2022-2023学年山西省大同市阳高一中高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

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这是一份2022-2023学年山西省大同市阳高一中高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|−11}，则A∪B=( )
A. x|−1 -1D. x|x>1
2.设x∈R，则“0A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.若函数y=ax+1 ax2−4ax+2的定义域为R，则实数a的取值范围是( )
A. (0,12]B. (0,12)C. [0,12)D. [0,12]
4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为(1010≈1.259)( )
A. 1.5B. 1.2C. 0.8D. 0.6
5.下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A. f(x)=x2+xx+1与g(x)=x−1B. f(x)=2|x|与g(x)= 4x2
C. f(x)= x2与g(x)=( x)2D. y= x+1 x−1与y= x2−1
6.已知复数z满足z−=1+2i，则z⋅(3−2i)=( )
A. 1+8iB. 1−8iC. −1−8iD. −1+8i
7.“圆柱容球”是指圆柱形容器里放了一个球，且球与圆柱的侧面及上、下底面均相切，则该圆柱的体积与球的体积之比为( )
A. 2B. 32C. 3D. π3
8.“a<11”是“∃x∈R，x2−2x+a<0”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
9.新能源汽车的核心部件是动力电池，碳酸锂是动力电池的主要成分．从2021年底开始，碳酸锂的价格一直升高，下表是2022年我国某企业前5个月购买碳酸锂价格与月份的统计数据．由下表可知其线性回归方程为y =0.28x+0.16，则表中a的值为( )
A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.8
10.(1+x3)(1−x)10展开式中x4的系数为( )
A. 200B. 210C. 220D. 230
11.导函数y=f′(x)的图象如图所示，下列说法正确的个数是( )
①导函数y=f′(x)在x=32处有极小值；
②函数f(x)在x=−1处有极大值；
③函数f(x)在[−1,32]上是减函数；
④函数f(x)在[−2,−1]上是增函数．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
12.在△ABC中，点D是线段BC上任意一点(不包含端点)，若AD=mAB+nAC，则1m+4n的最小值是( )
A. 4B. 9C. 8D. 13
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数y=(12)x,(−3≤x≤1)的值域是______.
14.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)是偶函数，且当x∈[0,1]时，f(x)=x(3−2x)，则f(312)=______.
15.如图，在△ABC中，M为AB的中点，点O满足OC=−2OM，OA⋅OB=0，若CA⋅CB=8，则|OA+OB|=______.
16.假设云南省40万学生数学模拟考试的成绩X近似服从正态分布N(98,100)，已知某学生成绩排名进入全省前9100名，那么该生的数学成绩不会低于______分.(参考数据：P(μ−σ三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
如图是某企业2016年至2022年的污水净化量(单位：吨)的折线图.
注：年份代码1∼7分别对应年份2016∼2022.
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y和t的关系，请建立y关于t的回归方程，并预测2025年该企业的污水净化量；
(2)请用相关指数说明回归方程预报的效果.
参考数据：y−=54,i=17(ti−t−)(yi−y−)=21, 14≈3.74，i=17(yi−yi )2=94；
参考公式：线性回归方程y =a +b t,b =i=1n(ti−t−)(yi−y−)i=1n(ti−t−)2,a =y−−b t−；
相关指数：R2=1−i=1n(yi−y i)2i=1n(yi−y−)2
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，∠PAB=90∘，CB⊥平面PAB，AD//BC且PB=BC=2AD=2AB=2，F为PC中点．
(1)求证：DF//平面PAB；
(2)求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．
19.(本小题12分)
为加强素质教育，提升学生综合素养，立德中学为高一年级提供了“书法”和“剪纸”两门选修课．为了了解选择“书法”或“剪纸”是否与性别有关，调查了高一年级1500名学生的选择倾向，随机抽取了100人，统计选择两门课程人数如下表：
(1)补全2×2列联表；
(2)依据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关？
参考附表：
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.
20.(本小题12分)
设某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种工件，每个车间的产量占该厂总产量的百分比依次为25%，35%，40%，它们的次品率依次为5%，4%，2%.现从这批工件中任取一件．
(1)求取到次品的概率；
(2)已知取到的是次品，求它是甲车间生产的概率．(精确到0.01).
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=eaxx(x>0)，g(x)=xlnx(x>1).
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当a=1时，函数f(x)、g(x)满足下面两个条件：
①方程f(x)=g(x)有唯一实数解x0∈(1,2)；
②直线y=m(m>f(x0))与两条曲线y=f(x)和y=g(x)有四个不同的交点，从左到右依次为x1，x2，x3，x4.
问是否存在1，2，3，4的一个排列i，j，k，l，使得xixj=xkxl？如果存在，请给出证明；如果不存在，说明理由．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax2+(b−8)x−a−ab，当x∈(−3,2)时，f(x)>0，当x∈(−∞,−3)∪(2,+∞)时，f(x)<0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若不等式ax2+bx+c≤0的解集为R，求c的取值范围；
(3)当x>−1时，求y=f(x)−21x+1的最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查并集运算，属于基础题．
根据集合并集的运算即可判断．
【解答】
解：∵A={x|−11}，
∴A∪B={x|x>−1}.
故选C.
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了充分条件、必要条件的判断，考查解不等式问题，属于基础题．
解出关于x的不等式，结合充分条件、必要条件的定义，从而求出答案．
【解答】
解：∵|x−1|<1，∴0∵00∴0即0故选B.
3.【答案】C
【解析】解：根据题意知，不等式ax2−4ax+2>0的解集为R，
(1)a=0时，2>0恒成立，满足题意；
(2)a≠0时，a>0Δ=16a2−8a<0，解得0∴综上得，实数a的取值范围是：[0,12).
故选：C.
根据题意可得出：不等式ax2−4ax+2>0的解集为R，然后讨论a是否为0：a=0显然符合题意；a≠0时，可得出a>0△<0，然后解出a的范围，从而得出a的取值范围．
本题考查了分类讨论的思想方法，一元二次不等式恒成立时所满足的条件，考查了计算能力，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：由L=5+lgV，当L=4.9时，lgV=−0.1，
则V=10−0.1=10−110=11010≈11.259≈0.8.
故选：C.
根据L，V关系，当L=4时，求出lgV，再用指数表示V，即可求解．
本题考查了指数与对数的互化计算，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，属于基础题目．
根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可．
【解答】
解：对于A：f(x)=x+x2x+1的定义域是{x|x≠−1}，而g(x)=x−1的定义域是R，定义域不相同，∴不是同一函数；
对于B：f(x)=2|x|的定义域是R，g(x)= 4x2=2|x|的定义域是R，定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数；
对于C：f(x)= x2=|x|的定义域是R，而g(x)=( x)2的定义域是{x|x≥0}，定义域不相同，对应关系也不相同，∴不是同一函数；
对于D：y= x+1⋅ x−1的定义域是{x|x≥1}，而y= x2−1的定义域是{x|1≤x或x≤−1}，定义域不相同，∴不是同一函数；
故本题选B.
6.【答案】C
【解析】解：z−=1+2i⇒z=1−2i⇒z⋅(3−2i)=(1−2i)(3−2i)=−1−8i.
故选：C.
根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的运算法则，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的运算法则，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：设球的半径为R，则圆柱的底面圆半径为R，高为2R，
则圆柱的体积V1=2πR3，球的体积V2=43πR3，
则V1V2=32.
故选：B.
直接利用球和圆柱的关系求出球及圆柱的体积，进一步求出结果．
本题考查的知识要点：球和圆柱的关系，球和圆柱的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：∵∃x∈R，x2−2x+a<0，
∴Δ=4−4a>0，∴a<1，
∵(−∞,1)⫋(−∞,11)，
∴a<11是∃x∈R，x2−2x+a<0的必要不充分条件，
故选：B.
先求出∃x∈R，x2−2x+a<0的等价条件，再利用充要条件的定义判定即可．
本题考查了存在问题的解法、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9.【答案】B
【解析】解：x−=1+2+3+4+55=3，y−=0.5+a+1+1.4+1.55=4.4+a5，
则样本点的中心的坐标为(3,4.4+a5)，
代入y =0.28x+0.16，得4.4+a5=0.26×3+0.16，即a=0.6.
故选：B.
由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程即可求得a值．
本题考查线性回归方程的应用，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．
10.【答案】A
【解析】解：(1+x3)(1−x)10=(1−x)10+x3(1−x)10，
所以x4的系数为：C104−C101=200，
故选：A.
对所给代数式进行变形，再利用二项式定理展开式，即可解出．
本题考查了二项式定理展开式，学生的数学运算能力，属于基础题．
11.【答案】B
【解析】解：因为导函数为正的区间是原函数的增区间，导函数为负的区间是原函数的减区间，
故③错，④对，
∵导函数为0的x才有可能是原函数的极值点，故②错，
由图可得导函数y=f′(x)在x=32处有极小值，故①对．
故选：B.
由题意利用导函数与原函数之间的关系结合函数图像考查题中的说法是否正确即可．
本题主要考查导函数与原函数之间的关系，利用导数研究函数的单调性和函数的极值，导数的几何意义等，属于基础题．
12.【答案】B
【解析】解：∵D是线段BC上一点，∴B，C，D三点共线，
∵AD=mAB+nAC，∴m+n=1，且m>0，n>0，
∴1m+4n=(1m+4n)(m+n)=nm+4mn+5≥2 4+5=9，
当且仅当nm=4mn，即 n=2m，又∵m+n=1，∴m=13，n=23时取等号．
∴1m+4n的最小值为9.
故选：B.
利用平面向量共线的结论，得到m+n=1，然后用“1”的代换后，用基本不等式即可解得．
本题主要考查了利用平面向量共线的结论及利用基本不等式求解最值，解题的关键是找到m+n=1的条件后进行1的代换．
13.【答案】[12,8]
【解析】解：∵函数y=(12)x在R上单调递减，−3≤x≤1，故当x=1时，函数y取得最小值为12；
当x=−3时，函数y取得最大值为8，
故函数的值域是[12,8]，
故答案为：[12,8].
由题意，利用指数函数的单调性，求得函数的值域．
本题主要考查指数函数的单调性，求函数的值域，属于基础题．
14.【答案】−1
【解析】解：∵奇函数f(x)满足f(x+1)是偶函数，
∴f(−x+1)=f(x+1)，即f(−x+1)=f(x+1)=−f(x−1)，
即f(x+2)=−f(x)，则f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，则f(x)是周期为4的周期函数，
则f(312)=f(16−12)=f(−12)=−f(12)=−12×(3−2×12)=−12×2=−1，
故答案为：−1.
根据函数的奇偶性求出函数f(x)是周期为4的周期函数，利用函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．
本题主要考查函数值的计算，根据条件求出函数的周期，利用函数的周期性和奇偶性进行转化求解是解决本题的关键，是基础题．
15.【答案】2
【解析】解：∵CA=CO+OA,CB=CO+OB,M为AB的中点，
∵CA=CO+OA,CB=CO+OB,M为AB的中点，
∴OA+OB=2OM，又OA⋅OB=0,OC=−2OM，
∴CA⋅CB=(CO+OA)⋅(CO+OB)=CO2+CO⋅OA+CO⋅OB+OA⋅OB
=CO2+CO⋅(OA+OB)=(2OM)2+2OM⋅(2OM)=8OM2，
又CA⋅CB=8，
∴8OM2=8，即|OM|=1，
∴|OA+OB|=|2OM|=2.
故答案为：2.
利用向量的线性运算及数量积的运算律可得CA⋅CB=8OM2，进而即得．
本题考查向量的线性运算及数量积的运算，考查学生的运算能力，属于中档题．
16.【答案】118
【解析】解：从40万名学生任取1名，成绩排名在前9100名的概率为9100400000=0.02275，
因为成绩X近似服从正态分布N(98,100)，则μ=98，σ=10，
P(μ−2σ显然P(X≥118)=0.5×(1−0.9545)=0.02275，从而数学成绩大于等于118分的人数恰好为9100，
所以要进入前9100名，成绩不会低于118分．
故答案为：118.
求出从40万名学生任取1名，成绩排名在前9100名的概率，再利用正态分布的对称性求出对应分数作答．
本题考查正态分布相关知识，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由折线图中的数据得t−=4，y−=54，
b =i=1n(ti−t−)(yi−y−)i=1n(ti−t−)2=21(1−4)2+(2−4)2+(3−4)2+(4−4)2+(5−4)2+(6−4)2+(7−4)2=2128=34，
所以a =y−−b t−=54−34×4=51，
所以y关于t的线性回归方程为y =b t+a =34t+51，
将2025年对应的t=10代入得y =34×10+51=58.5，
所以预测2025年该企业污水净化量约为58.5吨．
(2)因为R2=1−i=17(yi−y i)2i=17(yi−y−)2=1−94×118=1−18=78=0.875，
所以“污水净化量的差异”有87.5%是由年份引起的，说明回归方程预报的效果是良好的．
【解析】(1)结合题目数据利用最小二乘法求出线性回归直线方程，代入计算即可；
(2)利用已知数据求出相关指数，利用统计知识说明即可．
本题主要考查线性回归方程的求解，属于基础题．
18.【答案】(1)证明：如图，取PB边的中点E，连接AE，FE，
则三角形中位线可知，EF//BC且EF=12BC，
由题可知，AD//BC且AD=12BC，所以AD//EF且AD=EF，
所以四边形AEFD为平行四边形，所以DF//AE，
又因为DF⊏平面PAB，AE⊂平面PAB，
故DF//平面PAB；
(2)解：过点A作AN⊥PB于点N，
因为CB⊥平面PAB，AN⊂平面PAB，
所以CB⊥AN，因为PB∩CB=B，所以AN⊥平面PCB，
又AD//BC，所以D到平面PCB的距离即为AN，
又AN=AB⋅PAPB=1× 32= 32,PD= PA2+AD2=2，
所以直线PD与平面PBC所成角为θ，所以sinθ=ANPD= 34.

【解析】(1)取PB边的中点E，连接AE，FE，由三角形的中位线定理和平行四边形的判定，可得四边形AEFD为平行四边形，再由平行四边形的性质和线面平行的判定定理，即可得证；
(2)过点A作AN⊥PB于点N，即可得到AN⊥平面PCB，再根据AD//BC，可得D到平面PCB的距离即为AN，求出AN、PD，再根据锐角三角函数计算可得．
本题考查线面角，考查学生的运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)根据题意补全2×2列联表，如下：
(2)零假设为H0：选择“书法”或“剪纸”与性别无关．
根据列联表中数据，得χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(40×20−10×30)250×50×70×30≈4.762>3.841，
根据小概率α=0.050的独立性检验，推断H0不成立，即有95%的把握认为选“书法”或“剪纸”与性别有关．
【解析】(1)根据所给的数据补全列联表即可；(2)计算卡方，再对比表中数据进行独立性检验即可．
本题考查了独立性检验，是基础题．
20.【答案】解：设B=“任取一件工件为次品”，Ai=“取出工件分别为甲、乙、丙车间生产的工件”(i=1,2,3)，
则Ω=A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，
根据题意：P(A1)=0.25，P(A2)=0.35，P(A3)=0.4，
P(B|A1)=0.05，P(B|A2)=0.04，P(B|A3)=0.02.
(1)从这批工件中任取一件取到次品的概率为：
P(B)=0.25×0.05+0.35×0.04+0.4×0.02=0.0345；
(2)“如果取到的工件是次品，求它是甲车间生产的概率”，
即P(A1|B)=P(A1B)P(B)=P(A1)P(B|A1)P(B)=0.25×≈0.36.
【解析】(1)根据相互独立事件的公式计算即可；
(2)根据条件概率公式计算即可．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，是基础题．
21.【答案】解(1)f′(x)=eaxx2(ax−1)，
当a≤0时，f′(x)<0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递减；
当a>0时，对于x∈(0,1a)，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
x∈(1a,+∞)，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
证明：(2)由a=1，f(x)=exx，当x→0时，f(x)→+∞；当x→+∞时，f(x)→+∞，
又因为f′(x)=exx2(x−1)，所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，f(x)min=f(1)；
由g(x)=xlnx，知当x→1时，g(x)→+∞；当x→+∞，g(x)→+∞，
又g′(x)=lnx−1(lnx)2，可知g(x)在(1,e)上单调递减，在(e,+∞)上单调递增，g(x)min=g(e)=e，
令h(x)=f(x)−g(x)=exx−xlnx，即当x→1时，h(x)<0；当x=e时，h(x)>0，
结合条件①中方程f(x)=g(x)有唯一实数解x0∈(1,2)，知：
当x∈(1,x0)时，f(x)g(x)，
综上，画出函数f(x)，g(x)的简图：
其中A(x1,ex1x1)，B(x2,x2lnx2)，C(x3,ex3x3)，D(x4,x4lnx4)，P(x0,f(x0))，
则x1<1即ex1x1=x2lnx2=ex3x3=x4lnx4=m，得ex1=mx1，lnx4=x4m，ex3x3=elnx4lnx4，
由x3>1，lnx4>1，得x3=lnx4，x2lnx2=ex1x1=ex1lnex1，由x1<1，lnx2<1，因此x2=ex1，
所以，x2x3=ex1lnx4=mx1⋅x4m=x1x4，
所以存在满足条件的一个排列，如i=2，j=3，k=1，使x2x3=x1x4.
【解析】(1)对函数的求导，再判断函数的单调性即可，
(2)当a=1时，对函数二次求导，判断函数的单调性，再结合①②进行证明即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查学生的运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由已知得，方程ax2+(b−8)x−a−ab=0的两个根为−3，2，
则−b−8a=−1−a+aba=−6，即b−8=a1+b=6，
解得a=−3，b=5，
∴f(x)=−3x2−3x+18.
(2)由(1)得，不等式−3x2+5x+c≤0的解集为R，
因为Δ=52−4×(−3)×c≤0，
∴c≤−2512，即c的取值范围为(−∞,−2512];
(3)y=f(x)−21x+1=−3x2−3x−3x+1
=−3(x+1x+1)=−3[(x+1)+1x+1−1]，
因为x>−1，(x+1)+1x+1≥2，
当且仅当x+1=1x+1，即x=0时取等号，
∴当x=0时，ymax=−3.
【解析】本题考查的知识点是一元二次不等式的解法，基本不等式，函数的最值，属于中档题．
(1)由已知中函数f(x)=ax2+(b−8)x−a−ab可得f(x)=0的两根为−3，2，由韦达定理(根与系数的关系)我们易求出a，b的值，进而得到函数的解析式；
(2)由(1)的结论，根据不等式−3x2+5x+c≤0的解集为R，可得Δ≤0，由此构造关于c的不等式，解不等式即可求出c的取值范围；
(3)根据(1)的结论，我们易求出y=f(x)−21x+1的解析式，结合基本不等式，即可得到函数的最大值．月份代码x
1
2
3
4
5
碳酸锂价格y(万元/kg)
0.5
a
1
1.4
1.5
选书法
选剪纸
共计
男生
40
50
女生
共计
30
α
0.100
0.050
0.025
x0
2.706
3.841
5.024
选书法
选剪纸
共计
男生
40
10
50
女生
30
20
50
共计
70
30
100