第15讲 相似、投影与视图（知识点梳理）（记诵版）-2024年中考数学大复习

这是一份第15讲 相似、投影与视图（知识点梳理）（记诵版）-2024年中考数学大复习，共9页。

考点01 图形的相似
1.相似图形：形状相同的图形叫做相似图形。
2.比例线段：对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等，如 ab=cd（即ad=bc），我们就说这四条线段成比例。
3.比例中项
如果 ab=bc;即 b2=ac,那么就把b叫做a，c的比例中项.
4.比例的性质
(1)基本性质：如果 ab=cd那么ad=bc.
(2)合比性质：如果 ab=cd那么 a±bb=c±dd.
（3）等比性质
若 ab=cd=⋯=mnb+d+⋯+n≠0,则 a+c+x⋅+mb+d+⋅⋅+n=ab
5.相似多边形及其有关性质
(1)相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.对应顶点
(2)相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比
(3)相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。
考点02 相似三角形
1.相似三角形的定义
在△ABC和△A＇B＇C＇中，如果∠A=∠A＇， ∠B=∠B',∠C=∠C',ABA'B'=BCB'C'=ACA'C'=k,即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说△ABC与△A＇B＇C＇相似，相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.△ABC与△A＇B＇C＇相似记作“ ∆ABC∽∆A'B'C'.△ABC与△A＇B＇C＇的相似比为k，△A＇B＇C＇与△ABC的相似比为1k
2.平行线分线段成比例的基本事实
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.如下图，，则有 ABBC=DEEF,ABAC=DEDF,BCAC=EFDF
把这个基本事实应用到三角形中，会出现下面两种情况：在图1中，把看成平行于△ABC的边BC的直线；在图2中，把看成平行于△ABC的边BC的直线，那么可以得到结论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
3.相似三角形的判定定理
(1)判定定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
如图1，若DE//BC，则△ADE∽△ABC，我们称图1为“A型”.若直线ED交在AB，AC的反向延长线上，且ED//BC，则△ADE∽△ABC，我们称图2为“X型”。
(2)判定定理2：三边成比例的两个三角形相似。例如：如图，在△ABC和△A＇B＇C＇中，若 ABA＇B＇=BCB'C'=ACA'C' ,则△ABC∽△A＇B＇C＇)
(3)判定定理3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.例如：如图，在△ABC和△A＇B＇C＇中，若 ABA'B'=ACA＇C＇且∠A=∠A＇，则△ABC∽△A＇B＇C＇。
(4)判定定理4：两角分别相等的两个三角形相似例如：如图，在△ABC和△A＇B＇C＇中，若∠A=∠A＇，∠B=∠B＇，那么△ABC∽△A＇B＇C＇。
4.相似三角形应用举例
利用三角形相似，可以解决一些测量问题，如：
(1)测量不能达到顶部的物体的高度，通常利用“在同一时刻高与影长成比例”的原理来解决。
(2)测量不能直接到达的两点的距离，我们通常构造相似三角形，利用相似三角形的性质求解。
5.判定三角形相似的思路
①有平行截线用判定定理1；
②有一对等角.找另一对等角或找角的两边对应成比例；
③有两边对应成比例找夹角相等或第三边也成比例或有一对直角；
④直角三角形找一对锐角相等或找两组直角边的比相等或斜边与直角边成比例；
⑤等腰三角形找顶角相等或一找一对底角相等或底和一腰的比相等。
6.相似三角形的性质
(1)相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比，
(2)相似三角形对应线段的比等于相似比.
(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方；
考点03 位似
1.位似图形
两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.这时我们说这两个图形关于这点位似.位似是一种特殊的相似，但相似不一定都是位似.
2.位似变换的坐标
在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky).
3.位似图形的性质
(1)位似图形是相似图形，而相似图形不一定是位似图形.
(2)位似图形的对应点的连线相交于一点。
(3)位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上.
(4)位似图形上任意一对对应点，到位似中心的距离之比等于位似比
4.位似图形的画法
(1)确定位似中心。
(2)分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长。
(3)根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点。
(4)顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形。
考点04 投影
1.投影的概念
一般地，用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫作投影.这时的照射光线叫作投射线，投影所在的平面叫作投影面.
物体形成投影需要具备两个条件：一是有光线；二是有投影面
2.平行投影
由平行的光线所形成的投影是平行投影.
太阳光可以看成平行光，所以在阳光下大树的影子，阳光照到窗户上在屋里所形成的窗户的影子都是平行投影.
3.平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影的知识解决阳光下物体影子的问题时，首先要看是否在同一时刻，在不同时刻，同一物体的平行投影方向与大小一般不同；在相同时刻，不同物体的物高与影长成比例，物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行投影.
4.中心投影
由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫作中心投影，那个点叫作投影中心.
在中心投影的情况下，点光源、物体边缘的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上.因为点光源的光线是发散的，所以灯光下物体的影长与物体的高度不一定成比例。
(1)等高的物体垂直于地面放置时，中心投影如下图：
(2)等长的物体平行于地面放置时，中心投影如下图：
规律在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以确定第三个点的位置.
5.正投影
(1)正投影的概念：在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影叫作正投影（如图所示）.
(2)正投影(投射线与投影面垂直的平行投影)的性质：线段的正投影分3种情况.
①当线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段、B这时AB=AB。
②当线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A、B，这时AB③当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点A(B)，如图.
一般地，线段正投影有如下规律：
平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点.
6.平面图形的正投影分3种情况：
①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等.
②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影的形状、大小发生变化，即会缩小，但不一定相似
③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是一条线段，如图.
一般地，平面图形正投影有如下规律：
平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段.
正投影能如实地反映物体的形状和大小，画图也很方便，所以生产上的图样主要是用这种方法绘制.
(3)作物体的正投影.作物体的正投影，观察和思考的过程如下：
把要作投影的物体放在投影面和观察者的中间，按观察者一物体一投影面的顺序摆好，由观察者的眼睛假想发出一束平行的投射线，这些投射线经过物体轮廓线上的顶点后，与投影面垂直相交，交点连接起来的图形，就是物体的正投影.
7.平行投影与中心投影的关系
(1)联系
①都是投影：中心投影、平行投影都是研究物体的投影中的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线；而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，如灯泡发出的光线.
②都有变化：在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化，不同物体和它们的影子之间存在着相似关系.在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也会跟着发生变化；固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化。
(2)区别
①比例不同：太阳光线是平行的，因此在同一时刻下，太阳光下的影子长度都与物体高度成比例：灯光是发散的，灯光下的影子长度与物体高度不一定成比例.
②方向不同：同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.
如何判断物体的投影是在太阳光下还是在灯光下形成的：
①太阳光线是平行光线，灯光光线是从一点发出的，如图所示.因此，在判断是太阳光线还是灯光光线时，只要看光线呈什么形状就可得出结论.
②如果已知影子，那么先找两对物体与影子的对应点，然后连接它们得到光线，由两条光线可大致判断它们是否平行，若光线平行，则为太阳光线；若光线相交，则为灯光光线
8.中心投影的计算
与太阳光相比，灯光对我们来说是近距离的，我们可以把灯光光线看成是从一点发出向四周发射的，而且同一物体对于同一光源在不同的地点的影长也不相同.物体中心投影的大小是随着投影中心距离物体的远近的变化而变化的.根据中心投影的性质结合相似三角形的知识，在日常生活、生产中可以进行求影长、物体的高度等的计算。
考点05 视图
1.三视图的有关概念
(1)视图：从某一方向观察一个物体时，所看到的平面图形叫作物体的一个视图.
(2)三视图：从3个互相垂直的方向观察物体在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫作主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫作俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫作左视图.
(3)视图的本质就是正投影；物体的主视图，等同于一束平行光线自物体的前方向后方照射，在正面投影面上得到的正投影；俯视图、左视图类似
(4)三视图中的各视图，分别从不同方向表示物体的形状，三者结合能够较全面地反映物体的形状。
2.三视图之间的关系
（1）三视图的摆放一般是，主视图在左上方，它下方应是俯视图，左视图在右边
在物体的三视图中，主视图可反映出物体的长和高，俯视图可反映出物体的长和宽，左视图可反映出物体的高和宽。
（2）三视图中，主视图与俯视图表示同一物体的长；主视图与左视图表示同一物体的高；左视图与俯视图表示同一物体的宽。
3.画几何体的三视图
画一个几何体的三视图时，先观察几何体，判断出从3个方向看几何体得到的平面图形，即三视图；然后把三视图按照一定位置画出来.画三视图时，一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，被其他部分遮挡而看不见的画成虚线，不能漏掉。
4.根据三视图确定几何体形状
不仅要会画简单几何体的三视图，还应会根据一个几何体的三视图确定几何体的形状首先熟悉几种常见的立体图形的三种视图，作为判断几何体的依据，对于组合几何体的判断，可以采用各个击破的方法.
(1)三视图中出现三角形，要考虑锥体；三视图中出现矩形，要考虑柱体；三视图中出现圆，要考虑圆柱、圆锥、球等.
(2)由三视图确定小正方体的个数，遵循“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”。