2022-2023学年北京四中九年级（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京四中九年级（下）开学数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸中，为中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.二次函数y=(x−2)2+3的最小值是( )
A. 2B. 3C. −2D. −3
3.不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是( )
A. 14B. 13C. 12D. 34
4.某厂家2023年1～5月份的某种产品产量统计如图所示，设从2月份到4月份，该厂家这种产品产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程( )
A. 180(1−x)2=461B. 180(1+x)2=461
C. 368(1−x)2=442D. 368(1+x)2=442
5.如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，若△AEO的面积为1，则△BOC的面积为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6.已知锐角∠AOB.如图，
(1)在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作PQ，交射线OB于点D，连接CD；
(2)分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交PQ于点M，N；
(3)连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是( )
A. ∠COM=∠CODB
B. 若OM=MN，则∠OCD=80°
C. MN/​/CD
D. MN=3CD
7.下面四个图中反比例函数的表达式均为y=3x，则阴影部分的图形的面积为3的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
8.如图，正△ABC，将边BC绕点B顺时针旋转θ(0°<θ<60°)，得到线段BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连接AP，则∠PAH的度数( )
A. 随着θ的增大而增大
B. 随着θ的增大而减小
C. 不变
D. 随着θ的增大，先增大后减小
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.计算：sin30°= ______，tan45°= ______．
10.已知扇形的圆心角为120°，面积为2π，则扇形的半径是______．
11.已知反比例函数y=−2x，若点A(−3,y1)，B(−1,y2)，C(2,y3)在它的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是______．
12.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BD=1，CD=4，则AD的长为______．
13.如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD/​/OB交⊙O于点D，连接CD.若∠B=50°，则∠OCD的度数等于 ．
14.如图，在△ABC中，∠CAB=70°.在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′/​/AB，则∠BAB′=______．
15.某农科所在相同条件下做某种作物种子发芽率的试验，结果如表：
根据试验数据，估计1000kg该种作物种子能发芽的有______kg．
16.如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A(−2,0)，B两点，并且过C(m,n)和D(2−m,n)，下面四个结论中：
①c>0；
②点B的坐标为(3,0)；
③a+b<0；
④若直线y=t与抛物线有两个交点，则t所有正确结论的序号是______．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
17.解方程：2x2−3x+1=0．
四、解答题：本题共11小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题5分)
在圆周角定理的证明过程中，某小组归纳了三种不同的情况，并完成了情况一的证明．请你选择情况二或者情况三，并补全该情况的证明过程．
19.(本小题5分)
关于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0．
(1)若方程有两个相等的实数根，请比较a、c的大小，并说明理由；
(2)若方程有一个根是0，求此时方程的另一个根．
20.(本小题5分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，点E在AB上，∠DEC=90°．
(1)求证：△ADE～△BEC；
(2)若AD=2，BC=6，AE=3，求AB的长．
21.(本小题5分)
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是弧AB的圆心，C为弧AB上一点，OC⊥AB，垂足为D.已知AB=60m，CD=10m，求这段弯路的半径．
22.(本小题5分)
如图，△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(3,0)，B(4,2)，C(2,4)(正方形网格中，每个小正方形的边长为1)．
(1)以点O为位似中心，在第一象限画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的位似比为2；
(2)直接写出点C1的坐标和△A1B1C1的面积．
23.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=k(x−1)+6(k>0)的图象与反比例函数y=mx(m≠0)的图象的一个交点的横坐标为1．
(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)当x<−3时，对于x的每一个值，反比例函数y=mx的值大于一次函数y=k(x−1)+6(k>0)的值，直接写出k的取值范围．
24.(本小题6分)
如图，线段AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，射线CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F.若OB=3，DE=4．
(1)求证：∠FEB=∠ECF；
(2)求线段OF的长．
25.(本小题6分)
某高速公路正在修建中，某单向通行隧道设计图由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图1所示，隧道顶面到路面的最大距离为6.5米，隧道限高4.5米．
(1)水平安置一根限高杆，两端固定在洞门上，求限高杆的最小长度．
(2)如图2的汽车宽3米，车与车箱共高3.8米，若要求汽车最顶部到限高杆的距离不小于0.5米.按照这个要求，此车能否通过隧道？说明理由．
26.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，点(m−2,y1)，(m,y2)，(2−m,y3)在抛物线y=−x2+2ax+b上，其中m≠1且m≠2．
(1)直接写出该抛物线的对称轴的表达式(用含a的式子表示)；
(2)当m=0时，若y2=y3，比较y1与y3的大小关系，并说明理由；
(3)若存在大于1的实数m，使y127.(本小题7分)
如图，在Rt△ABC中，AB=AC，点M是线段BC的四等分点(靠近C点)，点D是线段BC上一点(不与点M重合).以点A为中心，将线段AD逆时针旋转90°得到线段AE，其中点为N点，连接ND，NM，EC，ED．
(1)依题意，补全图形；
(2)判断EC与CD的位置关系并证明；
(3)用等式表示线段DN，DM和MN之间的数量关系，并证明．
28.(本小题7分)
对于平面上的图形W和点P，定义如下：若图形W上存在不共线的四个不同的点A，B，C，D，使得点P分别关于点A和B的对称点恰为点C和D，则称点P为图形W的倍视点．
在平面直角坐标系xOy中，已知点E(1,0)，F(1,1)，G(0,1)．
(1)在点P1(1,2)，P2(−1,32)，P3(−2,−1)，P4(2,−32)中，正方形OEFG的倍视点是______；
(2)点T是x轴上一动点，⊙T的半径为2，
①当点T与原点O重合时，若直线y=−x上的点P是⊙T的倍视点，求点P横坐标p的取值范围；
②当点T运动时，若正方形OEFG边上的所有点都是⊙T的倍视点，直接写出点T的横坐标t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
根据中心对称图形的定义逐一判断即可．
本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】B
【解析】解：二次函数y=(x−2)2+3，
当x=2时，最小值是3，
故选：B．
根据二次函数的性质解答即可．
本题考查的是二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】【分析】
列表得出所有等可能的情况数，找出第一次摸到红球、第二次摸到绿球的情况数，即可确定出所求的概率．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【解答】
解：列表如下：
所有等可能的情况有4种，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有1种情况，
所以第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为14，
故选：A．
4.【答案】B
【解析】解：设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180(1+x)2=461，
故选：B．
观察函数图象，找出该厂家2月及4月的口罩产量，再利用该厂家4月份的口罩产量=该厂家2月份的口罩产量×(1+增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴△AEO∽△CBO，
∴S△AEOS△BOC=(AEBB)2，
∵点E为AD中点，
∴AE=12AD=12BC，
即AEBC=12，
∵△AEO的面积为1，
∴1S△BOC=14，
解得：S△BOC=4；
故选：D．
根据题意证明△AEO∽△CBO，再根据点E为AD中点得出相似比，最后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△BOC的面积．
本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等，相似三角形面积比等于相似比的平方．
6.【答案】D
【解析】解：由作法得MC=CD=DN，OM=ON=OC=OD，
∴MC=CD=DN，
∴∠COM=∠COD=∠DON，所以A选项的结论正确；
当OM=MN，
而OM=ON，
∴此时△MON为等边三角形，
∴∠MON=60°，
∴∠AOB=13∠MON=20°，所以B选项的结论正确；
作半径OE⊥CD，如图，则CE=DE，
∴ME=NE，
∴OE⊥MN，
∴MN/​/CD，所以C选项正确；
∵MC+CD+DN>MN，
∴3CD>MN，所以D选项错误．
故选：D．
利用作法得到MC=CD=DN，OM=ON=OC=OD，根据圆心角、弧、弦的关系得到MC=CD=DN，则可对A选项进行判断；当OM=MN时，△MON为等边三角形，则可对B选项进行判断；作半径OE⊥CD，如图，利用垂径定理得到CE=DE，ME=NE，所以OE⊥MN，则可对C选项进行判断；利用两点之间线段最短可对D选项进行判断．
本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆心角、弧、弦的关系和垂径定理．
7.【答案】B
【解析】解：第1个图中，阴影面积为3，
故符合题意；
第2个图中，阴影面积为12×3=1.5，
故不符合题意；
第3个图中，阴影面积为2×12×3=3，
故符合题意；
第4个图中，阴影面积为4×12×3=6，
故不符合题意；
故选：B．
根据反比例函数比例系数k=xy的几何意义，三角形的面积公式，分别求出四个图形中阴影部分的面积，即可求解．
本题考查了反比例函数y=kx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，解此类题一定要正确理解k的几何意义．也考查了反比例函数的对称性，三角形的面积．
8.【答案】C
【解析】解：∵△ABC是正三角形，
∴∠ABC=60°，AB=BC，
∵将边BC绕点B顺时针旋转θ(0°<θ<60°)，得到线段BP，
∴∠CBP=θ，AB=BC=BP，
∴∠ABP=60°−θ，∠BCP=∠BPC=(180°−θ)÷2=90°−θ2，
∴∠BPA=∠BAP=[180°−(60°−θ)]÷2=60°+θ2，∠BPH=180°−∠BPC=90°+θ2，
∴∠PAH=360°−∠ABP−∠BPH−∠AHP−∠BAP=360°−(60°−θ)−(90°+θ2)−90°−(60°+θ2)=60°；
∴∠PAH的度数不变；
故选：C．
由△ABC是正三角形，可得∠ABC=60°，AB=BC，根据将边BC绕点B顺时针旋转θ(0°<θ<60°)，得到线段BP，有∠CBP=θ，AB=BC=BP，求出∠ABP=60°−θ，∠BCP=∠BPC=(180°−θ)÷2=90°−θ2，可得∠BPA=∠BAP=[180°−(60°−θ)]÷2=60°+θ2，∠BPH=180°−∠BPC=90°+θ2，即可得∠PAH=360°−(60°−θ)−(90°+θ2)−90°−(60°+θ2)=60°．
本题考查等边三角形中的性质问题，涉及等腰三角形性质，三角形内角和定理及应用，四边形内角和定理等，解题的关键是用含θ的式子表示相关的角的度数．
9.【答案】12 1
【解析】解：sin30°=12，tan45°=1，
故答案为：12，1．
根据特殊角的三角函数值计算即可．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的函数值是解题的关键．
10.【答案】 6
【解析】解：∵S=nπR2360，
∴R= 360Snπ，
∵扇形的圆心角为120°，面积为2π，
∴R= 360×2π120×π= 6，
故答案为： 6．
根据扇形的面积公式S=nπR2360，得R= 360Snπ．
本题考查了扇形面积的计算，属于基础题，解答本题的关键是能够灵活运用扇形的面积公式．
11.【答案】y3【解析】解：∵反比例函数y=−2x，点A(−3,y1)，B(−1,y2)，C(2,y3)在它的图象上，
∴y1=−2(−3)=23，y2=−2(−1)=2，y3=−22=−1，
∴y3故答案为：y3求得对应函数值，比较大小即可．
本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
12.【答案】2
【解析】【分析】
本题主要考查了相似三角形的判断与性质，先证明△ABD∽△CAD，然后列比例式求解即可．
【解答】
解：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，∠B=∠CAD=90°−∠BAD，
∴△ABD∽△CAD，
∴BD:AD=AD:CD，
∵BD=1，CD=4，
∴AD2=CD⋅BD=4，
∴AD=2，
故答案为2．
13.【答案】20°
【解析】解：连接OA，如图，
∵AB切⊙O于点A，
∴∠OAB=90°．
∵∠B=50°，
∴∠AOB=40°，
∴∠ADC=12∠AOB=20°．
∵AD/​/OB，
∴∠OCD=∠ADC=20°，
故答案为：20°．
连接OA，由切线的性质得出∠OAB=90°，结合∠B=50°，得出∠AOB=40°，由圆周角的性质得出∠ADC=20°，再由平行线的性质得出∠OCD=∠ADC=20°．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，掌握切线的性质，直角三角形的性质，圆周角定理，平行线的性质是解决问题的关键．
14.【答案】40°
【解析】解：由题意得：
AC=AC′，
∴∠ACC′=∠AC′C；
∵CC′//AB，且∠BAC=70°，
∴∠ACC′=∠AC′C=∠BAC=70°，
∴∠CAC′=180°−2×70°=40°；
由题意知：∠BAB′=∠CAC′=40°，
故答案为：40°．
首先证明∠ACC′=∠AC′C；然后运用三角形的内角和定理求出∠CAC′=40°即可解决问题．
此题主要考查了旋转的性质以及平行线的性质，得出AC=AC′，∠BAC=∠ACC′=70°是解题关键．
15.【答案】900
【解析】解：估计1000kg该种作物种子能发芽的有1000×0.9=900(kg)，
故答案为：900．
总质量乘以样本中发芽种子频率的稳定值即可．
本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
16.【答案】①④
【解析】解：∵抛物线与y轴交点位于正半轴，
∴c>0，
故①正确；
∵C(m,n)和D(2−m,n)，
∴C，D是对称点，
∴对称轴为直线x=m+2−m2=1，
∵A(−2,0)，
∴对称轴为直线x=−2+42=1
∴点B(4,0)，
故②错误；
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
故−a>0，
∵−b2a=1，
∴b=−2a，
∴a+b=−2a+a=−a>0，
故③错误；
根据题意，抛物线的顶点坐标(1,a+b+c)，
结合图象判定直线y=t与抛物线有两个交点时t故④正确，
故答案为：①④．
根据抛物线与y轴交点的位置判定c，根据C，D是对称点可确定对称轴为直线x=1，可确定点B(4,0)，根据a<0，−a>0可判定a+b>0，求出抛物线的顶点坐标(1,a+b+c)，结合图象判定t本题考查了抛物线图象的信息题综合，熟练掌握对称轴的计算，抛物线与坐标轴交点的意义是解题的关键．
17.【答案】解：方程分解因式得：(2x−1)(x−1)=0，
可得2x−1=0或x−1=0，
解得：x1=12，x2=1．
【解析】此题考查了解一元二次方程−因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．方程左边利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
18.【答案】证明：情况二：当点O在∠BAC的内部，
如图2：连接AO并延长交⊙O于点D，

∵OA=OC，
∴∠C=∠CAO，
∵∠COD=∠C+∠CAO，
∴∠COD=2∠CAO，
同理可得：∠BOD=2∠BAO，
∴∠COB=∠COD+∠BOD
=2∠CAO+2∠BAO
=2∠BAC，
∴∠BAC=∠COB；
情况三：当点O在∠BAC的外部，
如图3：连接AO并延长交⊙O于点E，

∵OA=OC，
∴∠C=∠CAO，
∵∠COE=∠C+∠CAO，
∴∠COE=2∠CAO，
同理可得：∠BOE=2∠BAO，
∴∠COB=∠COE−∠BOE
=2∠CAO−2∠BAO
=2∠CAB，
∴∠CAB=∠COB．
【解析】情况二：当点O在∠BAC的内部，如图2：连接AO并延长交⊙O于点D，利用等腰三角形的性质可得∠C=∠CAO，，从而利用三角形的外角性质可得∠COD=2∠CAO，同理可得：∠BOD=2∠BAO，然后利用角的和差关系进行计算即可解答；
情况三：当点O在∠BAC的外部，如图3：连接AO并延长交⊙O于点E，利用等腰三角形的性质可得∠C=∠CAO，从而利用三角形的外角性质可得∠COE=2∠CAO，同理可得∠BOE=2∠BAO，然后利用角的和差关系进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19.【答案】解：(1)根据题意得，a≠0且△=4a2−4ac=0，
∴4a(a−c)=0，
∴a=c；
(2)把x=0代入原方程得出c=0，
∴方程为ax2+2ax=0，
∴ax(x+2)=0，
∴该方程的另一个根为−2．
【解析】(1)根据一元二次方程的定义及判别式的意义得到a≠0且△=4a2−4ac=0，然后得到a=c；
(2)把x=0代入原方程得出c=0，再将c=0代入ax2+2ax+c=0，解方程即可求出方程的另一根．
本题考查了根的判别式△=b2−4ac.当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．
20.【答案】(1)证明：∵AD/​/BC，AB⊥BC，
∴AB⊥AD，∠A=∠B=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°．
∵∠DEC=90°，
∴∠AED+∠BEC=90°，
∴∠ADE=∠BEC，
∴△ADE～△BEC．
(2)解：∵△ADE～△BEC，
∴BEAD=BCAE，即BE2=63，解得：BE=4．
∴AB=AE+BE=3+4=7．
【解析】(1)由AD//BC，AB⊥BC，可得出∠A=∠B=90°，再由等角的余角相等可得出∠ADE=∠BEC，即可证明结论；
(2)根据相似三角形的性质即可求出BE的长度，结合AB=AE+BE即可求出AB的长度．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
21.【答案】解：连接OB，

∵OC⊥AB，
∴AD=BD=12AB=30m，
设半径为r，则OD=r−10，
在Rt△OBD中，OD2+BD2=OB2，
即(r−10)2+302=r2，
解得r=50m，
答：这段弯路的半径为50m．
【解析】连接OB，根据垂径定理可得AD=BD=30m，然后根据勾股定理求解．
本题考查了垂径定理以及勾股定理，关键是在于设出半径r后，用r表示出OB，OD的长度．
22.【答案】解：(1)ΔA1B1C1如图所示．
(2)∵A(3,0)，B(4,2)C(2,4)，
∴A1(6,0)，B1(8,4)，C1(4,8)；
∴SΔA1B1C1=4×8−12×2×8−12×2×4−12×4×4=12．

【解析】(1)直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而画出图形．
(2)由(1)所画的图形，即可得到C1的坐标，然后利用间接求面积的方法，即可得到面积．
此题主要考查了位似变换，以及求三角形的面积，正确得出对应点位置是解题的关键．
23.【答案】解：(1)对于y=k(x−1)+6，当x=1时，y=6，
则一次函数y=k(x−1)+6的图象与反比例函数y=mx的图象的一个交点坐标为(1,6)，
∴m=1×6=6，
∴反比例函数的解析式为：y=6x；
(2)解方程组y=k(x−1)+6y=6x，得x1=1y1=6，x2=−6ky2=−k，
由题意得：−6k≥−3，
解得：k≥2，
则k的取值范围是k≥2．
【解析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，
(1)根据一次函数图象上点的坐标特征求出直线与双曲线的交点坐标，进而求出m，得出反比例函数的解析式；
(2)解方程组求出一次函数图象与反比例函数图象交点，根据题意列出不等式，解不等式得到答案．
24.【答案】解：(1)∵线段AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，
∴CB=CD，∠OCB=∠OCD，∠OBC=90°，
∵EF⊥OG，
∴∠OFE=90°，
∵∠COB=∠EOF，
∴∠OCB=∠FEB，
∴∠FEB=∠ECF．
(2)连接OD，如图，

∵OD=3，DE=4，CD是圆的切线，
∴∠ODE=90°，
∴OE= OD2+DE2= 32+42=5，
∴AE=OE−OA=5−3=2，
∴BE=AB+AE=6+2=8，
∵CB是圆的切线，CD是圆的切线，
∴∠CBE=90°，CB=CD，
设CB=CD=x，
则CE=CD+DE=x+4，
∴(x+4)2=x2+82，
解得x=6，
∴CB=CD=6，
∴OC= CB2+OB2= 32+62=3 5，
∵12CE⋅OD=12CO⋅EF，
∴10×3=3 5×EF，
解得EF=2 5，
∴OF= OE2−EF2= 52−(2 5)2= 5，
故OF= 5．
【解析】(1)根据切线长定理，对顶角的性质，切线的性质计算即可；
(2)连接OD，运用切线的性质定理，勾股定理计算即可．
本题考查了切线长定理，切线的性质定理，勾股定理，对顶角的性质，熟练掌握切线长定理，切线的性质定理，勾股定理，是解题的关键．
25.【答案】解：(1)如图所示建立直角坐标系，根据题意得：

AE=BE=DF=CF=4，AD=EF=BC=2.5，OF=6.5，
∴OE=6−2=4，
∴A(−4,−4)，B(4,−4)，
设抛物线的解析式为y=ax2，
将点A代入得：−4=16a，
解得：a=−14，
∴抛物线的解析式为y=−14x2，
∵隧洞限高4.5米，隧洞为单向通行，
∴当y=−2时满足条件，
即−2=−14x2，
解得：x=±2 2，
∴限高杆的最小长度为4 2米；
(2)∵汽车宽3m，
∴当x=−32时，y=−916，
∵6.5−3.8−916=2.1375>0.5，
∴按照这个要求，此车能安全通过隧道．
【解析】(1)根据题意建立直角坐标系，得出A(−4,−4)，B(4,−4)，设抛物线的解析式为y=ax2，然后将点代入得出y=−14x2，再由题意得当y=−2时满足条件，求解即可；
(2)根据题意结合(1)中函数解析式求当x=32时，y的值，然后结合图形即可得出结果．
本题主要考查二次函数的应用，理解题意，建立恰当的直角坐标系确定函数解析式是解题关键．
26.【答案】解：(1)∵y=−x2+2ax+b，
∴对称轴的表达式：x=−2a−2=a．
(2)y1当m=0时，这三个点分别为(−2,y1)，(0,y2)，(2,y3)，
∵y2=y3，
∴(0,y2)，(2,y3)，关于对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为x=0+22=1，即a=1；
∴函数解析式为y=−x2+2x+b，
∴抛物线的开口向下，对称轴为x=1，
∵1−(−2)=3>1=2−1，
∴y1(3)将x=m−2，x=m和x=2−m分别代入，得：
y1=−(m−2)2+2a(m−2)+b，
y2=−m2+2am+b，
y3=−(2−m)2+2a(2−m)+b．
则有：y1−y2=4(m−a−1)，y2−y3=4(a−1)(m−1)，
于是y1也即m−a−1<0(a−1)(m−1)<0，即m−1①当a≤0时，m−1故m<1，不存在大于1的实数m；
②当a>1时，a−1>0，
要使(a−1)(m−1)<0，则m<1，也不存在大于1的实数m；
③当a=1时，(a−1)(m−1)=0，不符合题意；
④当 0只需取满足1即y1>y2>y3成立．
综上所述，a的取值范围是0【解析】(1)直接根据对称轴公式即可解答；
(2)当m=0时，这三个点分别为(−2,y1)，(0,y2)，(2,y3)，再结合y2=y3，即可求出函数解析式，然后根据函数的增减性即可判定y1与y3的大小关系；
(3)将(m−2,y1)，(m,y2)，(2−m,y3)代入y=−x2+2ax+b中，然后再解不等式即可．
本题主要考查二次函数的性质，熟悉二次函数的性质以及分类讨论是解题的关键．
27.【答案】解：(1)根据题意，画图1如下：
．
(2)EC⊥CD，理由如下：
∵AB=AC，∠A=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，∠BAD+∠DAC=90°，
∵线段AD逆时针旋转90°得到线段AE，
∴AD=AE，∠CAE+∠DAC=90°，
∴∠CAE=∠BAD，
在△ABD和△ACE中，
AC=AB∠CAE=∠BADAE=AD，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠ABD=∠ACE=45°，
∴∠ACB+∠ACE=90°，
∴∠DCE=90°，
∴EC⊥CD．
(3)如图2，过点A作AF⊥BC于点F，
∵AB=AC，∠A=90°，
∴BF=CF，
∴CF=12BC，
∵点M是线段BC的四等分点(靠近C点)，
∴MC=14BC，
∴MC=12FC，
故点M是FC的中点；

∵∠DCE=90°，AF⊥BC，
∴EC/​/AF，
∴四边形AFCE是梯形，
∵点N是AE的中点，
∴MN是梯形AFCE的中位线，
∴MN//EC//AF，
∴∠DMN=90°，
∴DN2=DM2+MN2．
【解析】(1)根据提示画出图形即可．
(2)根据题意，得到∠ABC=∠ACB=45°，再证明△ABD≌△ACE得到∠ABD=∠ACE=45°，求角的和计算即可．
(3)过点A作AF⊥BC于点F，构造直角三角形，运用勾股定理证明即可．
本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，垂直的意义，梯形的中位线定理，熟练掌握勾股定理，三角形全等的判定和性质，垂直的意义，梯形的中位线定理是解题的关键．
28.【答案】P1(1,2)
【解析】解：(1)如图1：点P1(1,2)分别关于点H和F的对称点恰为点O和E，则P1(1,2)是正方形OEFG的倍视点；
故答案为P1(1,2)．
(2)①当点T是⊙T的倍视点时，则点P在圆外，如图2，
设直线y=−x交⊙T于P1，P2，作P1Q1⊥x轴，设P1(p,−p)，
由勾股定理可得： p2+p2=2，
解得：p1= 2,p2=− 2，
如图2：当P在P′时，P1P′=P2P′，
此时，⊙T上不存在四个不同的点，只有两个点P′关于P1的对称点P2，
∴OP′=6，即xp=p=3 2．
∴点P横坐标p的取值范围为−3 2②如图3：当T在x轴正半轴时，PE=OE=2时，即P(4,0)，T(6,0)，则t<6；
当T在x轴正半轴时，P1O=OE=2时，即P1(−2,0)，T(−4,0)，则t>−4；
∴−4(1)先画出图形，然后根据倍视点的定义判断即可；
(2)①当点T是⊙T的倍视点时，则点P在圆外，设直线y=−x交⊙T于P1，P2，作P1Q1⊥x轴，设P1(p,−p)；再运用勾股定理求得p，然后确定得恰好没有倍视点的位置即可解答；②当T在x轴正和负半轴两种情况，分别画出图形确定恰好没有倍视点的位置，然后根据倍视点的定义和图形即可解答．
本题主要考查了倍视点的概念、圆的性质、勾股定理等知识点，根据题意确定恰好没有倍视点的位置是解答本题的关键．种子个数
300
400
500
800
1100
1400
1700
2000
发芽种子个数
282
337
436
718
994
1254
1531
1797
发芽种子频率
0.940
0.843
0.872
0.898
0.904
0.896
0.901
0.899
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
已知：⊙O中，BC所对的圆周角为∠BAC，圆心角为∠BOC．
求证：∠BAC=∠BOC．
证明：
情况一(如图1)：
点O在∠BAC的一边上．
∵OA=OC，
∴∠A=∠C．
∵∠BOC=∠A+∠C，
∴∠BOC=2∠A．
即∠BAC=∠BOC．
情况二(如图2)：
点O在∠BAC的内部．
情况三(如图3)：
点O在∠BAC的外部．
红
绿
红
(红，红)
(绿，红)
绿
(红，绿)
(绿，绿)