2022-2023学年山西省朔州市应县一中高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2022-2023学年山西省朔州市应县一中高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|y= x−1},B={y|y=−x+3,x∈A}，则A∩B=( )
A. [1,+∞)B. [1,2]C. (−∞,2]D. (1,2)
2.如图，一个圆台的下底面半径为2，上底面半径为1，高为2.以圆台的上底面为底面，挖去一个半球，则剩余部分的体积为( )
A. 11π3B. 10π3C. 4πD. 3π
3.函数f(x)=exx的大致图象是( )
A. B.
C. D.
4.如图，在圆锥SO中，AB是底面圆O的且径，SO=AB=4，AC=DC，D为OS的中点，N为AD的中点，则点N到平面SBC的距离为( )
A. 43
B. 53
C. 1
D. 2
5.已知数列{an}满足a1+a2+⋯+a8=1，且an+1an=nn+2(n=1,2,⋯,7)，则a1=( )
A. 916B. 716C. 516D. 1116
6.在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，AB=2，AC=AP，BC⊥CA，若三棱锥P−ABC外接球的表面积为5π，则BC=( )
A. 1B. 2C. 3D. 5
7.函数f(x)=x2−xln(ax)−ex−1a(a>0)在(0,+∞)内存在零点，则实数a的取值范围是( )
A. [e,+∞)B. [1,e)C. (0,1]D. [1,+∞)
8.已知a，b∈R，则“ab>1”是“a>b”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9.已知函数f(x)= 3csx+sinx.曲线y=f(x)在点(π3,f(π3))处的切线方程为( )
A. y=2x−2π3+ 3B. y=2x−2π3− 3
C. y=−x+π3+ 3D. y=−x+π3− 3
10.已知0A. aabbC. abba
11.已知随机变量X服从正态分布N(2,δ2)，若P(1A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.6
12.2023年6月4日清晨，在金色朝霞映衬下，神舟十五号载人飞船返回舱在胡杨大漠凯旋，神舟十五号航天员安全返回地球.为了弘扬航天精神，某大学举办了“航天杯”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛，初赛通过后进入复赛，复赛通过后颁发相应荣誉证书.为了鼓励学生参加，学校后勤部门给予一定奖励：只参加初赛的学生奖励50元奖品，参加了复赛的学生再奖励100元奖品.现有A，B，C三名学生报名参加这次竞赛，已知A通过初赛，复赛的概率分别为12，13；B通过初赛，复赛的概率分别为23，12；C通过初赛，复赛的概率与B完全相同.记这三人获得奖品总额为X元，则X的数学期望为( )
A. 350B. 300C. 20003D. 10003
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a=(t,1−t)，b=(t,4)，若a⊥b，则t=______.
14.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F1，F2过F1且斜率为正的直线l与C交于A，B两点，且点A在x轴下方.设△AF1F2，△BF1F2，△ABF2的内切圆的半径分别为r1，r2，r3.若椭圆C的离心率为12，且r1+r3=2r2，则直线l的斜率为______.
15.已知m∈R，若直线l1:mx+y+1=0与直线l2:9x+my+2m+3=0平行，则m=___.
16.已知偶函数f(x)，对任意的x都有2f(x)+xf′(x)>6，且f(1)=2，则不等式x2f(x)>3x2−1的解集为______.
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=alnx−ax−3(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)的图像在点(2,f(2))处的切线斜率为12，设g(x)=f(x)−mx，若函数g(x)在区间[1,2]内单调递增，求实数m的取值范围.
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，AB=AD=1，BC=DC= 3，PA=2，PC=2 2，PA⊥平面ABCD.
(1)求证：BC⊥平面PAB；
(2)求四棱锥P−ABCD的表面积.
19.(本小题12分)
已知集合A={x|x2−3x−10<0}，B={x|2−m≤x≤2+m,m>0}.
(1)若m=4，求A∪B及(∁RA)∩B；
(2)若“x∈A“是“x∈B“成立的______，求实数m的取值范围.
从“①充分不必要条件，②必要不充分条件”中任选一个，填在上面横线上并进行作答.注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
20.(本小题12分)
若数列{an}满足an+1=an2，则称数列{an}为“平方递推数列”.已知数列{an}中，a1=8，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+4x+2的图象上，其中n为正整数.
(1)证明：数列{an+2}是“平方递推数列”，且数列{lg(an+2)}为等比数列；
(2)设bn=lg(an+2)，cn=2n+7，dn={bn,n为奇数cn,n为偶数，求数列{dn}的前10项和S10.
21.(本小题12分)
某校高二年级为研究学生数学与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：
(1)根据α=0.01的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
(2)在人工智能中常用L(B|A)=P(B|A)P(B−|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计学中称为似然比.现从该校学生中任选一人，设A=“选到的学生语文成绩不优秀”，B=“选到的学生数学成绩不优秀”，请利用样本数据，估计L(B|A)的值.
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=(x−a−1)ex−12x2+ax，a∈R.
(1)当a>0时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有极小值点x1，极大值点x2，且对任意a>0，f(x1)−f(x2)答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵A={x|x≥1}，B={y|y≤2}，
∴A∩B=[1,2].
故选：B.
可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
本题考查了集合的描述法和区间的定义，元素与集合的关系，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：根据题意，一个圆台的下底面半径为2，上底面半径为1，高为2.
则圆台的体积V1=13(4π+π+ 4π×π)×2=14π3，
挖去半球的体积V2=12×4π3=2π3，
则剩余部分的体积V=V1−V2=14π3−2π3=4π.
故选：C.
根据题意，求出圆台和半球的体积，进而计算可得答案．
本题考查组合体的体积计算，涉及圆台、球的体积计算，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：当x<0时，f(x)=exx<0，故B，D错误；
又f′(x)=(x−1)exx2，当01时，f′(x)>0，
故x>0时的图象是先下降后上升，故A错误，C正确．
故选：C.
利用x<0时，f(x)<0，可判断B，D；利用函数的导数判断x>0时图像变化情况，可判断A，C.
本题主要考查函数图象的判断，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：∵SO=AB=4，D为OS的中点，
∴OA=OD，又AC=DC，OC=OC，
∴△COD≌△COA，∴∠COA=∠COD=90∘，
∴OC⊥OA，
以O为坐标原点，OB，OC，OS所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(2,0,0)，C(0,2,0)，S(0,0,4)，N(−1,0,1)，
则BS=(−2,0,4)，BC=(−2,2,0)，BN=(−3,0,1)，
设平面BCS的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅BS=−2x+4z=0n⋅BC=−2x+2y=0，令x=2，则y=2，z=1，
∴平面BCS的一个法向量为n=(2,2,1)，
∴点N到平面SBC的距离为d=|n⋅BN||n|=|−6+1| 4+4+1=53.
故选：B.
利用已知可证OC⊥OA，以O为坐标原点，OB，OC，OS所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面SBC的一个法向量，利用向量法可求点N到平面SBC的距离．
本题考查利用向量法求点到面的距离，属中档题．
5.【答案】A
【解析】解：∵an+1an=nn+2(n=1,2,⋯,7)，
∴an=a1⋅a2a1⋅a3a2⋅⋯⋅anan−1=a1⋅13⋅24⋅⋯⋅n−1n+1
=2n(n+1)a1=2a1(1n−1n+1)(n=1,2,⋯,7,8)，
∴a1+a2+⋯+a8=2a1[(1−12)+(12−13)+⋯+(18−19)]
=2a1(1−19)=16a19=1，解得a1=916.
故选：A.
先利用题给条件求得an=2a1(1n−1n+1)(n=1,2,⋯,7,8)，列出关于a1的方程，求解即可得出答案．
本题考查数列的递推式，考查转化思想，考查运算能力，属于中档题．
6.【答案】C
【解析】解：∵PA⊥底面ABC，BC⊂底面ABC，
∴BC⊥PA，又∵BC⊥CA，CA∩PA=A，
∴BC⊥面PAC，∵PB是Rt△PBC和Rt△PBA的公共斜边，
∴PB是三棱锥的外接球直径，由S=4πR2=5π⇒R= 52，
设AC=AP=m，则PB=2R= m2+4= 5，
则m=1，BC= 4−1= 3.
故选：C.
由已知可得PB是三棱锥的外接球直径，可得PB，设AC=AP=m，进而可得 m2+1= 5，进而可求BC.
本题考查空间几何体的外接球问题，属中档题．
7.【答案】D
【解析】解：设g(x)=x−ln(ax)−ex−1ax，则f(x)与g(x)的零点相同，
g′(x)=1−1x−ex−1(x−1)ax2=x−1ax(a−ex−1x)，设h(x)=a−ex−1x，
则h′(x)=−ex−1(x−1)x2，
所以h(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
所以h(x)max=h(1)=a−1，
①当00，当x>1时，g′(x)<0，
所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
所以g(x)max=g(1)=1−lna−1a，
令m(a)=1−lna−1a，则m′(a)=−1a+1a2，
m(a)在(0,1)上单调递增，
所以m(a)②当a=1时，g(x)=x−lnx−ex−1x，
因为g(1)=0，
所以g(x)在(0,+∞)内存在零点，符合题意；
③当a>0时，h(x)=a−ex−1x在(0,+∞)内存在2个零点，设这2个零点分别为x1，x2，
则a−ex1−1x1=0，不妨设x1可以得出，当0x2时，h(x)<0；
当x10，
因为g′(x)=x−1axh(x)，
所以g′(x)=0的根为1，x1，x2，且0当00，当x10，当x>x2时，g′(x)<0，
所以g(x)在(0,x1)上单调递增，在(x1,1)上单调递减，在(1,x2)上单调递增，在(x2,+∞)上单调递减，
因为g(x1)=x1−ln(ax1)−ex1−1ax1=x1−lnex1−1−1=0，
同理可得g(x2)=0，所以此时g(x)在(0,+∞)内存在2个零点．
综上所述，a≥1.
故选：D.
设g(x)=x−ln(ax)−ex−1ax，由f(x)与g(x)的零点相同，利用导数法求解判断．
本题考查了函数的零点、转化思想、分类讨论思想及导数的综合运用，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：由“ab>1”推不出“a>b”，例如a=−2，b=−1，
由“a>b”也推不出“ab>1”，例如a=1，b=−2，
所以“ab>1”是“a>b”的既不充分也不必要条件．
故选：D.
利用不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义判断即可．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
9.【答案】C
【解析】解：因为f(x)= 3csx+sinx，所以f(π3)= 3csπ3+sinπ3= 3，
所以f′(x)=− 3sinx+csx,f′(π3)=− 3sinπ3+csπ3=−1，
所以切点为(π3, 3)，切线的斜率k=−1，
所以切线方程为y− 3=−(x−π3)，即y=−x+π3+ 3；
故选：C.
首先求出f(π3)，再求出函数的导函数，即可得到f′(π3)，最后利用点斜式求出切线方程．
本题考查利用导数求曲线的切线方程，考查学生的运算能力，属于中档题．
10.【答案】C
【解析】解：根据0取a=0.1，b=0.2，则由(0.10.1)10=0.1，(0.20.2)10=0.04，可排除A.
故选：C.
根据0本题考查了不等式的基本性质，属基础题．
11.【答案】B
【解析】解：根据题意可知正态分布曲线关于直线x=2对称，
∴P(X≤1)=1−0.42=0.3，
故选：B.
根据题意可知正态分布曲线关于直线x=2对称，据此可解决此题．
本题考查正态分布曲线中概率计算问题，考查数学运算能力及直观想象能力，属于基础题．
12.【答案】D
【解析】解：由题知X的所有可能取值为150，250，350，450，
P(X=150)=12×13×13=118，
P(X=250)=12×13×13+2×12×23×13=518，
P(X=350)=2×12×23×13+12×23×23=49，
P(X=450)=12×23×23=29，
所以X的数学期望E(X)=150×118+250×518+350×49+450×29=10003(元).
故选：D.
求出X的可能取值及对应的概率，得到数学期望．
本题考查了离散型随机变量期望的计算，属于中档题．
13.【答案】2
【解析】解：∵a⊥b，
∴a⋅b=t2+4(1−t)=(t−2)2=0，∴t=2.
故答案为：2.
根据a⊥b得出a⋅b=0，然后进行数量积的坐标运算即可求出t的值．
本题考查了向量垂直的充要条件，数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．
14.【答案】2 2
【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由题意可知y1<0，y2>0，
设椭圆方程为x2a2+y2b2=1，焦距为2c，
由题意可知，ca=12，即a=2c，所以b2=a2−c2=3c2，
根据几何关系可得r1=−2cy12a+2c=−aa+cy1=−13y1，
r2=2cy22a+2c=aa+cy2=13y2，r3=2c4a(y2−y1)=14(y2−y1)，
由r1+r3=2r2可得=13y1+14(y2−y1)=23y2，
化简得y2y1=−75，
所以y2+y1y2−y1=7−57+5=16，
所以(y2+y1)2(y2−y1)2=(y2+y1)2(y2+y1)2−4y1y2=136，①
设直线AB方程为y=k(x+c)，
将其与椭圆方程x2a2+y2b2=1联立可得(3+4k2)y2−6kcy−3k2b2=0，
所以有y1+y2=6kc3+4k2，y1y2=−3k2b23+4k2，
将其代入①化简得14+4k2=136，解得k=±2 2，
又k>0，所以k=2 2.
故答案为：2 2.
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，而后根据已知条件建立等式得出A与B坐标之间的数量关系，
再设直线AB的斜率为k，利用韦达定理建立方程解出k即可．
本题主要考查椭圆相关性质，设A，B点坐标并利用韦达定理得出关于直线AB斜率的方程是解决本题的关键，属中档题．
15.【答案】3
【解析】解：m∈R，若直线l1：mx+y+1=0与直线l2：9x+my+2m+3=0平行，
则m≠0且9m=m1≠2m+31，
则m=3，
故答案为：3.
由题意，根据两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，计算求得m值．
本题主要考查两直线平行的性质，两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，属于基础题．
16.【答案】{x|x<−1或x>1或x=0}
【解析】解：令g(x)=x2f(x)−3x2，
∵对任意的x都有2f(x)+xf′(x)>6，
∴当x>0时，g′(x)=x(2f(x)+xf′(x)−6)>0，
∴g(x)在(0,+∞)为增函数，
∵f(x)为偶函数，
∴g(x)=x2f(x)−3x2也是偶函数．
又f(1)=2，
∴x2f(x)>3x2−1⇔g(x)=x2f(x)−3x2>−1，
①当x=0时，原不等式成立；
②当x≠0时，∵−1=12f(1)−3×12=g(1)，原不等式可化为g(x)>g(1)，
由g(x)在(0,+∞)为增函数⇒|x|>1，即x>1或x<−1；
∴不等式x2f(x)>3x2−1的解集为{x|x>1或x<−1，或x=0}，
故答案为：{x|x>1或x<−1，或x=0}.
令g(x)=x2f(x)−3x2，由题意，可得g(x)为偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，所求不等式x2f(x)>3x2−1可等价转化为g(x)>g(1)，继而可得x的范围，注意分析x=0的情况．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查逻辑推理能力运算求解能力，易漏掉x=0的情况，是易错题，属于中档题．
17.【答案】解：(1)f′(x)=ax−a=a(1−x)x(x>0)，
当a>0时，f(x)的单调增区间为(0,1)，减区间为(1,+∞)；
当a<0时，f(x)的单调增区间为(1,+∞)，减区间为(0,1)；
当a=0时，f(x)不是单调函数．
(2)∵f′(2)=12，
∴a⋅1−22=12，解得a=−1，
∴f(x)=−lnx+x−3，g(x)=f(x)−mx=−lnx+x−3−mx(x>0)，
又g′(x)=−1x+1+mx2=x2−x+mx(x>0)，
g(x)要在区间[1,2]上单调递增，只需g′(x)≥0在[1,2]上恒成立，
即x2−x+m≥0在[1,2]上恒成立，即m≥(x−x2)max，
又在[1,2]上(x−x2)max=0，
∴m的取值范围为[0,+∞).
【解析】(1)求导，分类讨论a>0，a<0和a=0三种情况讨论单调性即可；
(2)根据导数的几何意义求出a，然后根据g(x)在[1,2]单调递增，得到g′(x)≥0在[1,2]上恒成立，然后求最值即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查不等式的恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】(1)证明：在四棱锥P−ABCD中，因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
所以PA⊥BC，PA⊥AC，因为PA=2，PC=2 2，所以AC=2.
因为AB=AD=1，BC=DC= 3，
所以AB2+BC2=AD2+DC2=AC2，所以AD⊥DC，
AB⊥BC，由PA⊥BC，AB⊥BC，PA∩AB=A，可得BC⊥平面PAB.
(2)解：四棱锥P−ABCD的表面积，是四个侧面积的面积与底面积的和．
由题意可知S△ADC=S△ABC=12×AB×BC=12×1× 3= 32，
S△ADP=S△ABP=12×AB×AP=12×1×2=1，
由(Ⅰ)可知，PB⊂平面PAB，
BC⊥平面PAB，
所以BC⊥PB，同理可得DC⊥PD，
又BC=DC= 3，PB=PD= 12+22= 5，
所以S△CBP=S△CDP=12×PB×BC=12× 5× 3= 152，
所以四棱锥P−ABCD的表面积S=2×( 32+1+ 152)=2+ 3+ 15.
【解析】(1)证明PA⊥BC，AB⊥BC，然后证明BC⊥平面PAB.
(2)推出BC⊥PB，DC⊥PD，然后转化求解四棱锥P−ABCD的表面积．
本题考查柱、锥、台体的表面积的求法，直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与计算能力，是中档题．
19.【答案】解：(1)由已知得A=(−2,5)，∁RA=(−∞,−2]∪[5,+∞)，
当m=4时，B=[−2,6]，
所以A∪B=[−2,6]，
所以(∁RA)∩B={−2}∪[5,6]；
(2)若选①：“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，则A⫋B，
所以m>02−m≤−22+m≥5，
解得m≥4，
所以实数m的取值范围是[4,+∞)；
若选②：因为“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件，所以B⫋A，
所以m>02−m>−22+m<5，
解得0所以实数m的取值范围是(0,3).
【解析】(1)根据集合的基本运算求解；
(2)若选①，则A是B的真子集，从而得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可；若选②，所以B是A的真子集，从而得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
本题主要考查了集合的基本运算，考查了充分条件和必要条件的定义，属于中档题．
20.【答案】(1)证明：因为点(an,an+1)在函数f(x)=x2+4x+2的图象上，
所以an+1=an2+4an+2，
即an+1+2=(an+2)2，
即数列{an+2}是“平方递推数列”，
又a1=8，
则 lg(a1+2)=lg(8+2)=1>0，
对an+1+2=(ax+2)2两边同时取对数得lg(an+1+2)=2lg(an+2)，
∴数列{lg(an+2)}是以1为首项、2为公比的等比数列；
(2)解：由(1)知bn=lg(an+2)=2n−1，
所以S10=(b1+b3+b5+b7+b9)+(c2+c4+c6+c8+c10)
=1−451−4+(2×2+7+2×10+7)×52
=13×(1024−1)+95
=436.
【解析】(1)由数列递推式可得an+1+2=(an+2)2，两边同时取对数得lg(an+1+2)=2lg(an+2)，得证；
(2)结合等差数列及等比数列的求和公式求解即可．
本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式，重点考查了等差数列及等比数列的求和公式，属中档题．
21.【答案】解：(1)零假设H0：数学成绩与语文成绩无关，
根据表中数据计算得，X2=200×(45×75−45×35)290×110×80×120=7511≈6.818>6.635，
根据α=0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，认为数学成绩与语文成绩有关联；
(2)由表格可知，P(B|A)=75110=1522，P(B−|A)=35110=722，
∴L(B|A)=P(B|A)P(B−|A)=1522722=157.
【解析】(1)根据表中数据计算X2的值，再与临界值比较即可；
(2)利用条件概率公式求解．
本题主要考查了独立性检验的应用，考查了条件概率的概率公式，属于基础题．
22.【答案】解：(1)由题f′(x)=ex+(x−a−1)ex−x+a=(x−a)(ex−1)，
令f′(x)=0，解得x=a，或x=0.
当a>0时，
令f′(x)>0得x<0或x>a，所以f(x)在(−∞,0)和(a,+∞)上单调递增，
令f′(x)<0得0综上所述，当a>0时，f(x)的递增区间为(−∞,0)和(a,+∞)，f(x)的递减区间为(0,a)，
(2)当a>0时，由(1)得；x1=a，x2=0，且f(x1)当k≥0时，f(x1)−f(x2)<0≤ka3，符合题意；
当k<0时，f(x1)−f(x2)=f(a)−f(0)=−ea+12a2+a+1即−ka3+12a2+a+1令g(a)=(−ka3+12a2+a+1)e−a−1得g′(a)=[k(a−3)−12]a2e−a
令g′(a)=0得a=12k+3，
①若12k+3>0，即k<−16，则
当a∈(0,12k+3)时，g′(a)>0，所以g(a)在(0,12k+3)上单调递增；
所以g(12k+3)>g(0)=0，不符合题意：
②若12k+3≤0，即−16≤k<0，则g′(a)<0，g(a)在(0,+∞)上单调递减，
所以g(a)综上所述实数k的范围为k≥−16.
【解析】(1)易知f′(x)=(x−a)(ex−1)，解f′(x)=0可得x=a或x=0，即可知其单调区间；
(2)由(1)知x1=a，x2=0，对参数k≥0和k<0进行分类讨论，再通过构造函数研究单调性结合不等式恒成立，即可求得实数k的取值范围．
本题考查导数的综合应用，恒成立问题的求解，属难题．语文成绩
合计
优秀
不优秀
数学成绩
优秀
45
35
80
不优秀
45
75
120
合计
90
110
200
α
0.05
0.01
0.001
xa
3.841
6.635
10.828