第16讲 统计与概率（知识点梳理）（记诵版）-2024年中考数学大复习

这是一份第16讲 统计与概率（知识点梳理）（记诵版）-2024年中考数学大复习，共8页。

考点01 统计调查
1.收集数据
收集数据的常用方法是统计调查，可分为全面调查和抽样调查两种.
(1)全面调查：考察全体对象的调查叫做全面调查.
(2)抽样调查：只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况的调查称为抽样调查.
（3）全面调查和抽样调查的优缺点
(4)选择调查方式的方法
①抽样调查适用情况：
调查的对象个数较多，调查不容易进行时；
当调查的结果对调查对象具有破坏性，或者会产生一定的危害性时.
②全面调查适用情况：
调查的对象个数较少，调查容易进行时；
对调查的结果有特别要求，或调查的结果有特殊意义时，如全国人口普查.
2.总体、个体与样本
(1)总体：要考察的全体对象称为总体.
(2)个体：组成总体的每一个考察对象称为个体.
(3)样本：被抽取的那些个体组成一个样本.
(4)样本容量：样本中个体的数目称为样本容量.
3.简单随机抽样
在抽取样本的过程中，总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到，像这样的抽样方法是一种简单随机抽样。
考点02 直方图
1.常见的统计图表
(1)扇形图
扇形图：用整个圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形图.扇形图主要是反映具体问题中的部分与整体的数量关系.
扇形图的优缺点
优点易于显示每组数据相对于总数的大小
缺点在不知道总体数量的前提下，无法知道每组数据的具体数量
(2)条形图
条形图：用一个单位长度表示一定的数量关系，根据数量的多少画成长短不同的条形，条形的宽度必须保持一致，然后把这些条形排列起来，这样的统计图叫做条形图.它可以表示出每个项目的具体数量.
条形图的优缺点
优点能够显示每组中的具体数据，易于比较数据之间的差别
缺点无法直观地显示每组数据占总体的百分比是多少
(3)折线图
折线图：用一个单位长度表示一定的数据，根据数量的多少描出各点，然后用线段顺次把各点连接起来，这样的统计图叫做折线图.它既可以表示出项目的具体数量，又能清楚地反映数据的变化情况.如右图所示.
折线图的特点：易于显示数据的变化趋势.
2.频数分布直方图
(1)绘制频数分布直方图的步骤
①计算最大值与最小值的差
②决定组距和组数：把所有数据分成若干组，分成的组的个数称为组数，每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）称为组距.一般数据越多分的组数也越多，当数据在100个以内时，按照数据的多少，常分成5~12个组.
③列频数分布表：对落在各个小组内的数据进行累计，得到各个小组内的数据的个数（叫做频数），对频数进行整理可得频数分布表.
④画频数分布直方图：按照频数分布表，在平面直角坐标系中，横轴表示数据，在横轴的正方向标出每个组的端点，纵轴表示频数与组距的比值，容易看出，小长方形面积=组距x频数+
频数，可见，频数分布直方图是以小长方形的面积来反映数据落在各个小组内的频数的大小，小长方形的高是频数与组距的比值.
等距分组时，各小长方形的面积（频数）与高的比是常数（组距）.因此，画等距分组的频数分布直方图时，为画图与看图方便，通常直接用小长方形的高表示频数。
(2)频数分布直方图的特点
①能够显示各组频数分布的情况；
②易于显示各组之间频数的差别.
（3）频数分布直方图的几个重要结论：
①各小组的频数之和等于数据总数.
②各小长方形的高与该组频数成正比。
考点03 数据的集中趋势
1.平均数
(1)平均数：把一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商，叫做这组数据的平均数
—即：若存在n个数，，…，，则这n个数的平均数为 x=x1+x2+⋯+xnn.
(2)加权平均数：若n个数，，…，，的权分别是，…，,则 x1w1+x2w2+⋯+xnwnw1+w2+⋯+wn叫做这n个数的加权平均数。
在求n个数的平均数时，如果，出现次，出现次，…，出现次（这里 f1+f2+⋯+fk=n),那么这n个数的平均数 x=x1f1+x2f2+⋯+x1fkn,也叫做，，…，；这k个数的加权平均数，其中f1、f2、⋯fk分别叫做，，…，的权.数据的权能够反映数据的相对“重要程度”.
(3)加权平均数的应用
在实际问题中如果一组数据的“重要程度”不相同，求其平均数需采用加权平均数的计算方法.计算时要根据所给数据的特征，正确识别数据的“重要程度”，进而利用加权平均数作出进一步的分析与决策.
2.中位数和众数
(1)中位数：将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数.
(2)众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.
(3)平均数、中位数和众数的区别与联系
联系：平均数、中位数和众数都可以反映一组数据的集中趋势.实际问题中求得的平均数、中位数和众数都应带上单位.
区别：
①平均数的计算要用到所有的数据，它能够充分利用所有数据提供的信息，但受极端值的影响较大.
②中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中.当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势.
③众数是当一组数据中某些数据重复出现较多时，人们往往关心的一个量.众数不受极端值的影响。
(4)平均数、中位数、众数的计算方法
对一组数据的平均数、中位数、众数，要严格按照其定义进行计算，特别是中位数的计算，要注意数据的个数是奇数还是偶数，数据个数为偶数时，其中位数是某两个数的平均数.一组数据的平均数只有一个，而众数可能不止一个。
3.数据的波动程度
设有n个数据，，…，各数据与它们的平均数的差的平方分别是 ，，……，我们用这些值的平均数，即用[++……+]来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作，方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。
考点04 概率初步
1.随机事件
事件分为确定性事件和随机事件，确定性事件又分必然事件和不可能事件两种，即：
①确定性事件：必然事件、不可能事件；
②随机事件；
(1)确定性事件：在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件，必然事件与不可能事件统称确定事件.
(2)随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件。
2.随机事件的可能性
一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.
(1)随机事件发生的可能性有大小之分，常大致分为“可能性极小”、“不太可能”、“可能”、“很可能”、“可能性极大”这5种.
(2)比较随机事件发生的可能性的大小，先要准确找到所有可能出现的结果，然后分情况，看每种情况占所有可能出现的结果的比例的大小而定.
3.概率
(1)定义：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)。
(2)公式：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为 PA=mn.
（3）求与面积有关的概率，可将概率转换为面积的比，即：
P(A)=事件A包含区域的面积整个区域的总面积
4.事件概率的取值范围
(1)事件发生可能性大小的表示：可以用线段图表示“可能发生”、“很可能发生”、“不大可能发生”、“必然发生”、“不可能发生”之间的概率大小.
(2)事件发生概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
需特别指出：
当A为必然事件时，P(A)=1.
当A为不可能事件时，P(A)=0.
当A为随机事件时，05.用列举法求概率的条件
(1)一次试验中，可能出现的结果只有有限个
(2)一次试验中，各种结果出现的可能性大小相等.
6.概率的求法
(1)直接列举法：求简单随机事件的概率，容易得到所有等可能的结果总数n和事件A包含的结果数m，可直接套用公式 PA=mn求出其概率.例如：抛掷一枚均匀的硬币，出现正面的概率是，用符号表示就是P(正面) =12.
(2)用列表法求概率：
列表法是指用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
(3)用树状(形)图法求概率：
树状（形）图法是指用树状（形）图的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
①树状（形）图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时求概率的问题.
②在求可能事件的概率用列表法或画树状（形）图法时，应注意各种情况出现的可能性务必相同
③在列表或画树状（形）图求概率时，各种情况出现的可能性不能重复，也不能遗漏。
7.用频率估计概率
(1)在我们的日常生活中存在着大量随机事件我们已经学习了用列表法和画树状图法求某些随机事件发生的概率，但是当试验的所有可能结果不是有限个，或者各种可能结果发生的可能性不相等时，可通过用频率估计某些随机事件发生的概率的大小.
(2)随机事件的概率虽然是随机的、无法预测的，但随着大量重复试验次数的增加，隐含的规律逐渐显现，事件发生的频率逐渐稳定到某一个数值.正因为不确定现象发生的频率有这种趋于稳定的特点，我们可以用平稳时的频率估计这一随机事件在每次试验时发生的机会的大小.
(3)某一随机事件发生的频率无限地接近于理论概率.
一般地，在大量重复试验下，随机事件A发生的频率。(这里n是总试验次数，它必须相当大，m是在n次试验中事件A发生的次数)会稳定到某个常数p.于是，我们用p这个常数表示事件A发生的概率，即P(A)=p
8.运用随机事件出现的频率估计随机事件发生的概率大小的几点注意用频率估计事件发生的概率时，需要注意以下几点：
(1)频率和概率是两个不同的概念，两者既有区别又有联系.事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的.当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定；当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.
(2)通过试验用频率估计概率的大小，方法多种多样，但无论选择哪种方法，都必须保证试验应在相同的条件下进行，否则结果会受到影响.在相同条件下，试验的次数越多，就越有可能得到较准确的估计值，但每个人所得的值并不一定相同.
(3)频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.例如：随机抛掷一枚1元硬币时，理论上“落地后正面朝上”发生的概率为，可抛掷1000次硬币，并不能保证落地后恰好有500次正面朝上，但经大量的重复试验发现：“落地后正面朝上”发生的频率就在一附近波动，
(4)事件的概率需要用稳定时的频率来估计.它需要做大量的试验才能较准确.需要注意的是，1次试验的结果是随机的、无法预测的，不受概率的影响。
(5)虽然用试验的方法可以帮助我们估计随机事件发生的机会的大小，但有时恰好没有相关实物，或者用实物进行试验困难很大时，我们就需要用替代物进行模拟试验.
注意进行模拟试验时应注意：①模拟试验的多样性，即同一试验可以有多种多样的替代物；②模拟试验必须在相同的条件下进行。
优点
缺点
全面调查
收集到的数据全面、准确
花费多，耗时长；有些调查不宜用全面调查
抽样调查
花费少、省时
收集到的数据不全面