专题2.8 二次函数重难点应用题归纳（六大题型）-2023-2024学年九年级数学上册期末复习《重难点题型》（人教版）

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【题型1 运动类- 落地类型】
【题型2 运动类- 最值类型】
【题型3 经济类问题-与一次函数综合问题】
【题型4 经济类问题-每每问题】
【题型5 面积类问题】
【题型6 拱桥类问题】
【模型1：运动类】
（1）落地模型
最值模型
【模型2：经济类】
销售问题常用等量关系 ：
利润=收入-成本； 利润=单件利润×销量 ；
【模型3：面积类】
【模型4：拱桥类】
一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．
【题型1 运动类- 落地类型】
【典例1】（2023•方城县一模）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
【变式1-1】（2023•大连模拟）已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y＝﹣（x﹣1）2+4，则该同学此次投掷实心球的成绩是（ ）
A．2mB．3mC．3.5mD．4m
【变式1-2】（2022秋•牡丹区校级期末）校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高h（m）与水平距离x（m）之间的函数关系满足h＝﹣x2+x+，则该运动员掷铅球的成绩是（ ）
A．6mB．10mC．8mD．12m
【变式1-3】（2022秋•西华县期中）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2，小球运动到最高点所需的时间是（ ）
A．2sB．3sC．4sD．5s
【变式1-4】（2023•静乐县一模）2022年的卡塔尔世界杯受到广泛关注，在半决赛中，梅西的一脚射门将足球沿着抛物线飞向球门，此时，足球距离地面的高度h与足球被踢出后经过的时间t之间的关系式为h＝﹣t2+bt．已知足球被踢出9s时落地，那么足球到达距离地面最大高度时的时间l为（ ）
A．3sB．3.5sC．4sD．4.5s
【变式1-5】（2023春•阳山县校级期中）在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝﹣x2+x+1的一部分（如图所示，水平地面为x轴，单位：m），则下列说法不正确的是（ ）
A．出球点A离点O的距离是1 m
B．羽毛球横向飞出的最远距离是3 m
C．羽毛球最高达到 m
D．当羽毛球横向飞出 m时，可到达最高点
【变式1-6】（2023•沭阳县模拟）小敏在今年的校运动会跳高比赛中跳出了满意一跳，函数h＝3.5t﹣4.9t2（t的单位：s，h的单位：m）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是 s．
【题型2 运动类- 最值类型】
【典例2】（2022秋•乐亭县期末）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来（ ）
A．10sB．20sC．30sD．40s
【变式2-1】（2021秋•厦门期末）某种爆竹点燃后升空，并在最高处燃爆．该爆竹点燃后离地高度h（单位：m）关于离地时间t（单位：s）的函数解析式是h＝20t﹣5t2，其中t的取值范围是（ ）
A．t≥0B．0≤t≤2C．2≤t≤4D．0≤t≤4
【变式2-2】（2023春•青秀区校级期末）某学校航模组设计制作的火箭升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数关系式为h＝﹣t2+14t+3，当火箭升空到最高点时，距离地面 m．
【变式2-3】（2023•襄阳模拟）某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是S＝﹣0.25t2+8t，无人机着陆后滑
行 秒才能停下来．
【变式2-4】（2023•襄城区校级二模）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣t2，飞机着陆至停下来共滑行 ．
【变式2-5】（2022秋•南岗区校级期中）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间t（单位：s）函数解析式y＝﹣1.5t2+60t，在飞机着陆滑行中，最后4秒滑行的距离是 m．
【题型3 经济类问题-与一次函数综合】
【典例3】（2023春•双峰县月考）一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？
（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为多少元？
【变式3-1】（2023春•冷水滩区校级月考）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润＝收入﹣成本）；
（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
【变式3-2】（2023•五华县校级开学）某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？
【变式3-3】（2023•汉川市校级模拟）湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本＝放养总费用+收购成本）．
（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；
（2）设这批淡水鱼放养t天后的质量为m（kg），销售单价为y元/kg．根据以往经验可知：m与t的函数关系为；y与t的函数关系如图所示．
①分别求出当0≤t≤50和50＜t≤100时，y与t的函数关系式；
②设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？并求出最大值．（利润＝销售总额﹣总成本）
【变式3-4】（2023•广水市模拟）九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天（1≤x≤90，且x为整数）的售价与销售量的相关信息如下．已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y（单位：元/件），每天的销售量为p（单位：件），每天的销售利润为w（单位：元）．
（1）求出w与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果．
【变式3-5】（2023•五华县校级开学）为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x（m2），种草所需费用y1（元）与x（m2）的函数关系式为，其图象如图所示：栽花所需费用y2（元）与x（m2）的函数关系式为y2＝﹣0.01x2﹣20x+30000（0≤x≤1000）．
（1）请直接写出k1、k2和b的值；
（2）设这块1000m2空地的绿化总费用为W（元），请利用W与x的函数关系式，求出绿化总费用W的最大值；
（3）若种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于100m2，请求出绿化总费用W的最小值．
【题型4 经济类问题-每每问题】
【典例4】（2022秋•莘县校级期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；
（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
【变式4-1】（2023•广西模拟）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．
（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）
（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
（3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？
【变式4-2】（2023•鄂伦春自治旗一模）某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件，销售价每涨1元，月销量就减少10件．设销售价为每件x元（x≥50），月销量为y件，月销售利润为w元．
（1）写出y与x的函数解析式和w与x的函数解析式；
（2）商店要在月销售成本不超过10000的情况下，使月销售利润达到8000元，销售价应定为每件多少元？
（3）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润．
【变式4-3】（2022秋•定远县期末）某宾馆有客房90间，当每间客房的定价为每天140元时，客房会全部住满．当每间客房每天的定价每涨10元时，就会有5间客房空闲．如果旅客居住客房，宾馆需对每间客房每天支出60元的各种费用．
（1）请写出该宾馆每天的利润y（元）与每间客房涨价x（元）之间的函数关系式；
（2）设某天的利润为8000元，8000元的利润是否为该天的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并指出此时客房定价应为多少元？
（3）请回答客房定价在什么范围内宾馆就可获得利润？
【题型5 面积类问题】
【典例5】（2022秋•蒙城县期末）如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．
（1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围；
（2）要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？
【变式5-1】（2022秋•庄河市期末）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？最大为多少？
【变式5-2】（2023•汶上县一模）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【变式5-3】（2023•凉山州模拟）2022年5月，教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃ABCD，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为12米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD的一边CD长为x米．
（1）矩形ABCD的另一边BC长为 米（用含的代数式表示）；
（2）若矩形ABCD的面积为63m2，求x的值；
（3）当x为何值时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为多少平方米？
【变式5-5】（2022秋•孟州市校级期末）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？
【变式5-6】（2023•青山区模拟）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600cm2的矩形纸板ABCD，如图1，再在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，底面为矩形EFGH，如图2．设小正方形的边长为x厘米．
（1）若矩形纸板ABCD的一边长为90cm，
①当纸盒的底面积为1056cm2时，求x的值；
②求纸盒的侧面积的最大值；
（2）当EH：EF＝7：2，且侧面积与底面积之比为9：7时，求x的值．
【变式5-9】（2023•青山区模拟）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600cm2的矩形纸板ABCD，如图1，再在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，底面为矩形EFGH，如图2．设小正方形的边长为x厘米．
（1）若矩形纸板ABCD的一边长为90cm，
①当纸盒的底面积为1056cm2时，求x的值；
②求纸盒的侧面积的最大值；
（2）当EH：EF＝7：2，且侧面积与底面积之比为9：7时，求x的值．
【题型6 拱桥类问题】
【典例6】（2023•碑林区校级模拟）某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角 坐标系（以AB中点为原点，抛物线对称轴所在直线为y轴）中，拱桥高度OC＝5m，跨度 AB＝20m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）拱桥下，有一加固桥身的“脚手架”矩形EFGH（H，G分别在抛物线的左右侧上），已知搭建“脚手架”EFGH的三边所用钢材长度为18.4m（EF在地面上，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点E与拱桥端点A的距离．
【变式6-1】（2023•晋中模拟）如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数，在正常水位时水面宽AB＝30米，当水位上升5米时，则水面宽CD＝（ ）
A．20米B．15米C．10米D．8米
【变式6-2】（2023•丰润区二模）如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面3m，水面宽6m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（ ）
A．B．C．y＝﹣3x2D．y＝3x2
【变式6-3】（2023•遵化市二模）如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB＝1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为多少米（ ）
A．3.2B．0.32C．2.5D．1.6
【变式6-4】（2023•榆阳区二模）廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座下方为抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是（ ）
A．米B．10米C．米D．米
【变式6-5】（2022秋•昆明期末）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m；如果水面下降4m，则水面宽度增加（ ）
A．4mB．2mC．4mD．（4﹣4）m
【变式6-6】（2023•中原区校级三模）一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度AB为20米时，拱顶点O距离水面的高度为4米．如图，以点O为坐标原点，以桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）汛期水位上涨，一艘宽为5米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米（横截面可看作是长为5m，宽为3m的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）．
【变式6-7】（2023•洛阳二模）某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．
（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2+m（k≠0）表示．求该抛物线的函数表达式；
（2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2．已知GM＝2m，求每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本）
（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？
售价x（元/千克）
…
50
60
70
80
…
销售量y（千克）
…
100
90
80
70
…
售价x（元/千克）
50
60
70
销售量y（千克）
100
80
60
时间x（天）
1
30
60
90
每天销售量p（件）
198
140
80
20