2022-2023学年江苏省泰州市高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2022-2023学年江苏省泰州市高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知向量m=(1,2,3)与n=(2,x,6)垂直，则实数x的值为( )
A. −10B. −4C. 4D. 10
2.书架上有3本不同的数学书，4本不同的物理书，图书管理员从中任取2本，则不同的取法种数为( )
A. 7B. 12C. 21D. 42
3.口袋中有2个黑球，2个红球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.任取两球，用随机变量X表示取到的黑球数，则P(X=2)的值为( )
A. 15B. 110C. 310D. 35
4.某中学通过问卷调查的形式统计了该校1000名学生完成作业所需的时间，发现这些学生每天完成作业所需的时间(单位：小时)近似地服从正态分布N(1,116).则这1000名学生中每天完成作业所需的时间不少于1.5小时的人数大约为( )
附：随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ<μ+σ)≈0.683，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)≈0.954.
A. 23B. 46C. 158D. 317
5.在(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)的展开式中，含x3项的系数为( )
A. 50B. 35C. 24D. 10
6.已知x，y的取值如下表所示，从散点图分析可知y与x线性相关，如果线性回归方程为y =0.95x+2.5，则下列说法不正确的是( )
A. m的值为6.2
B. 回归直线必过点(2,4.4)
C. 样本点(4,m)处的残差为0.1
D. 将此图表中的点(2,4.4)去掉后，样本相关系数r不变
7.已知三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱长为2，底面ABC是边长为2的正三角形，∠A1AB=∠A1AC=60∘，若B1C和BC1相交于点M.则|AM|=( )
A. 3B. 2C. 5D. 6
8.在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷⋅马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若ξ是只取非负值的随机变量，则对∀a>0，都有P(ξ≥a)≤E(ξ)a.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A，其概率为P(A).则P(A)的最大值为( )
A. 271000B. 2431000C. 427D. 49
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.随机变量X服从以下概率分布：
若E(X)=1，则下列说法正确的有( )
A. a=16B. b=16C. E(3X−1)=3D. D(X)=73
10.关于二项式(2x2−1 x)5的展开式，下列说法正确的有( )
A. 含x5的项的系数为−80B. 二项式系数和为32
C. 常数项为10D. 只有第3项的二项式系数最大
11.下列说法正确的有( )
A. 若随机变量X∼0−1分布，则方差D(X)≤14
B. 正态密度曲线在曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1
C. 若两个变量的相关性越强，则其相关系数越接近于1
D. 若P(A)=12，P(B)=13，P(AB)=16，则事件A与B相互独立
12.如图，正方形ABCD的边长为2，AE和CF都与平面ABCD垂直，AE=2CF=4，点P在棱DE上，则下列说法正确的有( )
A. 四面体BDEF外接球的表面积为68π3
B. 四面体BDEF外接球的球心到直线AE的距离为 2
C. 当点P为DE的中点时，点P到平面BEF的距离为 62
D. 直线EF与平面PAB所成角的正弦值的最大值为 63
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.计算：C30+C41+C52+C63=______.(用数字作答)
14.设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)=13，P(B)=12，则P(A|B)的一个可能的值为__________.
15.在棱长为6的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中，BC=3BM，AD=3AN，则直线AM与CN夹角的余弦值为______.
16.一质点从平面直角坐标系原点出发，每次只能向右或向上运动1个单位长度，且每次运动相互独立，质点向上运动的概率为13.质点运动5次后，所在位置对应的坐标为(3,2)的概率为______，质点运动2023次后，最有可能运动到的位置对应的坐标为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
设(2x−1)9=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a9x9.
(1)求a1+a2的值；
(2)求a12+a222+a323+⋯+a929的值.
18.(本小题12分)
某市举办大型车展，为了解该市人民对此次大型车展的关注情况，在该市随机地抽取男性和女性各100人进行调查统计，得到如下2×2列联表：
(1)能否有99%的把握认为男性和女性对此次大型车展的关注程度有明显差差异？
(2)有3位市民去参观此次大型车展，假设每人去新能源汽车展区的概率均为13，且相互独立.设这3位市民参观新能源汽车展区的人数为ξ，求ξ的概率分布和数学期望.
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
19.(本小题12分)
某校举行劳动技术比赛，该校高二(1)班的班主任从本班的5名男选手和4名女选手中随机地选出男、女选手各2名参加本次劳动技术比赛中的团体赛，并排好团体赛选手的出场顺序.在下列情形中各有多少种不同的安排方法？
(1)男选手甲必须参加，且第4位出场；
(2)男选手甲和女选手乙都参加，且出场的顺序不相邻；
(3)男选手甲和女选手乙至少有一人参加.
20.(本小题12分)
设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和m(m≥2,m∈N*)个红球，这些球除颜色外完全相同，现先从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任意取出2个球，已知从乙袋中取出的是两个红球的概率为514.(1)求m的值；
(2)在从乙袋中取出的两球是一个红球和一个白球的条件下，求从甲袋中取出的是两个红球的概率.
21.(本小题12分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90∘，AA1=1，D为AC的中点.请从条件①、②、③中选择合适的两个作为已知，并解答下面的问题：
(1)求二面角A1−BD−B1所成角的正弦值；
(2)点P是矩形AA1B1B(包含边界)内任一点，且CP= 2，求CP与平面B1BD所成角的正弦值的取值范围.
条件①：平面A1BC的面积为 62；
条件②：C1D⊥A1B；条件③：B1点到平面A1BC的距离为 63.
22.(本小题12分)
某软件科技公司近8年的年利润y与投入的年研发经费x(单位：千万元)如下表所示.
(1)根据散点图可以认为x与y之间存在线性相关关系，且相关系数r=8384，请用最小二乘法求出线性回归方程y =b x+a (a ,b 用分数表示)；
(2)某配件加工厂加工的单个零件尺寸与标准件尺寸的误差ε∼N(0,6c+1)，其中c为单个零件的加工成本(单位：元)，且P(|ε|<12)=0.954.引进该公司最新研发的某工业软件后，加工的单个零件尺寸与标准件尺寸的误差ε∼N(0,112c+2).若保持零件加工质量不变(即误差的概率分布不变)，则单个零件加工的成本下降了多少元？
附：(1)参考数据：i=18yi2=3452，i=18(yi−y−)2=252.
(2)参考公式：r=i=1n(xi−x−)(yi−y−) i=1n(xi−x−)2i=1n(yi−y−)2，b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2，a =y−−b x−.
(3)若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ<μ+σ)≈0.683，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)≈0.954.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵向量m=(1,2,3)与n=(2,x,6)垂直，
∴m⋅n=2+2x+18=0，
解得x=−10.
故选：A.
由题意可知m⋅n=0，再利用空间向量的数量积运算求解．
本题主要考查了空间向量的数量积运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：根据题意，图书管理员从7本书中任取2本，是组合问题，
有C72=21种取法．
故选：C.
根据题意，分析可得该问题为组合问题，由组合数公式计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，注意排列数、组合数公式的不同，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由题意可得，P(X=2)=C22C52=110.
故选：B.
根据题意，由超几何分布的概率计算公式，代入计算即可得到结果．
本题考查了超几何分布的概率计算公式，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：因为学生每天完成作业所需的时间(单位：小时)近似地服从正态分布(1,116)，
所以μ=1，σ=0.25，
因为P(1<ξ<1.5)=12P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)≈12×0.954=0.477，则P(ξ>1.5)=0.5−0.477=0.023，
所以这1000名学生中每天完成作业所需的时间不少于1.5小时的人数大约为：1000×0.023=23(人).
故选：A.
求出μ=1，σ=0.25，利用正态分布的对称性和3σ原则，计算可得答案．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=(x2+3x+2)(x2+7x+12)，
故x3项的系数为7+3=10.
故选：D.
直接利用二项展开式和组合数的应用求出结果．
本题考查的知识要点：二项展开式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：x−=0+1+2+3+45=2，y−=2.3+4.3+4.4+4.8+m5=15.8+m5，
样本点的中心的坐标为(2,15.8+m5)，
代入y =0.95x+2.5，得15.8+m5=0.95×2+2.5，
解得m=6.2，故A正确；
回归直线必过(2,4.4)，故B正确；
取x=4，得y =0.95×4+2.5=6.3，则样本点(4,m)处的残差为6.2−6.3=−0.1，故C错误；
将此图表中的点(2,4.4)去掉后，样本相关系数r不变，故D正确．
故选：C.
由已知求出样本点的中心的坐标，代入线性回归方程，求出m的值判断AB；求出x=4时y的预测值判断C；由相关系数公式判断D.
本题考查线性回归方程，考查相关系数与残差的概念，是基础题．
7.【答案】D
【解析】解：依题意可得：
AB⋅AC=AB⋅AA1=AC⋅AA1=2×2×12=2，
又M是BC1的中点，
所以AM=12(AC1+AB)=12(AC+AA1)+12AB
=12AC+12AA1+12AB，
所以|AM|= (12AC+12AA1+12AB)2
=12 4+4+4+2×2×3
= 6.
故选：D.
选取AB，AC，AA1作为一组基底，将AM用基底表示，利用数量积进行运算即可求得．
本题考查空间向量数量积运算，属基础题．
8.【答案】B
【解析】解：记该市去年人均收入为X万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为Y，
设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为p，
则根据马尔可夫不等式可得p=P(X≥100)≤E(X)100=10100=110，
∴0≤p≤110，
因为Y∼B(3,p)，
所以P(A)=P(Y=1)=C31p(1−p)2=3p(1−p)2=3p3−6p2+3p，
令f(p)=3p3−6p2+3p，则f′(p)=9p2−12p+3=3(3p−1)(p−1)，
∵0≤p≤110，∴3p−1<0，p−1<0，即f′(p)>0，
∴f(p)在[0,110]上单调递增，
∴f(p)max=f(110)=3×110×(1−110)2=2431000，即P(A)max=2431000.
故选：B.
记该市去年人均收入为X万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为Y，设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为p，根据马尔可夫不等式可得0≤p≤110，再根据二项分布求得P(A)=3p(1−p)2=3p3−6p2+3p，令f(p)=3p3−6p2+3p，求导判断单调性即可求得最大值．
本题考查了二项分布和导数的综合应用，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：由题意得，13+a+b+16=1E(X)=−1×13+a+2b+3×16=1，解得a=16b=13，故A正确，B错误；
E(3X−1)=3E(X)−1=2，C错误；
D(X)=(−1−1)2×13+(1−1)2×16+(2−1)2×13+(3−1)2×16=73，D正确．
故选：AD.
根据离散型随机变量的分布列的性质和期望公式列方程求解即可求得a，b；根据期望的性质可判断C；根据方差公式可判断D.
本题考查离散型随机变量的分布列的性质，考查离散型随机变量的期望和方差，是中档题．
10.【答案】ABC
【解析】解：对于二项式(2x2−1 x)5的展开式，它的通项公式为Tr+1=C5r⋅(−1)r⋅25−r⋅x10−5r2，
令10−5r2=5，求得r=2，可得含x5的项的系数为10×8=80，故A正确．
令10−5r2=0，求得r=4，可得常数项为5×2=10，故C正确．
它的二项式系数和为25=32，故B正确．
由于它的二项式系数为C5r，故当r=2或3时，即第三项或第四项的的二项式系数最大，故D错误．
故选：ABC.
由题意，利用二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于A，因为随机变量X∼0−1分布，所以D(X)=p(1−p)≤(p+1−p2)2=14，当且仅当p=1−p，即p=12时，等号成立，所以A正确；
对于B，因为正态密度曲线在曲线下方和x轴上方范围内的区域面积就是概率，全区域概率为1，所以面积为1，故B正确；
对于C，当两个变量为负相关时，相关性越强，其相关系数越接近于−1，故C错误；
对于D，P(A)=12，P(B)=13，P(AB)=16，P(AB)=P(A)P(B)，则事件 A与 B相互独立，故D正确．
故选：ABD.
对于A，根据两点分布的方差公式，再利用基本不等式即可；
对于B，由正态密度曲线在曲线下方和 x轴上方范围内的区域面积为概率，即可判定；
对于C，当两个变量为负相关时，相关性越强，相关系数越接近于−1可判定错误；
对于D根据相互独立事件的定义，结合概率计算，即可判定正确．
本题考查正态分布，考查相互独立事件的定义，考查相关系数的定义，是中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：因为AE与平面ABCD垂直，AB，AD⊂平面ABCD，
所以AE⊥AB，AE⊥AD，
因为四边形ABCD为正方形，所以AB⊥AD，
以点A为原点，AB,AD,AE为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则B(2,0,0)，D(0,2,0)，E(0,0,4)，F(2,2,2)，
设四面体BDEF外接球的球心O的坐标为(x,y,z)，
则OB=OD，OB=OE，OB=OF，
所以(x−2)2+y2+z2=x2+(y−2)2+z2(x−2)2+y2+z2=x2+y2+(z−4)2(x−2)2+y2+z2=(x−2)2+(y−2)2+(z−2)2，
化简可得x=yx=2z−3,y+z=2
所以x=13,y=13,z=53，
所以球心O的坐标为(13,13,53)，
所以球O的半径R=OB= (13−2)2+(13)2+(53)2= 513，
所以四面体BDEF外接球的表面积S=4πR2=4π×173=68π3,A正确；
直线AE的方向向量AE=(0,0,4)，又AO=(13,13,53)，
所以向量AO在向量AE上的投影向量的模的大小为|AO⋅AE|AE||=|0×13+0×13+4×534|=53，
所以点O到直线AE的距离为 |AO|2−(53)2= 23，B错误；
设平面BEF的法向量为n1=(a,b,c)，
则n1⋅BF=0n1⋅FE=0，又BF=(0,2,2),FE=(−2,−2,2)，
所以2b+2c=0−2a−2b+2c=0，
取a=2，则c=1，b=−1，
所以n1=(2,−1,1)为平面BEF的一个法向量，
若点P为DE的中点，则点P的坐标为(0,1,2)，
所以PD=(0,1,−2)，
所以点P到平面BEF的距离为|PD⋅n1|n1||=3 6= 62，C正确：
设DP=λDE,0≤λ≤1，则AP=AD+DP=(0,2,0)+λ(0,−2,4)=(0,2−2λ,4λ)，
又AB=(2,0,0),EF=(2,2,−2)，
设平面PAB的法向量为n2=(p,q,r)，
则n2⋅AP=0n2⋅AB=0，所以(2−2λ)q+4λr=02p=0，
取q=2λ，则p=0，q=λ−1，
所以n2=(0,2λ,λ−1)为平面PAB的一个法向量，
设直线EF与平面PAB所成角为θ，
所以sinθ=|cs⟨EF,n2⟩|=|2λ+22 3× (2λ)2+(λ−1)2|，
所以sinθ=1 15 5λ2+10λ+51−2λ+5λ2= 1515 1+4⋅(3λ+1)5λ2−2λ+1，
设3λ+1=t，t∈[1,4]，则λ=t−13,λ2=t2−2t+19，
所以3λ+15λ2−2λ+1=t5⋅t2−2t+19−2⋅t−13+1=9t5t2−16t+20=95(t+4t)−16，
由基本不等式可得当t∈[1,4]时，t+4t≥2 t⋅4t=4，
当且仅当t=2，即λ=13时等号成立，
所以3λ+15λ2−2λ+1=95(t+4t)−16≤95×4−16=94，当且仅当λ=13时等号成立，
所以sinθ= 1515 1+4⋅(3λ+1)5λ−2λ+1≤ 15× 1015= 63，当且仅当λ=13时等号成立，
所以当点P为棱DE的靠近点D的三分点时，
直线EF与平面PAB所成角的正弦值的最大，最大值为 63,D正确．
故选：ACD.
建立空间直角坐标系，列方程确定四面体BDEF外接球球心O的坐标和半径，再求球的表面积判断A；利用向量方法求球心到直线AE的距离判断B；求平面BEF的法向量，利用向量方法求点P到平面BEF的距离判断C；求平面PAB的法向量，结合向量夹角公式求直线EF与平面PAB所成角的正弦值的最大值判断D.
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
13.【答案】35
【解析】解：C30+C41+C52+C63
=C40+C41+C52+C63
=C51+C52+C63
=C62+C63
=C73=7!3!4!=7×6×53×2=35.
故答案为：35.
直接利用组合数的性质及组合数公式求解．
本题考查组合数公式与组合数性质的应用，是基础题．
14.【答案】13(答案不唯一，在[0,23]内均可)
【解析】【分析】
本题考查条件概率及事件间的关系，属于综合题.
先求出P(AB)的范围，然后利用条件概率公式求解即可．
【解答】
解：因为A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)=13，P(B)=12，
当事件A，B为互斥事件时，P(AB)=0，
当事件B包含事件A时，P(AB)=13，
所以0≤P(AB)≤13，所以0≤P(A|B)=P(AB)P(B)≤1312=23，
所以P(A|B)的一个可能的值为13(答案不唯一，在[0,23]内均可).
故答案为：13(答案不唯一，在[0,23]内均可).
15.【答案】11184
【解析】解：连结DM，在DM线段上取一点O，DO=2OM，连结NO、CO，
∵AD=3AN，∴NO//AM，ON=23AM，∴∠ONC(或其补角)是直线AM与CN夹角，
∵在棱长为6的正四面体A−BCD中，BC=3BM，AD=3AN，
∴AN=BM=2，CM=DN=4，
在△ABM中，由余弦定理得：AM²=AB²+BM²−2AB⋅BM⋅cs∠ABM=6²+2²−2×6×2×cs60∘=28，
即AM=2 7，∴ON=23AM= 73，
同理DM=CN=AM=2 7，∴OM=13DM=2 73，
在△BMD中，由余弦定理得：cs∠BMD=BM2+MD2−BD22BM⋅MD=22+(2 7)2−622×2×2 7=− 714，
∴cs∠CMO=OM2+CM2−OC22OM⋅CM= 714，
∴OC²=1489，
∴cs∠ONC=CN2+ON2−OC22CN⋅ON=−11184.
∴直线AM与CN夹角的余弦值是11184.
取DM靠近M的三等分点O，连结CO、NO，由已知得，∠ONC(或其补角)是直线AM与CN夹角，解三角形CON可解．
本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
16.【答案】8081 (1349,674)
【解析】解：质点只能向上或向右运动，且P上=13，P右=23，
运动5次，只需向上运动2次，向右运动3次即可到达(3,2)，
故其概率为C52⋅(13)2⋅(23)3=8081；
设运动2023次中，向上移动x次，向右移动(2023−x)次，
移动后质点坐标为(2023−x,x)，其概率为：C2023x⋅(13)x⋅(23)2023−x，
令其最大值在x=n处取得，
故C2023n(13)n(23)2023−n≥C2023n−1(13)n−1(23)2024−nC2023n(13)n(23)2023−n≥C2023n+1(13)n+1(23)2022−n，
整理得：2n2−4047n+2024≥02n2−4043n−2021≤0，
又n∈N*，解得n=674，
故质点最有可能运动到(1349,674).
故答案为：8081；(1349,674).
根据质点的运动规律及相应概率，可将坐标和运动方向与次数结合起来，利用相互独立事件的概率计算公式进行求解，然后运用二项式定理中求系数最大项的方法可求出概率最大值．
本题考查相互独立事件的概率公式，二项式系数最大项的求法，属中档题．
17.【答案】解：(1)∵(2x−1)9=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a9x9 的通项公式为Tr+1=C9r⋅(−1)r⋅29−r⋅x9−r.
令9−r分别等于1、2，可得r=8，7，故有a1=C98×2=18，a2=C97×(−1)7×22=−144，
∴a1+a2=18−144=−126；
(2)在所给的等式中，令x=0，可得a0=−1，
再令x=12，可得−1+a12+a222+a323+⋯+a929=0，∴a12+a222+a323+⋯+a929=1.
【解析】(1)由题意，利用二项式展开式的通项公式，求得a1+a2的值．
(2)在所给的等式中，令x=0，可得a0的值，再令x=12，可得a12+a222+a323+⋯+a929的值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于基础题．
18.【答案】解：(1)提出假设H0：男性和女性对此次大型车展的关注程度没有明显差异，
由列联表中的数据可得：X2=200(50×70−50×30)2100×100×80×120=253≈8.333，
因为当H0成立时，P(X2≥6.635)≈0.010，这里的X2≈8.333>6.635，
所以我们有99%的把握认为男性和女性对此次大型车展的关注程度有明显差异．
(2)由题意知ξ的可能取值为：0，1，2，3，
∵ξ−B(3,13)，∴P(ξ=k)=C3k(13)k(23)3−k，其中k=0，1，2，3，
故ξ的概率分布列为：
∴E(ξ)=0×827+1×1227+2×627+3×127=1，
∴随机变量ξ的数学期望为1.
【解析】(1)根据表中的数据利用公式χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)求解，再根据临界值表进行判断即可；
(2)由题意知ξ的可能取值为：0，1，2，3，而ξ−B(3,13)，所以利用二项分布的概率公式求出各自对应的概率，从而可求得ξ的概率分布和数学期望．
本题考查了独立性检验问题，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题．
19.【答案】解：(1)男选手甲必须参加，再选1名男生有4种，4名女生选2名，有C42，安排甲在第4位出场，其余3人全排列，
则有4C42A33=144种不同的安排方法．
(2)男选手甲和女选手乙都参加，再各选1名男选手和女选手，先安排选出的男选手和女选手，然后将甲乙进行插空进行排列即可，
则有C41C31A22A32=144种不同的安排方法．
(3)各选2名选手参加比赛有C52C42A44=10×6×24=1440，
男选手甲和女选手乙至少有一人参加的对立面都不参加，
若甲乙都不参加，则有C42C32A44=6×3×24=432，
则男选手甲和女选手乙至少有一人参加的有1440−432=1008.
【解析】(1)利用元素优先法进行求解即可．
(2)利用不相邻问题插空法进行求解即可．
(3)利用排除法进行求解即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用元素优先法，不相邻问题插空法，以及排除法进行求解是解决本题的关键，是中档题．
20.【答案】解：(1)从甲袋中取出2个红球，从乙袋中取出2个红球的概率为C42C72×Cm+22Cm+32，
从甲袋中取出2个白球，从乙袋中取出2个红球的概率为C32C72×Cm2Cm+32，
从甲袋中取出1个红球和1个白球，从乙袋中取出2个红球的概率为C31C41C72×Cm+12Cm+32，
则乙袋中取出的是两个红球的概率为C42C72×Cm+22Cm+32+C32C72×Cm2Cm+32+C31C41C72×Cm+12Cm+32=514，
整理得9m2−7m−22=0，解得m=2或m=−−119(舍)，故m的值为2.
(2)记事件A为“从甲袋中取出两个红球”，事件B为“从乙袋中取出一个红球一个白球”，
P(AB)=C42C72×C41C52=435，
P(B)=C42C72×C41C52+C32C72×C31C21C52+C31C41C72×C21C31C72=1935，
P(A|B)=P(AB)P(B)=4351935=419，
所以在从乙袋中取出1个红球和1个白球的条件下，从甲袋中取出两个红球的概率为419.
【解析】(1)根据从乙袋中取出的是两个红球的概率列方程，化简求得m的值；
(2)先求得“从乙袋中取出1个红球和1个白球”的概率、求得“从甲袋中取出2个红球”且“从乙袋中取出1个红球和1个白球”的概率，根据条件概率计算公式求得正确答案．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，是基础题．
21.【答案】解：(1)因为直三棱柱ABC−A1B1C1，
所以CC1⊥面ABC，
又CA，CB⊂面ABC，
所以CC1⊥CA，CC1⊥CB，
又CA⊥CB，
以CA，CB，CC1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系：
设CA=a，CB=b，(a>0,b>0)，
所以A(a,0,0)，A1(a,0,1)，D(a2,0,0)，B(0,b,0)，B1(0,b,1)，C1(0,0,1)，
(1)选①②．
因为直三棱柱ABC−A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，
又∠ACB=90∘，
所以BC⊥平面A1ACC1，
又因为A1C⊂平面A1ACC1，
所以BC⊥A1C，
则又由①得平面A1BC的面积为12b a2+1= 62，
由②得A1B⋅C1D=(−a,b,−1)⋅(a2,0,−1)=−a22+1=0，
解得a= 2，b= 2，
所以BA1=( 2,− 2,1)，BD=( 22,− 2,0)，BB1=(0,0,1)，
设平面B1BD的一个法向量n=(x1,y1,z1)，
则BD⋅n= 22x1− 2y1=0z1=0，
令y1=0，得x1=2，z1=0，
所以n=(2,1,0)，
设平面A1BD的一个法向量m=(x2,y2,z2)，
所以BD⋅m= 22x2− 2y2=0BA1⋅m= 2x2− 2y2+z2=0，
令y2=1，则x2=2，z1=− 2，
所以m=(2,1,− 2)，
设二面角A1−BD−B1所成角的平面角为θ，
所以|csθ|=|cs|=|m⋅n|m||n||=|5 7⋅ 5|= 357，
因为θ∈[0,π]，
所以sinθ= 147，
所以二面角A1−BD−B1所成角的正弦值为 147.
选①③．
因为直三棱柱ABC−A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，
又∠ACB=90∘，
所以BC⊥平面A1ACC1，
又因为A1C⊂平面A1ACC1，
所以BC⊥A1C，
则又由①得平面A1BC的面积为12b a2+1= 62，
由①③得VB1−A1BC=VA1−BB1C，即13× 62× 63=13×b2×a，
解得a= 2，b= 2，
所以BA1=( 2,− 2,1)，BD=( 22,− 2,0)，BB1=(0,0,1)，
设平面B1BD的一个法向量为n=(x1,y1,z1)，
所以BD⋅n= 22x1− 2y1=0BB1⋅n=z1=0，
令y1=1，则n=(2,1,0)，
设平面A1BD的一个法向量为m=(x2,y2,z2)，
则BD⋅m= 22x2− 2y2=0BA1⋅m=2x2− 2y2+z2=0，
令y2=1，则x2=2，z2=− 2，
所以m=(2,1,− 2)，
设二面角A1−BD−B1所成角的平面角为θ，
所以|csθ|=|cs|=|m⋅n|m||n||=|5 7⋅ 5|= 357，
因为θ∈[0,π]，
所以sinθ= 147，
所以二面角A1−BD−B1所成角的正弦值为 147.
选②③．
由②得A1B⋅C1D=(−a,b,−1)⋅(a2,0,−1)=−a22+1=0，
由②③得VB1−A1BC=VA1−BB1C，即13× 62× 63=13×b2×a，
解得a= 2，b= 2，
所以BA1=( 2,− 2,1)，BD=( 22,− 2,0)，BB1=(0,0,1)，
设平面B1BD的一个法向量n=(x1,y1,z1)，
则BD⋅n= 22x1− 2y1=0z1=0，
令y1=1，得x1=2，z1=0，
所以n=(2,1,0)，
设平面A1BD的一个法向量m=(x2,y2,z2)，
所以BD⋅m= 22x2− 2y2=0BA1⋅m= 2x2− 2y2+z2=0，
令y2=1，则x2=2，z1=− 2，
所以m=(2,1,− 2)，
设二面角A1−BD−B1所成角的平面角为θ，
所以|csθ|=|cs|=|m⋅n|m||n||=|5 7⋅ 5|= 357，
因为θ∈[0,π]，
所以sinθ= 147，
所以二面角A1−BD−B1所成角的正弦值为 147.
(2)取AB中点Q，连接PQ，CQ，
因为CQ⊥平面A1ABB1，PQ⊂平面A1ABB1，
所以CQ⊥PQ，
因为CQ=1，CP= 2，
所以PQ=1，
所以点P的轨迹是以Q为圆心，半径为1的半圆，
设点P(x′,y′,z′)，则x′∈[0, 2]，
因为CP= 2，PQ=1，
所以x′2+y′2+z′2=2(x′− 22)2+(y′− 22)2=1，
所以x′+y′= 2，
设CP与平面B1BD所成角为α，
由CP=(x′,y′,z′)及平面B1BD的一个法向量为n=(2,1,0)，
知sinα=|cs|=|2x′+y′ 2⋅ 5|=|x′+ 2 5|，
因为x′∈[0, 2]，
所以sinα∈[ 55,2 55]，
所以CP与平面B1BD所成角的正弦值的取值范围为[ 55,2 55].
【解析】(1)根据题意可得CC1⊥CA，CC1⊥CB，CA⊥CB，以CA，CB，CC1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设CA=a，CB=b，(a>0,b>0)，分三种情况：选①②；选①③；选②③，求出二面角A1−BD−B1所成角的正弦值．
(2)取AB中点Q，连接PQ，CQ，推出PQ=1，则点P的轨迹是以Q为圆心，半径为1的半圆，设点P(x′,y′,z′)，则x′∈[0, 2]，可得x′+y′= 2，设CP与平面B1BD所成角为α，则sinα=|cs|=|2x′+y′ 2⋅ 5|=|x′+ 2 5|，x′∈[0, 2]，进而可得答案．
本题考查直线与平面的位置关系和二面角，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由i=18(yi−y−)2=252，得i=18yi2−2y−⋅i=18yi+8y−2=252，
即i=18yi2−8y−2=252，由i=18yi2=3452，得y−=20(负舍)，
因为x−=3+4+5+6+6+7+8+98=6，
所以i=18(xi−x−)2=9+4+1+0+0+1+4+9=28，
所以r=i=18(xi−x−)(yi−y−) i=18(xi−x−)2i=18(yi−y−)2=i=18(xi−x−)(yi−y−)i=18(xi−x−)2⋅ i=18(xi−x−)2 i=18(yi−y−)2=b ⋅ i=18(xi−x−)2 i=18(yi−y−)2，
所以8384=13b ，所以b =8328，所以a =y−−b x−=20−8328×6=3114，
所以，y关于x的线性回归方程为y =8328x+3114；
(2)未引进新的工业软件前，ε∼N(0,6c+1)，
所以μ=0,σ= 6c+1，
又P(|ε|<12)=0.954，即P(|ε−μ|<2σ)=0.954，所以2 6c+1=12，所以c=95(元)，
引进新的工业软件后，ε∼N(0,112c+2)，所以μ=0,σ= 112c+2，
若保持零件加工质量不变，则2 112c+2=12，所以c=87(元)，因为95−87=8(元)，
所以单个零件加工的成本下降了8元．
【解析】(1)由i=18yi2=3452,i=18(yi−y−)2=252可求出y−，然后求出i=18(xi−x−)2，然后利用相关系数r=8384求出可求出b ，再由a =y−−b x−求出a ，从而可求出线性回归方程；
(2)未引进新的工业软件前，由误差ε∼N(0,6c+1)，得μ=0,σ= 6c+1，再由P(|ε|<12)=0.954可得2 6c+1=12，从而可求出c，同理引进新的工业软件后，可求出其对应的c，从而可进行判断．
本题考查了回归方程的应用计算，属于中档题．x
0
1
2
3
4
y
2.3
4.3
4.4
4.8
m
X
−1
1
2
3
P
13
a
b
16
关注
不关注
合计
男性
50
50
100
女性
30
70
100
合计
80
120
200
P(χ2≥x0)
0.050
0.010
0.001
x0
3.841
6.635
10.828
x
3
4
5
6
6
7
8
9
y
y1
y2
y3
y4
y5
y6
y7
y8
ξ
0
1
2
3
P
827
1227
627
127