2021-2022学年上海市崇明区高一下学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市崇明区高一下学期期末数学试题

一、单选题

1．若是关于的实系数方程的一个复数根，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】把代入方程，整理后由复数相等的定义列方程组求解.

【详解】由题意1i是关于的实系数方程

∴，即

∴，解得.

故选：D．

2．要得到函数的图象，只需要将函数的图象（    ）

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

【答案】B

【分析】根据函数图象变换直接求解.

【详解】因为,

所以要得到函数的图象，

只需要将函数的图象向右平移个单位,

故选:B.

3．向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则（    ）

A．3 B． C．-3 D．

【答案】D

【分析】利用向量减求得，利用向量的坐标运算性质，向量相等即可得出．

【详解】解： 根据向量的减法得,

，

且，

因此，则

故选：D．

4．已知为等比数列，的前n项和为，前n项积为，则下列选项中正确的是（    ）

A．若，则数列单调递增

B．若，则数列单调递增

C．若数列单调递增，则

D．若数列单调递增，则

【答案】D

【分析】根据等比数列的前n项和公式与通项公式可得与，进而可得、取值同号，即可判断A、B；

举例首项和公比的值即可判断C；

根据数列的单调性可得，进而得到，求出，即可判断D.

【详解】A：由，得，即，则、取值同号，

若，则不是递增数列，故A错误；

B：由，得，即，则、取值同号，

若，则数列不是递增数列，故B错误；

C：若等比数列，公比，则，

所以数列为递增数列，但，故C错误；

D：由数列为递增数列，得，所以，

即，所以，故D正确.

故选：D

二、填空题

5．已知复数，则______．

【答案】5

【分析】由模的定义，.

【详解】由模的定义，.

故答案为：5

6．在中，，，，那么的面积等于______．

【答案】

【分析】由三角形面积公式即可求

【详解】由三角形面积公式得.

故答案为：

7．函数的最小正周期为_______．

【答案】π

【详解】试题分析： 因为，所以函数f(x)＝cos2x－sin2x的最小正周期为

【解析】三角函数的周期

8．已知向量，，若，则实数的值等于______．

【答案】

【分析】根据向量平行坐标运算即可.

【详解】由题知，，，，

所以，解得

故答案为：.

9．已知数列满足，且，则______．

【答案】##0.25

【分析】由递推关系即可求.

【详解】由得，故.

故答案为：.

10．已知复数满足（是虚数单位），则________

【答案】

【解析】根据复数的运算法则进行化简，即可求解.

【详解】因为，所以，所以.

故答案为：.

11．已知等差数列中，，，，则_____________

【答案】

【分析】本题可根据、求出，然后写出通项公式，最后通过即可得出结果.

【详解】设等差数列的公差为，

因为，，所以，解得，

则，

因为，所以，解得，

故答案为：.

12．已知角终边经过点，且，则______．

【答案】##

【分析】由任意角的三角函数定义可得，及

【详解】由，故.

故答案为：.

13．已知向量、满足，，则______．

【答案】##

【分析】根据求解即可.

【详解】因为，，解得.

故答案为：

14．若，且，则__．

【答案】或.

【分析】先得出，即可根据求得，即得.

【详解】由得，又，故或，故或.

故答案为：或.

15．若函数的部分图象如图，则______．

【答案】4

【分析】根据正弦函数图象的对称性求得函数的周期，进而可求得.

【详解】由正弦函数图象的对称性得函数的周期，所以，解得.

故答案为：4.

16．已知不共线的平面向量、、两两的夹角相等，且，，，实数、、，则的最大值等于__．

【答案】

【分析】利用平面向量的数量积运算结合不等式确定取值范围求解.

【详解】因为不共线的平面向量、、两两的夹角相等,

所以它们的夹角都为,

因为，，,

所以

因为、、，

所以（1）当时, （时取等号）

(i)当时,

（时取等号）

而（当时取等号）

即当，，时

有最大值,

所以,

(ii)当时,

（时取等号）

而（当时取等号）

即当，，时

有最大值,

所以,

（2）当时,同理可得,

故答案为: .

三、解答题

17．求实数的值，使得复数分别是：

(1)实数；

(2)纯虚数．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）根据复数为实数时解决即可；（2）根据复数为纯虚数时解决即可.

【详解】（1）由题知，

复数为实数当且仅当，即或，

所以当或时，复数为实数.

（2）复数为纯虚数当且仅当，即，

唯一满足此条件的的值是，

所以当时，复数为纯虚数.

18．已知向量，．

(1)求；

(2)已知，且，求向量与向量的夹角．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据向量的坐标运算求向量的模即可；（2）由向量的模，根据向量的数量积公式转化求向量的夹角即可.

【详解】（1）由题知，，

所以，

所以.

（2）由题知，，，，

所以，，

所以，

所以，

所以，

所以，

因为，

向量与向量的夹角为.

19．已知函数．

(1)当时，用五点法作出函数一个周期内的图像；

(2)若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）化简，列表，描点，平滑曲线连接即可；（2）利用三角函数单调性求参数取值范围即可.

【详解】（1）由题知，

所以，

当时，，

列表

作图

（2）由（1）得，

因为，

所以，

又函数在区间上是严格增函数，

所以，

，

解得，，又

解得，所以的取值范围为.

20．如图所示，某工厂在基建中，要测定被障碍物隔开的A和P间的距离.为此，在障碍物的两侧选取两点B.C，测得米，米，，，.

（1）求的长和的大小；

（2）求A和P间的距离（精确到1米）.

【答案】(1) ;(2) A和P间的距离约为61米

【分析】(1)连接,作于,分别求,的长度再判断的大小即可.

(2)连接,分析角度的关系可得为正三角形.再利用余弦定理求即可.

【详解】(1) 连接,作于,因为,故中.

故.因为,故.

故.又,

故.又且,故.

即.

(2)因为,,故，,又,

故.故为正三角形.米.

由余弦定理得.

即,

故.即A和P间的距离约为61米.

【点睛】本题主要考查了解三角形解决实际的应用问题,画辅助线找特殊角能简化运算,同时利用余弦定理与边角关系可求所需的边,属于中等题型.

21．设数列的前n项和为．若，则称是“紧密数列”．

(1)已知数列是“紧密数列”，其前5项依次为，求x的取值范围；

(2)若数列的前n项和为，判断是否是“紧密数列”，并说明理由．

【答案】(1)；

(2)是，理由见解析

【分析】（1）由“紧密数列”定义得，求解即可；

（2）由求出数列通项公式，再由“紧密数列”定义结合常量分离讨论的范围即可判断.

【详解】（1）由题意得，，故x的取值范围为；

（2）由题意得，当时，，当时，符合上式，故数列的通项公式为.

∵，故是是“紧密数列”.