2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={−2,−1,0,1,2}，B={x|0≤x<3}，则A∩B=( )
A. {0,1,2}B. {−2,−1,0}C. {0,1}D. {1,2}
2.计算A82的结果是( )
A. 10B. 16C. 28D. 56
3.一批产品共100件，其中有5件不合格品，从中随机抽取10件产品，则恰有2件不合格品和8件合格品的取法种数是( )
A. C52C958C10010B. C52C958C. C53C9510C10010D. C53C9510
4.已知向量a在向量b上的投影向量是− 32b，且b=(1,1,−1)，则a⋅b=( )
A. −32B. 32C. −32 3D. 32 3
5.函数f(x)=x2在[1,2]上的平均变化率为( )
A. 1B. 94C. 3D. 4
6.为了考查某种营养液对有机蔬菜的增产效果，某研究所进行试验、获得数据、经过计算后得到K2≈6.795，那么可以认为该营养液为有机蔬菜的增产效果的把握为( )
附：K2临界值表(部分)
A. 99.9%以上B. 99.5%以上C. 99%以上D. 95%以下
7.已知平面α与平面β的法向量分别为n1与n2，平面α与平面β相交，形成四个二面角，约定：在这四个二面角中不大于90∘的二面角称为两个平面的夹角，用θ表示这两个平面的夹角，且csθ=|cs⟨n1,n2⟩|=|n1⋅n2||n1|⋅|n2|，如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E为棱AA1的中点，F为棱CD的中点，则平面BEF与平面BCF的夹角的余弦值为( )
A. 63B. 4 2121C. − 63D. −4 2121
8.若a2+lg2a=4b2+lg24b，则( )
A. a>2bB. a<2bC. a>b2D. a二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.如果aA. a−3a2D. −1a<−1b
10.某高级元件的抗拉强度(单位：kg/cm2)服从正态分布N(10000,1002)，测量记录精确到5kg/cm2，则下列选项中正确的是( )
附：标准正态分布P(Z≤z)数值表(部分)
A. 抗拉强度的均值为10000kg/cm2
B. 抗拉强度的标准差为10000kg/cm2
C. 抗拉强度超过10040kg/cm2元件的比例是0.3446
D. 如果要求所有元件的抗拉强度在9975∼10025kg/cm2的范围内，那么被报废的元件的比例是0.1974
11.已知函数f(x)=|x+1a|+|x−2a|，其中a>0，则( )
A. f(x)≥2 2
B. f(x)图像的对称轴是直线x=a+12a
C. f(x)图像在直线y=x的上方
D. 当f(3)<5时，1+ 5212.已知定义在R上的奇函数y=f(x)满足f(x)+f(2−x)−f(1)=0，且当x∈(0,1)时，f(x)=−4x2+4x，则在下列说法中正确的说法是( )
A. f(4)=0
B. 函数y=f(x)在区间(1,2)上的解析式为f(x)=−4(x−2)2+4(x−2)
C. 若函数y=f(x)与函数y=lgax(a>0且a≠1)的图像在区间(0,5)上交点有5个，则实数a的取值范围为(92,+∞)
D. 函数y=f(x)+lg5|x−72|所有零点的和为35
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.命题“∃x∈[−1,1]，x2−x+3<0”的否定是______.
14.函数y=ax−2+7(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，点P在幂函数f(x)的图象上，则f(3)=______.
15.为进一步改善员工健康状况，在某行业进行一种职业病调查，随机调查了100位患者，得到如表的职业病发病情况统计表：
已知该行业这种职业病的患病率为0.06%，该行业工龄超过10年且不超过20年的员工占该行业总人数的43%，从该行业中任选一位员工，若此员工的工龄超过10年且不超过20年，则此员工患这种职业病的概率为______.(以统计表中各类别患者的发病频率作为相应类别患者的发病概率，精确到0.0001)
16.式子p→0lim (3+p)2−32p,p→0lim 3+2p− 3p，的值分别为______，______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
“民族要复兴，乡村必振兴”.近年来，我国农村居民人均可支配收入逐年上升，下面给出了根据我国2015∼2022年中国农村居民人均可支配收入y(单位：元)和年份代码x绘制的条形图和线性回归方程的残差图(2015年∼2022年的年代代码x分别为1−8)
(1)根据条形图相应数据计算得i=18yi=124050,i=18xiyi=611384,i=18xi2=204，求y关于x的线性回归方程；
(2)根据线性回归方程的残差图，分析线性回归方程的拟合效果.(精确到0.1)
附：线性回归方程y =a +b x中的回归系数和回归截距的计算公式分别为：
b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2=i=1nxiyi−nxy−i=1nxi2−nx−2，a =y−+b x−.
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=2 3sinxcsx−(cs2x−sin2x).
(1)求f(x)的最小正周期.
(2)将函数f(x)的图像上所有的点的纵坐标变为原来的12倍(横坐标不变)，再将所得图像向右平移π6个单位，得到函数g(x)的图像，求g(x)的单调递减区间.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=2x+2−m(2x−1)−6.
(1)当m=1时，解不等式f(x)>0；
(2)当f(x)<0对∀x∈(0,+∞)恒成立时，求整数m的最小值.
20.(本小题12分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，点M为AC中点.
(1)求证：AB1//平面BMC1；
(2)求点B到直线C1M的距离.
21.(本小题12分)
某部门对一种新型产品的效果进行独立重复试验，每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为p(0(1)方案一：若试验成功，则试验结束，否则继续试验，且最多试验3次，记X为试验结束时所进行的试验次数，请写出X的分布列，求出E(X)；
(2)方案二：当实验进行到恰好出现2次成功时结束试验，否则继续试验，已知p=23，求在第n(n≥2)次试验进行完毕时结束试验的概率P(n)；若Q(n)=P(n)n−1，当i=2nQ(i)≥35时，求n的最小值.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=(1+x)n
(1)当n=6时，求在(1+x)n的展开式中第5项的二项式系数；
(2)求证：Cn0−Cn12+Cn23+⋯+(−1)nCnnn+1=1n+1(n∈N*).
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：集合A={−2,−1,0,1,2}，B={x|0≤x<3}，
则A∩B={0,1,2}.
故选：A.
利用交集定义直接求解．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：A82=8×7=56.
故选：C.
根据排列数的定义化简计算即可．
本题考查排列数的定义，考查学生计算能力，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：一批产品共100件，其中有5件不合格品，则合格品有95件，
则随机抽取10件产品，恰有2件不合格品和8件合格品的取法种数是C52C958.
故选：B.
根据分步计数原理和组合数公式进行求解即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用组合公式进行计算是解决本题的关键，是基础题．
4.【答案】C
【解析】解：b=(1,1,−1)，
则|b|= 12+12+(−1)2= 3，
设向量a在向量b的夹角为θ，
向量a在向量b上的投影向量是− 32b，
所以向量a在向量b上的投影向量为|a|csθ⋅b|b|=|a|csθ|b|b=− 32b，
所以|a|csθ=−32，
故a⋅b=|a||b|csθ=−32 3.
故选：C.
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：函数f(x)=x2在[1,2]上的平均变化率为：22−122−1=3.
故选：C.
根据已知条件，结合平均变化率的定义，即可求解．
本题主要考查平均变化率的定义，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：因为K2≈6.795>6.635，
所以该营养液为有机蔬菜的增产效果的把握为99%以上．
故选：C.
K2≈6.795，与6.635比较大小，即可作出判断．
本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，建立如图空间直角坐标系，
可得B(2,0,0)，E(0,0,1)，F(1,2,0)，
所以EB=(2,0,−1)，EF=(1,2,−1)，
设平面BEF的法向量为a=(x,y,z)，
则有a⋅EB=0a⋅EF=0，得2x−z=0x+2y−z=0，
令z=2，所以a=(1,12,2)，
因为平面BCF的法向量是b=(0,0,1)，
所以csθ=|cs⟨a,b⟩|=|a⋅b||a|⋅|b|=2 12+14+22=4 2121.
故选：B.
建立空间直角坐标系，写出B，E，F点的坐标，分别求出平面BEF和平面BCF的法向量，再根据两个平面的夹角公式直接计算出结果即可．
本题考查了二面角的计算，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：因为a2+lg2a=4b2+lg24b>4b2+lg24b−1=(2b)2+lg22b，
所以构建函数f(x)=x2+lg2x，则f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以f(a)所以a<2b.
故选：B.
根据条件得出a2+lg2a<(2b)2+lg22b，可知函数f(x)=x2+lg2x在(0,+∞)上单调递增，并得出f(a)本题考查了对数的运算性质，对数函数和二次函数的单调性，增函数的定义，考查了计算能力，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：因为a选项A，a−3由ab>b2>0，可知B不成立；
由a2>ab>0，可知C不成立；
由已知有1a>1b，所以−1a<−1b，D成立．
故选：AD.
利用不等式的基本性质对选项进行判断即可．
本题考查不等式性质，属基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：根据正态分布N(10000,1002)，可得抗拉强度的均值为10000kg/cm2，抗拉强度的标准差为100kg/cm2，故A正确，B错误；
根据抗拉强度超过10040kg/cm2可得10040−10000100=0.4，
在标准正态分布Y∼N(0,1)中，P(Y≤0.4)=0.6554，
所以P(Y>0.4)=1−P(Y≤0.4)=1−0.6554=0.3446，故C正确；
根据题意可知，X∼N(10000,1002)，
P(9975则1−P(9975故选：AC.
根据正态分布的性质，即可判断AB；根据标准正态分布，即可判断CD.
本题考查正态分布的应用，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：由于函数f(x)=|x+1a|+|x−2a|=−2x−1a+2a,x≤−1a1a+2a,−1a0，
函数图像如图：
当−1a即f(x)min=2a+1a≥2 2，当且仅当a= 22时取等号，故f(x)≥2 2，故A正确．
由于函数对称轴为x=−1a+2a2=a−12a，故B错误．
当x=2a时，y=x=2a，且a>0，所以2a+1a>2a，
所以f(x)图像在直线y=x的上方，故C正确．
当3<2a时，即a>32时，f(3)=1a+2a<5，解得5− 174当3≥2a时，即0综上可得，12故选：AC.
由题意，分类讨论，画出函数f(x)的图象，数形结合，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，属于中档题．
12.【答案】AD
【解析】解：当x=1时，则f(1)+f(2−1)−f(1)=0，可得f(1)=0，即f(x)+f(2−x)=0，
所以f(2−x)=−f(x)，
所以函数关于(1,0)对称，
由f(2−x)=−f(x)=f(−x)，可得f(x+2)=f(x)，
所以周期为2，
所以f(4)=f(2)=f(0)=0，A正确；
当x∈(1,2)时，2−x∈(0,1)，因为f(x)+f(2−x)=0，
所以f(x)+[−4(x−2)2+4(x−2)]=0，
所以f(x)=4(x−2)2+4(x−2)，B错误；
如图可知函数y=f(x)与函数y=lgax(a>1)的图像，
因为在区间(0,5)上交点有5个，
又因为当x=92时，y=1，所以lga92<1=lgaa，解得a>92；
若0−1=y=lga1a，所以0所以满足题意的a的范围为(92,+∞)∪(0,27)，C错误；
函数y=f(x)+lg5|x−72|=0时，可得f(x)=−lg5|x−72|，
令g(x)=−lg5|x−72|，二者图像如图：
因为−lg5|x−72|=−1，解得x=172，
所以两函数图像有10个交点，故交点之和为10×72=35，D正确．
故选：AD.
对于A，将x=1代入可求出f(1)，从而可得f(x)+f(2−x)=0，则可得函数的对称中心和周期，从而可求出结果；
对于B，当x∈(1,2)时，2−x∈(0,1)，所以由f(x)+f(2−x)=0和已知条件可求出解析式；
对于C，作出两函数图像，利用图像求解；
对于D，令g(x)=−lg5|x−72|，然后画出y=f(x)和y=g(x)，根据图像求解判断．
此题考查函数与方程的综合问题，考查函数的奇偶性，周期性，对称性，解题的关键是正确作出函数的图象，利用图象求解，考查数形结合的思想，属于中档题．
13.【答案】∀x∈[−1,1]，x2−x+3≥0
【解析】解：命题“∃x∈[−1,1]，x2−x+3<0”的否定是：
∀x∈[−1,1]，x2−x+3≥0.
故答案为：∀x∈[−1,1]，x2−x+3≥0.
根据特称命题的否定是全称命题，从而求出答案．
本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键，是基础题．
14.【答案】27
【解析】【分析】
本题考查了指数函数与幂函数的定义和应用问题，是基础题．
利用指数函数的定义与性质求得定点P的坐标，代入幂函数f(x)的解析式，求出函数f(x)，再计算f(3)的值．
【解答】
解：令x−2=0，解得x=2，
∴函数y=ax−2+7的图象恒过定点P(2,8)，
又点P在幂函数f(x)=xα的图象上，
∴2α=8，解得α=3，
∴函数f(x)=x3，
∴f(3)=33=27.
故答案为：27.
15.【答案】0.0005
【解析】解：从该行业中任选一位员工，设此员工的工龄超过10年且不超过20年为事件B，此员工患这种职业病为事件C，
由题意，P(B)=0.43，P(BC)=0.34×0.06%，则P(C|B)=P(BC)P(B)=0.34×0.06%0.43≈0.0005，
则从该行业中任选一位员工，此员工的工龄超过10年且不超过20年，患这种职业病的概率约为0.0005.
故答案为：0.0005.
根据条件概率公式即可求解．
本题考查条件概率公式，属基础题．
16.【答案】6 33
【解析】解：p→0lim (3+p)2−32p，可看成是f(x)=x2在x=3时的导数，即p→0lim (3+p)2−32p⇔2×3=6
p→0lim 3+2p− 3p=2p→0lim 3+2p− 32p，可看成是g(x)= x在x=3时导数的2倍，
即p→0lim 3+2p− 3p⇔2x12=2×123−12= 33
根据导数的概念将极限转化为求导数即可．
本题主要考查导数的概念，属中档题．
17.【答案】解：(1)x−=1+2+3+4+5+6+7+88=92，
y−=18i=18yi=620254，i=18xiyi=611384，i=18xi2=204，
b =i=18xiyi−8x−y−i=18xi2−8x−2=611384−8×92×620254204−8×(92)2≈1265.7，
a =y−−b x−=620254−1265.7×92=9810.6.
∴y关于x的线性回归方程为y =9810.6x+1265.7；
(2)由题中给出的残差图知，历年数据的残差均在−400到400之间，说明线性回归方程的拟合效果较好．
【解析】(1)由已知数据结合最小二乘法求得b 与a 的值，可得线性回归方程；
(2)由题中给出的残差图知直接得结论．
本题考查线性回归方程，考查残差图与拟合效果间的关系，是基础题．
18.【答案】解：(1)由题意，函数f(x)=2 3sinxcsx−(cs2x−sin2x)= 3sin2x−cs2x=2sin(2x−π6)，
所以f(x)的最小正周期为T=2π2=π.
(2)将函数f(x)的图像上所有的点的纵坐标变为原来的12倍(横坐标不变)，
得到h(x)=sin(2x−π6)，
再将所得图像向右平移π6个单位，
得到函数g(x)=sin[2(x−π6)−π6]=sin(2x−π2)=−cs2x，
令−π+2kπ≤2x≤2kπ，求得−π2+kπ≤x≤kπ，k∈Z，
可得g(x)的单调递减区间为[−π2+kπ,kπ]，k∈Z.
【解析】(1)利用二倍角公式和辅助角公式化简f(x)，可得函数的最小正周期；
(2)根据图像变换求出函数g(x)，利用余弦函数的单调性，列不等式得出g(x)的单调递减区间．
本题考查正弦函数和余弦函数的性质，考查三角恒等变换，属于基础题．
19.【答案】解：(1)当m=1时，函数f(x)=2x+2−(2x−1)−6=3⋅2x−5，
当f(x)>0时，3⋅2x−5>0，解得x>lg253，
即x∈(lg253,+∞).
(2)∵f(x)<0，∴2x+2−m(2x−1)−6<0，
∵x∈(0,+∞)，∴2x−1>0，∴m>2x+2−62x−1，
令2x=t(t>1)，∴m>4t−6t−1，∴m>4−2t−1，
∵t>1，∴4−2t−1<4，故m≥4，
∴整数m的最小值为4.
【解析】(1)根据指数不等式，结合指数函数的单调性即可求解；
(2)将问题转化为m>2x+2−62x−1对于x∈(0,+∞)恒成立，分离参数求解范围即可．
本题考查了指数不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属中档题．
20.【答案】(1)证明：连接B1C，交BC1于点O，则O为B1C中点，连接OM，
因为点M为AC中点，
所以OM//AB1，
因为AB1⊄BMC1，OM⊂BMC1，
所以AB1//平面BMC1；
(2)解：如图建立空间直角坐标系，
可得B(2,0,0)，M(0,1,0)，C(0,0,3)，MB=(2,−1,0),MC=(0,−1,3)，
设MB，MC夹角为θ，则csθ=|MB⋅MC||MB|⋅|MC|= 210，
故可得sinθ= 1−cs2θ=75 2，
设点B到直线C1M的距离为d，
则d=BM⋅sinθ= CM2+BC2⋅sinθ=7 1010.
【解析】(1)连接B1C，交BC1于点O，则O为B1C中点，连接OM，利用中位线性质得到OM//AB1，根据线面平行判定定理即可得证；
(2)建立空间直角坐标系，可得B(2,0,0)，M(0,1,0)，C(0,0,3)，MB=(2,−1,0),MC=(0,−1,3)，设MB，MC夹角为θ，则csθ=|MB⋅MC||MB|⋅|MC|= 210，即可求解．
本题考查了线面平行的证明和点到直线的距离计算，属于中档题．
21.【答案】解：(1)试验成功的概率为p(0所以P(1)=p，P(2)=(1−p)p，P(3)=(1−p)(1−p)=(1−p)²
所以X的分布列为：
(2)在第n(n≥2)次结束试验时，P(n)=Cn−11(23)1×(13)n−2×(23)1，
所以Q(n)=P(n)n−1=(23)2⋅(13)n−2，
所以i=2nQ(i)=49[(13)0+(13)1+...+(13)n−2]=49(13)0[1−(13)n−1]1−13≥35，
23−2(13)n≥35，所以(13)n≤130⇒3n≥30⇒n≥4，
解得n≥4，
所以n的最小值为4.
【解析】(1)根据独立事件的乘法公式即可求解概率；
(2)根据乘法公式得P(n)=Cn−11(23)1×(13)n−2×(23)1，进而得Q(n)=P(n)n−1=(23)2⋅(13)n−2，由等比数列的求和公式即可求解．
本题考查离散型随机变量的分布列及期望，属于中档题．
22.【答案】解：(1)当n=6时，函数为f(x)=(1+x)6，展开式中第5项的二项式系数为C64=C62=15.
(2)证明：(x−1)n+1=Cn+10xn+1+Cn+11xn(−1)1+⋯+Cn+1n+1x0(−1)n+1，
所以当x=1时，0=Cn+10−Cn+11+⋯+(−1)n+1Cn+1n+1，
所以Cn+11−Cn+12+⋯+(−1)nCn+1n+1=1，
因为11+kCnk=11+k⋅n!k!(n−k)!=(n+1)!(k+1)!(n−k)!⋅11+n=11+nCn+1k+1，
所以Cn0−Cn12+Cn23+⋯+(−1)nCnnn+1
=1n+1⋅[Cn+11−Cn+12+⋯+(−1)nCn+1n+1]
=1n+1⋅1
=1n+1.
【解析】(1)根据二项式系数的定义即可求解；
(2)根据二项式以及赋值法，结合组合数的性质和公式即可化简求解．
本题考查二项式定理的应用，属于基础题．P(K2≥k0)
⋯
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
⋯
k0
⋯
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
⋯
z
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.0
0.500
0.5040
0.5080
0.5120
0.5160
0.5199
0.5239
0.5279
0.5319
0.5359
0.1
0.5398
0.5438
0.5478
0.5517
0.5557
0.5596
0.5636
0.5675
0.5714
0.5753
0.2
0.5793
0.5834
0.5871
0.5910
0.5948
0.5987
0.6026
0.6064
0.6103
0.6141
0.3
0.6179
0.6217
0.6255
0.6293
0.6331
0.6368
0.6404
0.6443
0.6480
0.6517
0.4
0.6554
0.6591
0.628
0.6664
0.6700
0.6736
0.6772
0.6808
0.6844
0.6879
0.5
0.6915
0.6950
0.6985
0.7019
0.7054
0.7088
0.7123
0.7157
0.7190
0.7224
工龄类别
发病频率
工龄不超过10年
0.09
工龄超过10年且不超过20年
0.34
工龄超过20年
0.57
X
1
2
3
P(n)
P
(1−p)p
(1−p)2