精品解析：上海市崇明区横沙中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份精品解析：上海市崇明区横沙中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题（每小题3分，共36分）
1. ___．
【答案】
【解析】
【分析】根据极限的运算法则， 利用 ，直接可求得结果.
【详解】,
故答案为：
2. 行列式的展开式中，的系数是___．
【答案】6
【解析】
【分析】将行列式展开，即可求得答案.
【详解】,
故的系数是：6,
故答案为：6
3. 若复数在复平面上对应的点在第四象限，则的取值范围是__．
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的代数形式及对应点在第四象限有，即可得m的范围.
【详解】由题设，，可得.
故答案为：.4. 若关于线性方程组的增广矩阵为，该方程组的解为，则的值等于______．
【答案】－24
【解析】
【分析】首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组，根据方程的解，，最后求的值．
【详解】解由二元线性方程组的增广矩阵为，
可得到二元线性方程组的表达式mx=63y=n，
方程组的解为x=−3y=4.，则，
则的值为.
故答案为：．
5. 过点且垂直于直线的直线方程为___．
【答案】
【解析】
【分析】由垂直设出直线方程，代入已知点坐标后得参数值，从而得直线方程．
【详解】由题意，设所求直线方程为，又直线过，
所以，，
所以直线方程为．
故答案为：．
6. 若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C的方程是_________
【答案】
【解析】
【详解】双曲线的顶点和焦点坐标分别为（±，0）、（±3，0）∵椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，
∴椭圆C的焦点和顶点坐标分别为（±，0）、（±3，0）
∴a=3，c=
∴
∴椭圆C的方程是
故答案为
7. 以点为圆心且与直线相切的圆的方程是__．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件可求出圆的半径，即可得圆的方程.
【详解】设所求圆的半径为r,
则根据圆与直线相切可得： ,
故圆方程为： ，
故答案为：
8. 若抛物线上一点到抛物线焦点的距离为1，则点的横坐标是__．
【答案】．
【解析】
【分析】根据抛物线的焦半径公式求解．
【详解】抛物线标准方程为，，即，
设，则，，由得．
故答案为：．9. 若两条直线与平行，则的值是__．
【答案】3
【解析】
【分析】根据已知，结合两直线平行的条件列出方程，即可求解．
【详解】∵两条直线l1：mx+3y+m+3=0与l2：x-(2-m)y-2=0平行，
∴m(m-2)-3=0，解得m=-1或3，
经验证，当m=-1时，直线l1和l2重合，不符合题意，
当m=3时，直线l1和l2不重合，符合题意，
故实数m的值为3，
故答案为：3
10. 已知无穷数列的前项和，则数列的各项和为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用的关系，求出的通项公式,进而求出无穷数列的各项和
【详解】由题可得,当时,,与题中等式相减得,,即
当时,,
数列是首项为,公比为的等比数列,即无穷数列为递缩等比数列,
故答案为
【点睛】本题考查利用的关系求的通项公式,考查无穷数列的各项和,考查等比数列的定义
11. 已知、是双曲线的两个焦点，为双曲线上的一点，且．若的面积为9，则__．
【答案】3
【解析】
【分析】结合双曲线的定义，根据焦点三角形的性质即可求解.
【详解】由题意知，，
，
，
，
的面积为，，
，
，
，
.
故答案为：3.
12. 曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹．给出下列四个结论：（1）曲线过坐标原点；（2）曲线关于轴对称；（3）曲线关于坐标原点对称；（4）记曲线与轴正半轴的交点为，与轴正半轴的交点为，则的面积为．其中正确的是___.（将所有正确结论的序号填在横线上）
【答案】（2）（3）（4）
【解析】
【分析】设动点坐标为，求出曲线方程，由方程研究曲线性质．
【详解】设动点坐标为，则，
显然不适合此方程，因此，曲线不过原点，（1）错误；
用替换后方程为，整理后为，方程不变，（2）正确，同理用替换方程也不变，（3）正确；
令，由解得，即，令，由解得，即，，（4）正确．
故答案为：（2）（3）（4）二、选择题（每小题4分，共16分）
13. 若向量，则下列结论正确的是
A. B. ．C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】本题考查向量的坐标运算．
解答：选项A、．
选项B、
选项C、，正确．
选项D、因为所以两向量不平行．
14. 若，则“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】结合双曲线的定义，利用充分条件和必要条件的定义判断．
【详解】当时， ，故方程表示双曲线，
因此“”是“方程表示双曲线”的充分条件，
方程表示双曲线时，需满足 ，即 或 ，
故“”不是“方程表示双曲线”必要条件，
故选：A.15.
某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为
A. k＞4?B. k＞5?
C. k＞6?D. k＞7?
【答案】A
【解析】
【详解】
【分析】试题分析：由程序框图知第一次运行，第二次运行 ，第三次运行，第四次运行 ，输出，所以判断框内为 ，故选A.
考点：程序框图.
16. 点在直线上，若存在过的直线交抛物线于、两点，且，则称点为“点”，则下列结论中正确的是( )
A. 直线上的所有点都是“点”
B. 直线上仅有有限个点是“点”
C. 直线上的所有点都不是“点”
D. 直线上有无穷多个点(但不是所有的点)是“点”
【答案】A【解析】
【分析】作出草图，可知点是的中点，，设出 的坐标，进而的坐标可表示出，把 的坐标代入抛物线方程联立消去，求得判别式大于恒成立，可推断出方程有解，进而可推断出直线上的所有点都符合．
【详解】如图所示：
设，
由题意可知点是的中点，则，
∵在上，∴，
消去，整理得关于的方程，
∵恒成立，
∴方程恒有实数解．
即对于任意的点，都存在，使得.
故选：A．
三、解答题（本大题共5小题，满分48分.解答下列各题必须写出必要的解题步骤）
17. 已知，，．（1）求与的夹角；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用数量积的运算性质即可得出；
（2）根据垂直得数量积为零建立方程可求解.
【小问1详解】
由，所以，
又因为，，代入解得，
则，
因为夹角，所以与的夹角；
【小问2详解】
若，则，
解得.
18. 已知曲线上任一点与点的距离与它到直线的距离相等．
（1）求曲线的方程；
（2）求过定点，且与曲线只有一个公共点的直线的方程．
【答案】（1）
（2），，
【解析】
【分析】（1）由抛物线的定义可得；
（2）分类讨论，一是与对称轴平行的直线，一是抛物线的切线（切线有斜率存在与不存在两种）．
【小问1详解】
所题意曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，，，所以抛物线方程是；
【小问2详解】
易知直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线相切了，只有一个公共点，
设直线与抛物线相切，，，，，
切线方程为，
所以所求直线方程为：，，．
19. 圆拱桥的一孔圆拱如图所示，该圆拱是一段圆弧，其跨度米，拱高米，在建造时每隔4米需用一根支柱支撑．
（1）建立适当的坐标系，写出圆弧的方程；
（2）求支柱的长度（精确到0.01米）．
【答案】（1），()；
（2）米.
【解析】
【分析】（1）以O为原点，为x、y轴，确定的点坐标，设圆弧方程为且，将点坐标代入求参数，即可得方程.
（2）由（1）及题设有，且在圆弧上，代入圆弧所在方程求y，即可知的长度
【小问1详解】
构建如下直角坐标系，则，，，
设所在圆弧方程为且，，解得，
所以圆弧的方程，.
【小问2详解】
由题设知：，则，且在圆弧上，
所以，可得，故的长度为米.
20. 已知双曲线，为上的任意点．
（1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设、分别为双曲线两个焦点，若为钝角，求点的横坐标的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用点到直线的距离公式，结合双曲线的方程，即可证明；
（2）设双曲线上一点，若双曲线上一点使得为钝角，则，由此列不等式解得点横坐标的取值范围．
【小问1详解】
证明：设，则
双曲线的两条渐近线的方程为，即
点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积；
【小问2详解】
解：因为双曲线，所以、设，则，，，
为钝角，
即
又
解得或，即．
21. 设，在平面直角坐标系中，已知向量，向量，且，动点的轨迹为．
（1）求轨迹的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；
（2）当时，是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹恒有两个交点、，且？若存在，求出该圆的方程，若不存在说明理由．
【答案】（1）答案见解析；
（2）存在，.
【解析】
【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算有，然后对的取值分情况讨论．
（2）设切线方程为、、，由可得，由（1）知 M的轨迹方程为把直线的方程与圆的方程联立，结合韦达定理得t、k的关系，再由直线与圆相切得两式联立即可求得的值，即可得所求圆的方程(注意验证切线斜率不存在的情况)．【小问1详解】
因为，则，即．
当时，轨迹为，该方程表示两条直线;
当时，轨迹为，该方程表示圆;
当且时，轨迹为，该方程表示椭圆;
当时，轨迹为，该方程表示双曲线．
【小问2详解】
当时，轨迹的方程为
设圆的方程为()，
当切线斜率存在时，可设圆的任一切线方程为，，，
所以即 ①，
因为，则，整理得②，
由， 消去y得③，则，
代入②式并整理得：即．
结合①式有，即；
当切线斜率不存在时，也满足题意.
综上，故所求圆的方程为．【点睛】关键点点睛：第二问，设圆及其切线方程，利用点线距离、向量垂直的坐标表示，结合切线与椭圆方程及韦达定理列含所设参数的方程，求出参数，注意讨论切线的斜率.