数学八年级上册第三章 勾股定理3.2 勾股定理的逆定理课后测评

这是一份数学八年级上册第三章 勾股定理3.2 勾股定理的逆定理课后测评，共11页。试卷主要包含了2　勾股定理的逆定理，【新定义型试题】阅读理解等内容，欢迎下载使用。

基础过关全练
知识点1 勾股定理的逆定理
1.(2023江苏连云港期末)△ABC的三边长分别为a,b,c.下列条件中能判断△ABC是直角三角形的个数为( )
①∠A=∠B-∠C;
②a2=(b+c)(b-c);
③∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5;
④a∶b∶c=5∶12∶13.
A.1 B.2 C.3 D.4
2.【分类讨论思想】如图,在△ABC中,AB=BC=CA=4 cm,点P、Q分别从B、C两点同时出发,其中点P沿BC向终点C运动,速度为1 cm/s;点Q沿CA、AB向终点B运动,速度为2 cm/s,设它们运动的时间为t s,当t= 时,△BPQ是直角三角形.( )
【数形结合思想】△ABC中,已知AB=9 cm, BC=17 cm, AC=
10 cm.( )
(1)判断△ABC是不是直角三角形;
(2)求△ABC的面积.
知识点2 勾股数
4.观察下列几组有规律的勾股数,并填空:①6,8,10;②8,15,17;
③10,24,26;④12,35,37,则第⑤组勾股数为 .
能力提升全练
5.【新定义型试题】(2021湖南常德中考,8,★★☆)阅读理解:如果一个正整数m能表示为两个正整数a,b的平方和,即m=a2+b2,那么称m为广义勾股数,则下面的四个结论:①7不是广义勾股数;②13是广义勾股数;③两个广义勾股数的和是广义勾股数;④两个广义勾股数的积是广义勾股数.其中正确的是( )
A.②④ B.①②④ C.①② D.①④
6.(2023江苏苏州相城月考,6,★★☆)如图,△ABC中,AC=6,BC=8,AB=10.AD为△ABC的角平分线,CD的长度为( )
A.2 B.52 C.3 D.103
7.【主题教育·中华优秀传统文化】(2022湖北黄冈、孝感、咸宁中考,15,★★☆)勾股定理最早出现在我国古代著作《周髀算经》中:“勾广三,股修四,径隅五.”观察下列勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;……,这类勾股数的特点是勾为奇数,弦与股相差为1.柏拉图研究了勾为偶数,弦与股相差为2的一类勾股数,如:6,8,10;8,15,17;……,若此类勾股数的勾为2m(m≥3,m为正整数),则其弦是 (用含m的式子表示).
8.(2023江苏苏州昆山期中,12,★★☆)如图,在△ABC中,直线EF、MN分别为线段AB、AC的垂直平分线,交BC于点F、N,若BF=4,FN=3,CN=5,则S△ABC= .
9.(2023江苏连云港期末,20,★☆☆)如图,在△ABC中,BC=6,AC=8,DE⊥AB,DE=7,△ABE的面积为35.
(1)求AB的长;
(2)求△ACB的面积.

素养探究全练
10.【推理能力】如图,P是等边三角形ABC内的一点,连接PA,PB,PC,以BP为一边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连接CQ.
(1)观察并猜想AP与CQ的数量关系,并证明你的结论;
(2)若PB=8,PA=6,PC=10,求∠APB的度数.

11.【推理能力】在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,若∠C=90°,如图①,则有a2+b2=c2;当△ABC为锐角三角形时,小明猜想:a2+b2>c2.理由:如图②,过点A作AD⊥CB于点D,设CD=x.
在Rt△ADC中,AD2=b2-x2,
在Rt△ADB中,AD2=c2-(a-x)2,
∴b2-x2=c2-(a-x)2,
∴a2+b2=c2+2ax,
∵a>0,x>0,∴2ax>0,
∴a2+b2>c2,
∴当△ABC为锐角三角形时,a2+b2>c2,
所以小明的猜想是正确的.( )
(1)请你猜想,当△ABC中∠C为钝角时,a2+b2与c2的大小关系,不用证明;
(2)在图③中,作BC边上的高;
(3)证明你猜想的结论.

图① 图② 图③
答案全解全析
基础过关全练
1.C ①由∠A=∠B-∠C可得∠B=90°,∴△ABC是直角三角形;
②由a2=(b+c)(b-c)可得a2+c2=b2,∴△ABC是直角三角形;
③由∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5可得∠C=75°,∠B=60°,
∠A=45°,∴△ABC不是直角三角形;
④由a∶b∶c=5∶12∶13可得a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形.故选C.
2.答案 2或165
解析 若△BPQ是直角三角形,则∠BPQ=90°或∠BQP=90°.①当∠BPQ=90°时,Q与A重合,CQ=CA=4 cm,此时t=4÷2=2;②当∠BQP=90°时,由题意可得△ABC为等边三角形,∴∠ABC=60°,
∴∠BPQ=90°-60°=30°,∴BQ=12BP,即8-2t=12t,解得t=165.故当t=2或165时,△BPQ是直角三角形.
3.解析 (1)∵ AB2+CA2= 92+102= 181, BC2=172=289,
∴AB2+CA2≠BC2,
∴△ABC不是直角三角形.
(2)如图,作CD⊥AB,交BA的延长线于点D,
设AD=x cm,则BD=(x+9)cm,∵∠D=90°,
∴CD2=BC2-BD2,
又∵CD2=AC2-AD2,
∴BC2-BD2=AC2-AD2,
∴172-(x+9) 2=102-x2,
解得x=6,
∴ AD=6, ∴CD2=102-62=64,
∴CD=8,
∴S△ABC=12AB·CD=12×9×8=36(cm2).
答:△ABC的面积是36 cm2.
4.答案 14,48,50
解析 根据题目给出的前几组数的规律可知第○n组勾股数中的第一个数是2(n+2),第二个数是(n+1)·(n+3),第三个数是(n+2)2+1,
故第⑤组勾股数是14,48,50.
能力提升全练
5.C ①∵7不能表示为两个正整数的平方和,
∴7不是广义勾股数,故①结论正确.
②∵13=22+32,∴13是广义勾股数,故②结论正确.
③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数,如5和10是广义勾股数,但是它们的和不是广义勾股数,故③结论错误.
④设m1=a2+b2,m2=c2+d2,
则m1·m2=(a2+b2)(c2+d2)
=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
=(a2c2+b2d2+2abcd)+(a2d2+b2c2-2abcd)
=(ac+bd)2+(ad-bc)2.
当ad=bc时,ad-bc=0,
∴两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数,
如2和2都是广义勾股数,但2×2=4,4不是广义勾股数,故④结论错误.
∴正确的是①②.故选C.
6.C 如图,过点D作DE⊥AB于E,
∵AC=6,BC=8,AB=10,
∴AB2=100,AC2+BC2=62+82=100,
∴AB2=AC2+BC2,
∴△ABC是直角三角形,且∠C=90°.
∵AD为△ABC的角平分线,
∴CD=DE.
在Rt△ACD和Rt△AED中,AD=AD,CD=DE,
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),
∴AE=AC=6.
在Rt△BED中,BD2=DE2+BE2,
∴(8-CD)2=CD2+(10-6)2,解得CD=3.
故选C.
7.答案 m2+1
解析 ∵m为正整数,
∴2m为偶数,设其股是a,则弦为a+2.
∴(2m)2+a2=(a+2)2.
解得a=m2-1.
∴弦是a+2=m2-1+2=m2+1.故答案为m2+1.
8.答案 24
解析 ∵直线EF、MN分别为线段AB、AC的垂直平分线,
∴AF=BF=4,AN=CN=5.
∵FN=3,
∴BC=BF+FN+CN=12,AF2+FN2=42+32=52=AN2,
∴∠AFN=90°,∴AF⊥BC,
∴S△ABC=12BC·AF=12×12×4=24.故答案为24.
9.解析 (1)∵△ABE的面积为35,DE=7,DE⊥AB,
∴12AB×7=35,
解得AB=10.
(2)在△ABC中,AB2=102=100,BC2+AC2=62+82=100,
∵AB2=AC2+BC2,
∴∠C=90°,
∴S△ABC=12AC·BC=12×8×6=24.
答:△ACB的面积为24.
素养探究全练
10.解析 (1)AP=CQ.
证明:∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=60°,AB=CB,
∴∠ABP+∠PBC=60°.
又∵∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=60°,
∴∠ABP=∠CBQ.
在△ABP和△CBQ中,AB=CB,∠ABP=∠CBQ,BP=BQ,
∴△ABP≌△CBQ(SAS),
∴AP=CQ.
(2)连接PQ,如图所示.
∵△ABP≌△CBQ,
∴∠BQC=∠BPA.
∵BP=BQ,∠PBQ=60°,
∴△PBQ为等边三角形,
∴PQ=PB=8,∠BQP=60°,
在△PQC中,PQ=8,CQ=AP=6,PC=10,
∴PQ2+CQ2=82+62=102=PC2,∴∠PQC=90°,
∴∠BQC=90°+60°=150°,
∴∠APB=∠BQC=150°.
11.解析 (1)当△ABC中∠C为钝角时,a2+b2与c2的大小关系为a2+b2(2)如图,过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D,线段AD即为所求.
(3)证明:设CD=x.
在Rt△ADC中,AD2=b2-x2,
在Rt△ADB中,AD2=c2-(a+x)2,
∴b2-x2=c2-(a+x)2,
∴a2+b2=c2-2ax.
∵a>0,x>0,
∴2ax>0,
∴a2+b2∴当△ABC中∠ACB为钝角时,a2+b2