【最新】2023版高中高考数学二轮专题复习微专题5　与平面向量有关的最值、范围问题

这是一份【最新】2023版高中高考数学二轮专题复习微专题5　与平面向量有关的最值、范围问题，共21页。


1.(2018·浙江卷)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为eq \f(π,3)，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是( )
A.eq \r(3)－1 B.eq \r(3)＋1
C.2 D.2－eq \r(3)
答案 A
解析 法一 设O为坐标原点，a＝eq \(OA,\s\up6(→))，b＝eq \(OB,\s\up6(→))＝(x，y)，e＝(1，0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以点B的轨迹是以C(2，0)为圆心，1为半径的圆.
因为a与e的夹角为eq \f(π,3)，
所以不妨令点A在射线y＝eq \r(3)x(x>0)上，
如图，数形结合可知|a－b|min＝|eq \(CA,\s\up6(→))|－|eq \(CB,\s\up6(→))|＝eq \r(3)－1.故选A.
法二 由b2－4e·b＋3＝0得b2－4e·b＋3e2＝(b－e)·(b－3e)＝0.
设b＝eq \(OB,\s\up6(→))，e＝eq \(OE,\s\up6(→))，3e＝eq \(OF,\s\up6(→))，所以b－e＝eq \(EB,\s\up6(→))，b－3e＝eq \(FB,\s\up6(→))，所以eq \(EB,\s\up6(→))·eq \(FB,\s\up6(→))＝0.
取EF的中点为C，则B在以C为圆心，EF为直径的圆上，如图.
设a＝eq \(OA,\s\up6(→))，作射线OA，使得∠AOE＝eq \f(π,3)，
所以|a－b|＝|(a－2e)＋(2e－b)|≥|a－2e|－|2e－b|＝|eq \(CA,\s\up6(→))|－|eq \(BC,\s\up6(→))|≥eq \r(3)－1.
故选A.
2.(2017·全国Ⅲ卷)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))，则λ＋μ的最大值为( )
A.3 B.2eq \r(2)
C.eq \r(5) D.2
答案 A
解析 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，
则B(1，0)，D(0，2)，C(1，2)，直线BD的方程为：y＝－2x＋2，
⊙C方程为：(x－1)2＋(y－2)2＝r2，
又eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，0)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(0，2)，
则eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))＝(λ，2μ)，
又圆与直线BD相切，则半径r＝eq \f(2,\r(5)).
因为P点坐标可表示为x＝1＋rcs θ＝λ，
y＝2＋rsin θ＝2μ，
则λ＋μ＝2＋eq \f(r,2)sin θ＋rcs θ＝2＋eq \f(\r(5)r,2)sin(θ＋φ)，
当sin(θ＋φ)＝1时，有最大值，为2＋eq \f(\r(5),2)×eq \f(2,\r(5))＝3.
3.(2022·北京卷)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的取值范围是( )
A.[－5，3] B.[－3，5]
C.[－6，4] D.[－4，6]
答案 D
解析 以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，
则A(3，0)，B(0，4).
设P(x，y)，
则x2＋y2＝1，eq \(PA,\s\up6(→))＝(3－x，－y)，
eq \(PB,\s\up6(→))＝(－x，4－y)，
所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝x2－3x＋y2－4y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＋(y－2)2－eq \f(25,4).
又eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＋(y－2)2表示圆x2＋y2＝1上一点到点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))距离的平方，圆心(0，0)到点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))的距离为eq \f(5,2)，
所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－1))\s\up12(2)－\f(25,4)，\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)＋1))\s\up12(2)－\f(25,4)))，
即eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))∈[－4，6]，故选D.
4.(2020·浙江卷)已知平面单位向量e1，e2满足|2e1－e2|≤eq \r(2).设a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2，向量a，b的夹角为θ，则cs2θ的最小值是__________.
答案 eq \f(28,29)
解析 法一 设e1＝(1，0)，e2＝(x，y)，
则a＝(x＋1，y)，b＝(x＋3，y).
由2e1－e2＝(2－x，－y)，
故|2e1－e2|＝eq \r(（2－x）2＋y2)≤eq \r(2)，
得(x－2)2＋y2≤2.
又有x2＋y2＝1，得(x－2)2＋1－x2≤2，
化简，得4x≥3，即x≥eq \f(3,4)，因此eq \f(3,4)≤x≤1.
cs2θ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a·b,|a|·|b|)))eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(（x＋1）（x＋3）＋y2,\r(（x＋1）2＋y2)\r(（x＋3）2＋y2))))eq \s\up12(2)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4x＋4,\r(2x＋2)\r(6x＋10))))eq \s\up12(2)＝eq \f(4（x＋1）2,（x＋1）（3x＋5）)
＝eq \f(4（x＋1）,3x＋5)＝eq \f(\f(4,3)（3x＋5）－\f(8,3),3x＋5)＝eq \f(4,3)－eq \f(\f(8,3),3x＋5)，
当x＝eq \f(3,4)时，cs2θ有最小值，为eq \f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)＋1)),3×\f(3,4)＋5)＝eq \f(28,29).
法二 单位向量e1，e2满足|2e1－e2|≤eq \r(2)，
所以|2e1－e2|2＝5－4e1·e2≤2，
即e1·e2≥eq \f(3,4).
因为a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2，a，b的夹角为θ，
所以cs2 θ＝eq \f(（a·b）2,|a|2|b|2)＝eq \f([（e1＋e2）·（3e1＋e2）]2,|e1＋e2|2·|3e1＋e2|2)＝eq \f(（4＋4e1·e2）2,（2＋2e1·e2）（10＋6e1·e2）)
＝eq \f(4＋4e1·e2,5＋3e1·e2).
不妨设t＝e1·e2，则t≥eq \f(3,4)，cs2 θ＝eq \f(4＋4t,5＋3t)，
又y＝eq \f(4＋4t,5＋3t)在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，＋∞))上单调递增.
所以cs2 θ≥eq \f(4＋3,5＋\f(9,4))＝eq \f(28,29).
所以cs2 θ的最小值为eq \f(28,29).
法三 由题意，不妨设e1＝(1，0)，e2＝(cs x，sin x).
因为|2e1－e2|≤eq \r(2)，
所以eq \r(（2－cs x）2＋sin2 x)≤eq \r(2)，
得5－4cs x≤2，即cs x≥eq \f(3,4).
易知a＝(1＋cs x，sin x)，
b＝(3＋cs x，sin x)，
所以a·b＝(1＋cs x)(3＋cs x)＋sin2x＝4＋4cs x，
|a|2＝(1＋cs x)2＋sin2 x＝2＋2cs x，
|b|2＝(3＋cs x)2＋sin2 x＝10＋6cs x，
所以cs2 θ＝eq \f(（a·b）2,|a|2|b|2)＝eq \f(（4＋4cs x）2,（2＋2cs x）（10＋6cs x）)＝eq \f(4＋4cs x,5＋3cs x).
不妨设m＝cs x，
则m≥eq \f(3,4)，cs2 θ＝eq \f(4＋4m,5＋3m)，
又y＝eq \f(4＋4m,5＋3m)在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，＋∞))上单调递增，
所以cs2 θ≥eq \f(4＋3,5＋\f(9,4))＝eq \f(28,29)，
所以cs2 θ的最小值为eq \f(28,29).
热点一 向量数量积的最值或范围问题
数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解；(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解；(3)运用平面向量基本定理，将数量积的两个向量用基底表示后，再运算.
例1 已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))的取值范围是( )
A.(－2，6) B.(－6，2)
C.(－2，4) D.(－4，6)
答案 A
解析 法一 如图，
取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(2，0)，C(3，eq \r(3))，F(－1，eq \r(3)).
设P(x，y)，则eq \(AP,\s\up6(→))＝(x，y)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，0)，且－1＜x＜3.
所以eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝(x，y)·(2，0)＝2x∈(－2，6).故选A.
法二 eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝|eq \(AP,\s\up6(→))|·|eq \(AB,\s\up6(→))|·cs∠PAB＝2|eq \(AP,\s\up6(→))|cs∠PAB，
又|eq \(AP,\s\up6(→))|cs∠PAB表示eq \(AP,\s\up6(→))在eq \(AB,\s\up6(→))方向上的投影，所以结合图形可知，当P与C重合时投影最大，当P与F重合时投影最小.
又eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \r(3)×2×cs 30°＝6，
eq \(AF,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝2×2×cs 120°＝－2，
故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))∈(－2，6)，故选A.
规律方法 结合图形求解运算量较小，建立坐标系将eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))用某个变量表示，转化为函数的值域问题，其中选择的变量要有可操作性.
训练1 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，DE＝2EC，M为BC的中点，若点P在线段BD上运动，则eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(PM,\s\up6(→))的最小值为________.
答案 eq \f(23,52)
解析 以A为坐标原点，AB，AD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，
则E(2，2)，M(3，1)，
又eq \(AB,\s\up6(→))＝(3，0)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(0，2)，
令eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋(1－λ)eq \(AD,\s\up6(→))＝(3λ，2－2λ)，0≤λ≤1，
故P(3λ，2－2λ)，
则eq \(PE,\s\up6(→))＝(2－3λ，2λ)，
eq \(PM,\s\up6(→))＝(3－3λ，2λ－1)，
eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(PM,\s\up6(→))＝(2－3λ)(3－3λ)＋2λ(2λ－1)＝13λ2－17λ＋6，
所以λ＝eq \f(17,26)时，eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(PM,\s\up6(→))取最小值eq \f(23,52).
热点二 向量模的最值或范围问题
向量的模指的是有向线段的长度，可以利用坐标表示，也可以借助“形”，结合平面几何知识求解.如果直接求模不易，可以将向量用基底向量表示再求.
例2 (1)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|eq \(PA,\s\up6(→))＋3eq \(PB,\s\up6(→))|的最小值为________.
(2)若向量a＝(x，2)，b＝(－3，y)，c＝(－1，－2)，且(a－c)⊥(b＋c)，则|a－b|的最小值为________.
答案 (1)5 (2)eq \r(2)
解析 (1)如图，以DA，DC所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系.
则A(2，0)，B(1，a)，C(0，a)，D(0，0)，
设P(0，b)(0≤b≤a)，
则eq \(PA,\s\up6(→))＝(2，－b)，
eq \(PB,\s\up6(→))＝(1，a－b)，
∴eq \(PA,\s\up6(→))＋3eq \(PB,\s\up6(→))＝(5，3a－4b)，
∴|eq \(PA,\s\up6(→))＋3eq \(PB,\s\up6(→))|＝eq \r(25＋（3a－4b）2)≥5，
即当3a＝4b时，取得最小值5.
(2)由题设，a－c＝(x＋1，4)，b＋c＝(－4，y－2)，又(a－c)⊥(b＋c)，
∴(a－c)·(b＋c)＝－4(x＋1)＋4(y－2)＝0，则x－y＋3＝0，
又a－b＝(x＋3，2－y)，
则|a－b|＝eq \r(（x＋3）2＋（2－y）2)，
∴求|a－b|的最小值，即求定点(－3，2)到直线x－y＋3＝0的距离，
∴|a－b|min＝eq \f(|－3－2＋3|,\r(2))＝eq \r(2).
规律方法 模的范围或最值常见方法
(1)通过|a|2＝a2转化为实数问题；
(2)数形结合；
(3)坐标法.
训练2 已知a，b为非零向量，且|a|＝|a＋b|＝1，则|2a＋b|＋|b|的最大值为________.
答案 2eq \r(2)
解析 法一 设a＝(1，0)，
b＝(cs θ－1，sin θ)，
则|2a＋b|＋|b|＝eq \r(（cs θ＋1）2＋sin2θ)＋eq \r(（cs θ－1）2＋sin2θ)
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs \f(θ,2)))＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(θ,2)))))≤2eq \r(2).
法二 设eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝a，,n＝a＋b，))
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a＋b＝n＋m，,b＝n－m，))
且|n|＝|m|＝1，
所以|2a＋b|＋|b|＝|n＋m|＋|n－m|≤eq \r(2（|n＋m|2＋|n－m|2）)
＝eq \r(4（|n|2＋|m|2）)＝2eq \r(2).
热点三 向量夹角的取值范围问题
求向量夹角的取值范围、最值，往往要将夹角与其某个三角函数值用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，要注意变量之间的关系.
例3 若平面向量a，b，c满足|c|＝2，a·c＝2，b·c＝6，a·b＝2，则a，b夹角的取值范围是________.
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))
解析 设c＝(2，0)，a＝(x1，y1)，
b＝(x2，y2)，
设a，b的夹角为θ，
a·c＝2x1＝2⇒x1＝1，
b·c＝2x2＝6⇒x2＝3，
所以a＝(1，y1)，b＝(3，y2)，
a·b＝3＋y1y2＝2⇒y1y2＝－1⇒y2＝－eq \f(1,y1)，
所以cs θ＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(2,\r(1＋yeq \\al(2,1))·\r(9＋\f(1,yeq \\al(2,1))))＝eq \f(2,\r(10＋9yeq \\al(2,1)＋\f(1,yeq \\al(2,1))))≤eq \f(2,\r(10＋2\r(9yeq \\al(2,1)·\f(1,yeq \\al(2,1)))))
＝eq \f(1,2)，
当且仅当y1＝±eq \f(\r(3),3)时，等号成立，
显然cs θ>0，即0又0≤θ≤π，故eq \f(π,3)≤θ因此，a，b夹角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2))).
规律方法 本题考查向量夹角取值范围的计算，解题的关键就是将向量的坐标特殊化处理，借助基本不等式来求解.
训练3 已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，1)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(1，a)，其中O为原点，若向量eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的夹角在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,12)))内变化，则实数a的取值范围是______.
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\r(3)))
解析 因为eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，1)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(1，a)，
所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝1＋a，
又eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \r(2)·eq \r(1＋a2)cs θ，
故cs θ＝eq \f(1＋a,\r(2（1＋a2）))，
又θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,12)))，
故cs θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(6)＋\r(2),4)，1))，
即eq \f(1＋a,\r(2（1＋a2）))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(6)＋\r(2),4)，1))，
解得eq \f(\r(3),3)≤a≤eq \r(3).
热点四 向量系数的取值范围问题
此类问题一般要利用共线向量定理或平面向量基本定理寻找系数之间的关系，然后利用函数的性质或基本不等式求解.
例4 (2022·西安调研)在△ABC中，点D满足BD＝eq \f(3,4)BC，当E点在线段AD上移动时，若eq \(AE,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则t＝(λ－1)2＋μ2的最小值是________.
答案 eq \f(9,10)
解析 如图所示，
△ABC中，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(BC,\s\up6(→))，
∴eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))，
又点E在线段AD上移动，
设eq \(AE,\s\up6(→))＝keq \(AD,\s\up6(→))，0≤k≤1，
∴eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(k,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3k,4)eq \(AC,\s\up6(→))，
又eq \(AE,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝\f(k,4)，,μ＝\f(3k,4)，))
∴t＝(λ－1)2＋μ2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k,4)－1))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3k,4)))eq \s\up12(2)＝eq \f(5k2,8)－eq \f(k,2)＋1，0≤k≤1，
∴当k＝eq \f(2,5)时，t取到最小值，最小值为eq \f(9,10).
规律方法 平面向量中涉及系数的范围问题时，要注意利用向量的模、数量积、夹角之间的关系，通过列不等式或等式得关于系数的关系式，从而求系数的取值范围.
训练4 设e1，e2是平面内两个不共线的向量，eq \(AB,\s\up6(→))＝(a－1)e1＋e2，eq \(AC,\s\up6(→))＝be1－2e2，a>0，b>0.若A，B，C三点共线，则eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值是________.
答案 4
解析 ∵A，B，C三点共线，
∴设eq \(AB,\s\up6(→))＝xeq \(AC,\s\up6(→))，
即(a－1)e1＋e2＝x(be1－2e2)，
∵e1，e2是平面内两个不共线的向量，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－1＝xb，,1＝－2x，))
解得x＝－eq \f(1,2)，a－1＝－eq \f(1,2)b，
即a＋eq \f(1,2)b＝1，
∵a>0，b>0.
∴eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(2,b)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)b))＝1＋1＋eq \f(b,2a)＋eq \f(2a,b)≥2＋2eq \r(\f(b,2a)×\f(2a,b))＝2＋2＝4.
当且仅当eq \f(b,2a)＝eq \f(2a,b)，
即b＝2a，即a＝eq \f(1,2)，b＝1时，取等号，故最小值为4.
一、基本技能练
1.已知向量a＝(eq \r(3)，1)，b＝(1，eq \r(3))，则|λa－b|(λ∈R)的最小值为( )
A.2 B.eq \f(\r(3),2)
C.1 D.eq \r(3)
答案 C
解析 由题意可得λa－b＝λ(eq \r(3)，1)－(1，eq \r(3))＝(eq \r(3)λ－1，λ－eq \r(3))，
所以，|λa－b|2＝(eq \r(3)λ－1)2＋(λ－eq \r(3))2＝4λ2－4eq \r(3)λ＋4＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－\f(\r(3),2)))eq \s\up12(2)＋1，
故当λ＝eq \f(\r(3),2)时，|λa－b|取得最小值1.
2.已知a＝(x，y)，b＝(x－1，9)(x>0，y>0)，若a∥b，则x＋y的最小值为( )
A.6 B.9
C.16 D.18
答案 C
解析 ∵a＝(x，y)，b＝(x－1，9)(x>0，y>0)，a∥b，
∴9x－y(x－1)＝0，
∴9x＋y＝xy，即eq \f(9,y)＋eq \f(1,x)＝1，
∵x>0，y>0.
∴x＋y＝(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,y)＋\f(1,x)))
＝10＋eq \f(9x,y)＋eq \f(y,x)≥10＋2eq \r(\f(9x,y)·\f(y,x))＝16，
当且仅当eq \f(9x,y)＝eq \f(y,x)，
即x＝4，y＝12时取等号，所以x＋y的最小值为16.
3.若向量a＝(1，2x)，b＝(4，－2x)，则向量a与b的夹角为锐角的充要条件是( )
A.(－2，2)B.(0，＋∞)
C.(－∞，－2)∪(2，＋∞)D.(－1，0)∪(0，1)
答案 D
解析 因为a＝(1，2x)，b＝(4，－2x)且向量a与b的夹角为锐角，
所以a·b>0且a与b不共线，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1×4＋2x×（－2x）>0，,1×（－2x）≠4×2x，))
解得－1所以x∈(－1，0)∪(0，1)，故选D.
4.(2022·许昌调考)已知P是边长为3的正方形ABCD内(包含边界)的一点，则eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))的最大值是( )
A.6 B.3
C.9 D.8
答案 C
解析 以A点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，
设P(x，y)(0≤x≤3，0≤y≤3)，
可得A(0，0)，B(3，0)，
所以eq \(AP,\s\up6(→))＝(x，y)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(3，0)，
故eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝(x，y)·(3，0)＝3x，
当x＝3时，eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))最大，最大值为9，
故选C.
5.已知AB是圆O：x2＋y2＝1的任意一条直径，点P在直线x＋2y－a＝0(a>0)上运动，若eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最小值为4，则实数a的值为( )
A.2 B.4
C.5 D.6
答案 C
解析 eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝(eq \(PO,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→)))·(eq \(PO,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))＝|eq \(PO,\s\up6(→))|2＋eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝|eq \(PO,\s\up6(→))|2－1，
由题得|eq \(OP,\s\up6(→))|的最小值为eq \r(5)，即点O到直线的距离为eq \r(5)，
∴eq \f(|a|,\r(5))＝eq \r(5)⇒a＝5.
6.已知向量a＝(1，2x)，b＝(0，2)，则eq \f(a·b,a2)的最大值为( )
A.2eq \r(2) B.2
C.eq \r(2) D.1
答案 D
解析 由向量a＝(1，2x)，b＝(0，2)，得eq \f(a·b,a2)＝eq \f(4x,4x2＋1)，
当x≤0时，eq \f(a·b,a2)≤0，
当x>0时，eq \f(a·b,a2)＝eq \f(4x,4x2＋1)＝eq \f(4,4x＋\f(1,x))≤eq \f(4,2\r(4x·\f(1,x)))＝1，
当且仅当4x＝eq \f(1,x)，即x＝eq \f(1,2)时，取等号，
综上，eq \f(a·b,a2)的最大值为1.
7.已知单位向量a，b满足|a－b|＋2eq \r(3)a·b＝0，则|ta＋b|(t∈R)的最小值为( )
A.eq \f(\r(2),3) B.eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(2\r(2),3) D.eq \f(\r(2),2)
答案 B
解析 由|a－b|＋2eq \r(3)a·b＝0，
得|a－b|＝－2eq \r(3)a·b，
两边平方，得a2－2a·b＋b2＝12(a·b)2，
即12(a·b)2＋2a·b－2＝0，
整理得(2a·b＋1)(3a·b－1)＝0，
所以a·b＝－eq \f(1,2)或a·b＝eq \f(1,3).
因为|a－b|＝－2eq \r(3)a·b≥0，
所以a·b≤0，
所以a·b＝－eq \f(1,2)，
所以|ta＋b|＝eq \r(|ta＋b|2)＝eq \r(t2＋1＋2ta·b)＝eq \r(t2－t＋1)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(3,4))
≥eq \f(\r(3),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当t＝\f(1,2)时取“＝”)).
8.(2022·苏州模拟)已知△ABC为等边三角形，AB＝2，△ABC所在平面内的点P满足|eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|＝1，则|eq \(AP,\s\up6(→))|的最小值为( )
A.eq \r(3)－1 B.2eq \r(2)－1
C.2eq \r(3)－1 D.eq \r(7)－1
答案 C
解析 因为|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|2＝eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AC,\s\up6(→))2＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(AC,\s\up6(→))|2＋2|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|cs eq \f(π,3)＝12，
所以|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3)，
由平面向量模的三角不等式可得
|eq \(AP,\s\up6(→))|＝|(eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＋(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))|≥||eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|－|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))||
＝2eq \r(3)－1.
9.(2022·九江模拟)点O为坐标原点，若A，B是圆x2＋y2＝16上的两个动点，且∠AOB＝120°，点P在直线3x＋4y＋25＝0上运动，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最小值是( )
A.－3 B.－4
C.－5 D.－6
答案 A
解析 如图，取线段AB的中点M，连接OM，
则OM⊥AB，
∵A，B是圆x2＋y2＝16上的两个动点，且∠AOB＝120°，则OM＝2，即M点的轨迹为以原点为圆心，以2为半径的圆，
eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝(eq \(PM,\s\up6(→))＋eq \(MA,\s\up6(→)))·(eq \(PM,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→)))＝eq \(PM,\s\up6(→))2＋(eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→)))·eq \(PM,\s\up6(→))＋eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝eq \(PM,\s\up6(→))2－12，
设原点到直线3x＋4y＋25＝0的距离为d，
则d＝eq \f(|25|,\r(32＋42))＝5，
∴PMmin＝d－2＝3，
eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最小值是－3.
10.(2022·兰州调研)已知eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(AC,\s\up6(→))，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \f(1,t)，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(4\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)，则eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的最大值等于( )
A.13 B.15
C.19 D.21
答案 A
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，
则Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)，0))，C(0，t)，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)，0))，eq \(AC,\s\up6(→))＝(0，t)，
eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(4\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)＝teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)，0))＋eq \f(4,t)(0，t)＝(1，4)，
∴P(1，4)，
eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)－1，－4))·(－1，t－4)
＝17－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)＋4t))≤17－2eq \r(\f(1,t)·4t)＝13，
当且仅当t＝eq \f(1,2)时等号成立.
∴eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的最大值等于13.
11.若a，b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝λ|a＋b|，λ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))，则a与a＋b的夹角的取值范围是________.
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3)))
解析 根据题意，设|a＋b|＝t，
则|a|＝|b|＝λt，
设a与a＋b的夹角为θ，
由|a＋b|＝t，
得a2＋2a·b＋b2＝t2，
又|a|＝|b|，
所以a2＋a·b＝eq \f(t2,2)，所以cs θ＝eq \f(a·（a＋b）,|a||a＋b|)＝eq \f(a2＋a·b,λt×t)＝eq \f(\f(t2,2),λt2)＝eq \f(1,2λ).
又λ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))，
则eq \f(1,2)≤cs θ≤eq \f(\r(2),2)，
又0≤θ≤π，所以θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3))).
12.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2aeq \(BC,\s\up6(→))＋beq \(CA,\s\up6(→))＋ceq \(AB,\s\up6(→))＝0，则△ABC的最小角的余弦值为________.
答案 eq \f(7,8)
解析 由2aeq \(BC,\s\up6(→))＋beq \(CA,\s\up6(→))＋ceq \(AB,\s\up6(→))＝0可得2aeq \(BC,\s\up6(→))＋beq \(CA,\s\up6(→))＋c(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))＝0，
即(2a－c)eq \(BC,\s\up6(→))＋(b－c)eq \(CA,\s\up6(→))＝0，
所以(2a－c)eq \(BC,\s\up6(→))＝(c－b)eq \(CA,\s\up6(→))，
而eq \(BC,\s\up6(→))和eq \(CA,\s\up6(→))不共线，
所以2a－c＝0，c－b＝0，
解得b＝c＝2a，
所以边a为最小的边，故角A为最小的角，
由余弦定理可得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(4a2＋4a2－a2,2×2a×2a)＝eq \f(7,8)，
所以△ABC的最小角的余弦值为eq \f(7,8).
二、创新拓展练
13.(2022·新余模拟)已知△ABC是顶角A为120°，腰长为2的等腰三角形，P为平面ABC内一点，则eq \(PA,\s\up6(→))·(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))的最小值是( )
A.－eq \f(1,2) B.－eq \f(3,2)
C.－eq \f(1,4) D.－1
答案 A
解析 如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线DA为y轴，D为坐标原点建立平面直角坐标系，
则A(0，1)，B(－eq \r(3)，0)，C(eq \r(3)，0)，
设P(x，y)，
所以eq \(PA,\s\up6(→))＝(－x，1－y)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)－x，－y)，eq \(PC,\s\up6(→))＝(eq \r(3)－x，－y)，
所以eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝(－2x，－2y)，
eq \(PA,\s\up6(→))·(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))＝2x2－2y(1－y)＝2x2＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,2)≥－eq \f(1,2)，
当Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))时，所求的最小值为－eq \f(1,2).
14.平面上的两个向量eq \(OA,\s\up6(→))和eq \(OB,\s\up6(→))，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝cs α，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝sin α，α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，若向量eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，且(2λ－1)2cs2α＋(2μ－1)2sin2α＝eq \f(1,4)，
则|eq \(OC,\s\up6(→))|的最大值为( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(3,4)
C.eq \f(3,5) D.eq \f(3,7)
答案 B
解析 ∵eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，
∴OA⊥OB，
∵|eq \(OA,\s\up6(→))|＝cs α，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝sin α，α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
∴|eq \(AB,\s\up6(→))|＝1，取AB的中点D，
且|eq \(OD,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)，如图所示.
则eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))，
∴eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－\f(1,2)))eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(μ－\f(1,2)))eq \(OB,\s\up6(→))，
∴eq \(DC,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－\f(1,2)))eq \s\up12(2)cs2α＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(μ－\f(1,2)))eq \s\up12(2)sin2α
＝eq \f(1,4)[(2λ－1)2cs2α＋(2μ－1)2sin2α]，
∵(2λ－1)2cs2α＋(2μ－1)2sin2α＝eq \f(1,4)，
∴|eq \(DC,\s\up6(→))|＝eq \f(1,4)，
∴C在以D为圆心，eq \f(1,4)为半径的圆上，
∴|eq \(OC,\s\up6(→))|的最大值为eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＝eq \f(3,4).
15.已知O是△ABC的外心，cs A＝eq \f(3,5)，若eq \(AO,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，则x＋y的最大值为________.
答案 eq \f(5,8)
解析
如图，延长AO交BC于D，
设eq \(AO,\s\up6(→))＝keq \(AD,\s\up6(→))，
则eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,k)eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(x,k)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(y,k)eq \(AC,\s\up6(→)).
因为D在BC上，
所以eq \f(x,k)＋eq \f(y,k)＝1，k＝x＋y.
注意到k＝eq \f(AO,AD)＝eq \f(AO,AO＋OD)，
而AO是定值，故OD最小，即OD⊥BC时，k取最大值.
此时△ABC是等腰三角形，∠BOD＝eq \f(1,2)∠BOC＝A，cs∠BOD＝eq \f(OD,OB)＝eq \f(3,5).
k＝eq \f(AO,AO＋OD)＝eq \f(5,5＋3)＝eq \f(5,8).
16.已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a＋b|＝1，则|c－b|的取值范围是________.
答案 [eq \r(5)－1，eq \r(5)＋1]
解析 由a，b是单位向量，且a·b＝0，则可设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y).
∵向量c满足|c－a＋b|＝1，
∴|(x－1，y＋1)|＝1，
∴eq \r(（x－1）2＋（y＋1）2)＝1，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝1，
它表示圆心为C(1，－1)，半径为r＝1的圆，又|c－b|＝|(x，y－1)|＝eq \r(x2＋（y－1）2)，它表示圆C上的点到点B(0，1)的距离，如图所示，
且|BC|＝eq \r(12＋（－1－1）2)＝eq \r(5)，
∴eq \r(5)－1≤|PB|≤eq \r(5)＋1，
即|c－b|的取值范围是[eq \r(5)－1，eq \r(5)＋1].