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第12讲 导数中极值的5种常考题型总结-高二数学同步教学题型讲义（人教A版选择性必修第二册）
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第12讲 导数中极值的5种常考题型总结 【考点分析】 考点一：函数的驻点 若，我们把叫做函数的驻点． 考点二：函数的极值点与极值 ①极大值点与极大值：函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作，其中叫做函数的极大值点 ②极小值点与极小值：函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作，其中叫做函数的极小值点 考点三：求可导函数极值的步骤 ①先确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的根； ④检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值. 注意：可导函数在满足是在取得极值的必要不充分条件，如，，但不是极值点. 【题型目录】 题型一：求函数的极值与极值点 题型二：利用导函数图像判断极值 题型三：根据极值、极值点求参数的值 题型四：根据极值、极值点求参数的范围 题型五：证明函数存在极值点极值问题 【典型例题】 题型一：求函数的极值与极值点 【方法总结】 利用导数求函数极值的步骤如下： （1）求函数的定义域； （2）求导； （3）解方程，当； （4）列表，分析函数的单调性，求极值： ①如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值； ②如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值 【例1】（2022·全国·高二课时练习）“”是“函数在处有极值”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】(2022石泉县石泉中学)函数的极小值为( ) A．0 B． C． D． 【例3】（2022·北京大兴·高二期中）已知函数，则（ ） A．有极小值，无极大值 B．有极大值，无极小值 C．既有极小值又有极大值 D．无极小值也无极大值 【例4】（2022·全国·高三专题练习）函数在处（ ） A．有极大值 B．无极值 C．有极小值 D．无法确定极值情况 【例5】（2023·全国·高三专题练习多选题）设函数的定义域为，是的极小值点，以下结论一定正确的是（ ） A．是的最小值点 B．是的极大值点 C．是的极大值点 D．是的极大值点 【例6】（2022全国·高二期末）已知函数，下列结论中错误的是（ ） A．存在，使得 B．若，则函数的图像是中心对称图形 C．若是的极小值点，则在区间上单调递减 D．若是的极值点，则 【例7】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数，则下列结论正确的是 A．在处有极大值 B．在处有极小值 C．在上单调递减 D．至少有3个零点 【例8】（2022·浙江·高二期中）下列关于极值点的说法正确的是（ ） A．若函数既有极大值又有极小值，则该极大值一定大于极小值 B．在任意给定区间上必存在最小值 C．的最大值就是该函数的极大值 D．定义在上的函数可能没有极值点，也可能存在无数个极值点 【题型专练】 1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则（ ） A．在上为增函数 B．在上为减函数 C．在上有极大值 D．在上有极小值 2．（2022·全国·高三专题练习）函数（e为自然对数的底数），则下列说法正确的是（ ） A． 在R上只有一个极值点 B．在R上没有极值点 C．在处取得极值点 D．在处取得极值点 3．（2022·全国·高二课时练习）若函数，则（ ） A．既有极大值，也有极小值 B．有极小值，无极大值 C．有极大值，无极小值 D．既无极大值，也无极小值 4．（2022·全国·高三专题练习）设，则函数（ ） A．有且仅有一个极小值 B．有且仅有一个极大值 C．有无数个极值 D．没有极值 5．（2018·云南·红河县第一中学高二期末（文））已知函数，则下列结论中错误的是（ ） A．， B．函数的图像是中心对称图形 C．是函数的极大值点 D．函数在区间单调递减 6．（2022·河南·高二阶段练习（理））已知函数，那么（ ） A．有极小值，也有大极值 B．有极小值，没有极大值 C．有极大值，没有极小值 D．没有极值 7．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末多选题）已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．在点处的切线方程为 B．的单调递减区间为 C．有且只有一个零点 D．的极小值点为 8．（2022·重庆·高二阶段练习多选题）对于定义在R上的可导函数，为其导函数，下列说法不正确的是（ ） A．使的一定是函数的极值点 B．在R上单调递增是在R上恒成立的充要条件 C．若函数既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大 D．若在R上存在极值，则它在R一定不单调 9．（2022全国高三专题练习）设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论错误的是（ ） A．， B．是的极小值点 C．是的极小值点 D．是的极小值点 10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则_____，有极__________（填大或小）值． 题型二：利用导函数图像判断极值 【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ） A． B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值 C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值 D．函数的最小值为 【例2】（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A．函数有极大值和 B．函数有极小值和 C．函数有极小值和极大值 D．函数有极小值和极大值 【例3】（2022·重庆市璧山来凤中学校高二阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ） A．是函数的极值点 B．在区间上单调递减 C．函数在处取得极小值 D．的图象在处的切线斜率小于零 【题型专练】 1．（2022·陕西·泾阳县教育局教学研究室高二期中（理））定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A．函数在区间单调递增 B．函数在区间单调递减 C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极小值 2．（2022·全国·高二单元测试）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A．函数有极大值和极小值 B．函数有极大值和极小值 C．函数有极大值和极小值 D．函数有极大值和极小值 3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的导函数为，函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A．在，上为减函数 B．在，上为增函数 C．的极小值为，极大值为 D．的极大值为，极小值为 4．（2022·河北邢台·高二阶段练习）如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A．为函数的单调递增区间 B．为函数的单调递减区间 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值 题型三：根据极值、极值点求参数的值 【方法总结】 解含参数的极值问题要注意： ①是为函数极值点的必要不充分条件，故而要注意检验； ②若函数在区间内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上的单调函数没有极值． 【例1】（2022·天津市第四中学高二期中）函数在处取极小值，则（ ） A．6或2 B．或 C．6 D． 【例2】(2022全国课时练习)若函数的极小值点是，则的极大值为( ) A． B． C． D． 【例3】（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（文））函数在处有极大值，则a的值为（ ） A．2 B．6 C．2或6 D．无答案 【例4】（2022·重庆·万州纯阳中学校高二期中）已知函数在时有极值0，则= ______ . 【题型专练】 1．（2023全国高三专题练习）已知函数，设是的极值点，则a=___，的单调增区间为___. 2.（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数在处取极小值，且的极大值为4，则（ ） A．-1 B．2 C．-3 D．4 3.设函数，若是函数是极大值点，则函数的极小值为________ 4．（2023河南省实验中学高二月考）函数在处有极值，则的值为（ ） A． B． C． D． 5.(2021·河南新乡市)已知函数的图象在处的切线方程为，则的极大值为( ) A． B． C． D．1 题型四：根据极值、极值点求参数的范围 【例1】（2022·全国·高二专题练习）若函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是______． 【例2】（2022·四川绵阳·二模（文））若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例3】（2022·全国·高二课时练习）若函数在区间上的极大值为最大值，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例4】（2022·江西江西·高三阶段练习（文））设，若为函数的极小值点，则（ ） A． B． C． D． 【例5】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值集合是（ ） A． B． C． D． 【例6】（2022·全国·高二课时练习）若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是__________． 【例7】（2022·河南·安阳一中高三阶段练习（理））已知函数有两个不同的极值点，且，则实数的取值范围是___________. 【例8】（2022·全国·高二专题练习）已知函数在区间上有且只有一个极值点，则实数的取值范围为___________. 【例9】（2022·河南·高三阶段练习（文））若函数在上无极值，则实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.（2022吉林通榆县第一中学校高二期末（理））已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内有极小值，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（2022·黑龙江·哈尔滨市阿城区第一中学校高二期末）若函数有2个极值点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4.（2022·江西·丰城九中高二期末（理）多选题）函数在区间内仅有唯一极值点的一个充分不必要条件为（ ） A． B． C． D． 5．（2022·辽宁葫芦岛·高二期末多选题）设函数.若在处取得极大值，a的值可能为（ ） A．-2 B． C．1 D．2 6．（2022·广东·东莞市东华高级中学高三阶段练习多选题）对于函数，下列选项正确的是（ ） A．函数的极小值点为，极大值点为 B．函数的单调递减区间为，单调递增区为 C．函数的最小值为，最大值为 D．函数存在两个零点1和 7．（2022·广东广雅中学高三阶段练习）若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是____________. 8．（2022·山东青岛·高三开学考试）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是___________. 9.（2022·全国·高三专题练习）函数在内有极值，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．（2022贵州遵义·高三）若函数无极值点则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11.（2022辽宁高三月考）已知函数有两个不同的极值点，，则a的取值范围___________；且不等式恒成立，则实数的取值范围___________. 题型五：证明函数存在极值点极值问题 【例4】（2022·上海市进才中学高三阶段练习）已知函数. (1)求处的切线方程； (2)求证：有且仅有一个极值点； 【例2】（2022·江西师大附中三模（理））已知函数为的导函数． (1)判断函数在区间上是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由； 【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知函数. (1)求证：函数存在唯一的极大值点； 【题型专练】 1．（2022·安徽省定远县第三中学高三阶段练习）已知函数，为的导数． (1)判断并证明在区间上存在的极大值点个数； 2.（2022·北京房山·高三开学考试）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； (3)证明：在上存在唯一的极大值点． 3.（2022·江苏苏州·模拟预测）函数． (1)求函数在上的极值；
第12讲 导数中极值的5种常考题型总结 【考点分析】 考点一：函数的驻点 若，我们把叫做函数的驻点． 考点二：函数的极值点与极值 ①极大值点与极大值：函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作，其中叫做函数的极大值点 ②极小值点与极小值：函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作，其中叫做函数的极小值点 考点三：求可导函数极值的步骤 ①先确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的根； ④检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值. 注意：可导函数在满足是在取得极值的必要不充分条件，如，，但不是极值点. 【题型目录】 题型一：求函数的极值与极值点 题型二：利用导函数图像判断极值 题型三：根据极值、极值点求参数的值 题型四：根据极值、极值点求参数的范围 题型五：证明函数存在极值点极值问题 【典型例题】 题型一：求函数的极值与极值点 【方法总结】 利用导数求函数极值的步骤如下： （1）求函数的定义域； （2）求导； （3）解方程，当； （4）列表，分析函数的单调性，求极值： ①如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值； ②如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值 【例1】（2022·全国·高二课时练习）“”是“函数在处有极值”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】(2022石泉县石泉中学)函数的极小值为( ) A．0 B． C． D． 【例3】（2022·北京大兴·高二期中）已知函数，则（ ） A．有极小值，无极大值 B．有极大值，无极小值 C．既有极小值又有极大值 D．无极小值也无极大值 【例4】（2022·全国·高三专题练习）函数在处（ ） A．有极大值 B．无极值 C．有极小值 D．无法确定极值情况 【例5】（2023·全国·高三专题练习多选题）设函数的定义域为，是的极小值点，以下结论一定正确的是（ ） A．是的最小值点 B．是的极大值点 C．是的极大值点 D．是的极大值点 【例6】（2022全国·高二期末）已知函数，下列结论中错误的是（ ） A．存在，使得 B．若，则函数的图像是中心对称图形 C．若是的极小值点，则在区间上单调递减 D．若是的极值点，则 【例7】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数，则下列结论正确的是 A．在处有极大值 B．在处有极小值 C．在上单调递减 D．至少有3个零点 【例8】（2022·浙江·高二期中）下列关于极值点的说法正确的是（ ） A．若函数既有极大值又有极小值，则该极大值一定大于极小值 B．在任意给定区间上必存在最小值 C．的最大值就是该函数的极大值 D．定义在上的函数可能没有极值点，也可能存在无数个极值点 【题型专练】 1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则（ ） A．在上为增函数 B．在上为减函数 C．在上有极大值 D．在上有极小值 2．（2022·全国·高三专题练习）函数（e为自然对数的底数），则下列说法正确的是（ ） A． 在R上只有一个极值点 B．在R上没有极值点 C．在处取得极值点 D．在处取得极值点 3．（2022·全国·高二课时练习）若函数，则（ ） A．既有极大值，也有极小值 B．有极小值，无极大值 C．有极大值，无极小值 D．既无极大值，也无极小值 4．（2022·全国·高三专题练习）设，则函数（ ） A．有且仅有一个极小值 B．有且仅有一个极大值 C．有无数个极值 D．没有极值 5．（2018·云南·红河县第一中学高二期末（文））已知函数，则下列结论中错误的是（ ） A．， B．函数的图像是中心对称图形 C．是函数的极大值点 D．函数在区间单调递减 6．（2022·河南·高二阶段练习（理））已知函数，那么（ ） A．有极小值，也有大极值 B．有极小值，没有极大值 C．有极大值，没有极小值 D．没有极值 7．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末多选题）已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．在点处的切线方程为 B．的单调递减区间为 C．有且只有一个零点 D．的极小值点为 8．（2022·重庆·高二阶段练习多选题）对于定义在R上的可导函数，为其导函数，下列说法不正确的是（ ） A．使的一定是函数的极值点 B．在R上单调递增是在R上恒成立的充要条件 C．若函数既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大 D．若在R上存在极值，则它在R一定不单调 9．（2022全国高三专题练习）设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论错误的是（ ） A．， B．是的极小值点 C．是的极小值点 D．是的极小值点 10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则_____，有极__________（填大或小）值． 题型二：利用导函数图像判断极值 【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ） A． B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值 C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值 D．函数的最小值为 【例2】（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A．函数有极大值和 B．函数有极小值和 C．函数有极小值和极大值 D．函数有极小值和极大值 【例3】（2022·重庆市璧山来凤中学校高二阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ） A．是函数的极值点 B．在区间上单调递减 C．函数在处取得极小值 D．的图象在处的切线斜率小于零 【题型专练】 1．（2022·陕西·泾阳县教育局教学研究室高二期中（理））定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A．函数在区间单调递增 B．函数在区间单调递减 C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极小值 2．（2022·全国·高二单元测试）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A．函数有极大值和极小值 B．函数有极大值和极小值 C．函数有极大值和极小值 D．函数有极大值和极小值 3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的导函数为，函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A．在，上为减函数 B．在，上为增函数 C．的极小值为，极大值为 D．的极大值为，极小值为 4．（2022·河北邢台·高二阶段练习）如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A．为函数的单调递增区间 B．为函数的单调递减区间 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值 题型三：根据极值、极值点求参数的值 【方法总结】 解含参数的极值问题要注意： ①是为函数极值点的必要不充分条件，故而要注意检验； ②若函数在区间内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上的单调函数没有极值． 【例1】（2022·天津市第四中学高二期中）函数在处取极小值，则（ ） A．6或2 B．或 C．6 D． 【例2】(2022全国课时练习)若函数的极小值点是，则的极大值为( ) A． B． C． D． 【例3】（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（文））函数在处有极大值，则a的值为（ ） A．2 B．6 C．2或6 D．无答案 【例4】（2022·重庆·万州纯阳中学校高二期中）已知函数在时有极值0，则= ______ . 【题型专练】 1．（2023全国高三专题练习）已知函数，设是的极值点，则a=___，的单调增区间为___. 2.（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数在处取极小值，且的极大值为4，则（ ） A．-1 B．2 C．-3 D．4 3.设函数，若是函数是极大值点，则函数的极小值为________ 4．（2023河南省实验中学高二月考）函数在处有极值，则的值为（ ） A． B． C． D． 5.(2021·河南新乡市)已知函数的图象在处的切线方程为，则的极大值为( ) A． B． C． D．1 题型四：根据极值、极值点求参数的范围 【例1】（2022·全国·高二专题练习）若函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是______． 【例2】（2022·四川绵阳·二模（文））若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例3】（2022·全国·高二课时练习）若函数在区间上的极大值为最大值，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例4】（2022·江西江西·高三阶段练习（文））设，若为函数的极小值点，则（ ） A． B． C． D． 【例5】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值集合是（ ） A． B． C． D． 【例6】（2022·全国·高二课时练习）若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是__________． 【例7】（2022·河南·安阳一中高三阶段练习（理））已知函数有两个不同的极值点，且，则实数的取值范围是___________. 【例8】（2022·全国·高二专题练习）已知函数在区间上有且只有一个极值点，则实数的取值范围为___________. 【例9】（2022·河南·高三阶段练习（文））若函数在上无极值，则实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.（2022吉林通榆县第一中学校高二期末（理））已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内有极小值，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（2022·黑龙江·哈尔滨市阿城区第一中学校高二期末）若函数有2个极值点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4.（2022·江西·丰城九中高二期末（理）多选题）函数在区间内仅有唯一极值点的一个充分不必要条件为（ ） A． B． C． D． 5．（2022·辽宁葫芦岛·高二期末多选题）设函数.若在处取得极大值，a的值可能为（ ） A．-2 B． C．1 D．2 6．（2022·广东·东莞市东华高级中学高三阶段练习多选题）对于函数，下列选项正确的是（ ） A．函数的极小值点为，极大值点为 B．函数的单调递减区间为，单调递增区为 C．函数的最小值为，最大值为 D．函数存在两个零点1和 7．（2022·广东广雅中学高三阶段练习）若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是____________. 8．（2022·山东青岛·高三开学考试）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是___________. 9.（2022·全国·高三专题练习）函数在内有极值，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．（2022贵州遵义·高三）若函数无极值点则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11.（2022辽宁高三月考）已知函数有两个不同的极值点，，则a的取值范围___________；且不等式恒成立，则实数的取值范围___________. 题型五：证明函数存在极值点极值问题 【例4】（2022·上海市进才中学高三阶段练习）已知函数. (1)求处的切线方程； (2)求证：有且仅有一个极值点； 【例2】（2022·江西师大附中三模（理））已知函数为的导函数． (1)判断函数在区间上是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由； 【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知函数. (1)求证：函数存在唯一的极大值点； 【题型专练】 1．（2022·安徽省定远县第三中学高三阶段练习）已知函数，为的导数． (1)判断并证明在区间上存在的极大值点个数； 2.（2022·北京房山·高三开学考试）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； (3)证明：在上存在唯一的极大值点． 3.（2022·江苏苏州·模拟预测）函数． (1)求函数在上的极值；
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