答案为：．
首先根据众数和中位数确定，的值，再根据平均数的定义即可求解．
本题考查了算术平均数、中位数、众数的求法．给定个数据，按从小到大排序，如果为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据里的数．给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．
 

8.【答案】且 

【解析】

【分析】
根据分母不能为零且被开方数是非负数，可得答案．
本题考查了函数自变量的取值范围，利用分母不能为零且被开方数是非负数是解题关键．
【解答】
解：由题意，得
且，
解得且，
故答案为：且．  

9.【答案】 

【解析】解：由一次函数变形为，
令，
解得，
故一次函数必过一定点．
故答案为：．
只要把点的坐标代入函数解析式，看看左边和右边是否相等即可．
本题主要考查了恒过定点的直线．本题主要是利用了过两条直线的交点的直线系方程求得定点，也可以利用的两个不同值来确定交点坐标．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
直接把点代入正比例函数，求出的值即可；由，轴于点，可得出，的长，再由绕点逆时针旋转得到，由旋转不变性的性质可知，，故可得出点坐标，再把点和点坐标代入，解出解析式即可．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及图形旋转的性质，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
【解答】
解：正比例函数经过点，
，
解得：，
；
，轴于点，
，，
绕点逆时针旋转得到，
，．
．
设直线的解析式为，
把代入解析式可得：，
解得：，
所以解析式为：．  

11.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，
，
平分，
，
，
，
在直角中，，
，

故答案为：．
根据平行线的性质以及角平分线的定义证明，根据等角对等边，即可求得的长，在直角中，利用勾股定理求得的长，则的长即可求解．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，角平分线定义，正确求得的长是关键．
 

12.【答案】或或 

【解析】解：当时，，
点的坐标为；
当时，，解得：，
点的坐标为．
．
，
．
设，则．
在中，，
即，
解得：，
点的坐标为，
，
当时，；
当时，；
当时，设，则，
，解得，
此时；
综上，点的坐标为或或；
故答案为：或或
利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标，利用勾股定理可求出的长度，进而可得出的长度，设，则，在中，利用勾股定理即可得出关于的方程，解之即可得出的值，进而可得出点的坐标，进一步求得，然后分三种情况讨论求得点的坐标即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、折叠的性质以及勾股定理，在中，利用勾股定理找出关于的方程是解题的关键．
 

13.【答案】解：关于的函数是正比例函数，
，
解得：，
的值为；
点在函数的图象上，
，
解得：，
的值为． 

【解析】利用正比例函数的定义，可得出关于的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可求出的值；
利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的定义，解题的关键是：利用正比例函数的定义，找出关于的一元一次不等式及一元一次方程；利用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于的一元一次方程．
 

14.【答案】解：依题意知，点，点，且轴，
，
，
又点在直线上，
，即，
，
，，
点的坐标为． 

【解析】由题意得点，点，且轴，则，由此可得，根据点在直线上，则，故，则，则，，故点的坐标为．
本题考查一次函数的解析式，平行与坐标轴的直线上的点的坐标特征，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．
 

15.【答案】解：由题意得，
解得：，
直线的解析式为：，
直线向下平移个单位，
直线的解析式为：；
解：联立两直线解析式得，
解得：，
两函数图象的交点坐标为，
把代入，得，
直线与轴交点坐标为，
把代入，得，
直线与轴交点坐标为，
． 

【解析】由一次函数定义求出值，即可求的解析式，根据直线平移性质：“上加下减”原则即可求出的解析式；
先联立两直线解析式组成方程组求出交点坐标，再求出两直线与轴交点坐标，最后由三角形面积公式计算即可．
本题考查了一次函数的图象和性质，平移的性质，一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数与坐标轴的交点问题等知识，熟练掌握一次函数相关知识是解题关键．
 

16.【答案】解：如图，连接，

四边形是菱形，，，
，，，
在中，，
是边的中点，
，
，，
，
四边形是矩形，
． 

【解析】如图，连接，由菱形性质可得：，，，利用勾股定理可得，再由直角三角形性质可得，再根据矩形性质可得．
本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图，连接，与交于点，连接，
四边形为矩形，
点为的中点，
点是的中点，
为的中位线，
．
则点即为所求．
如图，连接，相交于点，连接并延长，交于点，连接，
四边形为矩形，
，，，，
在和中，
可得，
在和中，
可得，
，
即点为的中点，
，
为直角三角形，
．
则点即为所求．
 

【解析】连接，与交于点，由矩形的性质可知点为的中点，连接，则为的中位线，即．
连接，，相交于点，连接并延长，交于点，连接，易得，，则，即点为的中点，在中，可得．
本题考查作图复杂作图、矩形的性质、直角三角形的性质、中位线等知识点，熟练掌握矩形的性质是解答本题的关键．
 

18.【答案】解：设购进种纪念品每件价格为元，种纪念币每件价格为元，
根据题意，得，
解得，
答：种纪念品每件价格为元，种纪念币每件价格为元；
根据题意，得，
解得，
根据题意得：，
，
随的增大而减小，
当时，有最大值：，件，
故购进种纪念品件，购进种纪念品件时利润最高，利润最高为元． 

【解析】设购进种纪念品每件价格为元，种纪念币每件价格为元，根据题意得出关于和的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
根据题意列出关于的一元一次不等式组，解不等式组得出的取值范围，求出总利润关于购买种纪念品件的函数关系式，由函数的单调性确定总利润取最值时的值，从而得出结论．
本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，找到相应的关系式是解决问题的关键．
 

19.【答案】     

【解析】解：人，
故答案为：．
成绩为环的人数最多，是人，因此成绩的众数为环，
将这人的射击成绩从小到大排列后，处在第、位的两个数都是环，因此中位数是环，
故答案为：，．
人，
答：全年级名学生中大约有人是优秀射手．
从抽查的总人数人，减去成绩为环、环、环的人数，即可得成绩为环的人数，
根据众数、中位数的意义求解即可，
样本估计总体，样本中成绩在环以上的占，因此估计人中约有的为优秀射手．
考查众数、中位数的意义和求法，众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数则是将一组数据从小到大排序后，处在中间位置的一个数或两个数的平均数，样本估计总体也是统计中常用方法．
 

20.【答案】解：点在直线：上，
；
点在直线：上，
，
．
关于、的方程组的解即为的解
解得；

当时，；
当时，．
，
，
解得：或．
的值为或． 

【解析】由点在直线上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出值，再将点的坐标代入直线中，即可求出值，带入方程组，进而求得方程组的解；
由点、的横坐标，即可得出点、的纵坐标，结合即可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了两条直线相交问题、一次函数图象上点的坐标特征以及解含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是：利用一次函数图象上点的坐标特征求出、的值；根据，找出关于的含绝对值符号的一元一次方程．
 

21.【答案】解：设直线解析式为：，
由题意可得：，
解得：，
直线解析式为：；
设点，
的面积是面积的倍，
，
或，
点或；
的值为定值，
理由如下：如图，过点作轴于，轴于，

点，
，
轴，轴，，
四边形是矩形，
四边形是正方形，
，，
，
又，，
≌，
，
，
的值为定值． 

【解析】利用待定系数法可求解析式；
设点，由三角形的面积公式可求解；
过点作轴于，轴于，由“”可证≌，可得，即可求解．
本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，证明是本题的关键．
 

22.【答案】解：在正方形和中，，，，
，
即，
在和中，

≌，
；
令，交于，

≌，
，
，，，
，
；
作，，垂足为，，

≌，
，
，
，
，
，，
是的平分线，

，
． 

【解析】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线，的垂线段是难点，运用全等三角形的性质是关键．
根据正方形的性质可得，，，然后求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得；
令，交于，，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，根据垂直的定义可得；
作，，垂足为，，用面积法证明是角平分线，可得答案．
 

23.【答案】解：对于直线，令，则，故点
对于，令，则，令，即，解得：，
故点、，
则，，
则的面积；
过点作的垂线交于点，过点作轴的平行线交过点与轴的平行线于点，交过点与轴的平行线于点，

设点，点，
，故E，
，，
，
，，
≌，
，，
即，，解得，
故点
直线的表达式为，
而，则设直线的表达式为，
将点的坐标代入上式并解得：，
故直线的表达式为，
设点，点，
点向右平移个单位向上平移个单位得到，
同样点向右平移个单位向上平移个单位得到，
当点在点的下方时，
则且，
，即，
联立并解得：或，
故点的坐标为不合题意的值已舍去
当点在点的上方时，
同理可得，点的坐标为或．
综上，点的坐标为或或． 

【解析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、三角形全等、面积的计算等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．
对于直线，令，则，故点，同理可得点、，的面积，即可求解；
证明≌，则，，即可求解；
分点在点的下方、点在点的上方两种情况，利用平移的性质分别求解即可．