资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩3页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
专题02 椭圆的焦点弦，中点弦，弦长问题-备战2024年新高考数学之圆锥曲线专项高分突破（新高考专用）
展开
这是一份专题02 椭圆的焦点弦，中点弦，弦长问题-备战2024年新高考数学之圆锥曲线专项高分突破（新高考专用），文件包含专题02椭圆的焦点弦中点弦弦长问题原卷版docx、专题02椭圆的焦点弦中点弦弦长问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．过椭圆的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于两点，则等于（ ）
A．4B．2
C．1D．4
【解析】因为椭圆，可得，所以，
所以椭圆的右焦点的坐标为，
将，代入椭圆的方程，求得，所以.故选：C.
2．直线，当k变化时，此直线被椭圆截得的弦长的最大值是（ ）
A．2B．C．4D．不能确定
【解析】直线恒过定点，且点在椭圆上，
设另外一个交点为，所以，则，弦长为，当时，弦长最大，为.故选：B.
3．若椭圆的弦的中点为，则弦的长为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】设，因为弦的中点为，可得，
又因为在椭圆上，可得，
两式相减可得，
可得，即直线的斜率为，
所以弦的直线方程为，即，
联立方程组，整理得，可得，
由弦长公式，可得.故选：A.
4．椭圆内有一点，设某条弦过点P且以P为中点，那么这条弦所在直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】设满足题意的直线与椭圆交于两点，则，，
两式相减得，即.
又直线过，由此可得所求的直线方程为，
所以弦所在直线的方程为，故选：B.
5．已知椭圆的左焦点为，离心率为．倾斜角为的直线与交于两点，并且满足，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设，则，由，
消去，得，
注意到，则.于是，
同理，. 因此.
的倾斜角为，∴直线的斜率，根据弦长公式，可得.
由，可得，故.
．故选：A
6．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若，且，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】右焦点，，
设,,,，由可知是的中点，，，
且，两式相减得，
，，，，
故椭圆方程为，故选：C
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点（其中点在点的左侧），记面积为，则下列结论错误的是（ ）
A．B．时，
C．的最大值为D．当时，点的横坐标为
【解析】由椭圆，可得，，，由对称性可知，
∴，故A正确；
设，，，，若时，可得，解得，故B错误；
∵直线与椭圆交于，两点，
∴，两点的坐标分别为，，
∴
，当且仅当，即时取等号，故C正确；
、的坐标分别为，设，当时，，设，则，∴由余弦定理可得，
∴，∴，
∴，又，∴，
∵又，解得，故D正确.故选：B.
8．已知A，B两点的坐标分别为，，O是坐标原点，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是．斜率为l的直线与点M的轨迹交于P，Q两点，则的面积的最大值是（ ）
A．B．C．1D．
【解析】设因为满足与的斜率之积为，
所以有；M的轨迹为
设直线，联立，可得，
，
点O到直线的距离，
，故选：D.
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点．若的中点坐标为，则（ ）
A．直线的方程为B．
C．椭圆的标准方程为D．椭圆的离心率为
【解析】因为直线过点和点，所以直线的方程为，
代入椭圆方程，消去，得，
所以的中点的横坐标为，即，
又，所以，离心率为，所以圆的方程为．故选：ABD．
10．已知椭圆内一点，上、下焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的焦点坐标为，B．椭圆的长轴长为
C．直线的方程为D．的周长为
【解析】由椭圆方程知：焦点在轴上，且，，，
即，，，所以椭圆的焦点坐标为，，故A错误；
椭圆的长轴长为，故B正确；
由题意，可设，，则，
两式作差得，
即，
所以直线的方程为，即，故C正确；
由C知，直线过椭圆的上焦点，
根据椭圆的定义，所以的周长为，故D正确．故选：BCD.
11．已知椭圆E：的离心率为，左、右焦点分别为，，上顶点为P，若过且倾斜角为的直线l交椭圆E于A，B两点，的周长为8，则（ ）
A．直线的斜率为B．椭圆E的短轴长为4
C．D．四边形的面积为
【解析】对于选项A：设椭圆的半焦距为，因为，解得，
可知，
直线的斜率为，故A正确；
对于选项B：由选项A可知：，且，则为等边三角形，
由题意可知：，即直线l为的角平分线，
则点关于直线l对称，所以的周长为8，则，可得，
所以椭圆E的短轴长为，故B错误；
对于选项C：因为，所以，故C正确，
对于选项D：因为直线l的方程为，椭圆方程为，
设，联立方程，消去x得，
则，可得，
则，点直线l的距离为，
所以四边形的面积为，故D正确；
故选：ACD.
12．已知椭圆，点为右焦点，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，则（ ）
A．周长为定值B．直线与的斜率乘积为定值
C．线段的长度存在最小值D．该椭圆离心率为
【解析】该椭圆中，则，所以离心率为，故D正确；
设，，，
则在、斜率都存在的前提下有，，
于是为定值，故B正确；
由题意可设的方程为，联立，消得，
则，
所以，
则当时，，所以线段的长度存在最小值，故C正确.
当时，直线与椭圆交于点和，
不妨取点为，得直线方程为，求得交点为，
则，，，此时的周长为，
当时，联立，解得，不妨取，
则垂直于轴，此时，，，
此时的周长为，显然周长不为定值，故A错误；
故选：BCD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．过椭圆的左焦点且斜率为的弦的长是 ．
【解析】设点、，在椭圆中，，，，
所以，椭圆的左焦点坐标为，则直线的方程为，
联立，可得，，
由韦达定理可得，，
所以，.
14．已知椭圆的左､右焦点分别为､，P为椭圆上一点（异于左右顶点），的内切圆半径为r，若r的最大值为，则椭圆的离心率为 .
【解析】设内切圆的圆心为，连接，
，
由题意可得：，
所以当取到最大值时，有最大值，且最大值为，
所以，整理可得：，
两边同时平方可得：，
所以，所以，解得：或（舍去）.
15．已知直线与椭圆在第二象限交于两点，且与轴、轴分别交于两点，若，，则的方程为 ．
【解析】设，线段的中点为，
由，两式相减可得，即，
又由，则，
设直线的方程为，可得，
所以，所以，所以，解得，
因为，所以，可得，解得，
所以直线的方程为.
16．椭圆：的左，右焦点分别为，，上顶点为，离心率为，直线将分成面积相等的两部分，则的取值范围是 .
【解析】依题意，，解得，所以椭圆的方程为，
由于，，所以是等腰直角三角形，
所以，
直线的方程为，直线的方程为，
设直线与的交点为，与轴的交点为，
①当与重合时，，则，所以，解得.
②当在之间时，， 所以，
由解得，，
由令，得，所以，所以，
整理得，由解得.
③当在左侧，则，，
设直线与的交点为，
由解得，因为，
所以，
，所以，
所以，所以.
综上所述，的取值范围是.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点，求的最大值.
【解析】（1）由椭圆的离心率为，可得，可得，
设椭圆方程，将点代入方程，可得，故方程为.
（2）设且，
联立方程，整理得，
由，可得，且，，
又由原点到的距离，
由圆锥曲线的弦长公式，可得，
所以
令，可得
当且仅当，即时，面积取到最大值.
18．已知椭圆M：，圆N：，直线l过椭圆M右焦点F且倾斜角为．
(1)求直线l方程及椭圆M的焦距．
(2)直线l交椭圆M于A、B两点，直线l交圆N于C、D两点，求．
【解析】（1）由题意知椭圆M：，则长半轴长，短半轴长，
则焦距为，其右焦点,直线l过椭圆M右焦点F且倾斜角为，其斜率为1，
故直线l的方程为；
（2）将代入中，可得，，
设，则，
故；
圆N：的圆心到直线的距离为，
则，故.
19．已知椭圆C：的焦距为，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知，E为直线上一纵坐标不为0的点，且直线DE交C于H，G两点，证明：.
【解析】（1）设C的半焦距为c（）.由已知得，，又由，
解得，.所以椭圆C的方程为；
（2）设直线DE的方程为，则.
将代入，得.
设H，G的坐标分别为，，
则，，.
，
，
要证，只要证，
即要证.即要证，
即要证（*）.
因为，
所以（*）式成立，所以成立.以成立.
20．已知椭圆：的一个端点为，且离心率为，过椭圆左顶点的直线与椭圆交于点，与轴正半轴交于点，过原点且与直线平行的直线交椭圆于点，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证：为定值．
【解析】（1）因为椭圆：过点，所以，
又椭圆的离心率为，则，所以，
故椭圆方程为
（2）设直线的方程为，，所以，
设，由，得，
则，
所以，
设直线的方程为，由，得，
设，则，则，所以，
故，因此为定值.
21．已知椭圆：的一个焦点为，椭圆上的点到的最大距离为3，最小距离为1．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆左右顶点为，在上有一动点，连接分别和椭圆交于两点，与的面积分别为．是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设椭圆的半焦距为，
因为椭圆上的点到的最大距离为3，最小距离为1，
所以，，又，解得，，，
故椭圆的标准方程为；
（2）由（1）可得，假设存在点，使得，
设，则，
设横坐标为，则，，所以，
整理得，①
设点坐标为，直线斜率为，斜率为，
故，设直线的斜率为，
故直线方程为，直线方程为，
将直线和椭圆联立可得，
由韦达定理可得，解得，
将直线和椭圆联立可得，
由韦达定理可得，解得，
将横坐标代入①式可得，，整理得，
化简得，解得，即，
当时，直线的方程为，
代入点可得，即点的坐标为，
当时，直线的方程为，代入点可得，即点的坐标为，
故点坐标为或．
22．已知椭圆的离心率为，点，为的左、右焦点，经过且垂直于椭圆长轴的弦长为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点分别作两条互相垂直的直线，，且与椭圆交于A，B两点，与直线交于点，若，且点满足，求线段的最小值.
【解析】（1）对于方程，令，则，解得，
由题意可得，解得，，所以椭圆的方程为．
（2）由（1）得，若直线的斜率为0，则为与直线无交点，不满足条件．
设直线：，若，则，则不满足，所以．
设，，，
由得：，，
所以，．
因为，即，则，，
所以，解得，则，即，
直线：，联立，解得，即，
∴，
当且仅当或时,等号成立，∴的最小值为．
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．过椭圆的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于两点，则等于（ ）
A．4B．2
C．1D．4
【解析】因为椭圆，可得，所以，
所以椭圆的右焦点的坐标为，
将，代入椭圆的方程，求得，所以.故选：C.
2．直线，当k变化时，此直线被椭圆截得的弦长的最大值是（ ）
A．2B．C．4D．不能确定
【解析】直线恒过定点，且点在椭圆上，
设另外一个交点为，所以，则，弦长为，当时，弦长最大，为.故选：B.
3．若椭圆的弦的中点为，则弦的长为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】设，因为弦的中点为，可得，
又因为在椭圆上，可得，
两式相减可得，
可得，即直线的斜率为，
所以弦的直线方程为，即，
联立方程组，整理得，可得，
由弦长公式，可得.故选：A.
4．椭圆内有一点，设某条弦过点P且以P为中点，那么这条弦所在直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】设满足题意的直线与椭圆交于两点，则，，
两式相减得，即.
又直线过，由此可得所求的直线方程为，
所以弦所在直线的方程为，故选：B.
5．已知椭圆的左焦点为，离心率为．倾斜角为的直线与交于两点，并且满足，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设，则，由，
消去，得，
注意到，则.于是，
同理，. 因此.
的倾斜角为，∴直线的斜率，根据弦长公式，可得.
由，可得，故.
．故选：A
6．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若，且，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】右焦点，，
设,,,，由可知是的中点，，，
且，两式相减得，
，，，，
故椭圆方程为，故选：C
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点（其中点在点的左侧），记面积为，则下列结论错误的是（ ）
A．B．时，
C．的最大值为D．当时，点的横坐标为
【解析】由椭圆，可得，，，由对称性可知，
∴，故A正确；
设，，，，若时，可得，解得，故B错误；
∵直线与椭圆交于，两点，
∴，两点的坐标分别为，，
∴
，当且仅当，即时取等号，故C正确；
、的坐标分别为，设，当时，，设，则，∴由余弦定理可得，
∴，∴，
∴，又，∴，
∵又，解得，故D正确.故选：B.
8．已知A，B两点的坐标分别为，，O是坐标原点，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是．斜率为l的直线与点M的轨迹交于P，Q两点，则的面积的最大值是（ ）
A．B．C．1D．
【解析】设因为满足与的斜率之积为，
所以有；M的轨迹为
设直线，联立，可得，
，
点O到直线的距离，
，故选：D.
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点．若的中点坐标为，则（ ）
A．直线的方程为B．
C．椭圆的标准方程为D．椭圆的离心率为
【解析】因为直线过点和点，所以直线的方程为，
代入椭圆方程，消去，得，
所以的中点的横坐标为，即，
又，所以，离心率为，所以圆的方程为．故选：ABD．
10．已知椭圆内一点，上、下焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的焦点坐标为，B．椭圆的长轴长为
C．直线的方程为D．的周长为
【解析】由椭圆方程知：焦点在轴上，且，，，
即，，，所以椭圆的焦点坐标为，，故A错误；
椭圆的长轴长为，故B正确；
由题意，可设，，则，
两式作差得，
即，
所以直线的方程为，即，故C正确；
由C知，直线过椭圆的上焦点，
根据椭圆的定义，所以的周长为，故D正确．故选：BCD.
11．已知椭圆E：的离心率为，左、右焦点分别为，，上顶点为P，若过且倾斜角为的直线l交椭圆E于A，B两点，的周长为8，则（ ）
A．直线的斜率为B．椭圆E的短轴长为4
C．D．四边形的面积为
【解析】对于选项A：设椭圆的半焦距为，因为，解得，
可知，
直线的斜率为，故A正确；
对于选项B：由选项A可知：，且，则为等边三角形，
由题意可知：，即直线l为的角平分线，
则点关于直线l对称，所以的周长为8，则，可得，
所以椭圆E的短轴长为，故B错误；
对于选项C：因为，所以，故C正确，
对于选项D：因为直线l的方程为，椭圆方程为，
设，联立方程，消去x得，
则，可得，
则，点直线l的距离为，
所以四边形的面积为，故D正确；
故选：ACD.
12．已知椭圆，点为右焦点，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，则（ ）
A．周长为定值B．直线与的斜率乘积为定值
C．线段的长度存在最小值D．该椭圆离心率为
【解析】该椭圆中，则，所以离心率为，故D正确；
设，，，
则在、斜率都存在的前提下有，，
于是为定值，故B正确；
由题意可设的方程为，联立，消得，
则，
所以，
则当时，，所以线段的长度存在最小值，故C正确.
当时，直线与椭圆交于点和，
不妨取点为，得直线方程为，求得交点为，
则，，，此时的周长为，
当时，联立，解得，不妨取，
则垂直于轴，此时，，，
此时的周长为，显然周长不为定值，故A错误；
故选：BCD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．过椭圆的左焦点且斜率为的弦的长是 ．
【解析】设点、，在椭圆中，，，，
所以，椭圆的左焦点坐标为，则直线的方程为，
联立，可得，，
由韦达定理可得，，
所以，.
14．已知椭圆的左､右焦点分别为､，P为椭圆上一点（异于左右顶点），的内切圆半径为r，若r的最大值为，则椭圆的离心率为 .
【解析】设内切圆的圆心为，连接，
，
由题意可得：，
所以当取到最大值时，有最大值，且最大值为，
所以，整理可得：，
两边同时平方可得：，
所以，所以，解得：或（舍去）.
15．已知直线与椭圆在第二象限交于两点，且与轴、轴分别交于两点，若，，则的方程为 ．
【解析】设，线段的中点为，
由，两式相减可得，即，
又由，则，
设直线的方程为，可得，
所以，所以，所以，解得，
因为，所以，可得，解得，
所以直线的方程为.
16．椭圆：的左，右焦点分别为，，上顶点为，离心率为，直线将分成面积相等的两部分，则的取值范围是 .
【解析】依题意，，解得，所以椭圆的方程为，
由于，，所以是等腰直角三角形，
所以，
直线的方程为，直线的方程为，
设直线与的交点为，与轴的交点为，
①当与重合时，，则，所以，解得.
②当在之间时，， 所以，
由解得，，
由令，得，所以，所以，
整理得，由解得.
③当在左侧，则，，
设直线与的交点为，
由解得，因为，
所以，
，所以，
所以，所以.
综上所述，的取值范围是.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点，求的最大值.
【解析】（1）由椭圆的离心率为，可得，可得，
设椭圆方程，将点代入方程，可得，故方程为.
（2）设且，
联立方程，整理得，
由，可得，且，，
又由原点到的距离，
由圆锥曲线的弦长公式，可得，
所以
令，可得
当且仅当，即时，面积取到最大值.
18．已知椭圆M：，圆N：，直线l过椭圆M右焦点F且倾斜角为．
(1)求直线l方程及椭圆M的焦距．
(2)直线l交椭圆M于A、B两点，直线l交圆N于C、D两点，求．
【解析】（1）由题意知椭圆M：，则长半轴长，短半轴长，
则焦距为，其右焦点,直线l过椭圆M右焦点F且倾斜角为，其斜率为1，
故直线l的方程为；
（2）将代入中，可得，，
设，则，
故；
圆N：的圆心到直线的距离为，
则，故.
19．已知椭圆C：的焦距为，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知，E为直线上一纵坐标不为0的点，且直线DE交C于H，G两点，证明：.
【解析】（1）设C的半焦距为c（）.由已知得，，又由，
解得，.所以椭圆C的方程为；
（2）设直线DE的方程为，则.
将代入，得.
设H，G的坐标分别为，，
则，，.
，
，
要证，只要证，
即要证.即要证，
即要证（*）.
因为，
所以（*）式成立，所以成立.以成立.
20．已知椭圆：的一个端点为，且离心率为，过椭圆左顶点的直线与椭圆交于点，与轴正半轴交于点，过原点且与直线平行的直线交椭圆于点，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证：为定值．
【解析】（1）因为椭圆：过点，所以，
又椭圆的离心率为，则，所以，
故椭圆方程为
（2）设直线的方程为，，所以，
设，由，得，
则，
所以，
设直线的方程为，由，得，
设，则，则，所以，
故，因此为定值.
21．已知椭圆：的一个焦点为，椭圆上的点到的最大距离为3，最小距离为1．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆左右顶点为，在上有一动点，连接分别和椭圆交于两点，与的面积分别为．是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设椭圆的半焦距为，
因为椭圆上的点到的最大距离为3，最小距离为1，
所以，，又，解得，，，
故椭圆的标准方程为；
（2）由（1）可得，假设存在点，使得，
设，则，
设横坐标为，则，，所以，
整理得，①
设点坐标为，直线斜率为，斜率为，
故，设直线的斜率为，
故直线方程为，直线方程为，
将直线和椭圆联立可得，
由韦达定理可得，解得，
将直线和椭圆联立可得，
由韦达定理可得，解得，
将横坐标代入①式可得，，整理得，
化简得，解得，即，
当时，直线的方程为，
代入点可得，即点的坐标为，
当时，直线的方程为，代入点可得，即点的坐标为，
故点坐标为或．
22．已知椭圆的离心率为，点，为的左、右焦点，经过且垂直于椭圆长轴的弦长为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点分别作两条互相垂直的直线，，且与椭圆交于A，B两点，与直线交于点，若，且点满足，求线段的最小值.
【解析】（1）对于方程，令，则，解得，
由题意可得，解得，，所以椭圆的方程为．
（2）由（1）得，若直线的斜率为0，则为与直线无交点，不满足条件．
设直线：，若，则，则不满足，所以．
设，，，
由得：，，
所以，．
因为，即，则，，
所以，解得，则，即，
直线：，联立，解得，即，
∴，
当且仅当或时,等号成立，∴的最小值为．
相关试卷
专题26 圆锥曲线中的弦长问题-备战2024年新高考数学之圆锥曲线专项高分突破（新高考专用）： 这是一份专题26 圆锥曲线中的弦长问题-备战2024年新高考数学之圆锥曲线专项高分突破（新高考专用），文件包含专题26圆锥曲线中的弦长问题原卷版docx、专题26圆锥曲线中的弦长问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
专题16 抛物线的焦点弦、中点弦、弦长问题-备战2024年新高考数学之圆锥曲线专项高分突破（新高考专用）： 这是一份专题16 抛物线的焦点弦、中点弦、弦长问题-备战2024年新高考数学之圆锥曲线专项高分突破（新高考专用），文件包含专题16抛物线的焦点弦中点弦弦长问题原卷版docx、专题16抛物线的焦点弦中点弦弦长问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
专题09 双曲线的焦点弦、中点弦、弦长问题-备战2024年新高考数学之圆锥曲线专项高分突破（新高考专用）： 这是一份专题09 双曲线的焦点弦、中点弦、弦长问题-备战2024年新高考数学之圆锥曲线专项高分突破（新高考专用），文件包含专题09双曲线的焦点弦中点弦弦长问题原卷版docx、专题09双曲线的焦点弦中点弦弦长问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
