微专题5　与平面向量有关的最值、范围问题-2024年高考数学二轮微专题系列

这是一份微专题5　与平面向量有关的最值、范围问题-2024年高考数学二轮微专题系列，共27页。


1.(2018·浙江卷)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为eq \f(π,3)，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是( )
A.eq \r(3)－1B.eq \r(3)＋1
C.2D.2－eq \r(3)
答案 A
解析 法一 设O为坐标原点，a＝eq \(OA,\s\up6(→))，b＝eq \(OB,\s\up6(→))＝(x，y)，e＝(1，0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，
所以点B的轨迹是以C(2，0)为圆心，1为半径的圆.
因为a与e的夹角为eq \f(π,3)，
所以不妨令点A在射线y＝eq \r(3)x(x>0)上，
如图，数形结合可知|a－b|min＝|eq \(CA,\s\up6(→))|－|eq \(CB,\s\up6(→))|＝eq \r(3)－1.故选A.
法二 由b2－4e·b＋3＝0得b2－4e·b＋3e2＝(b－e)·(b－3e)＝0.
设b＝eq \(OB,\s\up6(→))，e＝eq \(OE,\s\up6(→))，3e＝eq \(OF,\s\up6(→))，
所以b－e＝eq \(EB,\s\up6(→))，b－3e＝eq \(FB,\s\up6(→))，
所以eq \(EB,\s\up6(→))·eq \(FB,\s\up6(→))＝0.
取EF的中点为C，则B在以C为圆心，EF为直径的圆上，如图.
设a＝eq \(OA,\s\up6(→))，作射线OA，使得∠AOE＝eq \f(π,3)，
所以|a－b|＝|(a－2e)＋(2e－b)|≥|a－2e|－|2e－b|＝|eq \(CA,\s\up6(→))|－|eq \(BC,\s\up6(→))|≥eq \r(3)－1.故选A.
2.(2017·全国Ⅲ卷)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))，则λ＋μ的最大值为( )
A.3B.2eq \r(2)
C.eq \r(5)D.2
答案 A
解析 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，则B(1，0)，D(0，2)，C(1，2)，直线BD的方程为：y＝－2x＋2，
⊙C方程为：(x－1)2＋(y－2)2＝r2，
又eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，0)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(0，2)，
则eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))＝(λ，2μ)，
又圆与直线BD相切，则半径r＝eq \f(2,\r(5)).
因为P点坐标可表示为x＝1＋rcs θ＝λ，
y＝2＋rsin θ＝2μ，
则λ＋μ＝2＋eq \f(r,2)sin θ＋rcs θ
＝2＋eq \f(\r(5)r,2)sin(θ＋φ)，
当sin(θ＋φ)＝1时，有最大值，为2＋eq \f(\r(5),2)×eq \f(2,\r(5))＝3.
3.(2022·北京卷)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的取值范围是( )
A.[－5，3]B.[－3，5]
C.[－6，4]D.[－4，6]
答案 D
解析 以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，
则A(3，0)，B(0，4).
设P(x，y)，
则x2＋y2＝1，eq \(PA,\s\up6(→))＝(3－x，－y)，
eq \(PB,\s\up6(→))＝(－x，4－y)，
所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝x2－3x＋y2－4y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＋(y－2)2－eq \f(25,4).
又eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＋(y－2)2表示圆x2＋y2＝1上一点到点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))距离的平方，圆心(0，0)到点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))的距离为eq \f(5,2)，
所以(eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→)))min＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－1))eq \s\up12(2)－eq \f(25,4)＝－4，
(eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→)))max＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)＋1))eq \s\up12(2)－eq \f(25,4)＝6，
即eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))∈[－4，6]，故选D.
4.(2022·浙江卷)设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，则eq \(PA,\s\up6(→))eq \\al(2,1)＋
eq \(PA,\s\up6(→))eq \\al(2,2)＋…＋eq \(PA,\s\up6(→))eq \\al(2,8)的取值范围是________.
答案 [12＋2eq \r(2)，16]
解析 以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则A1(0，1)，A2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，A3(1，0)，A4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，A5(0，－1)，
A6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，A7(－1，0)，A8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，
设P(x，y)，
于是eq \(PA,\s\up6(→))eq \\al(2,1)＋eq \(PA,\s\up6(→))eq \\al(2,2)＋…＋eq \(PA,\s\up6(→))eq \\al(2,8)＝8(x2＋y2)＋8，
因为cs 22.5°≤|OP|≤1，
所以eq \f(1＋cs 45°,2)≤x2＋y2≤1，
故eq \(PA,\s\up6(→))eq \\al(2,1)＋eq \(PA,\s\up6(→))eq \\al(2,2)＋…＋eq \(PA,\s\up6(→))eq \\al(2,8)的取值范围是[12＋2eq \r(2)，16].
热点一 向量模的最值、范围
向量的模指的是有向线段的长度，可以利用坐标表示，也可以借助“形”，结合平面几何知识求解.如果直接求模不易，可以将向量用基底向量表示再求.
例1 (1)已知单位向量a，b满足|a－b|＋2eq \r(3)a·b＝0，则|ta＋b|(t∈R)的最小值为( )
A.eq \f(\r(2),3)B.eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(2\r(2),3)D.eq \f(\r(2),2)
(2)已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a＋b|＝1，则|c－b|的取值范围是________.
答案 (1)B (2)[eq \r(5)－1，eq \r(5)＋1]
解析 (1)由|a－b|＋2eq \r(3)a·b＝0，
得|a－b|＝－2eq \r(3)a·b，
两边平方，得a2－2a·b＋b2＝12(a·b)2，
即6(a·b)2＋a·b－1＝0，
解得a·b＝－eq \f(1,2)或a·b＝eq \f(1,3).
因为|a－b|＝－2eq \r(3)a·b≥0，
所以a·b≤0，
所以a·b＝－eq \f(1,2)，
所以|ta＋b|＝eq \r(|ta＋b|2)
＝eq \r(t2＋1＋2ta·b)
＝eq \r(t2－t＋1)
＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(3,4))≥eq \f(\r(3),2).
(2)由a，b是单位向量，且a·b＝0，
则可设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y).
∵向量c满足|c－a＋b|＝1，
∴eq \r(（x－1）2＋（y＋1）2)＝1，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝1，
它表示圆心为C(1，－1)，半径为r＝1的圆，
又|c－b|＝eq \r(x2＋（y－1）2)，它表示圆C上的点P到点B(0，1)的距离，如图所示，
且|BC|＝eq \r(12＋（－1－1）2)＝eq \r(5)，
∴eq \r(5)－1≤|PB|≤eq \r(5)＋1，
即|c－b|的取值范围是[eq \r(5)－1，eq \r(5)＋1].
规律方法 模的范围或最值常见方法
(1)通过|a|2＝a2转化为实数问题；
(2)数形结合；
(3)坐标法.
训练1 (1)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|eq \(PA,\s\up6(→))＋3eq \(PB,\s\up6(→))|的最小值为________.
(2)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为________.
答案 (1)5 (2)1
解析 (1)如图，以DA，DC所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系.
则A(2，0)，B(1，a)，C(0，a)，D(0，0)，
设P(0，b)(0≤b≤a)，
则eq \(PA,\s\up6(→))＝(2，－b)，
eq \(PB,\s\up6(→))＝(1，a－b)，
∴eq \(PA,\s\up6(→))＋3eq \(PB,\s\up6(→))＝(5，3a－4b)，
∴|eq \(PA,\s\up6(→))＋3eq \(PB,\s\up6(→))|＝eq \r(25＋（3a－4b）2)≥5，
即当3a＝4b时，取得最小值5.
(2)法一 由题意可知，|a|＝|b|＝|c|＝1，
又∵a·b＝0且(a－c)·(b－c)≤0，
∴a·b－a·c－c·b＋|c|2≤0，
即a·c＋c·b≥1，
c·(a＋b)≥1，
故|a＋b－c|＝eq \r(（a＋b－c）2)
＝eq \r(a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c)
＝eq \r(3－2（a·c＋c·b）)≤eq \r(3－2×1)＝1.
法二 设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，
则x2＋y2＝1，a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x，1－y)，
则(a－c)·(b－c)＝(1－x)(－x)＋(－y)·(1－y)＝x2＋y2－x－y＝1－x－y≤0，即x＋y≥1，
故|a＋b－c|＝eq \r(（x－1）2＋（y－1）2)＝eq \r(x2＋y2－2（x＋y）＋2)＝eq \r(3－2（x＋y）)，
∵x＋y≥1，∴|a＋b－c|≤eq \r(3－2)＝1，最大值为1.
热点二 向量数量积的最值、范围
数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解；(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解；(3)运用平面向量基本定理，将数量积的两个向量用基底表示后，再运算.
例2 (1)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))的取值范围是( )
A.(－2，6)B.(－6，2)
C.(－2，4)D.(－4，6)
(2)如图，在扇形OAB中，OA＝2，∠AOB＝90°，M是OA的中点，点P在eq \(AB,\s\up8(︵))上，则eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最小值为________.
答案 (1)A (2)4－2eq \r(5)
解析 (1)法一 如图，
取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(3，eq \r(3))，F(－1，eq \r(3)).设P(x，y)，则eq \(AP,\s\up6(→))＝(x，y)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，0)，且－1＜x＜3.
所以eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝(x，y)·(2，0)＝2x∈(－2，6).
故选A.
法二 eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝|eq \(AP,\s\up6(→))|·|eq \(AB,\s\up6(→))|·cs∠PAB＝2|eq \(AP,\s\up6(→))|cs∠PAB，
又|eq \(AP,\s\up6(→))|cs∠PAB表示eq \(AP,\s\up6(→))在eq \(AB,\s\up6(→))方向上的投影，所以结合图形可知，当P与C重合时投影最大，当P与F重合时投影最小.
又eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \r(3)×2×cs 30°＝6，
eq \(AF,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝2×2×cs 120°＝－2，
故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))∈(－2，6)，故选A.
(2)如图，以O为坐标原点，eq \(OA,\s\up6(→))方向为x轴的正方向，eq \(OB,\s\up6(→))方向为y轴的正方向建立平面直角坐标系，则M(1，0)，B(0，2)，
设P(2cs θ，2sin θ)，θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝(1－2cs θ，－2sin θ)·(－2cs θ，2－2sin θ)＝4－2cs θ－4sin θ＝4－2(cs θ＋2sin θ)＝4－2eq \r(5)sin(θ＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中sin φ＝\f(\r(5),5)，cs φ＝\f(2\r(5),5)))，
所以eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最小值为4－2eq \r(5).
规律方法 结合图形求解运算量较小，建立坐标系将数量积用某个变量表示，转化为函数的值域问题，其中选择的变量要有可操作性.
训练2 (1)(2022·新余模拟)已知△ABC是顶角A为120°，腰长为2的等腰三角形，P为平面ABC内一点，则eq \(PA,\s\up6(→))·(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))的最小值是( )
A.－eq \f(1,2)B.－eq \f(3,2)
C.－eq \f(1,4)D.－1
(2)(2022·天津河西区模拟)在梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2，CD＝AD＝1，若点M在线段BD上，则eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(CM,\s\up6(→))的最小值为( )
A.eq \f(3,5)B.－eq \f(9,20)
C.－eq \f(3,5)D.eq \f(9,20)
答案 (1)A (2)B
解析 (1)如图，以BC所在直线为x轴，
BC的垂直平分线DA为y轴，
D为坐标原点建立平面直角坐标系，
则A(0，1)，B(－eq \r(3)，0)，C(eq \r(3)，0)，设P(x，y)，
所以eq \(PA,\s\up6(→))＝(－x，1－y)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)－x，－y)，eq \(PC,\s\up6(→))＝(eq \r(3)－x，－y)，
所以eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝(－2x，－2y)，
eq \(PA,\s\up6(→))·(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))＝2x2－2y(1－y)＝2x2＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,2)≥－eq \f(1,2)，
当Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))时，所求的最小值为－eq \f(1,2).
(2)建立如图所示的平面直角坐标系，
因为AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2，CD＝AD＝1，
所以B(2，0)，D(0，1)，C(1，1)，
设eq \(BM,\s\up6(→))＝λeq \(BD,\s\up6(→))，0≤λ≤1，
所以M(2－2λ，λ)，
所以eq \(AM,\s\up6(→))＝(2－2λ，λ)，
eq \(CM,\s\up6(→))＝(1－2λ，λ－1)，
所以eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(CM,\s\up6(→))＝(2－2λ)(1－2λ)＋λ(λ－1)＝5λ2－7λ＋2＝5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－\f(7,10)))eq \s\up12(2)－eq \f(9,20)，
当λ＝eq \f(7,10)时，eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(CM,\s\up6(→))的最小值为－eq \f(9,20).
热点三 向量夹角的最值、范围
求向量夹角的取值范围、最值，往往要将夹角与其某个三角函数值用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，要注意变量之间的关系.
例3 若平面向量a，b，c满足|c|＝2，a·c＝2，b·c＝6，a·b＝2，则a，b夹角的取值范围是________.
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))
解析 设c＝(2，0)，a＝(x1，y1)，
b＝(x2，y2)，
设a，b的夹角为θ，
a·c＝2x1＝2⇒x1＝1，
b·c＝2x2＝6⇒x2＝3，
∴a＝(1，y1)，b＝(3，y2)，
a·b＝3＋y1y2＝2⇒y1y2＝－1⇒y2＝－eq \f(1,y1)，
∴cs θ＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(2,\r(1＋yeq \\al(2,1))·\r(9＋\f(1,yeq \\al(2,1))))＝eq \f(2,\r(10＋9yeq \\al(2,1)＋\f(1,yeq \\al(2,1))))≤eq \f(2,\r(10＋2\r(9yeq \\al(2,1)·\f(1,yeq \\al(2,1)))))＝eq \f(1,2)，
当且仅当y1＝±eq \f(\r(3),3)时，等号成立，
显然cs θ>0，即0∵0≤θ≤π，∴eq \f(π,3)≤θ因此，a，b夹角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2))).
规律方法 本题考查向量夹角取值范围的计算，解题的关键就是将向量的坐标特殊化处理，借助基本不等式来求解.
训练3 已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，1)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(1，a)，其中O为原点，若向量eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的夹角在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,12)))内变化，则实数a的取值范围是________.
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\r(3)))
解析 因为eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，1)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(1，a)，
所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝1＋a.
又eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \r(2)×eq \r(1＋a2)cs θ，
故cs θ＝eq \f(1＋a,\r(2（1＋a2）))，
又θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,12)))，
故cs θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(6)＋\r(2),4)，1))，
即eq \f(1＋a,\r(2（1＋a2）))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(6)＋\r(2),4)，1))，
解得eq \f(\r(3),3)≤a≤eq \r(3).
热点四 向量系数的最值、范围
此类问题一般要利用共线向量定理或平面向量基本定理寻找系数之间的关系，然后利用函数的性质或基本不等式求解.
例4 (1)如图，点C在半径为2的eq \(AB,\s\up8(︵))上运动，∠AOB＝eq \f(π,3)，若eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，则m＋n的最大值为________.
(2)已知点G是△ABC的重心，点P是△GBC内一点，若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则λ＋μ的取值范围是________.
答案 (1)eq \f(2\r(3),3) (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1))
解析 (1)以O为原点，eq \(OA,\s\up6(→))的方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系(图略)，
则有eq \(OA,\s\up6(→))＝(2，0)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(1，eq \r(3)).
设∠AOC＝α，则eq \(OC,\s\up6(→))＝(2cs α，2sin α).
由题意可知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2m＋n＝2cs α，,\r(3)n＝2sin α，))
所以m＋n＝cs α＋eq \f(\r(3),3)sin α
＝eq \f(2\r(3),3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3))).
因为α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，eq \f(π,3)≤α＋eq \f(π,3)≤eq \f(2π,3)，
所以(m＋n)max＝eq \f(2\r(3),3).
(2)∵点P是△GBC内一点，则λ＋μ<1，
当且仅当点P在线段BC上时λ＋μ最大等于1，
当P和G重合时，λ＋μ最小，
此时，eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
∴λ＝μ＝eq \f(1,3)，λ＋μ＝eq \f(2,3)，
故eq \f(2,3)<λ＋μ<1.
规律方法 平面向量中涉及系数的范围问题时，要注意利用向量的模、数量积、夹角之间的关系，通过列不等式或等式得关于系数的关系式，从而求系数的取值范围.
训练4 如图，在△ABC中，点P满足eq \(BP,\s\up6(→))＝3eq \(PC,\s\up6(→))，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若eq \(AM,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))＝μeq \(AC,\s\up6(→))(λ>0，μ>0)，则λ＋μ的最小值为( )
A.eq \f(\r(2),2)＋1B.eq \f(\r(3),2)＋1
C.eq \f(3,2)D.eq \f(5,2)
答案 B
解析 如图所示，
eq \(BP,\s\up6(→))＝3eq \(PC,\s\up6(→))，即eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝3(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AP,\s\up6(→)))，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))，
∵eq \(AM,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))＝μeq \(AC,\s\up6(→))(λ>0，μ>0)，
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,λ)eq \(AM,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,μ)eq \(AN,\s\up6(→))，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,4λ)eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \f(3,4μ)eq \(AN,\s\up6(→))，
又M，P，N三点共线，则eq \f(1,4λ)＋eq \f(3,4μ)＝1，
∴λ＋μ＝(λ＋μ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4λ)＋\f(3,4μ)))＝eq \f(3λ,4μ)＋eq \f(μ,4λ)＋1≥2eq \r(\f(3λ,4μ)·\f(μ,4λ))＋1＝eq \f(\r(3),2)＋1，
当且仅当μ＝eq \r(3)λ时，等号成立，
因此，λ＋μ的最小值为eq \f(\r(3),2)＋1.
一、基本技能练
1.已知向量a＝(eq \r(3)，1)，b＝(1，eq \r(3))，则|λa－b|(λ∈R)的最小值为( )
A.2B.eq \f(\r(3),2)
C.1D.eq \r(3)
答案 C
解析 由题意可得λa－b＝λ(eq \r(3)，1)－(1，eq \r(3))＝(eq \r(3)λ－1，λ－eq \r(3))，
所以，|λa－b|2＝(eq \r(3)λ－1)2＋(λ－eq \r(3))2＝4λ2－4eq \r(3)λ＋4＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－\f(\r(3),2)))eq \s\up12(2)＋1，
故当λ＝eq \f(\r(3),2)时，|λa－b|取得最小值1.
2.已知eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(AC,\s\up6(→))，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \f(1,t)，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(4\(AC,\s\up6(→)),|AC|)，则eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的最大值等于( )
A.13B.15
C.19D.21
答案 A
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)，0))，C(0，t)，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)，0))，eq \(AC,\s\up6(→))＝(0，t)，
eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(4\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)＝teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)，0))＋eq \f(4,t)(0，t)＝(1，4)，∴P(1，4)，
eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)－1，－4))·(－1，t－4)＝17－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)＋4t))≤17－2eq \r(\f(1,t)·4t)＝13，
当且仅当t＝eq \f(1,2)时等号成立，
∴eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的最大值等于13.
3.设θ为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，|b－ta|的最小值为1，则( )
A.若θ确定，则|a|唯一确定
B.若θ确定，则|b|唯一确定
C.若|a|确定，则θ唯一确定
D.若|b|确定，则θ唯一确定
答案 B
解析 由|b－ta|的最小值为1知(b－ta)2的最小值为1，
令f(t)＝(b－ta)2，
即f(t)＝b2－2ta·b＋t2a2，
则对于任意实数t，f(t)的最小值为eq \f(4a2·b2－（2a·b）2,4a2)＝eq \f(4a2b2－（2|a||b|cs θ）2,4a2)＝1，
化简得b2(1－cs2θ)＝1，
观察此式可知，当θ确定时，|b|唯一确定，选B.
4.(2022·湖南三湘名校联考)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形的剪纸窗花，已知图二中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))的取值范围是( )
A.[6，12]B.[6，16]
C.[8，12]D.[8，16]
答案 C
解析 eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝(eq \(PO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→)))·(eq \(PO,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→)))＝eq \(PO,\s\up6(→))2－eq \(OM,\s\up6(→))2＝|eq \(PO,\s\up6(→))|2－4，
因为|eq \(PO,\s\up6(→))|∈[2eq \r(3)，4]，
所以eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))的取值范围是[8，12].
5.在△ABC中，BC＝2，A＝45°，B为锐角，点O是△ABC外接圆的圆心，则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，2\r(2)))B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－2\r(2)，2))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2\r(2)，2\r(2)))D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，2))
答案 A
解析 依题意得，△ABC的外接圆半径R＝eq \f(1,2)·eq \f(BC,sin 45°)＝eq \r(2)，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，
如图所示，因B为锐角，故A只能在弧A1C上(端点除外)，
当A在A2位置时，eq \(OA2,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))同向，此时eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))有最大值2eq \r(2)，
当A在A1位置时，eq \(OA1,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝－2，此时为最小值，
故eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，2\r(2))).故选A.
6.在△ABC中，点D满足eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(DB,\s\up6(→))，且CD⊥CB，则当角A最大时，cs A的值为( )
A.－eq \f(4,5)B.eq \f(3,5)
C.eq \f(4,5)D.eq \f(5\r(34),34)
答案 C
解析 由题意，作出示意图如图所示，因为eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(DB,\s\up6(→))，所以eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→)).又eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))，CD⊥CB，
所以eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(CA,\s\up6(→))＋\f(1,4)\(AB,\s\up6(→))))·(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \(CA,\s\up6(→))2＋eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \f(5,4)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝|eq \(CA,\s\up6(→))|2＋eq \f(1,4)|eq \(AB,\s\up6(→))|2－eq \f(5,4)|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(CA,\s\up6(→))|cs A＝0，
所以cs A＝eq \f(|\(CA,\s\up6(→))|2＋\f(1,4)|\(AB,\s\up6(→))|2,\f(5,4)|\(AB,\s\up6(→))|·|\(CA,\s\up6(→))|)
＝eq \f(4AC2＋AB2,5AB·AC)≥eq \f(2\r(4AC2·AB2),5AB·AC)＝eq \f(4,5)，当且仅当AB＝2AC时取等号，故选C.
7.(2022·烟台模拟)已知△ABC为等边三角形，AB＝2，△ABC所在平面内的点P满足|eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|＝1，则|eq \(AP,\s\up6(→))|的最小值为( )
A.eq \r(3)－1B.2eq \r(2)－1
C.2eq \r(3)－1D.eq \r(7)－1
答案 C
解析 因为|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|2＝eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AC,\s\up6(→))2＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(AC,\s\up6(→))|2＋2|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|cs eq \f(π,3)＝12，
所以|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3)，
由平面向量模的三角不等式可得
|eq \(AP,\s\up6(→))|＝|(eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＋(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))|≥||eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|－|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))||＝2eq \r(3)－1.
8.(2022·河北五校联考)已知四边形ABCD是边长为2的正方形，P为平面ABCD内一点，则(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→)))·(eq \(PC,\s\up6(→))＋eq \(PD,\s\up6(→)))的最小值为( )
A.－4B.4
C.无最小值D.0
答案 A
解析 如图所示，建立平面直角坐标系xAy，
则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，
设P(x，y)，
则eq \(PA,\s\up6(→))＝(－x，－y)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(2－x，－y)，eq \(PC,\s\up6(→))＝(2－x，2－y)，eq \(PD,\s\up6(→))＝(－x，2－y)，
所以(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→)))·(eq \(PC,\s\up6(→))＋eq \(PD,\s\up6(→)))
＝(2－2x，－2y)·(2－2x，4－2y)
＝4(x－1)2＋4(y－1)2－4，
因此，当x＝y＝1时，(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→)))·(eq \(PC,\s\up6(→))＋eq \(PD,\s\up6(→)))取得最小值为－4.
综上，故选A.
9.(2022·苏北四市模拟)在菱形ABCD中，∠BAD＝eq \f(2π,3)，AB＝2，点M，N分别为BC，CD边上的点，且满足eq \f(|\(BM,\s\up6(→))|,|\(BC,\s\up6(→))|)＝eq \f(|\(CN,\s\up6(→))|,|\(CD,\s\up6(→))|)，则eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))的最小值为________.
答案 eq \f(3,2)
解析 设eq \f(|\(BM,\s\up6(→))|,|\(BC,\s\up6(→))|)＝eq \f(|\(CN,\s\up6(→))|,|\(CD,\s\up6(→))|)＝t，0≤t≤1，
eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋teq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋teq \(AD,\s\up6(→))，
eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CN,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋teq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))－teq \(AB,\s\up6(→))＝(1－t)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，
所以eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋teq \(AD,\s\up6(→)))·[(1－t)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))]
＝(1－t)eq \(AB,\s\up6(→))2＋teq \(AD,\s\up6(→))2＋(1＋t－t2)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))
＝4(1－t)＋4t＋(1＋t－t2)×2×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝2t2－2t＋2＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,2)，
因为0≤t≤1，所以当t＝eq \f(1,2)时，2t2－2t＋2取得最小值eq \f(3,2)，
即eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))的最小值为eq \f(3,2).
10.已知平面向量a，b是单位向量.若a·b＝0，且|c－a|＋|c－2b|＝eq \r(5)，则|c＋2a|的取值范围是________.
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(6\r(5),5)，3))
解析 由题意，设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，
因为|c－a|＋|c－2b|＝eq \r(5)，
即eq \r(（x－1）2＋y2)＋eq \r(x2＋（y－2）2)＝eq \r(5)，
所以由几何意义可得，点P(x，y)到点A(1，0)和点B(0，2)的距离之和为eq \r(5).
又|AB|＝eq \r(5)，所以点P在线段AB上，且直线AB的方程为2x＋y－2＝0.
因为|c＋2a|＝eq \r(（x＋2）2＋y2)表示点P到点M(－2，0)的距离，
又点M到直线AB的距离为
eq \f(|2×（－2）－2|,\r(1＋4))＝eq \f(6\r(5),5)，
此时，点M到直线AB垂线的垂足在线段AB上，|MA|＝3，|MB|＝2eq \r(2)，
所以|c＋2a|的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(6\r(5),5)，3)).
11.若a，b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝λ|a＋b|，λ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))，则a与a＋b的夹角的取值范围是________.
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3)))
解析 根据题意，设|a＋b|＝t，
则|a|＝|b|＝λt，
设a与a＋b的夹角为θ，
由|a＋b|＝t，
得a2＋2a·b＋b2＝t2，
又|a|＝|b|，
所以a2＋a·b＝eq \f(t2,2)，所以
cs θ＝eq \f(a·（a＋b）,|a||a＋b|)＝eq \f(a2＋a·b,λt×t)＝eq \f(\f(t2,2),λt2)＝eq \f(1,2λ).
又λ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))，
则eq \f(1,2)≤cs θ≤eq \f(\r(2),2)，
又0≤θ≤π，所以θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3))).
12.在△ABC中，点D满足BD＝eq \f(3,4)BC，当E点在线段AD上移动时，若eq \(AE,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则t＝(λ－1)2＋μ2的最小值是________.
答案 eq \f(9,10)
解析 如图所示，△ABC中，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(BC,\s\up6(→))，
∴eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))，
又点E在线段AD上移动，
设eq \(AE,\s\up6(→))＝keq \(AD,\s\up6(→))，0≤k≤1，
∴eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(k,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3k,4)eq \(AC,\s\up6(→))，
又eq \(AE,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝\f(k,4)，,μ＝\f(3k,4)，))
∴t＝(λ－1)2＋μ2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k,4)－1))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3k,4)))eq \s\up12(2)＝eq \f(5k2,8)－eq \f(k,2)＋1，0≤k≤1，
∴当k＝eq \f(2,5)时，t取到最小值，最小值为eq \f(9,10).
二、创新拓展练
13.(2022·广州调研)骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱.如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A(前轮)、圆D(后轮)的半径均为eq \r(3)，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))的最大值为( )
A.18B.24
C.36D.48
答案 C
解析 骑行过程中，A，B，C，D，E相对不动，只有P点绕D点作圆周运动.
如图，以AD为x轴，E为坐标原点建立平面直角坐标系，
由题意得A(－4，0)，B(－2，2eq \r(3))，C(2，2eq \r(3))，
圆D方程为(x－4)2＋y2＝3，
设P(4＋eq \r(3)cs α，eq \r(3)sin α)，
则eq \(AC,\s\up6(→))＝(6，2eq \r(3))，eq \(BP,\s\up6(→))＝(6＋eq \r(3)cs α，eq \r(3)sin α－2eq \r(3))，
eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))＝6(6＋eq \r(3)cs α)＋2eq \r(3)(eq \r(3)sin α－2eq \r(3))＝6eq \r(3)cs α＋6sin α＋24
＝12eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin α＋\f(\r(3),2)cs α))＋24
＝12sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＋24，
易知当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝1时，eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))取得最大值36.
14.已知等边△ABC的面积为9eq \r(3)，且△ABC的内心为M，若平面内的点N满足|MN|＝1，则eq \(NA,\s\up6(→))·eq \(NB,\s\up6(→))的最小值为________.
答案 －5－2eq \r(3)
解析 设等边△ABC的边长为a，
则面积S＝eq \f(\r(3),4)a2＝9eq \r(3)，
解得a＝6，
以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.
因为M为△ABC的内心，
所以点M在OC上，且OM＝eq \f(1,3)OC，
则A(－3，0)，B(3，0)，C(0，3eq \r(3))，M(0，eq \r(3))，
由|MN|＝1，得点N在以M为圆心，1为半径的圆上.
设N(x，y)，则x2＋(y－eq \r(3))2＝1，
即x2＋y2－2eq \r(3)y＋2＝0，
且eq \r(3)－1≤y≤1＋eq \r(3)，
eq \(NA,\s\up6(→))＝(－3－x，－y)，eq \(NB,\s\up6(→))＝(3－x，－y)，
eq \(NA,\s\up6(→))·eq \(NB,\s\up6(→))＝(x＋3)(x－3)＋y2＝x2＋y2－9＝2eq \r(3)y－11≥2eq \r(3)×(eq \r(3)－1)－11＝－5－2eq \r(3).
15.在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E，DF∥AB且交AC于点F，则|2eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))|的值为________；(eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→)))·eq \(DA,\s\up6(→))的最小值为________.
答案 1 eq \f(11,20)
解析 设BE＝x，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).
∵△ABC为边长为1的等边三角形，DE⊥AB，
∴∠BDE＝30°，BD＝2x，DE＝eq \r(3)x，DC＝1－2x.
∵DF∥AB，∴△DFC是边长为1－2x的等边三角形，DE⊥DF，
∴(2eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→)))2＝4eq \(BE,\s\up6(→))2＋4eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))2＝4x2＋4x(1－2x)×cs 0°＋(1－2x)2＝1，
∴|2eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))|＝1.
∵(eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→)))·eq \(DA,\s\up6(→))
＝(eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→)))·(eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(EA,\s\up6(→)))
＝eq \(DE,\s\up6(→))2＋eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))·eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))·eq \(EA,\s\up6(→))＝(eq \r(3)x)2＋0＋0＋(1－2x)·(1－x)＝5x2－3x＋1＝5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,10)))eq \s\up12(2)＋eq \f(11,20)，
所以当x＝eq \f(3,10)时，(eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→)))·eq \(DA,\s\up6(→))取最小值为eq \f(11,20).
16.已知平面单位向量e1，e2满足|2e1－e2|≤eq \r(2).设a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2，向量a，b的夹角为θ，则cs2θ的最小值是__________.
答案 eq \f(28,29)
解析 法一 设e1＝(1，0)，e2＝(x，y)，
则a＝(x＋1，y)，b＝(x＋3，y)，
2e1－e2＝(2－x，－y)，
故|2e1－e2|＝eq \r(（2－x）2＋y2)≤eq \r(2)，
得(x－2)2＋y2≤2.
又有x2＋y2＝1，则(x－2)2＋1－x2≤2，
化简，得4x≥3，即x≥eq \f(3,4)，因此eq \f(3,4)≤x≤1.
cs2θ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a·b,|a|·|b|)))eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(（x＋1）（x＋3）＋y2,\r(（x＋1）2＋y2)\r(（x＋3）2＋y2))))eq \s\up12(2)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4x＋4,\r(2x＋2)\r(6x＋10))))eq \s\up12(2)＝eq \f(4（x＋1）2,（x＋1）（3x＋5）)
＝eq \f(4（x＋1）,3x＋5)＝eq \f(\f(4,3)（3x＋5）－\f(8,3),3x＋5)＝eq \f(4,3)－eq \f(\f(8,3),3x＋5)，
当x＝eq \f(3,4)时，cs2θ有最小值，
为eq \f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)＋1)),3×\f(3,4)＋5)＝eq \f(28,29).
法二 单位向量e1，e2满足|2e1－e2|≤eq \r(2)，
所以|2e1－e2|2＝5－4e1·e2≤2，
即e1·e2≥eq \f(3,4).
因为a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2，a，b的夹角为θ，
所以cs2 θ＝eq \f(（a·b）2,|a|2|b|2)
＝eq \f([（e1＋e2）·（3e1＋e2）]2,|e1＋e2|2·|3e1＋e2|2)
＝eq \f(（4＋4e1·e2）2,（2＋2e1·e2）（10＋6e1·e2）)
＝eq \f(4＋4e1·e2,5＋3e1·e2).
不妨设t＝e1·e2，则t≥eq \f(3,4)，cs2 θ＝eq \f(4＋4t,5＋3t)，
又y＝eq \f(4＋4t,5＋3t)在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，＋∞))上单调递增.
所以cs2 θ≥eq \f(4＋3,5＋\f(9,4))＝eq \f(28,29).
所以cs2 θ的最小值为eq \f(28,29).
法三 由题意，不妨设
e1＝(1，0)，e2＝(cs x，sin x).
因为|2e1－e2|≤eq \r(2)，
所以eq \r(（2－cs x）2＋sin2 x)≤eq \r(2)，
得5－4cs x≤2，
即cs x≥eq \f(3,4).
易知a＝(1＋cs x，sin x)，
b＝(3＋cs x，sin x)，
所以a·b＝(1＋cs x)(3＋cs x)＋sin2x＝4＋4cs x，
|a|2＝(1＋cs x)2＋sin2 x＝2＋2cs x，
|b|2＝(3＋cs x)2＋sin2 x＝10＋6cs x，
所以cs2 θ＝eq \f(（a·b）2,|a|2|b|2)
＝eq \f(（4＋4cs x）2,（2＋2cs x）（10＋6cs x）)＝eq \f(4＋4cs x,5＋3cs x).
不妨设m＝cs x，
则m≥eq \f(3,4)，cs2 θ＝eq \f(4＋4m,5＋3m)，
又y＝eq \f(4＋4m,5＋3m)在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，＋∞))上单调递增，
所以cs2 θ≥eq \f(4＋3,5＋\f(9,4))＝eq \f(28,29)，
所以cs2 θ的最小值为eq \f(28,29).