第05讲 实数与二次根式（知识点梳理）（记诵版）-【学霸计划】2024年中考数学大复习

这是一份第05讲 实数与二次根式（知识点梳理）（记诵版）-【学霸计划】2024年中考数学大复习，共7页。学案主要包含了平方根，算数平方根，开平方等内容，欢迎下载使用。

考点01 平方根
一、平方根
1.平方根的概念：如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫作的平方根（或二次方根）。
2.平方根的表示方法：正数的平方根可记作，读作：正负根号，读作根号，是被开方数。
3.平方根的性质：若，那么，则也是的平方根，所以正数的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0；因为相同的两个数的乘积为正，所以任何数的平方都不是负数，所以负数没有平方根（即）。
二、算数平方根
1.算术平方根的概念：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数就叫作的算术平方根。
2.算术平方根的表示方法：正数的算术平方根可记作，读作：根号。
3.算术平方根的性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。一个正数的正的平方根就是它的算术平方根。
三、开平方
1.求一个数（）的平方根的运算叫作开平方，其中叫作被开方数。开平方运算是已知指数和幂求底数。
2.因为平方与开平方互为逆运算，所以可以通过平方来寻找一个数的平方根。
3.正数、负数、0都可以进行平方运算，且平方的结果只有一个；但开平方只有正数和0可以，负数不能开平方。
考点02 立方根
1.立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫作的立方根（或三次方根）。
2.立方根的表示方法：的立方根可记作，读作：三次根号，其中“3”是根指数，是被开方数，注意根指数“3”不能省略。
3.立方根的性质：
（1）一个正数有一个正的立方根；
（2）一个负数有一个负的立方根；
（3）0的立方根是0；
4.开立方：求一个数的立方根的运算叫作开立方。
5.立方根中被开方数可以是正数、负数和0,；开立方运算与立方运算互为逆运算；求一个带分数的立方根时，必须把带分数化成假分数，再求它的立方根。
6.立方根的化简公式：（1）；（2）；（3）。
考点03 实数
一、无理数
1.无理数的概念：无限不循环小数叫作无理数。
2.有理数与无理数的区别：
（1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数；
（2）任何一个有理数都可以化成分数的形式，而无理数不能化成分数形式；
3.无理数近似值的估算方法：估算无理数的近似值通常用“夹逼法”，第一步：先确定被估算无理数的整数取值范围；第二步：以较小整数逐步开始加0.1，并求其平方，确定被估算数的十分位，以此类推下去可以求出无理数的近似值。
4.无理数的常见类型：
（1）特点结构的数。如0.2020020002……是无理数；
（2）圆周率以及含的数；
（3）开方开不尽的数的方根；
二、实数
1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数。
2.实数的分类：
2.实数的性质：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
（1）相反数：实数的相反数是，0的相反数是0；
（2）绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；
（3）实数的绝对值可表示为，即的绝对值一定是一个非负数；
（4）倒数：乘积为1的两个实数互为倒数，即如果与互为倒数，则；反之，如果，则与互为倒数，0没有倒数。
（5）实数大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立，所以我们可以得到比较实数大小的法则。正实数大于0，负实数小于0，正数大于一切非负实数。两个负实数，绝对值大的反而小。数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大。
6.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数和数轴上的点是一一对应的。
7.实数的运算：
（1）运算法则、运算率：有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。
（2）运算顺序：在进行实数的混合运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方，开方，在算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行。
考点04 二次根式
一、二次根式的概念
1.二次根式：一般地，我们把形如的式子叫作二次根式。其中，“”叫作二次根号，叫作被开方数。
2.是二次根式有意义的条件。
二、二次根式的性质：
（1）是一个非负数；既是二次根式，又是非负数的算术平方根，所以一定是非负数。即为二次根式的非负性。
（2）（）；
（3）；
（4）的前提条件是，而中的为一切实数；，，是三个重要的非负数。
考点05 二次根式的乘除
1.二次根式的乘法法则：二次根式的乘法法则：二次根式的乘法就是把被开方数相乘，二次根号不变，即。
2.积的算术平方根的性质：
（1）；
（2）用语言描述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积；
（3）运用积的算术平方根的性质，可以将二次根式化简。
3.二次根式的除法法则：
（1）语言描述：两个二次根式相除，将它们的被开方数（式）相除，二次根号不变；
（2）数学表达式：如果，那么；
4.在二次根式的除法法则中，条件与二次根式乘法的条件是有区别的；因为分母不能为0，所以被除式可以是非负数，而除式只能是正数，否则除法法则不成立。
5.商的算术平方根的性质
（1）商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；
（2）数学表达式：如果，那么；
（3）运用商的算术平方根的性质，可以把二次根式化为最简形式。
6.最简二次根式的概念：
（1）满足下列两个条件的二次根式，叫作最简二次根式：
①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开的尽方的因数或因式；
（2）对最简二次根式的理解：
①被开方数中不含分母，即被开方数的因数是整数，因式是整式；
②被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2，即每个因数或因式的指数都是1；
③分母中不含根号；
7.二次根式的乘除混合运算
（1）运算顺序：二次根式的乘除混合运算顺序与整式的乘除混合运算顺序相同，按照从左到右的顺序计算，有括号的先算括号里面的；
（2）公式、法则：整式乘除中的公式、法则在二次根式混合运算中仍然适用；
（3）运算律：整式乘法的运算律在二次根式运算中仍然适用；
8.在进行二次根式的运算时常见的错误：
（1）忽略计算公式的条件；
（2）不注意式子的隐含条件；
（3）除法运算时，分母开方后没写在分母的位置上；
9.二次根式的化简：
（1）如果被开方数是分数或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后把分母化为有理式；
（2）如果被开方数是正数或整式，先将它分解因数或因式，然后把它开得尽方的因数或因式开出来；
10.化去分母中的根号：
（1）化去分母中的根号，其依据是分式的基本性质，关键是分子、分母同乘以一个式子，使它与分母相乘得整式；
（2）下面几种类型的两个含有二次根式的代数式相乘，它们的积不含有二次根式：
，，，；
（3）化去分母中的根号时，分母要先化简；在进行二次根式的运算时，结果一般都要化为最简二次根式。
考点06 二次根式的加减
1.二次根式的加减法则：二次根式进行加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并。
2.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式。
3.合并二次根式：只需把二次根式的系数相加减，根指数和被开方数不变。
4.二次根式加减法的一般步骤：
（1）将每一个二次根式化成最简二次根式；
（2）找出其中的同类二次根式；
（3）合并同类二次根式；
5.二次根式的加减混合运算
（1）二次根式的加减，就是合并同类二次根式；
（2）合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似，合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数与被开方数不变；
（3）进行二次根式的加减混合运算时，交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用。
6.二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算的顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，要先算括号里面的。
（2）运算过程中一定要注意符合，运算结果一定要化为最简形式。