2021-2022学年北京四十四中九年级（下）开学数学试卷-（含解析）

2021-2022学年北京四十四中九年级（下）开学数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）

1. 党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金亿元，将用科学记数法表示应为

A.  B.  C.  D.

2. 如图，点在直线上，若，则的大小为
    

A.  B.  C.  D.

3. 下列多边形中，内角和最大的是

A.  B.  C.  D.

4. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是

A.  B.  C.  D.

5. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是

A.  B.  C.  D.

6. 已知，，，若为整数且，则的值为

A.  B.  C.  D.

7. 如图，线段，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿线段运动至点以点为圆心，线段的长为半径作圆．设点的运动时间为，点，之间的距离为，的面积为则与，与满足的函数关系分别是

A. 正比例函数关系、一次函数关系 B. 一次函数关系，正比例函数关系
C. 一次函数关系，二次函数关系 D. 正比例函数关系，二次函数关系

8. 某公园划船项目收费标准如下：

某班名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为小时，则租船的总费用最低为元．

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______ ．
10. 分解因式： ______ ．
11. 方程的解为______ ．
12. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的值为______ ．
13. 如图，，是的切线，，是切点若，则 ______ ．
    
    
     

14. 如图，在矩形中，点，分别在，上，只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是______ 写出一个即可．
     

15. 斛是中国古代的一种量器．据汉书律历志记载：“斛底，方而圜其外，旁有庣焉．”意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆．”如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸即尺，“庣旁”为两寸五分即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为尺，则此斛底面的正方形的边长为______尺．
16. 如图，在边长为的正方形中，，分别是边，上的动点，且始终满足，，交于点，则的度数为______；连接，线段的最小值为______．
    
     

三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）

17. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
18. 解不等式组：．
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知，求代数式的值．
    
    
    
    
    
    
     
20. 淮南子天文训中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点，使，两点间的距离为步步是古代的一种长度单位，在点处立一根杆；日落时，在地面上沿着点处的杆的影子的方向取一点，使，两点间的距离为步，在点处立一根杆取的中点，那么直线表示的方向为东西方向．
    上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点，，的位置如图所示使用直尺和圆规，在图中作的中点保留作图痕迹；
    
    在如图中，确定了直线表示的方向为东西方向根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线表示的方向为南北方向，完成如下证明．
    证明：在中， ______ ，是的中点，
    ______ 填推理的依据．
    直线表示的方向为东西方向，
    直线表示的方向为南北方向．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知关于的一元二次方程．
    求证：该方程总有两个实数根；
    若，且该方程的两个实数根的差为，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，在四边形中，，点在上，，，垂足为．
    求证：四边形是平行四边形；
    若平分，，，求和的长．

23. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移个单位长度得到．
    求这个一次函数的解析式；
    当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，是的外接圆，是的直径，于点．
    求证：；
    连接并延长，交于点，交于点，连接若的半径为，，求和的长．

25. 有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数，；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数，，小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为若，小明胜；若，为平局；若，小刚胜．
    若，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率；
    当为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数的值．
    
    
    
    
    
    
     
26. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，．
    若，
    点到轴的距离为______；
    求此抛物线与轴的两个交点之间的距离；
    已知点到轴的距离为，此抛物线与直线的两个交点分别为，，其中，若点在此抛物线上，当时，总满足，求的值和的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
27. 如图，在等边三角形中，点为内一点，连接，，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，．
    用等式表示与的数量关系，并证明；
    当时，
    直接写出的度数为______；
    若为的中点，连接，用等式表示与的数量关系，并证明．
    
    
    
    
    
    
     
28. 在平面直角坐标系中．的半径为，对于直线和线段，给出如下定义：若将线段关于直线对称，可以得到的弦分别为，的对应点，则称线段是的关于直线对称的“关联线段”例如：在图中，线段是的关于直线对称的“关联线段”．
    如图，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．
    在线段，，中，的关于直线对称的“关联线段”是______；
    若线段，，中，存在的关于直线对称的“关联线段”，则______；
    已知直线交轴于点，在中，，若线段是的关于直线对称的“关联线段”，直接写出的最大值和最小值，以及相应的长．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：将用科学记数法表示应为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

2.【答案】
 

【解析】解：，，
，
又，
，
，
故选：．
根据平角的意义求出的度数，再根据垂直的意义求出答案．
本题考查平角及垂直的意义，理解互相垂直的意义是解决问题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：三角形的内角和为；
B.四边形的内角和为；
C.五边形的内角和为：；
D.六边形的内角和为：；
故选：．
根据多边形的内角和公式求解即可．
此题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：由图象可得点在左侧，
，选项错误，不符合题意．
B.到的距离大于到的距离，
，选项正确，符合题意．
C.，，
，
，选项错误，不符合题意．
D.，
，选项错误，不符合题意．
故选：．
根据图象逐项判断对错．
本题考查数轴与绝对值，解题关键是掌握数轴上点的意义及绝对值的含义．
 

5.【答案】
 

【解析】解：画树形图得：

由树形图可知共种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有种结果，
一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的的概率为，
故选：．
画树状图，共种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有种结果，再由概率公式求解即可．
本题考查了求随机事件的概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
故选：．
先写出所在的范围，再写的范围，即可得到的值．
本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：，属于一次函数关系，
，属于二次函数关系，
故选：．
根据题意列出函数关系式，即可判断函数的类型．
本题考查了函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：共有人，
当租两人船时，艘，每小时元，租船费用为元，
当租四人船时，余人，要租艘四人船和艘两人船，四人船每小时元，
租船费用为元，
当租六人船时，艘，每小时元，租船费用为元，
当租八人船时，余人，要租艘八人船和艘两人船，人船每小时元，
租船费用元
当租艘四人船，艘人船，艘人船，元
租船费用为元，而，
当租艘四人船，艘人船，艘人船费用最低是元，
故选：．
分五种情况，分别计算即可得出结论．
此题主要考查了有理数的运算，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式，得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：原式，
故答案为：．
提公因式后再利用平方差公式即可．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
 

11.【答案】
 

【解析】解：方程两边同时乘以得：
，
解得，
检验：时，，
方程的解为．
故答案为：．
先将分式化为整式，然后求解并检验．
本题考查解分式方程，解题关键是先将分式方程化为整式方程求解，然后检验增根情况．
 

12.【答案】
 

【解析】解：反比例函数的图象经过点和点，
，解得，
即的值为．
故答案为．
利用反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后解关于的方程即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．
 

13.【答案】
 

【解析】解：，是的切线，，是切点，
，，
，
，
．
故答案为．
先根据切线的性质得到，然后根据四边形的内角和计算的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
 

14.【答案】
 

【解析】解：这个条件可以是，
理由：四边形是矩形，
，
即，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
故答案为：．
根据矩形的性质得到，即，推出四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：如图，

四边形为正方形，
，，
为直径，，
由题意得，
，
．
故答案为：．
根据正方形性质确定为等腰直角三角形，为直径，根据题意求出正方形外接圆的直径，求出，问题得解．
本题考查了正方形外接圆的性质，等腰直角三角形性质，解题关键是判断出正方形对角线为其外接圆直径．
 

16.【答案】 
 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
取的中点，连接，则不变，
根据两点之间线段最短得、、三点共线时线段的值最小，
在中，根据勾股定理得，，
所以，．
故答案为：，．
根据“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点到的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得、、三点共线时线段的值最小，然后根据勾股定理列式求出，再求解即可．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，确定出点到的中点的距离是定值是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

．
 

【解析】直接利用零指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值，分别化简得出答案．
此题主要考查了零指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值等知识，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为．
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：原式
，
，
，
原式．
 

【解析】根据完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则把原式化简，把已知等式变形，代入即可．
本题考查的是整式的化简求值，灵活运用整体思想、掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
 

20.【答案】解：如图，点即为所求．


在中，，是的中点，
三线合一，
直线表示的方向为东西方向，
直线表示的方向为南北方向．
故答案为：，三线合一．
 

【解析】作于即可．
利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题即可．
本题考查作图应用与设计作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用等腰三角形的性质解决问题．
 

21.【答案】证明：，，，
．
无论取何值时，，即，
原方程总有两个实数根；

解：，即，
，．
，且该方程的两个实数根的差为，
，
．
 

【解析】根据方程的系数，结合根的判别式可得出，利用偶次方的非负性可得出，即，再利用“当时，方程有两个实数根”即可证出结论；
利用因式分解法求出，由题意得出的方程，解方程则可得出答案．
本题考查了根的判别式、以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：牢记“当时，方程有实数根”；利用因式分解法求出方程的解．
 

22.【答案】证明：，
，
，
四边形是平行四边形；
解：，
，
，，
，
，
平分，，，
，
由得：四边形是平行四边形，
．
 

【解析】证，再由，即可得出结论；
先由锐角三角函数定义求出，再由勾股定理求出，然后由角平分线的性质得，最后由平行四边形的性质求解即可．
本题考查了平行四边形的判定与性质、锐角三角函数定义、角平分线的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握锐角三角函数定义，证明四边形为平行四边形是解题的关键．
 

23.【答案】解：函数的图象向下平移个单位长度得到，
一次函数的图象由函数的图象向下平移个单位长度得到，
这个一次函数的表达式为．
把代入，求得，
函数与一次函数的交点为，
把点代入，求得，
当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，
．
 

【解析】根据平移的规律即可求得．
根据点结合图象即可求得．
本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
 

24.【答案】证明：是的直径，，
，
；
解：在中，，，
，
是的直径，，
，
是的直径，
，
，
，，
，
∽，
，即，
解得：．
 

【解析】根据垂径定理得到，根据圆周角定理证明结论；
根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，根据圆周角定理得到，根据勾股定理求出，证明∽，根据相似三角形的性质求出．
本题考查的是圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、垂径定理是解题的关键．
 

25.【答案】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中的结果有种，的结果有种，
小明获胜的概率为，小刚获胜的概率为；
为时，小明和小刚获胜的概率相同，理由如下：
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中的结果有种，的结果有种，
小明获胜的概率小刚获胜的概率．
 

【解析】画树状图，共有种等可能的结果，其中的结果有种，的结果有种，再由概率公式分别求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中的结果有种，的结果有种，再由概率公式得小明获胜的概率小刚获胜的概率即可．
此题考查了树状图法求概率．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

26.【答案】
 

【解析】解：把代入得，
抛物线顶点坐标为，
点到轴的距离为，
故答案为：．
把代入得，
解得，，
，
抛物线与轴的两个交点之间的距离为．
，
点坐标为，
，
解得或，
当时，总满足，
当时，随增大而减小，
如图，当抛物线开口向上，点与点重合或点在点右侧时满足题意，

，，
点坐标为，
把代入得，
当时，记得，
，
．
把代入函数解析式求出顶点坐标，进而求解．令，求出与，进而求解．
由当时，总满足可得当时，随增大而减小，从而可得点与点重合或点在点右侧，进而求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系，通过数形结合求解．
 

27.【答案】
 

【解析】解：，
证明：是等边三角形，
，，

将线段绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
≌，
；
当时，
则，
≌，
，





，
故答案为：；
，理由如下：
延长到，使，连接，，

为的中点，
，
四边形为平行四边形，
且，
，，
又，
，
，
又，，
≌，
，
又为正三角形，
，
．
利用证明≌，即可得出答案；
由三角形内角和定理知，再利用角度之间的转化对进行转化，，从而解决问题；
延长到，使，连接，，得出四边形为平行四边形，则且，再利用证明≌，得．
本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，利用倍长中线构造平行四边形是解题的关键．
 

28.【答案】  或
 

【解析】解：分别画出线段，，关于直线对称线段，如图，
发现线段的对称线段是的弦，
线段，，中，的关于直线对称的“关联线段”是，
故答案为：；
从图象性质可知，直线与轴的夹角为，
线段直线，
线段关于直线对称线段还在直线上，显然不可能是的弦，
线段，的最长的弦为，
线段的对称线段不可能是的弦，
线段是的关于直线对称的“关联线段”，
而线段直线，线段，
线段的对称线段线段线段，且线段，
平移这条线段，使其在上，有两种可能，
第一种情况：、的坐标分别为、，
此时；
第二种情况：、的坐标分别为、，
此时，
故答案为：或；
直线交轴于点，
当时，，
解得：，
，
最大时就是最大，
最小时就是长最小，
线段是的关于直线对称的“关联线段”，
线段关于直线对称线段在上，
，
在中，，
当为时，如图，最小，此时点坐标为，
将点代入直线中，
，解得：，
过点作于点，
，
，
，，
，
在中，；
当为时，如图，最大，此时点坐标为，
将点代入直线中，
，解得：，
过点作于点，
，
，
，，
，
在中，，
的最大值为，；最小值为，．
分别画出线段，，关于直线对称线段，如图，即可求解；
从图象性质可知，直线与轴的夹角为，而线段直线，线段关于直线对称线段还在直线上，显然不可能是的弦；线段，的最长的弦为，得线段的对称线段不可能是的弦，而线段直线，线段，线段的对称线段线段线段，且线段，平移这条线段，使其在上，有两种可能，画出对应图形即可求解；
先表示出，最大时就是最大，最小时就是长最小，根据线段关于直线对称线段在上，得，再由三角形三边关系得，得当为时，如图，最小，此时点坐标为；当为时，如图，最大，此时点坐标为，分两种情形分别求解．
本题考查了以圆为背景的阅读理解题，勾股定理，三角形三边关系，解决问题的关键是找出不同情境下的“关联线段”和阅读理解能力．