2022-2023学年山西省朔州市怀仁市高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2022-2023学年山西省朔州市怀仁市高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.某兴趣小组研究光照时长x(h)和向日葵种子发芽数量y(颗)之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图.若去掉D(10,2)后，下列说法正确的是( )
A. 相关系数r变小B. 决定系数R2变小
C. 残差平方和变大D. 解释变量x与预报变量y的相关性变强
2.已知等差数列{an}的前n项和Sn，若a2+a3+a14+a15=40，则S16=( )
A. 150B. 160C. 170D. 180
3.已知随机变量服X从正态分布N(2,σ2)，且P(X>3)=16，则P(1≤X<2)=( )
A. 13B. 16C. 23D. 56
4.已知在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于C74C86C1510的是( )
A. P(X=2)B. P(X≤2)C. P(X=4)D. P(X≤4)
5.一组数据按照从小到大的顺序排列为1，2，3，5，6，8，记这组数据的上四分位数为n，则二项式(2x−1 x)n展开式的常数项为( )
A. −160B. 60C. 120D. 240
6.某校得到北京大学给的10个推荐名额，现准备将这10个推荐名额分配给高三年级的6个班级(每班至少一个名额)，则高三(1)班恰好分到3个名额的概率为( )
A. 110B. 542C. 16D. 35126
7.某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量(单位：万盒)的数据如表所示：
若x，y线性相关，线性回归方程为y =0.7x+a ，则以下判断正确的是( )
A. x每增加1个单位长度，则y 一定增加0.7个单位长度
B. x每减少1个单位长度，则y必减少0.7个单位长度
C. 当x=6时，y的预测值为8.1万盒
D. 线性回归直线y =0.7x+a 经过点(2,6)
8.已知a=ln33，b= 2ln24，c= e2e，则下列结论正确的是( )
A. a>b>cB. a>c>bC. c>a>bD. c>b>a
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.设随机变量ξ的分布列如表所示，则下列选项中正确的为( )
A. E(ξ)=2B. D(ξ)=23
C. P(0≤ξ≤1)=1927D. P(ξ=2)=29
10.若(x+3)8=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+⋯+a8(x+1)8，x∈R，则下列结论中正确的有( )
A. a0=28
B. a3=8C83
C. a1+a2+⋯+a8=38
D. (a0+a2+a4+a6+a8)2−(a1+a3+a5+a7)2=38
11.2023年，某省继续招募高校毕业生到基层从事支教，支农，支医和帮助乡村振兴的服务工作(简称“三支一扶”)，此省某师范院校某毕业班的6名毕业生(其中有3名男生和3名女生，男生中有一名班长)被分配到甲乙丙三地进行支教，且每地至少有一名毕业生.则下列正确的是( )
A. 甲乙丙三地各分配一名男生和一名女生，则共有C31C21A33种分配方法
B. 6名毕业生平均分配到甲乙丙三地，则共有C62C42A33种分配方法
C. 男班长必须到甲地，则共有180种分配方法
D. 班长必须到甲地，某女生必须到乙地，则共有65种分配方法
12.已知函数f(x)=xex,x<1exx3,x≥1，函数g(x)=xf(x)，下列选项正确的是( )
A. 点(0,0)是函数f(x)的零点
B. ∃x1∈(0,1)，x2∈(1,3)，使f(x1)>f(x2)
C. 函数f(x)的值域为[−e−1,+∞)
D. 若关于x的方程[g(x)]2−2ag(x)=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是(2e2,e28]∪(e2,+∞)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某射击运动员连续射击5次，命中的环数(环数为整数)形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组的平均数为______.
14.函数f(x)=x3−3x在区间(−2,a)上有最大值，则a的取值范围是______.
15.现有甲、乙两个口袋，其中甲口袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球；乙口袋内装有两个1号球，一个2号球，一个3号球.第一次从甲口袋中任取1个球，将取出的球放入乙口袋中，第二次从乙口袋中任取一个球，则第二次取到2号球的概率为______.
16.若数列a1，a2，a3，a4满足a1+a4=a2+a3，则称此数列为“准等差数列”.现从1，2，…，9，10这10个数中随机选取4个不同的数，则这4个数经过适当的排列后可以构成“准等差数列“的概率是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，S4=26.正项等比数列{bn}中，b1=2，b2+b3=12.
(1)求{an}与{bn}的通项公式；
(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.
18.(本小题12分)
2023年山东淄博成立了烧烤协会，发布烧烤地图，举办烧烤节庆活动.淄博烧烤是淄博饮食文化的重要组成部分.淄博烧烤保留有独立小炉纯炭有烟烧烤.五一前后举办了淄博烧烤节，集中展示烧烤名店、特色品种，辅以演出、啤酒展销等多种方式，为市民提供优质烧烤产品.打通“吃住行游购娱”各要素环节，推出一批“淄博烧烤+特色文旅”主题产品.烧烤协会为了解游客五月一日至3日的消费情况，对这期间的100位游客消费情况进行统计，得到如表人数分布表：
(1)根据以上数据完成2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为消费金额是否少于600元与性别有关，
(2)为吸引游客，该市推出两种优惠方案：方案一：每满200元减40元.
方案二：消费金额不少于600元可抽奖3次，每次中奖概率为13，中奖1次减100元，中奖2次减150元，中奖3次减200元.
若某游客计划消费600元，依据优惠金额的期望的大小，此游客应选择方案一还是方案二？请说明理由.
附：参考公式和数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d.
附表：
19.(本小题12分)
在今山西怀仁县，故名.明《大明一统志》有“锦屏山在怀仁县西南二十五里，山旧有磁窑”记载.怀仁陶瓷历史已逾千年，始于春秋，兴于辽金，盛于明清.目前怀仁有53家陶瓷企业，某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格概率依次为0.6、0.5、0.75.
(1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
(2)经过前后两次烧制后，记合格工艺品的件数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望.
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=(x−2)ex−a2x2+ax，a∈R.
(1)若a=0时，求f(x)在x=0处的切线方程；
(2)讨论函数f(x)的单调性.
21.(本小题12分)
某市举行招聘考试，共有4000人参加，分为初试和复试，初试通过后参加复试.为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示.
(1)根据频率分布直方图，试求样本平均数的估计值；
(2)若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ为样本平均数的估计值，σ≈13，试估计初试成绩不低于88分的人数；
(3)复试共三道题，第一题考生答对得5分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩.已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为34，后两题答对的概率均为35，且每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试成绩为Y，求Y的分布列及均值.
附：若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，则：P(μ−σ22.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex+acsx.
(1)若函数f(x)在区间(0,π2)上恰有两个极值点，求a的取值范围；
(2)证明：当1≤a≤eπ2−2−π2时，在(0,+∞)上，f(x)>2+x恒成立.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由散点图知，去掉点D(10,2)后，y与x的线性相关性加强，
则相关系数r变大，∴A错误，
相关指数R2变大，∴B错误，
残差平方和变小，∴C错误，
解释变量x与预报变量y的相关性变强，∴D正确．
故选：D.
由散点图知，去掉离群点D后，y与x的线性相关加强，由相关系数r，相关指数R2及残差平方和与相关性的关系求解即可．
本题考查两个变量相关性强弱的判断：涉及相关系数r，相关指数R2及残差平方和，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：根据题意，等差数列{an}中，若a2+a3+a14+a15=40，则a1+a16=a2+a15=a3+a14=20，
故S16=(a1+a16)×162=160.
故选：B.
根据题意，由等差数列的性质可得a1+a16=a2+a15=a3+a14=20，由此计算可得答案．
本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的性质，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：随机变量服X从正态分布N(2,σ2)，且P(X>3)=16，
所以P(1≤X<2)=P(22)−P(X>3)=12−16=13.
故选：A.
根据给定条件，利用正态分布的对称性求解作答．
本题考查正态分布相关知识，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：∵有7个村庄不太方便，∴从7个不方便的村庄中选取了4个，
∴P(X=4)=C74C86C1510.
故选：C.
根据超几何分布的概率公式进行判断即可．
本题主要考查超几何分布的概率公式，比较基础．
5.【答案】B
【解析】解：因为6×75%=4.5，所以n=6，
所以(2x−1 x)6展开式的通项为Tr+1=C6r(2x)6−r(−1 x)r=C6r26−r(−1)rx6−32r，
令6−32r=0，得r=4，所以展开式的常数项为C64×22×(−1)4=60.
故选：B.
由上四分位数求出n，将(2x−1 x)n通项表示出来，令x的指数为0，即可得．
本题考查二项式定理，考查四分位数的定义，所以基础题．
6.【答案】B
【解析】解：将10个名额分给6个班，每班至少一个名额，
即从9个分段中选择5个分段，共有N=C95=126种方法，
若三(1)班恰好分到3个名额，则只需将剩下的7个名额分给5个班，共有m=C64=15种方法，
∴高三(1)班恰好分到3个名额的概率为P=mn=15126=542.
故选：B.
将10个名额分给6个班，每班至少一个名额，即从9个分段中选择5个分段，共有N=C95=126种方法，若三(1)班恰好分到3个名额，则只需将剩下的7个名额分给5个班，共有m=C64=15种方法，由此能求出高三(1)班恰好分到3个名额的概率．
本题考查概率的概念和有关计算，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】C
【解析】解：x−=1+2+3+4+55=3，y−=5+5+6+6+85=6，
∴6=0.7×3+a ，解得a =3.9.
∴回归方程为y =0.7x+3.9.
x每增加1个单位长度，则y 一定增加0.7个单位长度，不正确；
x每减少1个单位长度，则y必减少0.7个单位长度，不正确；
当x=6时，y =0.7×6+3.9=8.1.所以C正确；
线性回归直线y =0.7x+a 经过点(3,6)，所以D不正确；
故选：C.
求出样本中心，代入回归方程得出a ，从而得出回归方程，令x=6计算y 即可．
本题考查了线性回归方程经过样本中心的特点，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：由题意可知a=ln33,b=ln 2 2,c=ln e e，
令f(x)=lnxx,(x>0)，则f′(x)=1−lnxx2，
当00，当x>e时，f′(x)<0；
故f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，
而 2< e<2∴ln 2 2又ln22=ln44,ln44c>b，
故选：B.
将a，b，c转化为a=ln33,b=ln 2 2,c=ln e e，由此构造函数f(x)=lnxx,(x>0)，利用导数判断其单调性结合对数运算，即可得出答案．
本题主要考查了函数的单调性在函数值大小比较中的应用，属于中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：由随机变量ξ的分布列知：
827+49+m+127=1，
解得m=29，
对于A，E(ξ)=0×827+1×49+2×29+3×127=1，故A错误；
对于B，D(ξ)=(0−1)2×827+(1−1)2×49+(2−1)2×29+(3−1)2×127=23，故B正确；
对于C，P(0≤ξ≤1)=827+49=2027，故C错误；
对于D，P(ξ=2)=29，故D正确．
故选：BD.
利用离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的性质直接求解．
本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：∵(x+3)8=[2+(x+1)]8=28+27C81(x+1)+26C82(x+1)2+⋅⋅⋅+(x+1)8，
对于A，令x=−1，则(−1+3)8=28=a0，故A正确；
对于B，a3=25C83≠8C83，故B错误；
对于C，令x=0，则38=a0+a1+a2+⋅⋅⋅+a8，则a1+a2+⋅⋅⋅+a8=38−a0=38−28，故C错误；
对于D，令x=−2，得1=a0−a1+a2−⋅⋅⋅+a8，又38=a0+a1+a2+⋅⋅⋅+a8，
∴(a0+a2+a4+a6+a8)2−(a1+a3+a5+a7)2=(a0+a1+⋅⋅⋅+a8)(a0−a1+a2−⋅⋅⋅+a8)=38，故D正确．
故选：AD.
直接根据(x+3)8=[2+(x+1)]2，利用二项式定理将其展开，结合二项式系数的性质对四个选项依次分析即可求解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A，甲乙丙三地各分配一名男生和一名女生，3个男生中选1个到甲地，方法有C31种；
在剩下的2个男生中选1个到乙地，方法有C21种；
最后1个男生放在丙地，再安排女生，方法有A33种．
所以共有C31C21A33种分配方法，故A正确．
对于B，6名毕业生平均分配到甲乙丙三地，
方法数有C62C42C22A33⋅A33=C62C42C22种分配方法，B选项错误．
对于C，男班长必须到甲地，方法数有：
C51C44+C52C33+C53C22+C54C11+C51C42C22+C51C41C33+C51C43C11+C52C31C22+C52C32C11+C53A22
=5+10+10+5+30+20+20+30+30+20=180种分配方法，故C正确．
对于D，班长必须到甲地，某女生必须到乙地，方法数有：
C40C40C44+C40C41C33+C41C30C33+C40C42C22+C42C20C22+C41C31C22+C40C43C11+C43C10C11+C41C32C11+C42C21C11
=1+4+4+6+6+12+4+4+12+12=65种分配方法，故D正确．
故选：ACD.
根据分组分配的知识对选项进行分析，由此确定正确答案．
本题考查排列组合的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
12.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，命题的真假的判断，是难题．
利用函数的零点判断A；导函数，判断函数的单调性判断B；函数的最小值判断C；利用函数的单调性以及函数的极值判断选项D.
【解答】
解：对于选项A，0是函数f(x)的零点，零点不是一个点，所以A错误．
对于选项B，当x<1时，f′(x)=(x+1)ex，可得，
当x<−1时，f(x)单调递减；当−1所以，当01时，f′(x)=ex(x−3)x4，
当13时，f(x)单调递增；
所以，当1对于选项C，f(x)min=f(−1)=−1e，选项C正确．
对于选项D，关于x的方程[g(x)]2−2ag(x)=0有两个不相等的实数根⇔关于x的方程g(x)[g(x)−2a]=0有两个不相等的实数根⇔关于x的方程g(x)−2a=0有一个非零的实数根⇔函数y=g(x)与y=2a有一个交点，且x≠0，
当x<1时，g′(x)=ex(x2+2x)，当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下：
极大值g(−2)=4e2，极小值g(0)=0，当x≥1时，g′(x)=ex(x−2)x3
当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下：
极小值g(2)=e24，综上可得，4e2<2ae，a的取值范围是(2e2,e28)∪(e2,+∞)，D不正确．
故选：BC.
13.【答案】7.8
【解析】解：这组数据共5个数，中位数为8，则从小到大排列时，8的前面有两个数，
后面也有两个数，又唯一的众数为9，则有两个9，
其余数字均只出现一次，则最大数字为9，
又极差为3，所以最小数字为6，
所以这组数据为6、7、8、9、9，
则平均数为6+7+8+9+95=7.8，
故答案为：7.8.
首先分析数据的情况，再根据平均数公式计算即可．
本题考查平均数的定义，属于基础题．
14.【答案】(−1,2]
【解析】解：∵f(x)=x3−3x，∴f′(x)=3x2−3，
令f′(x)<0解得−10，解得x>1或x<−1，
由此可得f(x)在(−∞,−1)上是增函数，在(−1,1)上是减函数，在(1,+∞)上是增函数，
故函数在x=−1处有极大值，在x=1处有极小值，
∴a>−1f(a)≤f(−1)，即a>−1a3−3a≤2，解得−1即a的取值范围是(−1,2].
故答案为：(−1,2].
求函数f(x)=x3−3x导数，研究函数单调性，判断其取最大值的位置，由于函数在区间(−2,a)上有最大值，故最大值对应的横坐标应在区间(−2,a)内，由此可以得到参数a的不等式，解不等式即可得到a的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】415
【解析】解：记事件Ai表示第一次从甲口袋取到第i号球，i=1，2，3，B表示第二次从乙口袋取到2号球，则：
P(A1)=36=12,P(A2)=26=13,P(A3)=16，P(B|A1)=15,P(B|A2)=25,P(B|Ai)=15，
∴根据全概率公式得P(B)=P(A1)⋅P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=12×15+13×25+16×15=415.
故答案为：415.
可记事件Ai表示第一次从甲口袋取到第i号球，i=1，2，3，B表示第二次从乙口袋取到2号球，然后即可求出P(A1)，P(A2)，P(A3)，P(B|A1)，P(B|A2)和P(B|A3)的值，然后根据全概率公式即可求出P(B)的值．
本题考查了条件概率、古典概率的计算公式，全概率的计算公式，考查了计算能力，属于中档题．
16.【答案】521
【解析】解：和为5有2种组合，和为6有2种组合，和为7有3种组合，和为8有3种组合，和为9有4种组合，和为10有4种组合，和为11有5种组合，和为12有4种组合，和为13有4种组合，和为14有3种组合，和为15有3种组合，和为16有2种组合，和为17有2种组合，
所以所求概率P=4×(C22+C32+C42)+C52C104=521.
故答案为：521.
先求出和为5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17的组合数，再利用排列组合知识，结合古典概型的概率公式求解．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，S4=26，设公差为d，
由已知得，4×2+4×32d=26，解得d=3，
所以an=a1+(n−1)d=2+3(n−1)=3n−1，
即{an}通项公式为an=3n−1；
因为正项等比数列{bn}中，b1=2，b2+b3=12，
设公比为q，所以2(q+q2)=12，所以q2+q−6=0，
解得q=2或q=−3(负值舍去)，
所以bn=2n；
(2)anbn=(3n−1)2n，
所以Tn=2×21+5×22+8×23+⋅⋅⋅+(3n−4)2n−1+(3n−1)2n，
所以2Tn=2×22+5×23+8×24+⋅⋅⋅+(3n−4)2n+(3n−1)2n+1，
相减得，−Tn=2×21+3×22+3×23+3×24+⋅⋅⋅+3⋅2n−(3n−1)2n+1=2×21+3×22×(1−2n−1)1−2−(3n−1)2n+1，
所以Tn=(3n−4)2n+1+8.
【解析】(1)由等差数列的通项公式与求和公式，等比数列的通项公式求解即可；
(2)由错位相减法求解即可．
本题考查了等差数列与等比数列的综合计算以及错位相减求和，属于中档题．
18.【答案】解：(1)2×2列联表如下：
K2=100×(25×40−15×20)245×55×40×60=2450297≈8.249>6.635，
因此有99%的把握认为消费金额是否少于600元与性别有关．
(2)按方案一：某游客可优惠120元．
按方案二：设优惠金额为X元，X可能取值为0，100，150，200.
P(X=0)=C30(23)3=827，P(X=100)=C31(13)(23)2=49，
P(X=150)=C32(13)2(23)=29，P(X=200)=C33(13)3=127，
所以X的分布列为：
E(X)=0×827+100×49+150×29+200×127=230027<120.
所以选择方案一．
【解析】(1)补充2×2列联表后，计算出K2的值即可判定；
(2)方案一优惠金额可直接计算，若采用方案二，可根据条件列出优惠金额的分布列，求出期望，通过比较大小即可选择．
本题考查独立性检验原理的应用，离散型随机变量的分布列与期望的求解，属中档题．
19.【答案】解：(1)第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为：
p=0.5×(1−0.6)×(1−0.4)+(1−0.5)×0.6×(1−0.4)+(1−0.5)×(1−0.6)×0.4=0.38.
(2)经过前后两次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为：
p1=0.5×0.6=0.3，p2=0.6×0.5=0.3，p3=0.4×0.75=0.3.
所以p1=p2=p3=0.3，
故随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ∼B(3,0.3).
故P(ξ=0)=(1−0.3)3=3431000，
P(ξ=1)=C31×0.3×(1−0.3)2=4411000；
P(ξ=1)=C31×0.3×(1−0.3)2=4411000；
P(ξ=2)=C32×0.32×(1−0.3)=1891000，
P(ξ=3)=0.33=271000.
所以随机变量ξ的分布列为：
故随机变量ξ的数学期望E(ξ)=3431000×0+4411000×1+1891000×2+271000×3=0.9.
【解析】(1)根据题意结合独立事件概率乘法公式运算求解；
(2)根据题意结合二项分布求分布列和期望．
本题考查独立事件的积事件的概率的求解，离散型随机变量的分布列与期望的求解，属中档题．
20.【答案】解：(1)当a=0时，f(x)=(x−2)ex，f′(x)=(x−1)ex，f′(0)=(0−1)e0=−1，f(0)=−2，
∴切线方程为：y−(−2)=(−1)(x−0)，即x+y+2=0.
(2)因为f(x)=(x−2)ex−a2x2+ax，a∈R，
所以f′(x)=(x−1)ex−ax+a=(x−1)(ex−a).
①当a≤0时，令f′(x)<0，得x<1，∴f(x)在(−∞,1)上单调递减；
令f′(x)>0，得x>1，∴f(x)在(1,+∞)上单调递增；
②当0令f′(x)>0，得x1，∴f(x)在(−∞,lna)和(1,+∞)上单调递增，
③当a=e时，f′(x)≥0在x∈R时恒成立，∴f(x)在R单调递增；
④当a>e时，令f′(x)<0，得1令f′(x)>0，得x>lna或x<1，∴f(x)在(−∞,1)和(lna,+∞)上单调递增．
综上所述：当a≤0时，f(x)在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增；
当0当a=e时，f(x)在R上单调递增；
当a>e时，f(x)在(1,lna)上单调递减，在(−∞,1)和(lna,+∞)上单调递增．
【解析】(1)利用导数求出函数在f(x)在x=0处切线斜率，利用点斜式确定切线方程；
(2)求出函数导数，分类讨论a的取值范围对导数值的影响，从而判断出函数单调性．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)样本平均数的估计值为(40×0.010+50×0.020+60×0.030+70×0.024+80×0.012+90×0.004)×10=62；
(2)因为学生初试成绩X服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ=62，σ2=132，
则μ+2σ=62+2×13=88，
所以P(X≥88)=P(X≥μ+2σ)=12×(1−0.9545)=0.02275，
所以估计初试成绩不低于8(8分)的人数为0.02275×4000=91人；
(3)Y的取值分别为0，5，10，15，20，25，
则P(Y=0)=(1−34)×(1−35)2=125，P(Y=5)=34×(1−35)2=325，P(Y=10)=(1−34)×C21×35×(1−35)=325，P(Y=15)=34×C21×35×(1−35)=925，P(Y=20)=(1−34)×(35)2=9100，P(Y=25)=34×(35)2=27100，
故Y的分布列为：
所以数学期望为E(Y)=0×125+5×325+10×325+15×925+20×9100+25×27100=20720.
【解析】(1)根据频率分布直方图的平均数的估算公式即可求解；
(2)由μ+2σ=62+2×13=88可知P(X≥88)=P(X≥μ+2σ)即可求解；
(3)根据题意确定Y的取值分别为0，5，10，15，20，25，利用独立性可求得分布列，进而求得均值．
本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，以及期望公式的应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由已知可得，f′(x)=ex−asinx，
由f′(x)=ex−asinx=0可得，a=exsinx.
令g(x)=exsinx，则g′(x)=ex(sinx−csx)sin2x，
当0又g(π4)=eπ4sinπ4= 2eπ4，
所以g(x)在(0,π4)上的值域为( 2eπ4,+∞)；
当π40，所以g′(x)>0，所以g(x)在(π4,π2)上单调递增．
又g(π2)=eπ2sinπ2=eπ2，所以g(x)在(π4,π2)上的值域为( 2eπ4,eπ2).
作出函数g(x)=exsinx在(0,π2)的图象如下图所示，
由图象可知，当 2eπ4设为x1，x2，且0由图象可知，当0a，即f′(x)>0；
当x1当x2a，即f′(x)>0.
所以，f(x)在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值．
综上所述，a的取值范围为( 2eπ4,eπ2).
(2)构造函数h(x)=ex−(x22+x+1)，x>0，则h′(x)=ex−x−1，
令H(x)=h′(x)=ex−x−1，则H′(x)=ex−1>0在x>0时恒成立，
所以即h′(x)在(0,+∞)上单调递增，所以h′(x)>h′(0)=0，
所以h(x)在(0,+∞)上单调递增，所以h(x)>h(0)=0，
所以，当x>0时，ex>x22+x+1.
因为a≥1，故在(0,π2]上，ex+acsx>x22+x+1+csx.
令p(x)=csx−1+x22，则p′(x)=−sinx+x，
令m(x)=p′(x)=−sinx+x，m′(x)=1−csx>0，
故m(x)，即p′(x)为增函数，所以p′(x)>p′(0)=0，
所以p(x)为增函数，所以p(x)>p(0)=0，
即csx−1+x22>0，即csx+x22>1，
所以，csx+x22+x+1>x+2.
又f(x)=ex+acsx>x22+x+1+csx，
所以，当0x+2；
在(π2,+∞)上，因为1≤a≤eπ2−2−π2，csx≥−1，
所以ex+acsx≥ex−a≥ex−eπ2+2+π2.
令n(x)=ex−x−eπ2+π2，n′(x)=ex−1>0在(π2,+∞)上恒成立，
所以n(x)在(π2,+∞)上单调递增，所以n(x)>n(π2)=0，
所以当x>π2时，有ex−eπ2+π2>x，
所以ex−eπ2+π2+2>x+2.
又ex+acsx≥ex−eπ2+2+π2，所以ex+acsx>x+2.
综上所述，在(0,+∞)上，f(x)>2+x恒成立．
【解析】(1)求出导函数可得f′(x)=ex−asinx.构造g(x)=exsinx，根据导函数得出g(x)=exsinx在(0,π2)上的图象，结合图象研究a=g(x)解的情况，进而结合图象得出f′(x)的符号，即可得出答案；
(2)构造函数h(x)=ex−(x22+x+1)，证明x>0时，ex>x22+x+1成立，进而根据a的范围推得ex+acsx>x22+x+1+csx.构造函数p(x)=csx−1+x22，根据导函数得出p(x)>0，即可得出csx+x22+x+1>x+2；在(π2,+∞)上，根据a的范围推得ex+acsx≥ex−eπ2+2+π2.构造n(x)=ex−x−eπ2+π2，根据导函数得出n(x)>0，即可得出ex−eπ2+π2+2>x+2.
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性与极值，构造函数证明不等式，化归转化思想，属难题．x(月份)
1
2
3
4
5
y(万盒)
5
5
6
6
8
ξ
0
1
2
3
P
827
49
m
127
消费金额(元)
[0,200)
[200,400)
[400,600)
[600,800)
[800,1000)
[1000,1200)
人数
15
20
25
20
10
10
不少于600元
少于600元
合计
男
25
女
40
合计
k0
2.072
2.706
3.841
6.635
P(K2≥k0)
0.150
0.100
0.050
0.010
x
x<−2
−2
−20
0g′(x)
+
0
-
0
+
g(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
x
1
12
x>2
g′(x)
-
-
0
+
g(x)
e
↘
极小值
↗
不少于600元
少于600元
合计
男
25
20
45
女
15
40
55
合计
40
60
100
X
0
100
150
200
P
827
49
29
127
ξ
0
1
2
3
P
3431000
4411000
1891000
271000
Y
0
5
10
15
20
25
P
125
325
325
925
9100
27100