2022-2023学年广西南宁十四中九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年广西南宁十四中九年级（上）开学数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列式子中，属于最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 以下列各组数为边长能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3. 甲，乙，丙，丁四人进行射击测试，每人次射击的平均成绩恰好都是环，方差分别是，，，，在本次射击测试中，这四个人成绩最稳定的是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

4. 如图，在四边形中，对角线和相交于点，下列条件不能判断四边形是平行四边形的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

5. 如图，矩形的对角线、相交于点，点是的中点，若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，直线经过点，则关于的方程的解是(    )

A.
B.
C.
D. 无法确定

7. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由元降为元，求平均每次降价的百分率设平均每次降价的百分率为，可列方程得(    )

A.  B.
C.  D.

8. 如图，在菱形中，与相交于点，的垂直平分线交于点，连接，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 关于的一元二次方程有两个实根，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

10. 我国古代数学著作九章算术中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭生其中，出水一尺引葭赴岸，适与岸齐问水深几何”丈、尺是长度单位，丈尺其大意为：有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面水的深度是多少？则水深为(    )

A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺

11. 图，在中，，点从点出发，沿三角形的边以秒的速度逆时针运动一周，图是点运动时，线段的长度随运动时间秒变化的关系图象，则图中点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，抛物线的对称轴是直线，并与轴交于，两点，若，则下列结论中：；；；若为任意实数，则，正确的个数是(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

13. 若二次根式有意义，则的取值范围为______．
14. 某招聘考试分笔试和面试两种．其中笔试按、面试按计算加权平均数作为总成绩．小明笔试成绩为分面试成绩为分，那么小明的总成绩为______分．
15. 若一元二次方程的两个实数根为，，则的值为______．
16. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点，若，则______度．
17. 人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“法”就应用了黄金比．，，记，，，，则______．
18. 如图抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线对称轴上任意一点，若点，，分别是，，的中点，连接，，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    计算：．
20. 本小题分
    解方程：．
21. 本小题分
    如图，在平行四边形中，，，垂足分别为，，且．
    求证：平行四边形是菱形；
    若，，求四边形的面积．

22. 本小题分
    某水果店在端午节前以元的价格购进某种苹果箱，每箱苹果质量为，在出售前需进行挑拣，去掉损坏的部分．现随机抽取了箱，去掉损坏苹果后称得每箱质量如下：单位：
    
    整理数据：

分析数据：

上述表格中______，______，______；
平均数，众数，中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计量，估算这箱苹果共损坏了多少千克？
根据中的结果，求该水果店销售这批苹果时每千克定价为多少元时才不亏本？结果精确到

23. 本小题分
    ，两地相距，甲、乙两人分别开车从地出发前往地，其中甲先出发如图是甲，乙行驶路程，随行驶时间变化的图象，请结合图象信息，解答下列问题：
    填空：甲的速度为______；
    分别求出，与之间的函数解析式；
    求出点的坐标，并写出点的实际意义．

24. 本小题分
    某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了元，第二批花了元，第一批每个挂件的进价是第二批的倍，且第二批比第一批多购进个，
    求第二批每个挂件的进价；
    两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个元时，每周能卖出个，若每降价元，每周多卖个，由于货源紧缺，每周最多能卖个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？
25. 本小题分
    如图，中，，，的外角平分线交于点，过点分别作的延长线于，的延长线于．
    求证：四边形是正方形；
    若，求的长；
    如图，在中，，高，，则的长度是______．
     

26. 本小题分
    如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点，连接．
    求该抛物线的解析式；
    点是线段下方抛物线上的一个动点不与点，重合，过点作轴的平行线交于，交轴于，恰有线段，求此时点的坐标；
    如图，连接，在的条件下，在轴上是否存在点，使得为直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、是最简二次根式，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐项判断即可得．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题关键．最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
C、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，，，
，
成绩最稳定的是甲，
故选：．
根据方差的定义，方差越小数据越稳定．进行判断即可．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，，
四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、，，
四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
C、，，
四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
D、，，
四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项D符合题意，
故选：．
由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：四边形为矩形，
，
点是的中点，，
，
故选：．
根据矩形的性质可得为中点，进而根据中位线定理可得结果．
本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形对角线互相平分的性质和中位线定理是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意，可知当时，，
关于的方程的解是．
故选：．
根据题意，可知当时，，根据图象即可求解．
本题考查了一次函数与一元一次方程，结合图象解方程是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
故选：．
设该药品平均每次降价的百分率为，根据降价后的价格降价前的价格降价的百分率，则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列方程求解．
此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接，

四边形是菱形，，
，，，，
，
垂直平分，
，
，
，
，
故选：．
由菱形的性质可得，，，，由线段垂直平分线的性质可得，可求，即可求解．
本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个实根，

解得：且．
故选：．
由二次项系数非零结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
本题考查了根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式，列出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设水深为尺，则芦苇长为尺，
根据勾股定理，得，
解得，
水深为尺，
故选：．
设水深为尺，则芦苇长为尺，根据勾股定理列方程，解出即可．
本题主要考查勾股定理的应用，熟练根据勾股定理列出方程是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由图象可知：，，
当时，即点运动了，
此时点在线段上，，
则点为的中点，
又因为，
所以．
所以图中的坐标为．
故选：．
图中的图象有三段，正好对应图中的线段，，，所以，，当时，则点为的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得此时的长度，即图中点的纵坐标．
本题考查了动点问题的函数图象，解题时注意图中的点的并不是最小值，另外不要求成图中的点的坐标．
 

12.【答案】 

【解析】解：观察图象可知：，，，
，故错误；
对称轴为直线，，
可得，，
点，点，
当时，，即，
，故正确；
抛物线的对称轴为直线，即，
，
，
，
，
，
，
，故正确；
当时，函数有最小值，
由，可得，
若为任意实数，则，故正确；
故选：．
根据函数图象的开口方向、对称轴、图象与轴的交点即可判断；根据对称轴，，可得，，点，点，当时，即可判断；根据对称轴，以及得与的关系，即可判断；根据函数的最小值是当时，，即可判断；
本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意得：
分，
答：小明的总成绩为分；
故答案为：．
根据笔试和面试所占的权重以及笔试成绩和面试成绩，列出算式，进行计算即可．
此题考查了加权平均数，关键是根据加权平均数的计算公式列出算式．
 

15.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的两个实数根为，，
，，
则原式．
故答案为：．
利用一元二次方程根与系数的关系求出与的值，代入原式计算即可求出值．
此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为．
首先证明是等腰直角三角形，求出，即可．
本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是发现是等腰直角三角形这个突破口，属于中考常考题型．
 

17.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
利用分式的加减法则分别可求，，，，利用规律求解即可．
本题考查了分式的加减法，找出的规律是本题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：点，，分别是，，的中点，
和为的中位线，
，，
，
当的值最小时，的值最小，
当时，，解得，，则，，
当时，，则，
连接交抛物线的对称轴于点，如图，
，
，
此时的值最小，最小值为，
的最小值为．
故答案为：．
先根据三角形中位线的性质得到，，则，所以当的值最小时，的值最小，接着解方程得，，易得，连接交抛物线的对称轴于点，如图，利用两点之间线段最短可判断此时的值最小，最小值为，从而得到的最小值．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路径问题．
 

19.【答案】解：原式
． 

【解析】先去绝对值，计算负整数指数幂，零指数幂和二次根式乘法，再合并即可．
本题考查实数的混合运算，解题的关键是掌握实数相关运算的法则．
 

20.【答案】解：

，； 

【解析】本题考查解一元二次方程配方法，解答本题的关键是会用配方法解方程的方法．
根据配方法可以解答此方程．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
平行四边形是菱形．
解：连接交于，如图所示：
四边形是菱形，，
，，，
，，
，
，
． 

【解析】利用全等三角形的性质证明即可解决问题；
连接交于，利用勾股定理求出对角线的长，即可解决问题．
本题考查菱形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】     

【解析】解：，
分析数据：样本中，出现的次数最多；故众数为，
将数据从小到大排列，找最中间的两个数为，，故中位数，
，，；
选择众数，
这箱荔枝共损坏了千克答案不唯一；
元，
答：该公司销售这批荔枝每千克定为元才不亏本．
根据题意以及众数、中位数的定义分别求出即可；
从平均数、中位数、众数中，任选一个计算即可；
求出成本，根据的结果计算即可得到答案．
本题考查的是平均数、众数和中位数的定义及运用．要学会根据统计量的意义分析解决问题．
 

23.【答案】 

【解析】解：甲的速度为：，
故答案为：；
由可知，出与之间的函数解析式为；
设与之间的函数解析式为，根据题意得：
，
解得，
；
根据题意，得，
解得，
，
点的坐标为，
故点的实际意义是甲车出发小时后被乙车追上，此时两车行驶了．
根据“速度路程时间”可得答案；
根据的结论可得出与之间的函数解析式；利用待定系数法可得与之间的函数解析式；
根据的结论列方程求解即可．
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．
 

24.【答案】解：设第二批每个挂件进价是每个元，
根据题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
，
答：第二批每个挂件进价是每个元；
设每个挂件售价定为元，每周可获得利润元，
每周最多能卖个，
，
解得，
根据题意得，
，
当时，随的增大而减小，
，
当时，取最大，此时．
当每个挂件售价定为元时，每周可获得最大利润，最大利润是元． 

【解析】设第二批每个挂件的进价为元，则第一批每个挂件的进价为元，根据题意列出方程，求解即可；
设每个售价定为元，每周所获利润为元，则可列出关于的函数关系式，再根据“每周最多能卖个”得出的取值范围，根据二次函数的性质可得出结论．
本题综合考查分式方程和二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题关键．
 

25.【答案】 

【解析】证明：作于，如图所示：

则，
，，
，
四边形是矩形，
，外角平分线交于点，
，，
，
四边形是正方形；
解：四边形是正方形，
，
在和中，
，
≌，
，
同理：≌，
，
，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
；
解：在中，，高，，如图所示：
把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点，

由得：四边形是正方形，，，，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即；
故答案为：．
作于，如图所示：则，先证明四边形是矩形，再由角平分线的性质得出，即可得出四边形是正方形；
证明≌，得出，同理：≌，得出，证出，设，则，，在中，由勾股定理得出方程，即可得出答案；
把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点，由得：四边形是正方形，，，，得出，，设，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题属于四边形的综合题，考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、矩形的判定、翻折变换的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
 

26.【答案】解：将和代入，
，
解得，
；
令，则，
，
设的解析式为，
，
解得，
，
设，则，，
，，
，
，
解得或，
是线段下方抛物线上，
，
，
；
存在点，使得为直角三角形，理由如下：
设，
，，，
当时，，
解得舍；
当时，，
解得，
；
当时，，
解得舍或，
；
综上所述：点坐标为或 

【解析】用待定系数法求函数的解析式即可；
求出直线的解析式，设，则，，由，可得，求得，即可求；
设，分别求出，，，分所求情况讨论：当时，由勾股定理可得舍；当时，由勾股定理可求；当时，由勾股定理可得解求
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形勾股定理，分类讨论是解题的关键．