专题21.4 解题技巧：一元二次方程的解法与配方法的应用（类比归纳，十大类型）-九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

这是一份专题21.4 解题技巧：一元二次方程的解法与配方法的应用（类比归纳，十大类型）-九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版），文件包含专题214解题技巧一元二次方程的解法与配方法的应用类比归纳原卷版十大类型docx、专题214解题技巧一元二次方程的解法与配方法的应用类比归纳解析版十大类型docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc16646" 【典型例题】 PAGEREF _Tc16646 \h 1
\l "_Tc25819" 【类型一 形如(x+m)2=n(n≥0)的方程可用直接开平方法】 PAGEREF _Tc25819 \h 1
\l "_Tc30427" 【类型二 当二次项系数为1，且一次项为偶数，可用配方法】 PAGEREF _Tc30427 \h 4
\l "_Tc31187" 【类型三 若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解】 PAGEREF _Tc31187 \h 7
\l "_Tc29109" 【类型四 所有一元二次方程均可用公式法求解】 PAGEREF _Tc29109 \h 10
\l "_Tc17569" 【类型五 一元二次方程的特殊解法——十字相乘法】 PAGEREF _Tc17569 \h 14
\l "_Tc9562" 【类型六 一元二次方程的特殊解法——换元法】 PAGEREF _Tc9562 \h 16
\l "_Tc6946" 【类型七 完全平方式中的配方】 PAGEREF _Tc6946 \h 20
\l "_Tc17564" 【类型八 判断代数式的正负或求最值】 PAGEREF _Tc17564 \h 22
\l "_Tc28586" 【类型九 比较两个代数式的大小】 PAGEREF _Tc28586 \h 27
\l "_Tc24636" 【类型十 利用配方法构造非负数求值】 PAGEREF _Tc24636 \h 28
【典型例题】
【类型一 形如(x+m)2=n(n≥0)的方程可用直接开平方法】
1．（2023·天津西青·统考二模）方程的两个根是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】D
【分析】根据直接开平方法求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练运用直接开平方法是解题的关键．
2．（2022春·八年级单元测试）下列哪个是一元二次方程的解（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】两边同时除以2，再两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】解：，
，
，
解得，，，
故选：C
【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，类型有：；（同号且）；；同号且．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解．
3．（2023·江苏·九年级假期作业）方程的根是_____．
【答案】
【分析】两边开方，然后解关于的一元一次方程．
【详解】解：由原方程，得．
解得．
故答案是：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：；，同号且；；，同号且．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
4．（2023春·浙江·八年级专题练习）若代数式的值为9，则的值为______．
【答案】或1/1或
【分析】根据题意列出方程，再利用直接开平方法解答，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
∴，
解得：．
故答案为：或1．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
5．（2023·全国·九年级专题练习）解方程：．
【答案】，．
【分析】利用直接开平方法解方程得出答案．
【详解】解：，
移项，得，
开方得，
即或，
，．
【点睛】此题主要考查了直接开平方法解方程，掌握直接开平方法解方程的步骤是解题的关键．
6．（2023·全国·九年级专题练习）解方程：．
【答案】，
【分析】利用直接开平方法求解即可．
【详解】解：方程整理得：，
开方得：或，
解得：，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
7．（2023·江苏·九年级假期作业）解关于的方程： ．
【答案】，
【分析】变形后利用直接开方法解方程即可．
【详解】整理得：，
∴，
∴或，
∴，．
【点睛】本题考查了直接开方法解一元二次方程，解题关键是熟记直接开平方法的解方程的步骤，准确进行计算即可．
【类型二 当二次项系数为1，且一次项为偶数，可用配方法】
1．（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）用配方法解方程时，配方后得到的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先移项得到，再把方程两边加上9，然后把方程左边用完全平方形式表示即可．
【详解】解：，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
2．（2023·全国·九年级假期作业）一元二次方程的解为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据已知的方程选择配方法解方程，求出方程的解即可．
【详解】解：，
，
，
，
∴，．
故选：B．
【点睛】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法是解题的关键．本题运用的是配方法．
3．（2023秋·陕西榆林·九年级绥德中学校考期末）将方程化成的形式是___________．
【答案】
【分析】将方程左右两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并即可得到所求的结果．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了配方法；解题的关键是掌握配方法的步骤，首先将二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数．
4．（2023·全国·九年级专题练习）把方程化成的形式，则的值是__________
【答案】9
【分析】先将方程进行配方，求出m和n的值，再代入求解即可．
【详解】解：
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
故答案为：9
【点睛】本题主要考查了将一元二次方程进行配方，解题的关键是熟练掌握配方的方法和步骤．
5．（2023秋·广东东莞·九年级校联考期末）解方程：．
【答案】，
【分析】根据配方法先配成：，然后解一元二次方程即可方法不唯一．
【详解】解：，
，
，
，
，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
6．（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）解方程：
【答案】，
【分析】利用配方法求解即可．
【详解】∵，
∴，
则，
即，
∴，
∴，
即，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，选择恰当的方法是解题的关键．
7．（2023·全国·九年级专题练习）用配方法解方程：
【答案】，
【分析】先利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程．
【详解】解：，
移项得：，
配方得：，即，
开平方得：，
解得：，．
【点睛】本题考查了运用配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法步骤是解题的关键．
8．（2023·全国·九年级假期作业）用配方法解关于的方程：．
【答案】，
【分析】先移项后，再配方得，再直接开方即可求解．
【详解】解：，
移项得：，
配方得：，即，
，
解得：，．
【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的步骤是解题的关键．
【类型三 若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解】
1．（2023春·广东揭阳·九年级统考期末）一元二次方程的解是（ ）
A．B．C．，D．，
【答案】C
【分析】利用因式分解法直接解方程即可．
【详解】解：，
可得或，
解得：，．
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握解一元二次方程的方法及根据每个方程的特点选择恰当的解法是解题的关键．
2．（2023春·浙江温州·八年级校联考期中）方程的根是（ ）
A．3和B．C．3D．和
【答案】A
【分析】先移项，再通过提公因式法因式分解，进而求根．
【详解】解：，
，
或，
或．
选A．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握相关计算技巧是解题的关键．
3．（2023·全国·九年级假期作业）方程的解为________．
【答案】，
【分析】利用因式分解法求解即可．
【详解】解：
分解因式得：，
∴或，
解得：，，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查的知识点是解一元二次方程，解题的关键是熟练的掌握因式分解法解一元二次方程．
4．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）方程的解为_______．
【答案】
【分析】先移项，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】移项得，
，
∴，
∴
解得．
故答案为：
【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．
5．（2023春·安徽淮北·八年级淮北一中校联考阶段练习）解方程：．
【答案】
【分析】利用因式分解法解方程即可
【详解】解：
或
∴
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解方程的方法是解题的关键
6．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）解方程：．
【答案】，
【分析】先移项再利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程－因式分解法，解题的关键是找准公因式．
7．（2023·江苏南京·统考二模）解方程：．
【答案】
【分析】先移项，然后利用因式分解法可进行求解．
【详解】解：
解得：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
【类型四 所有一元二次方程均可用公式法求解】
1．（2023秋·四川广安·九年级统考期末）解方程：．
【答案】，
【分析】利用求根公式法求解即可．
【详解】解：．
∵,，，
∴，
∴
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活选取解法是关键．
2．（2023秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期末）解方程：.
【答案】，
【分析】先化为一般式，然后根据公式法解一元二次方程即可求解．
【详解】解：，
，
即，
∵，，
∴
解得：，
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
3．（2023春·浙江·八年级专题练习）公式法解方程：．
【答案】，
【分析】先求出的值，再利用公式法求出x的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求根公式，准确进行计算．
4．（2023·全国·九年级专题练习）用公式法解下列一元二次方程：
(1)．
(2)．
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据求根公式代入即可解得．
（2）根据求根公式代入即可解得．
（3）根据求根公式代入即可解得．
【详解】（1）
∴
∴
（2）
∴
（3）
∴
∴
【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程，解题关键是熟悉求根公式．
5．（2023·全国·九年级专题练习）用公式法解下列方程：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据题意，先化为一般形式，然后根据公式法解一元二次方程；
（2）根据题意，利用公式法解一元二次方程即可求解；
（3）根据题意，利用公式法解一元二次方程即可求解；
（4）根据题意，利用公式法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）
化为一般形式得，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）
∵，
∴，
∴，
∴；
（3），
∵，
∴，
∴，
∴；
（4），
系数化为整数得：，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，掌握公式法是解题的关键．
6．（2023·福建泉州·统考一模）小明在解方程的过程中出现了错误，其解答如下：
解：，，，．．．．．．．．．．．．．．．．．第一步
，．．．．．．．．．．．．．第二步
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第三步
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第四步
(1)问：小明的解答是从第________步开始出错的；
(2)请写出本题正确的解答．
【答案】(1)一
(2)见解析
【分析】（1）根据等式的性质，移项需要改变移动的项的符号可得出答案；
（2）先移项，再利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：移项需要变号，
，
故答案为：一；
（2）解：，
，，，
，
，
．
【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
【类型五 一元二次方程的特殊解法——十字相乘法】
1．（2023秋·广东广州·九年级校考期末）解方程：．
【答案】，
【分析】根据因式分解法求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，常见的解法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，选择合适的解法解方程是解题的关键．
2．（2023·全国·九年级专题练习）解方程：．
【答案】
【分析】利用因式分解法解方程．
【详解】解：，
因式分解得：，
∴或，
解得：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
3．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）解一元二次方程：．
【答案】，
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：
∴，
∴或，
解得，；
【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键．
4．（2023春·北京海淀·九年级首都师范大学附属中学校考开学考试）解方程：
【答案】,
【分析】首先移项并合并同类项，再根据因式分解法求解一元二次方程，即可得到答案．
【详解】解：∵
∴
∴
∴，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握因式分解法求一元二次方程的性质，从而完成求解．
5．（2023·全国·九年级专题练习）解方程：．
【答案】，
【分析】利用因式分解法求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
或，
解得：，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
【类型六 一元二次方程的特殊解法——换元法】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）解下列方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)x1＝，x2＝，x3＝，x4＝
(2)
【分析】（1）利用换元法，先设，然后根据解一元二次方程的方法，可以得到a的值，然后即可得到该方程的解；
（2）利用换元法，先设，然后根据解一元二次方程的方法，可以得到a的值，然后即可得到该方程的解
【详解】（1）解：
设
则
或
解得，
∴或
∴或
解得，x1＝，x2＝，x3＝，x4＝；
（2）解：
设，
则
，
或，
解得，，
或，
或，
解得，
【点睛】本题考查换元法在一元二次方程的求解中的应用，掌握该方法是解题关键．
2．（2023春·浙江·八年级专题练习）请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：
已知，求的值；
解：设，则原方程可变形为．即
∴得，
∴或
已知，求的值．
【答案】6
【分析】设，将方程转化为一元二次方程，再进行求解即可．
【详解】解：设，则原方程可变形为，即
∴，
解得：；
又∵
∴．
【点睛】本题考查解一元二次方程．理解并掌握题目给出的解方程的方法，是解题的关键．注意：．
3．（2023秋·九年级单元测试）阅读材料，解答问题．
解方程：．
解：把视为一个整体，设，
则原方程可化为．
解得，．
或．
，．
以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）把看做一个整体，设，则原方程可化为， ．
(2)把看做整体，设，则原方程可化为，解得，．
【详解】（1）解：
把看做一个整体，设
则原方程可化为
解得，
∴或者
∴，
（2）解：
把看做整体，设
则原方程可化为
解得，
∴，
【点睛】本题考查了换元法解二元一次方程的方法，熟练运用换元法将次是解题的关键．
4．（2023春·八年级单元测试）（换元法）解方程：
解：设则原方程可化为
解得：
当时，，解得
当时，，解得
∴原方程的根是，
根据以上材料，请解方程：
(1)．
(2)
【答案】(1)原方程的根是；
(2)原方程的根是．
【分析】(1)设，则原方程可化为，解得的值，即可得到原方程的根；
(2)设，则原方程可化为，解得的值，检验后即可得到原方程的根．
【详解】（1）设，则原方程可化为
解得∶
当时，，解得
当时，，方程无解
原方程的根是；
（2）设，则原方程可化为
去分母，可得
解得
当时，，解得
当时，，方程无解
经检验∶都是原方程的解
原方程的根是．
【点睛】本题主要考查了运用换元法解一元二次方程以及分式方程，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
【类型七 完全平方式中的配方】
1．（2023春·陕西咸阳·七年级统考期中）如果是一个完全平方式，那么_________．
【答案】或
【分析】根据完全平方公式即可解答．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴，
∴，
故答案为或；
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）如果是一个完全平方式，那么________
【答案】4或或
【分析】由于为完全平方公式，则可为平方项，也可为2倍乘积项，分情况讨论即可得到答案．
【详解】解：∵是完全平方式，
当和为平方项时，即，
∴；
当和为平方项时，即，
∴；
当和为平方项时，即，
∴．
故填：4或或．
【点睛】本题考查完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
3．（2023春·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期中）若是完全平方公式，则的值为________．
【答案】5或
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．
【详解】解：多项式是完全平方式，
，
解得：或，
故答案为：5或．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．（2023春·江苏徐州·七年级校考阶段练习）阅读下列材料：
教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式（b、c为常数）写成（h、k为常数）的形式．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．
【知识理解】
(1)若多项式是一个完全平方式，那么常数k的值为______；
A．4 B．8 C． D．
(2)若多项式是一个完全平方式，那么常数m的值为______；
(3)配方：______；______；
【知识运用】
(4)通过配方发现，代数式有最小值，则最小值为______；
(5)已知，则______，______．
【答案】(1)C；
(2)4；
(3)，；
(4)3
(5)，；
【分析】（1）根据完全平方公式直接列式求解即可得到答案；
（2）根据完全平方公式直接列式求解即可得到答案；
（3）根据完全平方公式直接列式求解即可得到答案；
（4）根据完全平方公式直接列式求解即可得到答案；
（5）根据完全平方公式直接列式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：∵多项式是一个完全平方式，
∴，
故选：C；
（2）解：∵多项式是一个完全平方式，
∴，
故答案为：4；
（3）解：由题意可得，
，
，
故答案为：，；
（4）解：∵，
∴，
∴最小值为：3；
（5）解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，；
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握．
【类型八 判断代数式的正负或求最值】
1．（2023·江苏扬州·统考一模）已知，则的最小值是（ ）
A．8B．C．D．9
【答案】A
【分析】由已知得，注意x的取值范围，代入再配方，利用非负数的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，且即，
∴
，
∵，
∴当时，的最小值是，
故选：A．
【点睛】本题考查的是配方法的应用，非负数的性质，代数式求值，掌握完全平方公式及确定x的取值范围是解决问题的关键．
2．（2023春·山东威海·八年级统考期中）已知，，下列结论正确的是（ ）
A．的最大值是0B．的最小值是
C．当时，为正数D．当时，为负数
【答案】B
【分析】利用配方法表示出，以及时，用含的式子表示出，确定的符号，进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴
；
∴当时，有最小值；
当时，即：，
∴，
∴，
∴，即是非正数；
故选项错误，选项正确；
故选B．
【点睛】本题考查整式加减运算，配方法的应用．熟练掌握合并同类项，以及配方法，是解题的关键．
3．（2023春·广东清远·八年级校考期中）多项式的最小值是_____．
【答案】3
【分析】利用完全平方公式把多项式化成一个偶次方加常数的形式，偶次方为0时，代数式有最小值．
【详解】解：
，
∵，
∴
∴的最小值是3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了配方法的应用，解题的关键是掌握如何化为完全平方式．
4．（2023春·江苏·七年级期中）阅读材料：
求的最小值．
解：，
∵即的最小值为0，
∴的最小值为4．
解决问题：
(1)若a为任意实数，则代数式的最小值为 ．
(2)求的最大值．
(3)拓展：
①不论x，y为何实数，代数式的值 ．（填序号）
A．总不小于1 B．总不大于1 C．总不小于6 D．可为任何实数
②已知，求．
【答案】(1)
(2)5
(3)①A；②
【分析】（1）对式子利用配方法求解即可；
（2）对式子利用配方法求解即可；
（3）①对式子中的利用配方法求解即可；
②对式子进行配方，求得的值，然后代入求值即可．
【详解】（1）解：，
∵，
∴的最小值为；
故答案为：；
（2）解：，
∵，
∴，
∴，
即的最大值为5；
（3）解：①，
∵，，
∴的最小值为，故A正确．
故选：A．
②∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，完全平方公式变形计算，解题的关键是熟练掌握配方法的应用．
5．（2023春·浙江·七年级专题练习）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：，解：原式
②，利用配方法求M的最小值：
解：
因为，所以当时，M有最小值5
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式 ；
(2)用配方法因式分解；
(3)若，求M的最小值．
【答案】(1)16
(2)
(3)
【分析】（1）利用完全平方公式，加上一次项系数一半的平方即可；
（2）利用配方法分解因式即可；
（3）利用配方法得到，然后根据非负数的性质确定M的最小值．
【详解】（1）解：，
故答案为：16；
（2）解：
；
（3）解：
∵，
∴当时，M有最小值．
【点睛】本题考查了因式分解−配方法等，熟练掌握配方法和平方差公式及完全平方公式是解决问题的关键．
【类型九 比较两个代数式的大小】
1．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）已知，(m为任意实数)，则M、N的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】B
【分析】求出的结果，再判断即可．
【详解】根据题意，可知，
所以．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．
2．（2022·山东德州·统考中考真题）已知，为任意实数，则的值( )
A．大于0B．等于0C．小于0D．无法确定
【答案】A
【分析】根据整式的加减化简，然后根据配方法得出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∴的值大于0，
故选：A．
【点睛】本题考查了整式的加减，配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键．
【类型十 利用配方法构造非负数求值】
1．（2023·全国·九年级假期作业）“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，∵，∴，∴．即：的最小值是1．试利用“配方法”解决下列问题：
(1)求代数式最值；
(2)已知，求的值；
(3)比较代数式与的大小．
【答案】(1)有最小值2
(2)
(3)
【分析】（1）根据完全平方式的特征求解；
（2）先配方，再求最值；
（3）作差后配方比较大小．
【详解】（1）解：
故当，即时，代数式最小值为2；
（2）∵，则，
∴，即，，
∴，，
∴；
（3），
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查配方法的应用，正确配方，充分利用平方的非负性是求解本题的关键．
2．（2022春·广东揭阳·八年级统考期末）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式．再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如：①用配方法分解因式：，
解：原式
②，利用配方法求的最小值，
解：
∵，
∴当时，有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：______．
(2)用配方法因式分解：．
(3)若，求的最小值．
(4)已知，则的值为______．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)4
【分析】（1）根据题意，由完全平方公式，可以知道横线上是，
（2）按照题干上的示例可以将分为，再利用完全平方公式即可求解，
（3）根据题意的方法，先将因式分解为完全平方的形式即，即可求出最小值，
（4）根据题意先将因式分解，变成完全平方的形式即，然后得出，，的值，代入即可求出结果．
【详解】（1）解： ，
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：
，
∵，
∴当时，有最小值为；
（4）解：，
，
，
∵，，，
∴，
∴，，，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了利用配方法解决数学中的问题；把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法；配方法在数学中应用比较广泛，既可以利用配方法进行因式分解，也可以利用配方法求最小值，同时对于（4）中几个非负数的和为零时，可得这几个加数同时为零，求出未知数的值，这一知识在数学中经常运用，要熟练掌握．