微专题5　与平面向量有关的最值、范围问题

这是一份微专题5　与平面向量有关的最值、范围问题，共4页。试卷主要包含了基本技能练，创新拓展练等内容，欢迎下载使用。

微专题5 与平面向量有关的最值、范围问题
一、基本技能练
1.已知向量a＝(eq \r(3)，1)，b＝(1，eq \r(3))，则|λa－b|(λ∈R)的最小值为( )
A.2 B.eq \f(\r(3),2)
C.1 D.eq \r(3)
2.设向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(a，－1)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(－b，0)，其中O为坐标原点，a>0，b>0，若A，B，C三点共线，则eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为( )
A.4 B.6
C.8 D.9
3.(多选)已知向量a，b，单位向量e，若a·e＝1，b·e＝2，a·b＝3，则|a＋b|的可能取值为( )
A.3 B.eq \r(10)
C.eq \r(13) D.6
4.(2023·烟台模拟)在△OAB中，OA＝OB＝2，AB＝2eq \r(3)，动点P位于线段AB上，当eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PO,\s\up6(→))取得最小值时，向量eq \(PA,\s\up6(→))与eq \(PO,\s\up6(→))的夹角的余弦值为( )
A.－eq \f(2\r(7),7) B.eq \f(2\r(7),7)
C.－eq \f(\r(21),7) D.eq \f(\r(21),7)
5.(2023·长沙模拟)已知a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0.若向量c满足|a＋b－2c|＝1，则|c|的取值范围是( )
A.[1，eq \r(5)－1] B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)－1,2)，\f(\r(3)＋1,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)－1,2)，\f(\r(5)＋1,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)＋1,2)，\f(5,2)))
6.设θ为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，|b－ta|的最小值为1，则( )
A.若θ确定，则|a|唯一确定
B.若θ确定，则|b|唯一确定
C.若|a|确定，则θ唯一确定
D.若|b|确定，则θ唯一确定
7.已知△ABC为等边三角形，AB＝2，△ABC所在平面内的点P满足|eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|＝1，则|eq \(AP,\s\up6(→))|的最小值为( )
A.eq \r(3)－1 B.2eq \r(2)－1
C.2eq \r(3)－1 D.eq \r(7)－1
8.已知四边形ABCD是边长为2的正方形，P为平面ABCD内一点，则(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→)))·(eq \(PC,\s\up6(→))＋eq \(PD,\s\up6(→)))的最小值为( )
A.－4 B.4
C.无最小值 D.0
9.(2023·宁波调研)在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，E为边BC上的动点(不含端点)，eq \(AE,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))＋μeq \(DO,\s\up6(→))，则eq \f(2,λ)＋eq \f(1,μ)的最小值为( )
A.2 B.5
C.eq \f(9,2) D.eq \f(14,3)
10.(多选)正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意一点，eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AD,\s\up6(→))＋μeq \(AE,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则( )
A.λ的最大值为eq \f(1,2)B.μ的最大值为1
C.eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))的最大值为2D.eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))的最大值为eq \r(5)＋2
11.在△ABC中，AB＝2AC＝4，eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))2，则|λeq \(AB,\s\up6(→))＋(2－2λ)eq \(AC,\s\up6(→))|的最小值为____________；若P为边AB上一点，则eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的最小值为________.
12.已知平面向量a，b是单位向量.若a·b＝0，且|c－a|＋|c－2b|＝eq \r(5)，则|c＋2a|的取值范围是________.
二、创新拓展练
13.(2023·佛山模拟)在△ABC中，AB＝eq \r(2)，∠ACB＝eq \f(π,4)，O是△ABC的外接圆圆心，则eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))的最大值为( )
A.0 B.1
C.3 D.5
14.(2018·浙江卷)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为eq \f(π,3)，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是( )
A.eq \r(3)－1 B.eq \r(3)＋1
C.2 D.2－eq \r(3)
15.(多选)(2023·武汉调研)如图，已知扇形OAB的半径为1，∠AOB＝eq \f(π,2)，点C，D分别为线段OA，OB上的动点，且CD＝1，点E为eq \(AB,\s\up8(︵))上的任意一点，则下列结论正确的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(OE,\s\up6(→))的最小值为0B.eq \(EA,\s\up6(→))·eq \(EB,\s\up6(→))的最小值为1－eq \r(2)
C.eq \(EC,\s\up6(→))·eq \(ED,\s\up6(→))的最大值为1D.eq \(EC,\s\up6(→))·eq \(ED,\s\up6(→))的最小值为0
16.(2023·大连适应性考试)已知向量a与b的夹角为120°，且a·b＝－2，向量c满足c＝λa＋(1－λ)b(0<λ<1)，且a·c＝b·c，记向量c在向量a与b方向上的投影分别为x，y.现有两个结论：①若λ＝eq \f(1,3)，则|a|＝2|b|；②x2＋y2＋xy的最大值为eq \f(3,4)，则正确的判断是( )
A.①成立，②成立 B.①成立，②不成立
C.①不成立，②成立 D.①不成立，②不成立
17.已知平面单位向量e1，e2满足|2e1－e2|≤eq \r(2).设a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2，向量a，b的夹角为θ，则cs2θ的最小值是__________.
18.(2023·泰安模拟)如图，在△ABC中，∠BAC＝eq \f(π,3)，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，点P在线段CD上(P不与C，D点重合)，若△ABC的面积为4eq \r(3)，eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，则实数m＝________，|eq \(AP,\s\up6(→))|的最小值为________.