2021-2022学年上海市崇明区高二上学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市崇明区高二上学期期末数学试题

一、填空题

1．已知球的半径等于1，则该球的体积等于______.

【答案】##

【分析】由球体体积公式直接求解.

【详解】由球的体积公式.

故答案为：

2．计算：______（i为虚数单位）.

【答案】##

【分析】根据复数四则运算即可得出结果

【详解】由题意得.

故答案为：

3．某药物公司实验一种降低胆固醇的新药，在500个病人中进行实验，结果如下表所示.

则使用药物后胆固醇降低的经验概率等于______.

【答案】##0.614

【分析】根据经验概率的定义可求出结果.

【详解】依题意使用药物后胆固醇降低的人数为，又试验总次数为，

所以使用药物后胆固醇降低的经验概率等于.

故答案为：

4．已知复数，则z的共轭复数______.

【答案】##

【分析】利用向量的摸公式及共轭复数的概念即可求解.

【详解】，所以.

故答案为：.

5．已知点和点，若向量对应的复数是，则点对应的复数______.

【答案】

【分析】根据复数的几何意义计算即可.

【详解】由题知，,

所以，

所以点对应的复数.

故答案为：.

6．已知向量，分别是直线和平面的方向向量和法向量，若，则与所成角的大小是______.

【答案】##

【分析】若直线与平面所成角为，则直线方向向量与平面法向量的夹角为或，由此计算即可.

【详解】设直线与平面所成角为（），

则直线的方向向量与平面的法向量的夹角为或，

由题意，∵且，

∴，

∴，

∴与所成角的大小是.

故答案为：.

7．已知矩形中，，，以为旋转轴，将矩形旋转一周所形成的空间封闭几何体的表面积等于______.

【答案】

【分析】由旋转体定义可知所得几何体为圆柱，根据圆柱表面积求法可求得结果.

【详解】由旋转体定义可知：所形成的空间封闭几何体为底面半径，母线长的圆柱，

该几何体的表面积.

故答案为：.

8．同时投掷两颗均匀的骰子，所得点数相等的概率为______．

【答案】

【分析】应用列表法求点数相等的概率即可.

【详解】同时投掷两颗均匀的骰子，所得点数组合如下表：

由上表知：所有可能组合有36种，其中点数相等有6种，

所以所得点数相等的概率为.

故答案为：

9．盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出粒都是黑子的概率是，从中取出粒都是白子的概率是，则从中任意取出粒恰好是一粒黑子一粒白子的概率是______.

【答案】

【分析】任意取出粒棋子，一共有粒都是黑子、粒都是白子和一粒黑子一粒白子种可能，其概率之和为，由此求解即可.

【详解】由题意，任意取出粒棋子，不考虑先后顺序，一共有粒都是黑子、粒都是白子和一粒黑子一粒白子种可能，

设事件：取出粒都是黑子，事件：取出粒都是白子，事件：取出粒恰好是一粒黑子一粒白子，则，，两两互斥，

由已知有，，

∵，

∴，

∴从中任意取出粒恰好是一粒黑子一粒白子的概率是.

故答案为：.

10．已知四面体中，，，分别为，的中点，且异面直线与所成的角为，则____.

【答案】1或

【分析】取BD中点O，连结EO、FO，推导出EO＝FO＝1，，或，由此能求出EF．

【详解】取BD中点O，连结EO、FO，

∵四面体ABCD中，AB＝CD＝2，E、F分别为BC、AD的中点，且异面直线AB与CD所成的角为，

∴EO∥CD，且EO，FO∥AB，且FO1，

∴∠EOF是异面直线AB与CD所成的角或其补角，

∴，或，

当∠EOF时，△EOF是等边三角形，∴EF＝1．

当时，EF．

故答案为1或．

【点睛】本题考查异面直线所成角的应用，注意做平行线找到角是关键，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，是易错题

11．如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，A，B是底面圆周上两点，，，，C为线段PB的中点.一只蚂蚁沿着圆锥表面从点A爬到点C经过的最短距离是______.

【答案】

【分析】将圆锥的侧面沿母线展开成扇形，判断出最短距离是线段，利用余弦定理解三角形即可求解.

【详解】将圆锥的侧面沿母线展开成扇形，如图示：

所以一只蚂蚁沿着圆锥表面从点A爬到点C经过的最短距离是线段.

则弧长为，

所以，因为，所以，

所以在扇形中，，又C为线段PB的中点，.

所以在中，,,,由余弦定理得：，

所以一只蚂蚁沿着圆锥表面从点A爬到点C经过的最短距离是.

故答案为：

12．有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为（）．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情况中，全面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是_______．

【答案】

【分析】由题意拼成一个三棱柱,分3种情况求出表面积；拼成一个四棱柱,3种情况分别求出表面积,然后求出a的范围.

【详解】①拼成一个三棱柱时,有三种情况：

将上下底面对接,其全面积为：；

3a边可以合在一起时, ；

4a边合在一起时， .

②拼成一个四棱柱,有三种情况：就是分别让边长为3a,4a,5a所在的侧面重合,其上下底面积之和都是，但侧面积分别为:, ,，

显然，三个是四棱柱中全面积最小的值为： .

由题意得：，解得：.

故答案为 ：

【点睛】（1）求解以由多个几何体构成组合体的体积的关键是确定组合体的形状以及组合体图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；

（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．

二、单选题

13．若是关于的实系数方程的一个复数根，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】把代入方程，整理后由复数相等的定义列方程组求解.

【详解】由题意1i是关于的实系数方程

∴，即

∴，解得.

故选：D．

14．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷100次，第99次抛掷出现反面的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据随机事件每次发生的概率是相等的，即可得出第99次抛掷出现反面的概率.

【详解】将一枚质地均匀的硬币抛掷一次，出现正面，还是反面，是随机事件，且是等可能的，

∴无论抛多少次，每一次抛掷出现反面的概率都为.

∴第99次抛掷出现反面的概率是.

故选：D.

15．在棱长为的正方体中，P为左侧面上一点，已知点P到的距离为，P到的距离为，则过点P且与平行的直线相交的面是（    ）

A．ABCD B． C． D．

【答案】A

【分析】由图可知点在内，过作，且，，在平面中，过作，，由平面与平面平行的判定可得平面平面；连接，交，连接，再由平面与平面平行的性质得，在中，过作，且，可得，由此说明过点且与平行的直线相交的面是平面.

【详解】如图，

由点到的距离为，到的距离为2，可得在内，

过作，且，，

又平面，平面，所以平面；

在平面中，过作，，

又平面，平面，所以平面；

因为，、平面，则平面平面．

连接，交于，连接，

则由平面平面，

平面平面，平面平面，则，

在中，过作，且，则．

∵线段在四边形内，在线段上，∴在四边形内．

所以过点P且与平行的直线相交的面是平面．

故选：A．

16．已知正四棱柱中，底面边长，，是长方体表面上一点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】取中点，将所求数量积转化为，根据的取值范围可求得结果.

【详解】取中点，

则，

当为侧面中点时，；的最大值为体对角线的一半，

又，，

即的取值范围为.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的向量数量积问题的求解，解题关键是通过转化法将问题转化为向量模长最值的求解问题，进而通过确定向量模长的最值来确定数量积的取值范围.

三、解答题

17．求实数m的值或取值范围，使得复数分别满足：

(1)z是实数；

(2)z是纯虚数；

(3)z是复平面中对应的点位于第二象限.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据复数的概念列式可求出结果；

（2）根据复数的概念列式可求出结果；

（3）根据复数的几何意义可求出结果.

【详解】（1）由题意得，所以；

（2）由题意得，所以；

（3）由题意得，所以.

18．在直三棱柱中，，.

(1)求四棱锥的体积V；

(2)求直线与平面所成角的大小；

(3)求异面直线与所成角的大小.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据线面垂直的判定与性质可得平面，进而根据锥体体积公式求解即可；

（2）根据线面角的性质可得即为直线与平面所成的角，再在直角三角形中求出即可；

（3）根据线线角的定义可得就是异面直线与所成的角（或其补角），再根据余弦定理求解即可.

【详解】（1）因为是直棱柱，所以平面，

又平面，得，

又因为，，且平面，所以平面.

所以三棱锥的体积，

得.

（2）因为，所以，        

因为是直棱柱，所以平面，

又平面，进而，所以平面，          

所以即为直线与平面所成的角.  

在中，，，

所以 ，

所以直线与平面所成角的大小是.

（3）因为，

所以就是异面直线与所成的角（或其补角）

在中，，，，

所以

所以异面直线与所成的角大小是.

19．

求：

(1)该选手射击一次，命中不足9环的概率；

(2)该选手射击两次（两次结果互不影响），一次命中10环，一次命中8环的概率；

(3)该选手射击两次（两次结果互不影响），两次命中之和不低于18环的概率.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】(1) 用表示该选手射击一次命中环数为的概率，利用计算即可；

(2)分“第一次命中10环，第二次命中8环”，或者“第一次命中8环，第二次命中10环”，再根据互斥事件的概率计算公式计算即可；

(3)要使两次命中之和不低于18环，则包含两次命中的环数为：10，10；10，9；9，10；9，9；10，8；8，10共6种情况，再根据互斥事件的概率公式计算即可.

【详解】（1）解：用表示该选手射击一次命中环数为的概率（）

则该选手射击一次，命中不足9环的概率为:;

（2）解：该选手射击两次（两次结果互不影响），一次命中10环，一次命中8环，

分为两种情形：“第一次命中10环，第二次命中8环”，或者“第一次命中8环，第二次命中10环”，将上述事件分别记作事件A和事件B，则A、B互斥，

又事件A中“第一次命中10环”与“第二次命中8环”相互独立，

所以，同理.

所以该选手射击两次（两次结果互不影响），一次命中10环，一次命中8环的概率是；

（3）解：该选手射击两次（两次结果互不影响），两次命中之和不低于18环的概率

.

20．如图，在棱长为2的正方体中，点E是棱AB上的动点.

(1)求证：；

(2)点F、G分别是BC、CD的中点，求二面角的大小.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)建立空间坐标系，利用向量垂直的定义即可判断；(2)先分别求出两个面的法向量，求出向量角大小，观察图像，得出空间角与向量角的关系.

【详解】（1）如图，以为坐标原点，以射线、、分别为轴、

轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系.

则，，，

设，则，

∴，.  

∴，

∴

（2）易得,,

，，

设平面的法向量为，

∴，即

取，解得，

从而平面的一个法向量为.

平面的一个法向量为，

从而.

经观察，二面角为钝角，

所以二面角的大小是.

21．如图，已知是正三角形，直角梯形ACDE所在平面垂直于平面ABC，且，，，，F是BE的中点.

(1)求证：平面ABC；

(2)求证：平面平面BDE.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）由题意可知，取中点构建平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证明；（2）由面面垂直的性质定理可得平面，即可得，再根据以及勾股定理，即可证明平面，再根据面面垂直的判定定理便可得出证明.

【详解】（1）取中点，连接，如图所示；

则且.

因为，所以，

又，所以四边形是平行四边形，于是.

因为平面，平面，

所以平面.

（2）因为直角梯形所在平面垂直于平面，，

所以平面，所以，

因为，所以.

因为，是的中点，所以，且.

又是正三角形，，

所以，，

所以，从而，  

又平面，平面，且，

所以平面.  

因为平面，

所以平面平面.