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2024年中考数学必考考点总结+题型专训（全国通用）专题09 四边形综合篇（原卷版+解析）
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这是一份2024年中考数学必考考点总结+题型专训（全国通用）专题09 四边形综合篇（原卷版+解析），共44页。试卷主要包含了求AC的长等内容，欢迎下载使用。
平行四边形的性质：
①边的性质：两组对边分别平行且相等。
②角的性质：对角相等，邻角互补。
③对角线的性质：对角线相互平分。即对角线交点是两条对角线的中点。
④对称性：平行四边形是一个中心对称图形，绕对角线交点旋转180°与原图形重合。
⑤面积计算：等于底乘底边上的高。等底等高的两个平行四边形的面积相等。
平行四边形的判定：
①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
∵AB∥DC，AB=DC，∴四边行ABCD是平行四边形
②两组对边分别相等（两组对边分别平行）的四边形是平行四边形。
符号语言：∵AB=DC，AD=BC（AB∥DC，AD∥BC），∴四边行ABCD是平行四边形．
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB，∴四边行ABCD是平行四边形
④对角线相互平行的四边形是平行四边形。
∵OA=OC，OB=OD，∴四边行ABCD是平行四边形
矩形的性质：
①具有平行四边形的一切性质。
②矩形的四个角都是直角。
③矩形的对角线相等。
④矩形既是一个中心对称图形，也是轴对称图形。对角线交点是对称中心，过一组对边中点的直线是矩形的对称。
⑤由矩形的对角线的性质可知，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
矩形的判定：
（1）直接判定：
有三个角（四个角）都是直角的四边形是矩形。
（2）利用平行四边形判定：
①定义：有一个角是直角（邻边相互垂直）的平行四边形是矩形。
②对角线的特殊性：对角线相等的平行四边形是矩形。
菱形的性质：
①具有平行四边形的一切性质。
②菱形的四条边都相等。
③菱形的对角线相互垂直，且平分每一组对角。
④菱形既是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。对称中心为对角线交点，对称轴为对角线所在直线。
⑤面积计算：除了用计算平行四边形的面积计算方法面积，还可以用对角线乘积的一半来计算面积。
菱形的判定：
（1）直接判定：
四条边都相等的四边形是菱形。
几何语言：∵AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形
（2）利用平行四边形判定：
①定义：一组领边相等的平行四边形是菱形。
②对角线的特殊性：对角线相互垂直的平行四边形是菱形。
正方形的性质：
①具有平行四边形的一切性质。
②具有矩形与菱形的一切性质。
所以正方形的四条边都相等，四个角都是直角。对角线相互平分且相等，且垂直，且平分每一组对角，把正方形分成了四个全等的等腰直角三角形。
正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形。对角线交点是对称中心，对角线所在直线是对称轴，过每一组对边中点的直线也是对称轴。
正方形的判定：
（1）利用平行四边形判定：
一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。（定义判定）
（2）利用菱形与矩形判定：
①有一个角是直角的菱形是正方形。
②对角线相等的菱形是正方形。
③邻边相等的矩形是正方形。
④对角线相互垂直的矩形是正方形。
中点四边形的判定：
①任意四边形的中点四边形是平行四边形。
②对角线相互垂直的四边形的中点四边形是矩形。（菱形的中点四边形是矩形）
③对角线相等的四边形的中点四边形是菱形。（矩形的中点四边形是菱形）
④对角线相互垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形。（正方形的中点四边形是正方形）
专题练习
1．如图，在平行四边形ABCD中，点O是AD的中点，连接BO并延长交CD的延长线于点E，连接BD，AE．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）若BD＝CD，判断四边形ABDE的形状，并说明理由．
2．如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．
求证：（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形AECF是平行四边形．
3．如图，在四边形ABDF中，点E，C为对角线BF上的两点，AB＝DF，AC＝DE，EB＝CF．连接AE，CD．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）若AE＝AC，求证：AB＝DB．
4．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，BF平分∠DBC，交CD于点F．
（1）请用尺规作∠ADB的角平分线DE，交AB于点E（要求保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据图形猜想四边形DEBF为平行四边形．
请将下面的证明过程补充完整．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠ADB＝∠ ．（两直线平行，内错角相等）
又∵DE平分∠ADB，BF平分∠DBC，
∴∠EDB＝∠ADB，∠DBF＝∠DBC．
∴∠EDB＝∠DBF．
∴DE∥ ．（ ）（填推理的依据）
又∵四边形ABCD是平行四边形．
∴BE∥DF．
∴四边形DEBF为平行四边形（ ）（填推理的依据）．
5．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．
6．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADBF是菱形；
（2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长．
7．如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．
（1）求证：四边形ABDF是矩形；
（2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S．
8．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2cm，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点H．点F从点B出发沿BD方向以2cm/s向点D匀速运动，同时，点E从点H出发沿HD方向以1cm/s向点D匀速运动．设点E，F的运动时间为t（单位：s），且0＜t＜3，过F作FG⊥BC于点G，连结EF．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）连结FC，EC，点F，E在运动过程中，△BFC与△DCE是否能够全等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．
9．小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在▱ABCD中，AN为BC边上的高，＝m，点M在AD边上，且BA＝BM，点E是线段AM上任意一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得△FBE．
（1）问题解决：如图①，当∠BAD＝60°，将△ABE沿BE翻折后，使点F与点M重合，则＝ ；
（2）问题探究：
如图②，当∠BAD＝45°，将△ABE沿BE翻折后，使EF∥BM，求∠ABE的度数，并求出此时m的最小值；
（3）拓展延伸：
当∠BAD＝30°，将△ABE沿BE翻折后，若EF⊥AD，且AE＝MD，根据题意在备用图中画出图形，并求出m的值．
10．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE＝EF＝FD，∠BAF＝∠DCE＝90°．
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）连接AE，CF，已知 ① （从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．
条件①：∠ABD＝30°；
条件②：AB＝BC．
（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）
11．下面图片是八年级教科书中的一道题．
如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证AE＝EF．（提示：取AB的中点G，连接EG．）
（1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件： ；
（2）如图1，若点E是BC边上任意一点（不与B、C重合），其他条件不变．求证：AE＝EF；
（3）在（2）的条件下，连接AC，过点E作EP⊥AC，垂足为P．
设＝k，当k为何值时，四边形ECFP是平行四边形，并给予证明．
12．已知△ABC是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）在线段AC上任取一点P（端点除外），连接PD．将线段PD绕点P逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处．请探究：当点P在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？说明理由．
（3）在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．
13．在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC＝60°，P是DF的中点，连接PG、PC．
（1）如图1，当点G在BC边上时，写出PG与PC的数量关系．（不必证明）
（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明；
（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．
14．已知∠ABN＝90°，在∠ABN内部作等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α≤90°）．点D为射线BN上任意一点（与点B不重合），连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE，连接EC并延长交射线BN于点F．
（1）如图1，当α＝90°时，线段BF与CF的数量关系是 ；
（2）如图2，当0°＜α＜90°时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）若α＝60°，AB＝4，BD＝m，过点E作EP⊥BN，垂足为P，请直接写出PD的长（用含有m的式子表示）．
15．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E不与点B，C重合），且∠EAF＝45°．
（1）当BE＝DF时，求证：AE＝AF；
（2）猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；
（3）连接AC，G是CB延长线上一点，GH⊥AE，垂足为K，交AC于点H且GH＝AE．若DF＝a，CH＝b，请用含a，b的代数式表示EF的长．
专题08 四边形综合
知识回顾
平行四边形的性质：
①边的性质：两组对边分别平行且相等。
②角的性质：对角相等，邻角互补。
③对角线的性质：对角线相互平分。即对角线交点是两条对角线的中点。
④对称性：平行四边形是一个中心对称图形，绕对角线交点旋转180°与原图形重合。
⑤面积计算：等于底乘底边上的高。等底等高的两个平行四边形的面积相等。
平行四边形的判定：
①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
∵AB∥DC，AB=DC，∴四边行ABCD是平行四边形
②两组对边分别相等（两组对边分别平行）的四边形是平行四边形。
符号语言：∵AB=DC，AD=BC（AB∥DC，AD∥BC），∴四边行ABCD是平行四边形．
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB，∴四边行ABCD是平行四边形
④对角线相互平行的四边形是平行四边形。
∵OA=OC，OB=OD，∴四边行ABCD是平行四边形
矩形的性质：
①具有平行四边形的一切性质。
②矩形的四个角都是直角。
③矩形的对角线相等。
④矩形既是一个中心对称图形，也是轴对称图形。对角线交点是对称中心，过一组对边中点的直线是矩形的对称。
⑤由矩形的对角线的性质可知，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
矩形的判定：
（1）直接判定：
有三个角（四个角）都是直角的四边形是矩形。
（2）利用平行四边形判定：
①定义：有一个角是直角（邻边相互垂直）的平行四边形是矩形。
②对角线的特殊性：对角线相等的平行四边形是矩形。
菱形的性质：
①具有平行四边形的一切性质。
②菱形的四条边都相等。
③菱形的对角线相互垂直，且平分每一组对角。
④菱形既是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。对称中心为对角线交点，对称轴为对角线所在直线。
⑤面积计算：除了用计算平行四边形的面积计算方法面积，还可以用对角线乘积的一半来计算面积。
菱形的判定：
（1）直接判定：
四条边都相等的四边形是菱形。
几何语言：∵AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形
（2）利用平行四边形判定：
①定义：一组领边相等的平行四边形是菱形。
②对角线的特殊性：对角线相互垂直的平行四边形是菱形。
正方形的性质：
①具有平行四边形的一切性质。
②具有矩形与菱形的一切性质。
所以正方形的四条边都相等，四个角都是直角。对角线相互平分且相等，且垂直，且平分每一组对角，把正方形分成了四个全等的等腰直角三角形。
正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形。对角线交点是对称中心，对角线所在直线是对称轴，过每一组对边中点的直线也是对称轴。
正方形的判定：
（1）利用平行四边形判定：
一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。（定义判定）
（2）利用菱形与矩形判定：
①有一个角是直角的菱形是正方形。
②对角线相等的菱形是正方形。
③邻边相等的矩形是正方形。
④对角线相互垂直的矩形是正方形。
中点四边形的判定：
①任意四边形的中点四边形是平行四边形。
②对角线相互垂直的四边形的中点四边形是矩形。（菱形的中点四边形是矩形）
③对角线相等的四边形的中点四边形是菱形。（矩形的中点四边形是菱形）
④对角线相互垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形。（正方形的中点四边形是正方形）
专题练习
1．如图，在平行四边形ABCD中，点O是AD的中点，连接BO并延长交CD的延长线于点E，连接BD，AE．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）若BD＝CD，判断四边形ABDE的形状，并说明理由．
【分析】（1）证△ABO≌△DEO（AAS），得OB＝OE，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得AB＝CD，再证AB＝BD，然后由菱形的判定即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABO＝∠DEO，
∵点O是边AD的中点，
∴AO＝DO，
在△ABO和△DEO中，
，
∴△ABO≌△DEO（AAS），
∴OB＝OE，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）解：四边形ABDE是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵BD＝CD，
∴AB＝BD，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴平行四边形ABDE是菱形．
2．如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．
求证：（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形AECF是平行四边形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，根据平行线的性质得到∠ABD＝∠CDB，利用SAS定理证明△ABE≌△CDF；
（2）根据全等三角形的性质得到AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，根据平行线的判定定理证明AE∥CF，再根据平行四边形的判定定理证明结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）由（1）可知，△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，即∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∵AE＝CF，AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
3．如图，在四边形ABDF中，点E，C为对角线BF上的两点，AB＝DF，AC＝DE，EB＝CF．连接AE，CD．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）若AE＝AC，求证：AB＝DB．
【分析】（1）根据等式的性质可得BC＝EF，从而利用SSS证明△ABC≌△DFE，然后利用全等三角形的性质可得∠ABC＝∠DFE，从而可得AB∥DF，即可解答；
（2）连接AD交BF于点O，利用平行四边形的性质可得OB＝OF，从而可得OE＝OC，再利用等腰三角形的性质可得AO⊥EC，然后证明四边形ABDF是菱形，即可解答．
【解答】证明：（1）∵EB＝CF，
∴EB+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
∵AB＝DF，AC＝DE，
∴△ABC≌△DFE（SSS），
∴∠ABC＝∠DFE，
∴AB∥DF，
∴四边形ABDF是平行四边形；
（2）连接AD交BF于点O，
∵四边形ABDF是平行四边形，
∴OB＝OF，
∵BE＝CF，
∴OB﹣BE＝OF﹣CF，
∴OE＝OC，
∵AE＝AC，
∴AO⊥EC，
∴四边形ABDF是菱形，
∴AB＝BD．
4．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，BF平分∠DBC，交CD于点F．
（1）请用尺规作∠ADB的角平分线DE，交AB于点E（要求保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据图形猜想四边形DEBF为平行四边形．
请将下面的证明过程补充完整．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠ADB＝∠ ．（两直线平行，内错角相等）
又∵DE平分∠ADB，BF平分∠DBC，
∴∠EDB＝∠ADB，∠DBF＝∠DBC．
∴∠EDB＝∠DBF．
∴DE∥ ．（ ）（填推理的依据）
又∵四边形ABCD是平行四边形．
∴BE∥DF．
∴四边形DEBF为平行四边形（ ）（填推理的依据）．
【分析】（1）根据作已知角的角平分线步骤作图即可；
（2）根据平行线的性质及判定分别填空即可．
【解答】解：（1）作图如下：
DE即为所求；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠ADB＝∠DBC．（两直线平行，内错角相等）
又∵DE平分∠ADB，BF平分∠DBC，
∴∠EDB＝∠ADB，∠DBF＝∠DBC．
∴∠EDB＝∠DBF．
∴DE∥BF．（内错角相等，两直线平行）（填推理的依据）
又∵四边形ABCD是平行四边形．
∴BE∥DF．
∴四边形DEBF为平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）（填推理的依据）．
故答案为：DBC，BF，内错角相等，两直线平行，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
5．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．
【分析】（1）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形AECD是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质可证AD＝CD，可得结论；
（2）由菱形的性质可求AE＝BE＝CE＝2，由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求BC，AC的长，即可求解．
【解答】（1）证明：∵E为AB中点，
∴AB＝2AE＝2BE，
∵AB＝2CD，
∴CD＝AE，
又∵AE∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠EAC，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∴平行四边形AECD是菱形；
（2）∵四边形AECD是菱形，∠D＝120°，
∴AD＝CD＝CE＝AE＝2，∠D＝120°＝∠AEC，
∴AE＝CE＝BE，∠CEB＝60°，
∴∠CAE＝30°＝∠ACE，△CEB是等边三角形，
∴BE＝BC＝EC＝2，∠B＝60°，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝BC＝2，
∴S△ABC＝×AC×BC＝×2×2＝2．
6．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADBF是菱形；
（2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长．
【分析】（1）利用平行线的性质可得∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE，利用中点的定义可得AE＝DE，从而证明△FAE≌△CDE，然后利用全等三角形的性质可得AF＝CD，再根据D是BC的中点，可得AF＝BD，从而可证四边形AFBD是平行四边形，最后利用直角三角形斜边上的中线可得BD＝AD，从而利用菱形的判定定理即可解答；
（2）利用（1）的结论可得菱形ADBF的面积＝2△ABD的面积，再根据点D是BC的中点，可得△ABC的面积＝2△ABD的面积，进而可得菱形ADBF的面积＝△ABC的面积，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∴△FAE≌△CDE（AAS），
∴AF＝CD，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝BD＝BC，
∴四边形ADBF是菱形；
（2）解：∵四边形ADBF是菱形，
∴菱形ADBF的面积＝2△ABD的面积，
∵点D是BC的中点，
∴△ABC的面积＝2△ABD的面积，
∴菱形ADBF的面积＝△ABC的面积＝40，
∴AB•AC＝40，
∴×8•AC＝40，
∴AC＝10，
∴AC的长为10．
7．如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．
（1）求证：四边形ABDF是矩形；
（2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S．
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，得∠BAE＝∠FDE，而点E是AD的中点，可得△BEA≌△FED（ASA），即知EF＝EB，从而四边形ABDF是平行四边形，又∠BDF＝90°，即得四边形ABDF是矩形；
（2）由∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，得AF＝＝＝4，S矩形ABDF＝DF•AF＝12，四边形ABCD是平行四边形，得CD＝AB＝3，从而S△BCD＝BD•CD＝6，即可得四边形ABCF的面积S为18．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，
∴∠BAE＝∠FDE，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△BEA和△FED中，
，
∴△BEA≌△FED（ASA），
∴EF＝EB，
又∵AE＝DE，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∵∠BDF＝90°．
∴四边形ABDF是矩形；
（2）解：由（1）得四边形ABDF是矩形，
∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，
∴AF＝＝＝4，
∴S矩形ABDF＝DF•AF＝3×4＝12，BD＝AF＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，
∴S△BCD＝BD•CD＝×4×3＝6，
∴四边形ABCF的面积S＝S矩形ABDF+S△BCD＝12+6＝18，
答：四边形ABCF的面积S为18．
8．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2cm，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点H．点F从点B出发沿BD方向以2cm/s向点D匀速运动，同时，点E从点H出发沿HD方向以1cm/s向点D匀速运动．设点E，F的运动时间为t（单位：s），且0＜t＜3，过F作FG⊥BC于点G，连结EF．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）连结FC，EC，点F，E在运动过程中，△BFC与△DCE是否能够全等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据平行线的判定定理得到EH∥FG，由题意知BF＝2tcm，EH＝tcm，推出四边形EFGH是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到四边形EFGH是矩形；
（2）根据菱形的性质得到∠ABC＝60°，AB＝2cm，求得∠ADC＝∠ABC＝60°，CD＝AB＝2cm，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵EH⊥BC，FG⊥BC，
∴EH∥FG，
由题意知BF＝2tcm，EH＝tcm，
∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∴FG＝BF＝tcm，
∴EH＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵∠FGH＝90°，
∴四边形EFGH是矩形；
（2）△BFC与△DCE能够全等，
理由：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2cm，
∴∠ADC＝∠ABC＝60°，CD＝AB＝2cm，AB∥CD，
∴∠CBD＝∠CDB＝30°，∠DCH＝∠ABC＝60°，
∵DH⊥BC，
∴∠CHD＝90°，
∴∠CDH＝90°﹣60°＝30°＝∠CBF，
在Rt△CDH中，cs∠CDH＝，
∴DH＝2×＝3，
∵BF＝2tcm，
∴EH＝tcm，
∴DE＝（3﹣t）cm，
∴当BF＝DE时，△BFC≌△DEC，
∴2t＝3﹣t，
∴t＝1．
9．小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在▱ABCD中，AN为BC边上的高，＝m，点M在AD边上，且BA＝BM，点E是线段AM上任意一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得△FBE．
（1）问题解决：如图①，当∠BAD＝60°，将△ABE沿BE翻折后，使点F与点M重合，则＝ ；
（2）问题探究：
如图②，当∠BAD＝45°，将△ABE沿BE翻折后，使EF∥BM，求∠ABE的度数，并求出此时m的最小值；
（3）拓展延伸：
当∠BAD＝30°，将△ABE沿BE翻折后，若EF⊥AD，且AE＝MD，根据题意在备用图中画出图形，并求出m的值．
【分析】（1）根据等边三角形的性质，平行四边形的性质可得，根据特殊角的三角函数值即可求解；
（2）根据折叠的性质即可求得∠AEB的度数，由三角形内角和定理可得∠ABE的度数，根据点M在AD边上，当AD＝AM时，m取得最小值，从而求解；
（3）连接FM，设AN＝a，然后结合勾股定理分析求解．
【解答】解：（1）∵BA＝BM，∠BAD＝60°∴△ABM是等边三角形，
∴AB＝AM＝BM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ABN＝∠BAM＝60°，
∵AN为BC边上的高，
∴＝＝，
故答案为：；
（2）∵∠BAD＝45°，BA＝BM，
∴△AMB是等腰直角三角形，
∴∠MBC＝∠AMB＝45°，
∵EF∥BM，
∴∠FEM＝∠AMB＝45°，
∴∠AEB＝∠FEB＝（180°+45°）＝112.5°，
∵AD∥NC，
∴∠BAE＝∠ABN＝45°，
∴∠ABE＝180°﹣∠AEB﹣∠BAE＝22.5°，
∵＝m，△AMB是等腰直角三角形，AN为底边上的高，则AN＝AM，
∵点M在AD边上，
∴当AD＝AM时，m取得最小值，最小值为＝2，
（3）如图，连接FM，延长EF交NC于点G，
∵∠BAD＝30°，则∠ABN＝30°，
设AN＝a，则AB＝2a，NB＝a，
∵EF⊥AD，
∴∠AEB＝∠FEB＝（180°+90°）＝135°，
∵∠EAB＝∠BAD＝30°，
∴∠ABE＝15°，
∴∠ABF＝30°，
∵AB＝BM，∠BAD＝30°，
∴∠ABM＝120°，
∵∠MBC＝∠AMB＝30°，
∴∠FBM＝90°，
在Rt△FBM中，FB＝AB＝BM，
∴FM＝FB＝2a，
∴EG⊥GB，
∵∠EBG＝∠ABE+∠ABN＝45°，
∴GB＝EG＝a，
∵NB＝a，
∴AE＝EF＝MD＝（﹣1）a，
在Rt△EFM中，EM＝＝（+1）a，
∴AD＝AE+EM+MD＝2AE+EM＝（3﹣1）a，
同理，当点F落在BC下方时，
AD＝（3+1）a
∴m＝＝3±1．
10．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE＝EF＝FD，∠BAF＝∠DCE＝90°．
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）连接AE，CF，已知 ① （从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．
条件①：∠ABD＝30°；
条件②：AB＝BC．
（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）
【分析】（1）由等式的性质得BF＝DE，由平行线的性质得∠ABF＝∠CDE，从而利用AAS证明△ABF≌△CDE；
（2）若选择①，由（1）可说明AF∥CE，则四边形AECF是平行四边形，由直角三角形斜边上中线的性质得AE＝，利用含30°角的直角三角形的性质得AF＝，则AE＝AF，从而▱AECF是菱形；若选择②连接AC交BD于点O，同理可得四边形AECF是平行四边形，利用等腰三角形的性质可得BO⊥AC，即EF⊥AC，从而证明结论．
【解答】（1）证明：∵BE＝FD，
∴BE+EF＝FD+EF，
∴BF＝DE，
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠CDE，
在△ABF和△CDE中，
∴△ABF≌△CDE（AAS）；
（2）解：若选择条件①：
四边形AECF是菱形，理由如下：
由（1）得，△ABF≌△CDE，
∴AF＝CE，∠AFB＝∠CED，
∴AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠BAF＝90°，BE＝EF，
∴AE＝，
∵∠BAF＝90°，∠ABD＝30°，
∴AF＝，
∴AE＝AF，
∴▱AECF是菱形；
若选择条件②：
四边形AECF是菱形，理由如下：
连接AC交BD于点O，
由①得：△ABF≌△CDE，
∴AF＝CE，∠AFB＝∠CED，
∴AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AO＝CO，
∵AB＝BC，
∴BO⊥AC，
即EF⊥AC，
∴▱AECF是菱形．
故答案为：①（答案不唯一）．
11．下面图片是八年级教科书中的一道题．
如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证AE＝EF．（提示：取AB的中点G，连接EG．）
（1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件： ；
（2）如图1，若点E是BC边上任意一点（不与B、C重合），其他条件不变．求证：AE＝EF；
（3）在（2）的条件下，连接AC，过点E作EP⊥AC，垂足为P．
设＝k，当k为何值时，四边形ECFP是平行四边形，并给予证明．
【分析】（1）根据点E为BC的中点，可得答案；
（2）取AG＝EC，连接EG，首先说明△BGE是等腰直角三角形，再证明△GAE≌△CEF，可得答案；
（3）设BC＝x，则BE＝kx，则GE＝kx，EC＝（1﹣k）x，再利用等腰直角三角形的性质表示EP的长，利用平行四边形的判定可得只要EP＝FC，即可解决问题．
【解答】（1）解：∵点E为BC的中点，
∴BE＝CE，
∵点G为AB的中点，
∴BG＝AG，
∴AG＝CE，
故答案为：AG＝CE；
（2）证明：取AG＝EC，连接EG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∵AG＝CE，
∴BG＝BE，
∴△BGE是等腰直角三角形，
∴∠BGE＝∠BEG＝45°，
∴∠AGE＝∠ECF＝135°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠FEC＝∠BAE，
∴△GAE≌△CEF（ASA），
∴AE＝EF；
（3）解：k＝时，四边形PECF是平行四边形，如图，
由（2）知，△GAE≌△CEF，
∴CF＝EG，
设BC＝x，则BE＝kx，
∴GE＝kx，EC＝（1﹣k）x，
∵EP⊥AC，
∴△PEC是等腰直角三角形，
∴∠PEC＝45°，
∴∠PEC+∠ECF＝180°，
∴PE∥CF，
∴PE＝（1﹣k）x，
当PE＝CF时，四边形PECF是平行四边形，
∴（1﹣k）x＝kx，
解得k＝．
12．已知△ABC是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）在线段AC上任取一点P（端点除外），连接PD．将线段PD绕点P逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处．请探究：当点P在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？说明理由．
（3）在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．
【分析】（1）根据菱形的判定定理和轴对称图形的性质解答即可；
（2）连接PB，过点P分别作PE∥CB交AB于点E，PF⊥AB于点F，根据全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质，轴对称图形的性质解答即可；
（3）根据等腰三角形的性质解答即可．
【解答】（1）证明：连接BD，
等边△ABC中，AB＝BC＝AC，
∵点B、D关于直线AC对称，
∴DC＝BC，AD＝AB，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：当点P在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ的大小不发生变化，始终等于60°，理由如下：
∵将线段PD绕点P逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处，
∴PQ＝PD，
等边△ABC中，AB＝BC＝AC，
∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
连接PB，过点P分别作PE∥CB交AB于点E，PF⊥AB于点F，如图
则∠APE＝∠ACB＝60°，∠AEP＝∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝∠APE＝∠AEP＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴AP＝EP＝AE，
而PF⊥AB，
∴∠APF＝∠EPF，
∵点B，D关于直线AC对称，点P在线段AC上，
∴PB＝PD，∠DPA＝∠BPA，
∴PQ＝PB，
∴∠PDA＝∠PBA，∠PBA＝∠PQA，
∴∠PDA＝∠PQB
∴∠DPQ＝∠DAQ＝60°；
（3）解：在满足（2）的条件下，线段AQ与CP之间的数量关系是AQ＝CP，证明如下：
∵AC＝AB，AP＝AE，
∴AC﹣AP＝AB﹣AE，
即CP＝BE，
∵AP＝EP，PF⊥AB，
∴AF＝FE，
∵PQ＝PB，PF⊥AB，
∴QF＝BF，
∴QF﹣AF＝BF﹣EF，
即AQ＝BE，
∴AQ＝CP．
13．在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC＝60°，P是DF的中点，连接PG、PC．
（1）如图1，当点G在BC边上时，写出PG与PC的数量关系．（不必证明）
（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明；
（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．
【分析】（1）延长GP交DC于点E，利用△PED≌△PGF，得出PE＝PG，DE＝FG，得到CE＝CG，CP是EG的中垂线，在Rt△CPG中，利用正切函数即可求解；
（2）延长GP交DA于点E，连接EC，GC，先证明△PED≌△PGF，再证明△CDE≌△CBG，利用在Rt△CPG中，∠PCG＝60°，即可求解；
（3）延长GP到H，使PH＝PG，连接CH，CG，DH，作EF∥DC，先证△GFP≌△HDP，再证△HDC≌△GBC，利用在Rt△CPG中，∠PCG＝60°，即可求解．
【解答】解：（1）PG＝PC；
如图1，延长GP交DC于点E，
∵P是DF的中点，
∴PD＝PF，
∵△BGF是正三角形，
∴∠BGF＝60°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BGF＝∠ABC，
∴AB∥GF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴CD∥GF，
∴∠CDP＝∠PFG，
在△PED和△PGF中，
，
∴△PED≌△PGF（ASA），
∴PE＝PG，DE＝FG，
∵△BGF是正三角形，
∴FG＝BG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，
∴CE＝CG，
∴CP是EG的垂直平分线，
在Rt△CPG中，∠PCG＝60°，
∴PG＝tan∠PCG•PC＝PC；
（2）猜想：PG＝PC，证明如下：
如图2，延长GP交DA于点E，连接EC，GC，
∵∠ABC＝60°，△BGF是等边三角形，
∴GF∥BC∥AD，
∴∠EDP＝∠GFP，
在△PED和△PGF中，
，
∴△PED≌△PGF（ASA），
∴PE＝PG，DE＝FG＝BG，
在△CDE和△CBG中，
，
∴△CDE≌△CBG（SAS），
∴CE＝CG，∠DCE＝∠BCG，
∴∠ECG＝∠DCB＝120°，
∵PE＝PG，
∴CP⊥PG，∠PCG＝∠ECG＝60°，
∴PG＝tan∠PCG•PC＝PC；
（3）猜想：PG＝PC，
如图3，延长GP到H，使PH＝PG，连接CH，CG，DH，过点F作EF∥DC，
∵P是线段DF的中点，
∴FP＝DP，
∴∠GPF＝∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GF＝HD，∠GFP＝∠HDP，
∵∠GFP+∠PFE＝120°，∠PFE＝∠PDC，
∴∠CDH＝∠HDP+∠PDC＝120°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠ADC＝∠ABC＝60°，点A，B，G，在同一直线上，
∴∠GBC＝120°，
∵四边形BEFG是菱形，
∴GF＝GB，
∴HD＝GB，
∴△HDC≌△GBC（SAS），
∴CH＝CG，∠DCH＝∠BCG，
∴∠DCH+∠HCB＝∠BCG+∠HCB＝120°，即∠HCG＝120°，
∵CH＝CG，PH＝PG，
∴PG⊥PC，∠GCP＝∠HCP＝60°，
∴PG＝tan∠PCG•PC＝PC．
14．已知∠ABN＝90°，在∠ABN内部作等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α≤90°）．点D为射线BN上任意一点（与点B不重合），连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE，连接EC并延长交射线BN于点F．
（1）如图1，当α＝90°时，线段BF与CF的数量关系是 ；
（2）如图2，当0°＜α＜90°时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）若α＝60°，AB＝4，BD＝m，过点E作EP⊥BN，垂足为P，请直接写出PD的长（用含有m的式子表示）．
【分析】（1）连接AF，先根据“SAS”证明△ACE≌△ABD，得出∠ACE＝∠ABD＝90°，再证明Rt△ABF≌Rt△ACF，即可得出结论；
（2）连接AF，先说明∠EAC＝∠BAD，然后根据“SAS”证明△ACE≌△ABD，得出∠ACE＝∠ABD＝90°，再证明Rt△ABF≌Rt△ACF，即可得出结论；
（3）先根据α＝60°，AB＝AC，得出△ABC为等边三角形，再按照∠BAD的大小分三种情况进行讨论，得出结果即可．
【解答】解：（1）BF＝CF；理由如下：
连接AF，如图所示：
根据旋转可知，∠DAE＝α＝90°，AE＝AD，
∵∠BAC＝90°，
∴∠EAC+∠CAD＝90°，∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠EAC＝∠BAD，
在△ACE和△ABD中，
，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD＝90°，
∴∠ACF＝90°，
在Rt△ABF与Rt△ACF中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△ACF（HL），
∴BF＝CF，
故答案为：BF＝CF；
（2）成立，理由如下：
如图2，连接AF，
根据旋转可知，∠DAE＝α，AE＝AD，
∵∠BAC＝α，
∴∠EAC﹣∠CAD＝α，∠BAD﹣∠CAD＝α，
∴∠EAC＝∠BAD，
在△ACE和△ABD中，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD＝90°，
∴∠ACF＝90°，
在Rt△ABF与Rt△ACF中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△ACF（HL），
∴BF＝CF；
（3）∵α＝60°，AB＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC＝4，
①当∠BAD＜60°时，连接AF，如图所示：
∵Rt△ABF≌Rt△ACF，
∴∠BAF＝∠CAF＝∠BAC＝30°，
在Rt△ABF中，＝tan30°，
，
即CF＝BF＝4；
根据（2）可知，△ACE≌△ABD，
∴CE＝BD＝m，
∴EF＝CF+CE＝4+m，∠FBC＝∠FCB＝90°﹣60°＝30°，
∴∠EFP＝∠FBC+∠FCB＝60°，
又∵∠EPF＝90°，
∴∠FEP＝90°﹣60°＝30°，
∴PF＝EF＝2+m，
∴BP＝BF+PF＝6+m，
∴PD＝BP﹣BD＝6﹣m；
②当∠BAD＝60°时，AD与AC重合，如图所示：
∵∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴△ADE为等边三角形，
∴∠ADE＝60°，
∵∠ADB＝90°﹣∠BAC＝30°，
∴∠ADE＝90°，
∴此时点P与点D重合，PD＝0；
③当∠BAD＞60°时，连接AF，如图所示：
∵Rt△ABF≌Rt△ACF，
∴∠BAF＝∠CAF＝∠BAC＝30°，
在Rt△ABF中，＝tan30°，
，
即CF＝BF＝4；
根据（2）可知，△ACE≌△ABD，
∴CE＝BD＝m，
∴EF＝CF+CE＝4+m，∠FBC＝∠FCB＝90°﹣60°＝30°，
∴∠EFP＝∠FBC+∠FCB＝60°，
又∵∠EPF＝90°，
∴∠FEP＝90°﹣60°＝30°，
∴PF＝EF＝2+m，
∴BP＝BF+PF＝6+m，
∴PD＝BD﹣BP＝m﹣6，
综上，PD的值为6﹣m或0或m﹣6．
15．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E不与点B，C重合），且∠EAF＝45°．
（1）当BE＝DF时，求证：AE＝AF；
（2）猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；
（3）连接AC，G是CB延长线上一点，GH⊥AE，垂足为K，交AC于点H且GH＝AE．若DF＝a，CH＝b，请用含a，b的代数式表示EF的长．
【分析】（1）证明△ABE≌△ADF，从而得出结论；
（2）在CD的延长线上截取DG＝BE，类比（1）可证得△ABE≌△ADG，进而证明△GAF≌△EAF，进一步得出结论；
（3）作HR⊥BC于R，证明△ABE≌△GRH，从而BE＝HR，在Rt△CRH中可得出HR＝b•sin45°＝，进而BE＝，根据（2）可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF；
（2）解：如图1，
BE+DF＝EF，理由如下：
在CD的延长线上截取DG＝BE，
同理（1）可得：△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AG＝AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝45°，
∴∠DAG+∠DAF＝45°，
即：∠GAF＝45°，
∴∠GAF＝∠EAF，
在△GAF和△EAF中，
，
∴△GAF≌△EAF（SAS），
∴FG＝EF，
∴DG+DF＝EF，
∴BE+DF＝EF；
（3）如图2，
作HR⊥BC于R，
∴∠HRG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°，
∴∠ABE＝∠HRG，∠BAE+∠AEB＝90°，
∵GH⊥AE，
∴∠EKG＝90°，
∴∠G+∠AEB＝90°，
∴∠G＝∠BAE，
在△ABE和△GRH中，
，
∴△ABE≌△GRH（AAS），
∴BE＝HR，
在Rt△CRH中，∠ACB＝45°，CH＝b，
∴HR＝b•sin45°＝，
∴BE＝，
∴EF＝BE+DF＝．
平行四边形的性质：
①边的性质：两组对边分别平行且相等。
②角的性质：对角相等，邻角互补。
③对角线的性质：对角线相互平分。即对角线交点是两条对角线的中点。
④对称性：平行四边形是一个中心对称图形，绕对角线交点旋转180°与原图形重合。
⑤面积计算：等于底乘底边上的高。等底等高的两个平行四边形的面积相等。
平行四边形的判定：
①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
∵AB∥DC，AB=DC，∴四边行ABCD是平行四边形
②两组对边分别相等（两组对边分别平行）的四边形是平行四边形。
符号语言：∵AB=DC，AD=BC（AB∥DC，AD∥BC），∴四边行ABCD是平行四边形．
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB，∴四边行ABCD是平行四边形
④对角线相互平行的四边形是平行四边形。
∵OA=OC，OB=OD，∴四边行ABCD是平行四边形
矩形的性质：
①具有平行四边形的一切性质。
②矩形的四个角都是直角。
③矩形的对角线相等。
④矩形既是一个中心对称图形，也是轴对称图形。对角线交点是对称中心，过一组对边中点的直线是矩形的对称。
⑤由矩形的对角线的性质可知，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
矩形的判定：
（1）直接判定：
有三个角（四个角）都是直角的四边形是矩形。
（2）利用平行四边形判定：
①定义：有一个角是直角（邻边相互垂直）的平行四边形是矩形。
②对角线的特殊性：对角线相等的平行四边形是矩形。
菱形的性质：
①具有平行四边形的一切性质。
②菱形的四条边都相等。
③菱形的对角线相互垂直，且平分每一组对角。
④菱形既是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。对称中心为对角线交点，对称轴为对角线所在直线。
⑤面积计算：除了用计算平行四边形的面积计算方法面积，还可以用对角线乘积的一半来计算面积。
菱形的判定：
（1）直接判定：
四条边都相等的四边形是菱形。
几何语言：∵AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形
（2）利用平行四边形判定：
①定义：一组领边相等的平行四边形是菱形。
②对角线的特殊性：对角线相互垂直的平行四边形是菱形。
正方形的性质：
①具有平行四边形的一切性质。
②具有矩形与菱形的一切性质。
所以正方形的四条边都相等，四个角都是直角。对角线相互平分且相等，且垂直，且平分每一组对角，把正方形分成了四个全等的等腰直角三角形。
正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形。对角线交点是对称中心，对角线所在直线是对称轴，过每一组对边中点的直线也是对称轴。
正方形的判定：
（1）利用平行四边形判定：
一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。（定义判定）
（2）利用菱形与矩形判定：
①有一个角是直角的菱形是正方形。
②对角线相等的菱形是正方形。
③邻边相等的矩形是正方形。
④对角线相互垂直的矩形是正方形。
中点四边形的判定：
①任意四边形的中点四边形是平行四边形。
②对角线相互垂直的四边形的中点四边形是矩形。（菱形的中点四边形是矩形）
③对角线相等的四边形的中点四边形是菱形。（矩形的中点四边形是菱形）
④对角线相互垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形。（正方形的中点四边形是正方形）
专题练习
1．如图，在平行四边形ABCD中，点O是AD的中点，连接BO并延长交CD的延长线于点E，连接BD，AE．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）若BD＝CD，判断四边形ABDE的形状，并说明理由．
2．如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．
求证：（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形AECF是平行四边形．
3．如图，在四边形ABDF中，点E，C为对角线BF上的两点，AB＝DF，AC＝DE，EB＝CF．连接AE，CD．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）若AE＝AC，求证：AB＝DB．
4．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，BF平分∠DBC，交CD于点F．
（1）请用尺规作∠ADB的角平分线DE，交AB于点E（要求保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据图形猜想四边形DEBF为平行四边形．
请将下面的证明过程补充完整．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠ADB＝∠ ．（两直线平行，内错角相等）
又∵DE平分∠ADB，BF平分∠DBC，
∴∠EDB＝∠ADB，∠DBF＝∠DBC．
∴∠EDB＝∠DBF．
∴DE∥ ．（ ）（填推理的依据）
又∵四边形ABCD是平行四边形．
∴BE∥DF．
∴四边形DEBF为平行四边形（ ）（填推理的依据）．
5．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．
6．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADBF是菱形；
（2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长．
7．如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．
（1）求证：四边形ABDF是矩形；
（2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S．
8．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2cm，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点H．点F从点B出发沿BD方向以2cm/s向点D匀速运动，同时，点E从点H出发沿HD方向以1cm/s向点D匀速运动．设点E，F的运动时间为t（单位：s），且0＜t＜3，过F作FG⊥BC于点G，连结EF．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）连结FC，EC，点F，E在运动过程中，△BFC与△DCE是否能够全等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．
9．小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在▱ABCD中，AN为BC边上的高，＝m，点M在AD边上，且BA＝BM，点E是线段AM上任意一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得△FBE．
（1）问题解决：如图①，当∠BAD＝60°，将△ABE沿BE翻折后，使点F与点M重合，则＝ ；
（2）问题探究：
如图②，当∠BAD＝45°，将△ABE沿BE翻折后，使EF∥BM，求∠ABE的度数，并求出此时m的最小值；
（3）拓展延伸：
当∠BAD＝30°，将△ABE沿BE翻折后，若EF⊥AD，且AE＝MD，根据题意在备用图中画出图形，并求出m的值．
10．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE＝EF＝FD，∠BAF＝∠DCE＝90°．
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）连接AE，CF，已知 ① （从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．
条件①：∠ABD＝30°；
条件②：AB＝BC．
（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）
11．下面图片是八年级教科书中的一道题．
如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证AE＝EF．（提示：取AB的中点G，连接EG．）
（1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件： ；
（2）如图1，若点E是BC边上任意一点（不与B、C重合），其他条件不变．求证：AE＝EF；
（3）在（2）的条件下，连接AC，过点E作EP⊥AC，垂足为P．
设＝k，当k为何值时，四边形ECFP是平行四边形，并给予证明．
12．已知△ABC是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）在线段AC上任取一点P（端点除外），连接PD．将线段PD绕点P逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处．请探究：当点P在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？说明理由．
（3）在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．
13．在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC＝60°，P是DF的中点，连接PG、PC．
（1）如图1，当点G在BC边上时，写出PG与PC的数量关系．（不必证明）
（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明；
（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．
14．已知∠ABN＝90°，在∠ABN内部作等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α≤90°）．点D为射线BN上任意一点（与点B不重合），连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE，连接EC并延长交射线BN于点F．
（1）如图1，当α＝90°时，线段BF与CF的数量关系是 ；
（2）如图2，当0°＜α＜90°时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）若α＝60°，AB＝4，BD＝m，过点E作EP⊥BN，垂足为P，请直接写出PD的长（用含有m的式子表示）．
15．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E不与点B，C重合），且∠EAF＝45°．
（1）当BE＝DF时，求证：AE＝AF；
（2）猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；
（3）连接AC，G是CB延长线上一点，GH⊥AE，垂足为K，交AC于点H且GH＝AE．若DF＝a，CH＝b，请用含a，b的代数式表示EF的长．
专题08 四边形综合
知识回顾
平行四边形的性质：
①边的性质：两组对边分别平行且相等。
②角的性质：对角相等，邻角互补。
③对角线的性质：对角线相互平分。即对角线交点是两条对角线的中点。
④对称性：平行四边形是一个中心对称图形，绕对角线交点旋转180°与原图形重合。
⑤面积计算：等于底乘底边上的高。等底等高的两个平行四边形的面积相等。
平行四边形的判定：
①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
∵AB∥DC，AB=DC，∴四边行ABCD是平行四边形
②两组对边分别相等（两组对边分别平行）的四边形是平行四边形。
符号语言：∵AB=DC，AD=BC（AB∥DC，AD∥BC），∴四边行ABCD是平行四边形．
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB，∴四边行ABCD是平行四边形
④对角线相互平行的四边形是平行四边形。
∵OA=OC，OB=OD，∴四边行ABCD是平行四边形
矩形的性质：
①具有平行四边形的一切性质。
②矩形的四个角都是直角。
③矩形的对角线相等。
④矩形既是一个中心对称图形，也是轴对称图形。对角线交点是对称中心，过一组对边中点的直线是矩形的对称。
⑤由矩形的对角线的性质可知，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
矩形的判定：
（1）直接判定：
有三个角（四个角）都是直角的四边形是矩形。
（2）利用平行四边形判定：
①定义：有一个角是直角（邻边相互垂直）的平行四边形是矩形。
②对角线的特殊性：对角线相等的平行四边形是矩形。
菱形的性质：
①具有平行四边形的一切性质。
②菱形的四条边都相等。
③菱形的对角线相互垂直，且平分每一组对角。
④菱形既是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。对称中心为对角线交点，对称轴为对角线所在直线。
⑤面积计算：除了用计算平行四边形的面积计算方法面积，还可以用对角线乘积的一半来计算面积。
菱形的判定：
（1）直接判定：
四条边都相等的四边形是菱形。
几何语言：∵AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形
（2）利用平行四边形判定：
①定义：一组领边相等的平行四边形是菱形。
②对角线的特殊性：对角线相互垂直的平行四边形是菱形。
正方形的性质：
①具有平行四边形的一切性质。
②具有矩形与菱形的一切性质。
所以正方形的四条边都相等，四个角都是直角。对角线相互平分且相等，且垂直，且平分每一组对角，把正方形分成了四个全等的等腰直角三角形。
正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形。对角线交点是对称中心，对角线所在直线是对称轴，过每一组对边中点的直线也是对称轴。
正方形的判定：
（1）利用平行四边形判定：
一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。（定义判定）
（2）利用菱形与矩形判定：
①有一个角是直角的菱形是正方形。
②对角线相等的菱形是正方形。
③邻边相等的矩形是正方形。
④对角线相互垂直的矩形是正方形。
中点四边形的判定：
①任意四边形的中点四边形是平行四边形。
②对角线相互垂直的四边形的中点四边形是矩形。（菱形的中点四边形是矩形）
③对角线相等的四边形的中点四边形是菱形。（矩形的中点四边形是菱形）
④对角线相互垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形。（正方形的中点四边形是正方形）
专题练习
1．如图，在平行四边形ABCD中，点O是AD的中点，连接BO并延长交CD的延长线于点E，连接BD，AE．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）若BD＝CD，判断四边形ABDE的形状，并说明理由．
【分析】（1）证△ABO≌△DEO（AAS），得OB＝OE，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得AB＝CD，再证AB＝BD，然后由菱形的判定即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABO＝∠DEO，
∵点O是边AD的中点，
∴AO＝DO，
在△ABO和△DEO中，
，
∴△ABO≌△DEO（AAS），
∴OB＝OE，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）解：四边形ABDE是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵BD＝CD，
∴AB＝BD，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴平行四边形ABDE是菱形．
2．如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．
求证：（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形AECF是平行四边形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，根据平行线的性质得到∠ABD＝∠CDB，利用SAS定理证明△ABE≌△CDF；
（2）根据全等三角形的性质得到AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，根据平行线的判定定理证明AE∥CF，再根据平行四边形的判定定理证明结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）由（1）可知，△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，即∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∵AE＝CF，AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
3．如图，在四边形ABDF中，点E，C为对角线BF上的两点，AB＝DF，AC＝DE，EB＝CF．连接AE，CD．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）若AE＝AC，求证：AB＝DB．
【分析】（1）根据等式的性质可得BC＝EF，从而利用SSS证明△ABC≌△DFE，然后利用全等三角形的性质可得∠ABC＝∠DFE，从而可得AB∥DF，即可解答；
（2）连接AD交BF于点O，利用平行四边形的性质可得OB＝OF，从而可得OE＝OC，再利用等腰三角形的性质可得AO⊥EC，然后证明四边形ABDF是菱形，即可解答．
【解答】证明：（1）∵EB＝CF，
∴EB+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
∵AB＝DF，AC＝DE，
∴△ABC≌△DFE（SSS），
∴∠ABC＝∠DFE，
∴AB∥DF，
∴四边形ABDF是平行四边形；
（2）连接AD交BF于点O，
∵四边形ABDF是平行四边形，
∴OB＝OF，
∵BE＝CF，
∴OB﹣BE＝OF﹣CF，
∴OE＝OC，
∵AE＝AC，
∴AO⊥EC，
∴四边形ABDF是菱形，
∴AB＝BD．
4．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，BF平分∠DBC，交CD于点F．
（1）请用尺规作∠ADB的角平分线DE，交AB于点E（要求保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据图形猜想四边形DEBF为平行四边形．
请将下面的证明过程补充完整．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠ADB＝∠ ．（两直线平行，内错角相等）
又∵DE平分∠ADB，BF平分∠DBC，
∴∠EDB＝∠ADB，∠DBF＝∠DBC．
∴∠EDB＝∠DBF．
∴DE∥ ．（ ）（填推理的依据）
又∵四边形ABCD是平行四边形．
∴BE∥DF．
∴四边形DEBF为平行四边形（ ）（填推理的依据）．
【分析】（1）根据作已知角的角平分线步骤作图即可；
（2）根据平行线的性质及判定分别填空即可．
【解答】解：（1）作图如下：
DE即为所求；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠ADB＝∠DBC．（两直线平行，内错角相等）
又∵DE平分∠ADB，BF平分∠DBC，
∴∠EDB＝∠ADB，∠DBF＝∠DBC．
∴∠EDB＝∠DBF．
∴DE∥BF．（内错角相等，两直线平行）（填推理的依据）
又∵四边形ABCD是平行四边形．
∴BE∥DF．
∴四边形DEBF为平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）（填推理的依据）．
故答案为：DBC，BF，内错角相等，两直线平行，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
5．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．
【分析】（1）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形AECD是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质可证AD＝CD，可得结论；
（2）由菱形的性质可求AE＝BE＝CE＝2，由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求BC，AC的长，即可求解．
【解答】（1）证明：∵E为AB中点，
∴AB＝2AE＝2BE，
∵AB＝2CD，
∴CD＝AE，
又∵AE∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠EAC，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∴平行四边形AECD是菱形；
（2）∵四边形AECD是菱形，∠D＝120°，
∴AD＝CD＝CE＝AE＝2，∠D＝120°＝∠AEC，
∴AE＝CE＝BE，∠CEB＝60°，
∴∠CAE＝30°＝∠ACE，△CEB是等边三角形，
∴BE＝BC＝EC＝2，∠B＝60°，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝BC＝2，
∴S△ABC＝×AC×BC＝×2×2＝2．
6．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADBF是菱形；
（2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长．
【分析】（1）利用平行线的性质可得∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE，利用中点的定义可得AE＝DE，从而证明△FAE≌△CDE，然后利用全等三角形的性质可得AF＝CD，再根据D是BC的中点，可得AF＝BD，从而可证四边形AFBD是平行四边形，最后利用直角三角形斜边上的中线可得BD＝AD，从而利用菱形的判定定理即可解答；
（2）利用（1）的结论可得菱形ADBF的面积＝2△ABD的面积，再根据点D是BC的中点，可得△ABC的面积＝2△ABD的面积，进而可得菱形ADBF的面积＝△ABC的面积，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∴△FAE≌△CDE（AAS），
∴AF＝CD，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝BD＝BC，
∴四边形ADBF是菱形；
（2）解：∵四边形ADBF是菱形，
∴菱形ADBF的面积＝2△ABD的面积，
∵点D是BC的中点，
∴△ABC的面积＝2△ABD的面积，
∴菱形ADBF的面积＝△ABC的面积＝40，
∴AB•AC＝40，
∴×8•AC＝40，
∴AC＝10，
∴AC的长为10．
7．如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．
（1）求证：四边形ABDF是矩形；
（2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S．
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，得∠BAE＝∠FDE，而点E是AD的中点，可得△BEA≌△FED（ASA），即知EF＝EB，从而四边形ABDF是平行四边形，又∠BDF＝90°，即得四边形ABDF是矩形；
（2）由∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，得AF＝＝＝4，S矩形ABDF＝DF•AF＝12，四边形ABCD是平行四边形，得CD＝AB＝3，从而S△BCD＝BD•CD＝6，即可得四边形ABCF的面积S为18．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，
∴∠BAE＝∠FDE，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△BEA和△FED中，
，
∴△BEA≌△FED（ASA），
∴EF＝EB，
又∵AE＝DE，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∵∠BDF＝90°．
∴四边形ABDF是矩形；
（2）解：由（1）得四边形ABDF是矩形，
∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，
∴AF＝＝＝4，
∴S矩形ABDF＝DF•AF＝3×4＝12，BD＝AF＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，
∴S△BCD＝BD•CD＝×4×3＝6，
∴四边形ABCF的面积S＝S矩形ABDF+S△BCD＝12+6＝18，
答：四边形ABCF的面积S为18．
8．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2cm，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点H．点F从点B出发沿BD方向以2cm/s向点D匀速运动，同时，点E从点H出发沿HD方向以1cm/s向点D匀速运动．设点E，F的运动时间为t（单位：s），且0＜t＜3，过F作FG⊥BC于点G，连结EF．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）连结FC，EC，点F，E在运动过程中，△BFC与△DCE是否能够全等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据平行线的判定定理得到EH∥FG，由题意知BF＝2tcm，EH＝tcm，推出四边形EFGH是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到四边形EFGH是矩形；
（2）根据菱形的性质得到∠ABC＝60°，AB＝2cm，求得∠ADC＝∠ABC＝60°，CD＝AB＝2cm，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵EH⊥BC，FG⊥BC，
∴EH∥FG，
由题意知BF＝2tcm，EH＝tcm，
∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∴FG＝BF＝tcm，
∴EH＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵∠FGH＝90°，
∴四边形EFGH是矩形；
（2）△BFC与△DCE能够全等，
理由：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2cm，
∴∠ADC＝∠ABC＝60°，CD＝AB＝2cm，AB∥CD，
∴∠CBD＝∠CDB＝30°，∠DCH＝∠ABC＝60°，
∵DH⊥BC，
∴∠CHD＝90°，
∴∠CDH＝90°﹣60°＝30°＝∠CBF，
在Rt△CDH中，cs∠CDH＝，
∴DH＝2×＝3，
∵BF＝2tcm，
∴EH＝tcm，
∴DE＝（3﹣t）cm，
∴当BF＝DE时，△BFC≌△DEC，
∴2t＝3﹣t，
∴t＝1．
9．小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在▱ABCD中，AN为BC边上的高，＝m，点M在AD边上，且BA＝BM，点E是线段AM上任意一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得△FBE．
（1）问题解决：如图①，当∠BAD＝60°，将△ABE沿BE翻折后，使点F与点M重合，则＝ ；
（2）问题探究：
如图②，当∠BAD＝45°，将△ABE沿BE翻折后，使EF∥BM，求∠ABE的度数，并求出此时m的最小值；
（3）拓展延伸：
当∠BAD＝30°，将△ABE沿BE翻折后，若EF⊥AD，且AE＝MD，根据题意在备用图中画出图形，并求出m的值．
【分析】（1）根据等边三角形的性质，平行四边形的性质可得，根据特殊角的三角函数值即可求解；
（2）根据折叠的性质即可求得∠AEB的度数，由三角形内角和定理可得∠ABE的度数，根据点M在AD边上，当AD＝AM时，m取得最小值，从而求解；
（3）连接FM，设AN＝a，然后结合勾股定理分析求解．
【解答】解：（1）∵BA＝BM，∠BAD＝60°∴△ABM是等边三角形，
∴AB＝AM＝BM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ABN＝∠BAM＝60°，
∵AN为BC边上的高，
∴＝＝，
故答案为：；
（2）∵∠BAD＝45°，BA＝BM，
∴△AMB是等腰直角三角形，
∴∠MBC＝∠AMB＝45°，
∵EF∥BM，
∴∠FEM＝∠AMB＝45°，
∴∠AEB＝∠FEB＝（180°+45°）＝112.5°，
∵AD∥NC，
∴∠BAE＝∠ABN＝45°，
∴∠ABE＝180°﹣∠AEB﹣∠BAE＝22.5°，
∵＝m，△AMB是等腰直角三角形，AN为底边上的高，则AN＝AM，
∵点M在AD边上，
∴当AD＝AM时，m取得最小值，最小值为＝2，
（3）如图，连接FM，延长EF交NC于点G，
∵∠BAD＝30°，则∠ABN＝30°，
设AN＝a，则AB＝2a，NB＝a，
∵EF⊥AD，
∴∠AEB＝∠FEB＝（180°+90°）＝135°，
∵∠EAB＝∠BAD＝30°，
∴∠ABE＝15°，
∴∠ABF＝30°，
∵AB＝BM，∠BAD＝30°，
∴∠ABM＝120°，
∵∠MBC＝∠AMB＝30°，
∴∠FBM＝90°，
在Rt△FBM中，FB＝AB＝BM，
∴FM＝FB＝2a，
∴EG⊥GB，
∵∠EBG＝∠ABE+∠ABN＝45°，
∴GB＝EG＝a，
∵NB＝a，
∴AE＝EF＝MD＝（﹣1）a，
在Rt△EFM中，EM＝＝（+1）a，
∴AD＝AE+EM+MD＝2AE+EM＝（3﹣1）a，
同理，当点F落在BC下方时，
AD＝（3+1）a
∴m＝＝3±1．
10．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE＝EF＝FD，∠BAF＝∠DCE＝90°．
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）连接AE，CF，已知 ① （从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．
条件①：∠ABD＝30°；
条件②：AB＝BC．
（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）
【分析】（1）由等式的性质得BF＝DE，由平行线的性质得∠ABF＝∠CDE，从而利用AAS证明△ABF≌△CDE；
（2）若选择①，由（1）可说明AF∥CE，则四边形AECF是平行四边形，由直角三角形斜边上中线的性质得AE＝，利用含30°角的直角三角形的性质得AF＝，则AE＝AF，从而▱AECF是菱形；若选择②连接AC交BD于点O，同理可得四边形AECF是平行四边形，利用等腰三角形的性质可得BO⊥AC，即EF⊥AC，从而证明结论．
【解答】（1）证明：∵BE＝FD，
∴BE+EF＝FD+EF，
∴BF＝DE，
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠CDE，
在△ABF和△CDE中，
∴△ABF≌△CDE（AAS）；
（2）解：若选择条件①：
四边形AECF是菱形，理由如下：
由（1）得，△ABF≌△CDE，
∴AF＝CE，∠AFB＝∠CED，
∴AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠BAF＝90°，BE＝EF，
∴AE＝，
∵∠BAF＝90°，∠ABD＝30°，
∴AF＝，
∴AE＝AF，
∴▱AECF是菱形；
若选择条件②：
四边形AECF是菱形，理由如下：
连接AC交BD于点O，
由①得：△ABF≌△CDE，
∴AF＝CE，∠AFB＝∠CED，
∴AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AO＝CO，
∵AB＝BC，
∴BO⊥AC，
即EF⊥AC，
∴▱AECF是菱形．
故答案为：①（答案不唯一）．
11．下面图片是八年级教科书中的一道题．
如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证AE＝EF．（提示：取AB的中点G，连接EG．）
（1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件： ；
（2）如图1，若点E是BC边上任意一点（不与B、C重合），其他条件不变．求证：AE＝EF；
（3）在（2）的条件下，连接AC，过点E作EP⊥AC，垂足为P．
设＝k，当k为何值时，四边形ECFP是平行四边形，并给予证明．
【分析】（1）根据点E为BC的中点，可得答案；
（2）取AG＝EC，连接EG，首先说明△BGE是等腰直角三角形，再证明△GAE≌△CEF，可得答案；
（3）设BC＝x，则BE＝kx，则GE＝kx，EC＝（1﹣k）x，再利用等腰直角三角形的性质表示EP的长，利用平行四边形的判定可得只要EP＝FC，即可解决问题．
【解答】（1）解：∵点E为BC的中点，
∴BE＝CE，
∵点G为AB的中点，
∴BG＝AG，
∴AG＝CE，
故答案为：AG＝CE；
（2）证明：取AG＝EC，连接EG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∵AG＝CE，
∴BG＝BE，
∴△BGE是等腰直角三角形，
∴∠BGE＝∠BEG＝45°，
∴∠AGE＝∠ECF＝135°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠FEC＝∠BAE，
∴△GAE≌△CEF（ASA），
∴AE＝EF；
（3）解：k＝时，四边形PECF是平行四边形，如图，
由（2）知，△GAE≌△CEF，
∴CF＝EG，
设BC＝x，则BE＝kx，
∴GE＝kx，EC＝（1﹣k）x，
∵EP⊥AC，
∴△PEC是等腰直角三角形，
∴∠PEC＝45°，
∴∠PEC+∠ECF＝180°，
∴PE∥CF，
∴PE＝（1﹣k）x，
当PE＝CF时，四边形PECF是平行四边形，
∴（1﹣k）x＝kx，
解得k＝．
12．已知△ABC是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）在线段AC上任取一点P（端点除外），连接PD．将线段PD绕点P逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处．请探究：当点P在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？说明理由．
（3）在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．
【分析】（1）根据菱形的判定定理和轴对称图形的性质解答即可；
（2）连接PB，过点P分别作PE∥CB交AB于点E，PF⊥AB于点F，根据全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质，轴对称图形的性质解答即可；
（3）根据等腰三角形的性质解答即可．
【解答】（1）证明：连接BD，
等边△ABC中，AB＝BC＝AC，
∵点B、D关于直线AC对称，
∴DC＝BC，AD＝AB，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：当点P在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ的大小不发生变化，始终等于60°，理由如下：
∵将线段PD绕点P逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处，
∴PQ＝PD，
等边△ABC中，AB＝BC＝AC，
∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
连接PB，过点P分别作PE∥CB交AB于点E，PF⊥AB于点F，如图
则∠APE＝∠ACB＝60°，∠AEP＝∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝∠APE＝∠AEP＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴AP＝EP＝AE，
而PF⊥AB，
∴∠APF＝∠EPF，
∵点B，D关于直线AC对称，点P在线段AC上，
∴PB＝PD，∠DPA＝∠BPA，
∴PQ＝PB，
∴∠PDA＝∠PBA，∠PBA＝∠PQA，
∴∠PDA＝∠PQB
∴∠DPQ＝∠DAQ＝60°；
（3）解：在满足（2）的条件下，线段AQ与CP之间的数量关系是AQ＝CP，证明如下：
∵AC＝AB，AP＝AE，
∴AC﹣AP＝AB﹣AE，
即CP＝BE，
∵AP＝EP，PF⊥AB，
∴AF＝FE，
∵PQ＝PB，PF⊥AB，
∴QF＝BF，
∴QF﹣AF＝BF﹣EF，
即AQ＝BE，
∴AQ＝CP．
13．在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC＝60°，P是DF的中点，连接PG、PC．
（1）如图1，当点G在BC边上时，写出PG与PC的数量关系．（不必证明）
（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明；
（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．
【分析】（1）延长GP交DC于点E，利用△PED≌△PGF，得出PE＝PG，DE＝FG，得到CE＝CG，CP是EG的中垂线，在Rt△CPG中，利用正切函数即可求解；
（2）延长GP交DA于点E，连接EC，GC，先证明△PED≌△PGF，再证明△CDE≌△CBG，利用在Rt△CPG中，∠PCG＝60°，即可求解；
（3）延长GP到H，使PH＝PG，连接CH，CG，DH，作EF∥DC，先证△GFP≌△HDP，再证△HDC≌△GBC，利用在Rt△CPG中，∠PCG＝60°，即可求解．
【解答】解：（1）PG＝PC；
如图1，延长GP交DC于点E，
∵P是DF的中点，
∴PD＝PF，
∵△BGF是正三角形，
∴∠BGF＝60°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BGF＝∠ABC，
∴AB∥GF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴CD∥GF，
∴∠CDP＝∠PFG，
在△PED和△PGF中，
，
∴△PED≌△PGF（ASA），
∴PE＝PG，DE＝FG，
∵△BGF是正三角形，
∴FG＝BG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，
∴CE＝CG，
∴CP是EG的垂直平分线，
在Rt△CPG中，∠PCG＝60°，
∴PG＝tan∠PCG•PC＝PC；
（2）猜想：PG＝PC，证明如下：
如图2，延长GP交DA于点E，连接EC，GC，
∵∠ABC＝60°，△BGF是等边三角形，
∴GF∥BC∥AD，
∴∠EDP＝∠GFP，
在△PED和△PGF中，
，
∴△PED≌△PGF（ASA），
∴PE＝PG，DE＝FG＝BG，
在△CDE和△CBG中，
，
∴△CDE≌△CBG（SAS），
∴CE＝CG，∠DCE＝∠BCG，
∴∠ECG＝∠DCB＝120°，
∵PE＝PG，
∴CP⊥PG，∠PCG＝∠ECG＝60°，
∴PG＝tan∠PCG•PC＝PC；
（3）猜想：PG＝PC，
如图3，延长GP到H，使PH＝PG，连接CH，CG，DH，过点F作EF∥DC，
∵P是线段DF的中点，
∴FP＝DP，
∴∠GPF＝∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GF＝HD，∠GFP＝∠HDP，
∵∠GFP+∠PFE＝120°，∠PFE＝∠PDC，
∴∠CDH＝∠HDP+∠PDC＝120°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠ADC＝∠ABC＝60°，点A，B，G，在同一直线上，
∴∠GBC＝120°，
∵四边形BEFG是菱形，
∴GF＝GB，
∴HD＝GB，
∴△HDC≌△GBC（SAS），
∴CH＝CG，∠DCH＝∠BCG，
∴∠DCH+∠HCB＝∠BCG+∠HCB＝120°，即∠HCG＝120°，
∵CH＝CG，PH＝PG，
∴PG⊥PC，∠GCP＝∠HCP＝60°，
∴PG＝tan∠PCG•PC＝PC．
14．已知∠ABN＝90°，在∠ABN内部作等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α≤90°）．点D为射线BN上任意一点（与点B不重合），连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE，连接EC并延长交射线BN于点F．
（1）如图1，当α＝90°时，线段BF与CF的数量关系是 ；
（2）如图2，当0°＜α＜90°时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）若α＝60°，AB＝4，BD＝m，过点E作EP⊥BN，垂足为P，请直接写出PD的长（用含有m的式子表示）．
【分析】（1）连接AF，先根据“SAS”证明△ACE≌△ABD，得出∠ACE＝∠ABD＝90°，再证明Rt△ABF≌Rt△ACF，即可得出结论；
（2）连接AF，先说明∠EAC＝∠BAD，然后根据“SAS”证明△ACE≌△ABD，得出∠ACE＝∠ABD＝90°，再证明Rt△ABF≌Rt△ACF，即可得出结论；
（3）先根据α＝60°，AB＝AC，得出△ABC为等边三角形，再按照∠BAD的大小分三种情况进行讨论，得出结果即可．
【解答】解：（1）BF＝CF；理由如下：
连接AF，如图所示：
根据旋转可知，∠DAE＝α＝90°，AE＝AD，
∵∠BAC＝90°，
∴∠EAC+∠CAD＝90°，∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠EAC＝∠BAD，
在△ACE和△ABD中，
，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD＝90°，
∴∠ACF＝90°，
在Rt△ABF与Rt△ACF中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△ACF（HL），
∴BF＝CF，
故答案为：BF＝CF；
（2）成立，理由如下：
如图2，连接AF，
根据旋转可知，∠DAE＝α，AE＝AD，
∵∠BAC＝α，
∴∠EAC﹣∠CAD＝α，∠BAD﹣∠CAD＝α，
∴∠EAC＝∠BAD，
在△ACE和△ABD中，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD＝90°，
∴∠ACF＝90°，
在Rt△ABF与Rt△ACF中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△ACF（HL），
∴BF＝CF；
（3）∵α＝60°，AB＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC＝4，
①当∠BAD＜60°时，连接AF，如图所示：
∵Rt△ABF≌Rt△ACF，
∴∠BAF＝∠CAF＝∠BAC＝30°，
在Rt△ABF中，＝tan30°，
，
即CF＝BF＝4；
根据（2）可知，△ACE≌△ABD，
∴CE＝BD＝m，
∴EF＝CF+CE＝4+m，∠FBC＝∠FCB＝90°﹣60°＝30°，
∴∠EFP＝∠FBC+∠FCB＝60°，
又∵∠EPF＝90°，
∴∠FEP＝90°﹣60°＝30°，
∴PF＝EF＝2+m，
∴BP＝BF+PF＝6+m，
∴PD＝BP﹣BD＝6﹣m；
②当∠BAD＝60°时，AD与AC重合，如图所示：
∵∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴△ADE为等边三角形，
∴∠ADE＝60°，
∵∠ADB＝90°﹣∠BAC＝30°，
∴∠ADE＝90°，
∴此时点P与点D重合，PD＝0；
③当∠BAD＞60°时，连接AF，如图所示：
∵Rt△ABF≌Rt△ACF，
∴∠BAF＝∠CAF＝∠BAC＝30°，
在Rt△ABF中，＝tan30°，
，
即CF＝BF＝4；
根据（2）可知，△ACE≌△ABD，
∴CE＝BD＝m，
∴EF＝CF+CE＝4+m，∠FBC＝∠FCB＝90°﹣60°＝30°，
∴∠EFP＝∠FBC+∠FCB＝60°，
又∵∠EPF＝90°，
∴∠FEP＝90°﹣60°＝30°，
∴PF＝EF＝2+m，
∴BP＝BF+PF＝6+m，
∴PD＝BD﹣BP＝m﹣6，
综上，PD的值为6﹣m或0或m﹣6．
15．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E不与点B，C重合），且∠EAF＝45°．
（1）当BE＝DF时，求证：AE＝AF；
（2）猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；
（3）连接AC，G是CB延长线上一点，GH⊥AE，垂足为K，交AC于点H且GH＝AE．若DF＝a，CH＝b，请用含a，b的代数式表示EF的长．
【分析】（1）证明△ABE≌△ADF，从而得出结论；
（2）在CD的延长线上截取DG＝BE，类比（1）可证得△ABE≌△ADG，进而证明△GAF≌△EAF，进一步得出结论；
（3）作HR⊥BC于R，证明△ABE≌△GRH，从而BE＝HR，在Rt△CRH中可得出HR＝b•sin45°＝，进而BE＝，根据（2）可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF；
（2）解：如图1，
BE+DF＝EF，理由如下：
在CD的延长线上截取DG＝BE，
同理（1）可得：△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AG＝AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝45°，
∴∠DAG+∠DAF＝45°，
即：∠GAF＝45°，
∴∠GAF＝∠EAF，
在△GAF和△EAF中，
，
∴△GAF≌△EAF（SAS），
∴FG＝EF，
∴DG+DF＝EF，
∴BE+DF＝EF；
（3）如图2，
作HR⊥BC于R，
∴∠HRG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°，
∴∠ABE＝∠HRG，∠BAE+∠AEB＝90°，
∵GH⊥AE，
∴∠EKG＝90°，
∴∠G+∠AEB＝90°，
∴∠G＝∠BAE，
在△ABE和△GRH中，
，
∴△ABE≌△GRH（AAS），
∴BE＝HR，
在Rt△CRH中，∠ACB＝45°，CH＝b，
∴HR＝b•sin45°＝，
∴BE＝，
∴EF＝BE+DF＝．
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