高中数学新教材选择性必修第二册课件+讲义 第5章 5.3.2 第2课时 函数的最大(小)值
展开第5章 5.3.2 第2课时 函数的最大(小)值高中数学新教材选择性必修第二册高考政策|高中“新”课程,新在哪里?1、科目变化:外语语种增加,体育与健康必修。第一,必修课程,由国家根据学生全面发展需要设置,所有学生必须全部修习、全部考试。第二,选择性必修课程,由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。第三,选修课程,由学校根据实际情况统筹规划开设,学生自主选择修习。2、课程类别变化,必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下,对原必修课程学分进行重构,由必修课程学分、选择性必修课程学分组成,适当增加选修课程学分。3、学时和学分变化,高中生全年假期缩减到11周。4、授课方式变化,选课制度将全面推开。5、考试方式变化,高考统考科目由教育部命题,学业水平合格性、等级性考试由各省命题。1.理解函数最值的概念,了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值.同学们,上节课我们在群山之间穿梭,感受了每一个山峰与山谷的优美之处,而今天我们誓要寻找最高的山峰和最低的峡谷,我们既要有俯视一切的雄心和气概,拿出“会当凌绝顶,一览众山小”的气势,也要有仰望一切的谦虚和胸怀,更要有“可上九天揽月,可下五洋捉鳖”的勇气,这其实就是我们今天要探究的函数的最值.随堂演练课时对点练一、极值与最值的关系二、求函数的最值三、利用最值证明不等式一、极值与最值的关系问题1 如图是y=f(x)在区间[a,b]上的函数图象.显然f(x1),f(x3),f(x5)为极大值,f(x2),f(x4),f(x6)为极小值.你能找到函数的最大值和最小值吗?提示 最大值y=M=f(x3)=f(b)分别在x=x3及x=b处取得,最小值y=m=f(x4)在x=x4处取得.显然函数的最值是函数的整体性质,且要求函数是连续不断的,而最值不同于极值,如果有最大(小)值,则唯一存在.问题2 开区间上的连续函数有最值吗?提示 如图.容易发现,开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值,若有最值,则一定是在极值点处取到.函数最值的定义(1)一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)对于函数f(x),给定区间I,若对任意x∈I,存在x0∈I,使得f(x)≥f(x0),则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值;若对任意x∈I,存在x0∈I,使得f(x)≤f(x0),则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值.注意点:(1)开区间不一定有最值,闭区间上的连续函数一定有最值;(2)函数f(x)在闭区间[a,b]上连续是f(x)在闭区间[a,b]上有最大值和最小值的充分不必要条件.例1 如图是函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象,写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值.解 由题图可知,y=f(x)在x1,x3处取得极小值,在x2处取得极大值,所以极小值为f(x1),f(x3),极大值为f(x2);比较极值和端点值可知函数的最小值是f(x3),最大值在b处取得,最大值为f(b).反思感悟 最值与极值的区别与联系(1)极值是对某一点附近(即局部)而言,最值是对函数的定义区间的整体而言.(2)在函数的定义区间内,极大(小)值可能有多个,但最大(小)值只有一个(或者没有).(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点,而最值点可以是区间的端点.(4)对于可导函数,函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.跟踪训练1 设f(x)是区间[a,b]上的连续函数,且在(a,b)内可导,则下列结论中正确的是A.f(x)的极值点一定是最值点B.f(x)的最值点一定是极值点C.f(x)在区间[a,b]上可能没有极值点D.f(x)在区间[a,b]上可能没有最值点√解析 根据函数的极值与最值的概念知,f(x)的极值点不一定是最值点,f(x)的最值点不一定是极值点.可能是区间的端点,连续可导函数在闭区间上一定有最值,所以选项A,B,D都不正确,若函数f(x)在区间[a,b]上单调,则函数f(x)在区间[a,b]上没有极值点,所以C正确.二、求函数的最值例2 求下列函数的最值:(1)f(x)=2x3-12x,x∈[-2,3];解 因为f(x)=2x3-12x,x∈[-2,3],所以f′(x)=6x2-12令f′(x)=0,因为f(-2)=8,f(3)=18,当x=3时,f(x)取得最大值18.(2)f(x)= x+sin x,x∈[0,2π].又x∈[0,2π],所以当x=0时,f(x)有最小值f(0)=0;当x=2π时,f(x)有最大值f(2π)=π.反思感悟 求函数最值的步骤(1)求函数的定义域.(2)求f′(x),解方程f′(x)=0.(3)求极值、端点处的函数值,确定最值.注意:不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较.跟踪训练2 求下列函数的最值:(1)f(x)=2x3-6x2+3,x∈[-2,4];解 f′(x)=6x2-12x=6x(x-2).令f′(x)=0,得x=0或x=2.又f(0)=3,f(2)=-5,f(4)=35,f(-2)=-37,∴当x=4时,f(x)取最大值35.当x=-2时,f(x)取最小值-37.即f(x)的最大值为35,最小值为-37.当f′(x)=0时,x=2,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表所示.∴f(x)在(-∞,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,三、利用最值证明不等式例3 已知函数f(x)=ex-e(ln x+1),求证f(x)≥0恒成立.设F(x)=xex-e(x>0),则F(x)在(0,+∞)上单调递增,且F(1)=0.f(x)的最小值为f(x)min=f(1)=0,∴f(x)≥0恒成立.反思感悟 证不等式恒成立,用导数的方法求出函数的最值,进而可求出结果;有时也可根据不等式直接构成函数,利用导数的方法,通过分类讨论研究函数的最值,即可得到结果.∴当x>1时,g(x)-f(x)>0,即f(x)