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第13-15章 知识梳理-2023-2024学年高一数学下学期期中期末重难点冲刺（苏教版2019必修第二册）
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这是一份第13-15章 知识梳理-2023-2024学年高一数学下学期期中期末重难点冲刺（苏教版2019必修第二册），共17页。试卷主要包含了、简单几何体，条棱的平方和等内容，欢迎下载使用。
空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
(2)旋转体的结构特征
一 、简单几何体
㈠ 空间几何体的类型
1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。
㈡ 几种空间几何体的结构特征
1 棱柱的结构特征
棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是
四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
棱柱的分类
棱柱的性质
⑴ 侧棱都相等，侧面是平行四边形；
⑵ 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；
图1-1 棱柱
⑶ 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；
⑷ 直棱柱的侧棱长与高相等，侧面的对角面是矩形。
长方体的性质
图1-1 棱柱
⑴ 长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和：AC12 = AB2 + AC2 + AA12
⑵ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成的角分别是α、β、γ，那么：
cs2α + cs2β + cs2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2
⑶ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ，则：
cs2α + cs2β + cs2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1
图1-2 长方体
棱柱的侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。
棱柱的面积和体积公式
S直棱柱侧面 = c·h (c为底面周长，h为棱柱的高)
S直棱柱全 = c·h+ 2S底
V棱柱 = S底 ·h
2 圆柱的结构特征
图1-3 圆柱
2-1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。
2-2 圆柱的性质
⑴ 上、下底及平行于底面的截面都是等圆；
⑵ 过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。
2-3 圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。
2-4 圆柱的面积和体积公式
S圆柱侧面 = 2π·r·h (r为底面半径，h为圆柱的高)
S圆柱全 = 2π r h + 2π r2
V圆柱 = S底h = πr2h
3 棱锥的结构特征
3-1 棱锥的定义
⑴ 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
⑵ 正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，
这样的棱锥叫做正棱锥。
3-2 正棱锥的结构特征
⑴ 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；
⑵ 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；
⑶ 正棱锥中的六个元素，即侧棱(SB)、高(SO)、斜高(SH)、侧棱在底面上的射影(OB)、斜高在底面上的射影(OH)、底面边长的一半(BH)，构成四个直角三角形(三角形SOB、SOH、SBH、OBH均为直角三角形)。
3-3 正棱锥的侧面展开图：正n棱锥的侧面展开图是由n个全等的等腰三角形组成。
3-4 正棱锥的面积和体积公式
S正棱锥侧 = c h’ (c为底面周长，h’为侧面斜高)
S正棱锥全 = c h’ + S底面
V棱锥 = 1/3 S底面·h (h为棱锥的高)
图1-4 棱锥
图1-4 棱锥
4 圆锥的结构特征
4-1 圆锥的定义：以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
4-2 圆锥的结构特征
⑴ 平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；
图1-5 圆锥
⑵ 轴截面是等腰三角形；
⑶ 母线的平方等于底面半径与高的平方和：
l2 = r2 + h2
4-3 圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。
4-4 圆锥的面积和体积的公式
S圆锥侧 = π r·l (r为底面半径，l为母线长)
S圆锥全 = πr·(r + l)
V圆锥 = 1/3 πr2·h (h为圆锥高)
5 棱台的结构特征
棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台。
正棱台的结构特征
⑴ 各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；
⑵ 正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形；
⑶ 正棱台的对角面也是等腰梯形；
图1-6 棱台
⑷ 棱台经常被补成棱锥，然后利用形似三角形进行研究。
5-3 正棱台的面积和体积公式
S棱台侧= n/2 (a + b)·h’ (a为上底边长，b为下底边长，h’为棱台的斜高，n为边数)
S棱台全 = S上底 + S下底 + S侧
V棱台 =
6 圆台的结构特征
6-1 圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆锥，我们把截面和底面之间的部分称为圆台。
6-2 圆台的结构特征
图1-7 圆台
⑴ 圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆；
⑵ 圆台的截面是等腰梯形；
⑶ 圆台经常补成圆锥，然后利用相似三角形进行研究。
6-3 圆台的面积和体积公式
S圆台侧 = π·(R + r)·l (r、R为上下底面半径)
S圆台全 = π·r2 + π·R2 + π·(R + r)·l
V圆台 = 1/3 (π r2 + π R2 + π r R) h (h为圆台的高)
7 球的结构特征
图1-8 球
7-1 球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体。空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体称为球体。
7-2 球的结构特征
⑴ 球心与截面圆心的连线垂直于截面；
⑵ 截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差：r2 = R2 – d2
★7-3 球与其他多面体的组合体的问题
球体与其他多面体组合，包括内接和外切两种类型，解决此类问题的基本思路是：
⑴ 根据题意，确定是内接还是外切，画出立体图形；
⑵ 找出多面体与球体连接的地方，找出对球的合适的切割面，然后做出剖面图；
⑶ 将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题；
⑷ 注意圆与正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等于正方体对角线；
球外切正方体，球直径等于正方体的边长。
7-4 球的面积和体积公式
S球面 = 4 π R2 (R为球半径)
V球 = 4/3 π R3
㈢ 空间几何体的视图
1 三视图：观察者从三个不同的位置观察同一个空间几何体而画出的图形。
正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。
侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。
俯视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。
注意：⑴ 俯视图画在正视图的下方，“长度”与正视图相等；侧视图画在正视图的右方，“高度”与正视图相等，“宽度”与俯视图相等。(正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽)
⑵ 正视图、侧视图、俯视图都是平面图形，而不是直观图。
2 直观图
2-1 直观图的定义：是观察者站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形，直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。
2-2 斜二测法做空间几何体的直观图
⑴ 在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy，即取∠xOy = 90°；
⑵ 画直观图时，把它画成对应的轴O’x’、O’y，取∠x’O’y’ = 45°或135°，它们确定的平面表示水平平面；
⑶ 在坐标系x’’y’中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变；平行于x轴的线段保持长度不变；平行于y轴的线段长度减半。
结论：采用斜二测法作出的直观图的面积是原平面图形的
2-3 解决关于直观图问题的注意事项
⑴ 由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”；
⑵ 由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成虚线。
二、 点、直线、平面之间的关系
㈠ 平面的基本性质
1 立体几何中图形语言、文字语言和符号语言的转化
★2 平面的基本性质
公理一：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。
公理二：不共线的三点确定一个平面。
推论一：直线与直线外一点确定一个平面。
推论二：两条相交直线确定一个平面。
推论三：两条平行直线确定一个平面。
公理三：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交线)。
㈡ 空间图形的位置关系
1 空间直线的位置关系(相交、平行、异面)
平行线的传递公理：平行于同一直线的两条直线相互平行。
即：a∥b，b∥c a∥c
等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
异面直线
⑴ 定义：不在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。
⑵ 判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线为异面直线。
图2-1 异面直线
即：
异面直线所成的角
⑴ 异面直线成角的范围：(0°，90°].
⑵ 作异面直线成角的方法：平移法。
注意：找异面直线所成角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如中点、端点等)，形成异面直线所成的角。
2 直线与平面的位置关系(直线在平面内、相交、平行)
图2-2 直线与平面的位置关系
3 平面与平面的位置关系(平行、斜交、垂直)
㈢ 平行关系(包括线面平行和面面平行)
1 线面平行
线面平行的定义：平面外的直线与平面无公共点，则称为直线和平面平行。
判定定理：
性质定理：
判断或证明线面平行的方法
⑴ 利用定义(反证法)：l ∩ α = ф ，l∥α (用于判断)；
⑵ 利用判定定理：线线平行线面平行 (用于证明)；
图2-3 线面角
⑶ 利用平面的平行：面面平行线面平行 (用于证明)；
⑷ 利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判断)。
2 线面斜交和线面角：l ∩ α = A
直线与平面所成的角(简称线面角)：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ。
线面角的范围：θ∈[0°，90°]
注意：当直线在平面内或者直线平行于平面时，θ=0°；
当直线垂直于平面时，θ=90°
3 面面平行
面面平行的定义：空间两个平面没有公共点，则称为两平面平行。
面面平行的判定定理：
图2-4 面面平行
⑴ 判定定理1：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面相互平行。 即：
推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条线段，那么这两个平面平行。即：
⑵ 判定定理2：垂直于同一条直线的两平面互相平行。即：
面面平行的性质定理
⑴ (面面平行线面平行)
⑵
⑶ 夹在两个平行平面间的平行线段相等。
图2-5 判定2
㈣ 垂直关系(包括线面垂直和面面垂直)
1 线面垂直
线面垂直的定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。
线面垂直的判定定理：
线面垂直的性质定理：
⑴ 若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线。
即：
⑵ 垂直于同一平面的两直线平行。
即：
常用的判定或证明线面垂直的依据
⑴ 利用定义，用反证法证明。
⑵ 利用判定定理证明。
⑶ 一条直线垂直于平面而平行于另一条直线，则另一条直线也垂直与平面。
⑷ 一条直线垂直于两平行平面中的一个，则也垂直于另一个。
⑸ 如果两平面垂直，在一平面内有一直线垂直于两平面交线，则该直线垂直于另一平面。
★ 三垂线定理及其逆定理
⑴ 斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的所有线段中，斜线相等则射影相等，斜线越长则射影越长，垂线段最短。
图2-6 斜线定理
如图：
⑵ 三垂线定理及其逆定理
已知PO⊥α，斜线PA在平面α内的射影为OA，a是平面α内的一条直线。
① 三垂线定理：若a⊥OA，则a⊥PA。即垂直射影则垂直斜线。
② 三垂线定理逆定理：若a⊥PA，则a⊥OA。即垂直斜线则垂直射影。
⑶ 三垂线定理及其逆定理的主要应用
图2-7 三垂线定理
① 证明异面直线垂直；
② 作出和证明二面角的平面角；
③ 作点到线的垂线段。
2 面面斜交和二面角
二面角的定义：两平面α、β相交于直线l，直线a是α内的一条直线，它过l上的一点O且垂直于l，直线b是β内的一条直线，它也过O点，也垂直于l，则直线a、b所形成的角称为α、β的二面角的平面角，记作∠α-l-β。
二面角的范围：∠α-l-β ∈[0°,180°]
二面角平面角的作法：
⑴ 定义法：证明起来很麻烦，一般不用；
⑵ 三垂线法：常用方法；
图2-8 面面垂直
⑶ 垂面法：常用于空间几何体中的二面角。
3 面面垂直
面面垂直的定义：若二面角α-l-β的平面角为90°，则两平面α⊥β。
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
即：
面面垂直的性质定理
⑴ 若两面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为90°；
⑵
⑶
⑷
三、 立体几何主要难点
1 三种角的对比
第14章 统计 知识梳理
一、获取数据的途径
二、普查和抽查
三、总体和样本
1．总体：一般地，在获取数据时，把所考察对象(某一项指标的数据)的全体叫作总体．
2．个体：把组成总体的每一个考察对象叫作个体．
3．样本：从总体中所抽取的一部分个体叫作总体的一个样本．
4．样本容量：样本中个体的数目叫作样本容量．
四、用样本估计总体
1.总体百分位数的估计
(1)第p百分位数的定义
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值.
(2)计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
第1步，按从小到大排列原始数据.
第2步，计算i＝n×p%.
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数.
2.样本的数字特征
(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数.
(2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.
(3)平均数：把eq \f(a1＋a2＋…＋an,n)称为a1，a2，…，an这n个数的平均数.
(4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为eq \(x,\s\up6(－))，则这组数据的标准差和方差分别是s＝
eq \r(\f(1,n)[（x1－\(x,\s\up6(－))）2＋（x2－\(x,\s\up6(－))）2＋…＋（xn－\(x,\s\up6(－))）2])，
s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq \(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq \(x,\s\up6(－)))2].
1.频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数.
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.
2.平均数、方差的公式推广
(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为eq \(x,\s\up6(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是meq \(x,\s\up6(－))＋a.
(2)若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，那么
①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；
②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.
五、随机抽样、统计图表
1.简单随机抽样
(1)简单随机抽样
分为放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样.除非特殊声明，本章简单随机抽样指不放回简单随机抽样.
(2)简单随机样本
通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.
(3)简单随机抽样的常用方法
实现简单随机抽样的方法很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法.
2.总体平均数与样本平均数
3.分层随机抽样
(1)分层随机抽样的概念
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.
(2)分层随机抽样的平均数计算
在分层随机抽样中，以层数是2层为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层的样本平均数分别为eq \(x,\s\up6(－))，eq \(y,\s\up6(－))，样本平均数为eq \(w,\s\up6(－))，则eq \(w,\s\up6(－))＝eq \f(M,M＋N)eq \(x,\s\up6(－))＋eq \f(N,M＋N)eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(m,m＋n)eq \(x,\s\up6(－))＋eq \f(n,m＋n)eq \(y,\s\up6(－)).
我们可以用样本平均数eq \(w,\s\up6(－))估计总体平均数eq \(W,\s\up6(－)).
4.统计图表
(1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图、频率分布直方图等.
(2)频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义
常用结论：
1.不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的.
2.分层随机抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比.
第15章 概率 知识梳理
1.随机试验
对某随机现象进行的实验、观察,称为随机试验,简称_______事件___________.
2.样本空间
定义:①样本点:随机试验的每一个可能的结果.
②样本空间:所有样本点组成的集合.记作:Ω
3.随机事件、必然事件、不可能事件
(1)随机事件:样本空间的子集称为随机事件,也简称事件.
表示:一般用大写英文字母A,B,表示.
(2)基本事件:当一个事件仅包含单一样本点时,称该事件为基本事件.
(3)必然事件:Ω(全集)是必然事件.
(4)不可能事件:(空集)是不可能事件.
4. 古典概型
(1)定义:①样本空间只含有有限个样本点;②每个基本事件的发生都是等可能的.我们将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型.
(2)本质:事件所包含的基本事件个数有限;每个基本事件发生的概率相等.
5.古典概型的概率计算公式
在古典概型中,如果样本空间(其中,为样本点的个数),那么每一个基本事件发生的概率都是,如果事件由其中k个等可能基本事件组合而成,即中包含k个样本点,那么事件发生的概率为P(A)＝eq \f(k,n)＝eq \f(n（A）,n（Ω）)..
6.互斥事件的概念
(1)互斥事件:如果事件A与事件B不能同时发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容)
(2)对立事件:互斥事件,中必有一个发生,这时,我们称,为对立事件,记作或.
7. 互斥事件的概率
(1)互斥事件的概率:如果事件A,B互斥,那么事件A+B发生的概率,等于事件A,B分别发生的概率的和,即P(A+B)=P(A)+P(B).
(2)互斥事件概率的推广
如果事件A1,A2,…,An中任何两个事件都是互斥事件,那么称事件A1,A2,…,An两两互斥.如果事件A1,A2,…,An两两互斥,那么
P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
8.随机事件概率的性质
(1);
(2) 当A⊆B时,P(A)≤P(B);
(3)当A,B不互斥时,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).
9. 独立事件
(1)定义:
一般地,如果事件A是否发生不影响事件B发生的概率,那么称A,B为相互独立事件.
(2)独立事件的概率计算公式: A,B相互独立⇔P(AB)=P(A)P(B).
说明:若A,B相互独立,则与B,A与也相互独立.
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相平行且全等
多边形
互相平行且相似
侧棱
平行且相等
相交于一点，但不一定相等
延长线交于一点
侧面形状
平行四边形
三角形
梯形
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且相等，垂直于底面
相交于一点
延长线交于一点
轴截面
矩形
等腰三角形
等腰梯形
圆面
侧面展开图
矩形
扇形
扇环
图形语言
文字语言
符号语言
点A在直线a上
点B在直线a外
A∈a
Ba
点A在平面α内
点B在平面α外
A∈α
Bα
直线a在平面α内
直线b在平面α外
aα
bα
直线a与平面α相交于点A
a∩α=A
直线a与直线b相交于点A
a∩b=A
平面α与平面β交于直线a
α∩β=a
角的类型
范围
解题步骤
异面直线
所成角
0°～90°
1找：利用平移法找出异面直线所成角；
⑴ 固定一条直线，平移另一条直线，
⑵ 将两条直线都平移至一特殊位置。
2证：证明所作出的角就是异面直线所成角或其补角，常需证明线线平行；
3计算：通过解三角形，算出异面直线角的角度。
直线与平面
所成角
0°～90°
1找：作出斜线与其在平面内射影的夹角，一般用三垂线定理；
2证：证明所作出的角就是直线与平面所成角或其补角，常证明线面垂直；
3计算：通过解三角形，求出线面角的角度。
二面角的
平面角
0～π
1作：根据二面角平面角的定义，作出这个平面角；
2证：证明所作的角就是二面角的平面角，常用三垂线法和垂面法；
3计算：通过解三角形，求出二面角平面角的角度。
概念
数据名称
直接获取
通过社会调查或观察、试验等途径获取数据
直接数据或一手数据
间接获取
借助各种媒介，包括报纸杂志、统计报表和年鉴、广播、电视或互联网等获取数据
间接数据或二手数据
调查方法
概念、特点
普查
抽查
定义
为了掌握调查对象的整体情况，对全体调查对象进行研究的一种调查方式
从全体调查对象中按照一定的方法抽取一部分对象作为代表进行调查分析，并以此推断全体调查对象的状况的调查方式
优点
①所取得的资料更加全面、系统；
②调查特定时段的社会经济现象总体的信息
①迅速、及时；
②节约人力、物力、财力，对个体信息的了解更详细
缺点
耗费大量的人力、物力、财力、时间长、任务重
获取的信息不够全面、系统，其结果具有不确定性
名称
定义
总体均值
(总体平均数)
一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称eq \(Y,\s\up6(－))＝eq \f(Y1＋Y2＋…＋YN,N)＝eq \f(1,N)eq \(∑,\s\up6(N),\s\d4(i＝1))Yi为总体均值，又称总体平均数.
如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数fi(i＝1，2，…，k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式eq \(Y,\s\up6(－))＝eq \f(1,N)eq \(∑,\s\up6(k),\s\d4(i＝1))fiYi.
样本均值(样本平均数)
如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(y1＋y2＋…＋yn,n)＝eq \f(1,n)eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))yi为样本均值，又称样本平均数.
说明：(1)在简单随机抽样中，我们常用样本平均数eq \(y,\s\up6(－))去估计总体平均数eq \(Y,\s\up6(－))；
(2)总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性(因为样本具有随机性)；
(3)一般情况下，样本量越大，估计越准确.
空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
(2)旋转体的结构特征
一 、简单几何体
㈠ 空间几何体的类型
1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。
㈡ 几种空间几何体的结构特征
1 棱柱的结构特征
棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是
四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
棱柱的分类
棱柱的性质
⑴ 侧棱都相等，侧面是平行四边形；
⑵ 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；
图1-1 棱柱
⑶ 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；
⑷ 直棱柱的侧棱长与高相等，侧面的对角面是矩形。
长方体的性质
图1-1 棱柱
⑴ 长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和：AC12 = AB2 + AC2 + AA12
⑵ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成的角分别是α、β、γ，那么：
cs2α + cs2β + cs2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2
⑶ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ，则：
cs2α + cs2β + cs2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1
图1-2 长方体
棱柱的侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。
棱柱的面积和体积公式
S直棱柱侧面 = c·h (c为底面周长，h为棱柱的高)
S直棱柱全 = c·h+ 2S底
V棱柱 = S底 ·h
2 圆柱的结构特征
图1-3 圆柱
2-1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。
2-2 圆柱的性质
⑴ 上、下底及平行于底面的截面都是等圆；
⑵ 过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。
2-3 圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。
2-4 圆柱的面积和体积公式
S圆柱侧面 = 2π·r·h (r为底面半径，h为圆柱的高)
S圆柱全 = 2π r h + 2π r2
V圆柱 = S底h = πr2h
3 棱锥的结构特征
3-1 棱锥的定义
⑴ 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
⑵ 正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，
这样的棱锥叫做正棱锥。
3-2 正棱锥的结构特征
⑴ 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；
⑵ 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；
⑶ 正棱锥中的六个元素，即侧棱(SB)、高(SO)、斜高(SH)、侧棱在底面上的射影(OB)、斜高在底面上的射影(OH)、底面边长的一半(BH)，构成四个直角三角形(三角形SOB、SOH、SBH、OBH均为直角三角形)。
3-3 正棱锥的侧面展开图：正n棱锥的侧面展开图是由n个全等的等腰三角形组成。
3-4 正棱锥的面积和体积公式
S正棱锥侧 = c h’ (c为底面周长，h’为侧面斜高)
S正棱锥全 = c h’ + S底面
V棱锥 = 1/3 S底面·h (h为棱锥的高)
图1-4 棱锥
图1-4 棱锥
4 圆锥的结构特征
4-1 圆锥的定义：以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
4-2 圆锥的结构特征
⑴ 平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；
图1-5 圆锥
⑵ 轴截面是等腰三角形；
⑶ 母线的平方等于底面半径与高的平方和：
l2 = r2 + h2
4-3 圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。
4-4 圆锥的面积和体积的公式
S圆锥侧 = π r·l (r为底面半径，l为母线长)
S圆锥全 = πr·(r + l)
V圆锥 = 1/3 πr2·h (h为圆锥高)
5 棱台的结构特征
棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台。
正棱台的结构特征
⑴ 各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；
⑵ 正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形；
⑶ 正棱台的对角面也是等腰梯形；
图1-6 棱台
⑷ 棱台经常被补成棱锥，然后利用形似三角形进行研究。
5-3 正棱台的面积和体积公式
S棱台侧= n/2 (a + b)·h’ (a为上底边长，b为下底边长，h’为棱台的斜高，n为边数)
S棱台全 = S上底 + S下底 + S侧
V棱台 =
6 圆台的结构特征
6-1 圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆锥，我们把截面和底面之间的部分称为圆台。
6-2 圆台的结构特征
图1-7 圆台
⑴ 圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆；
⑵ 圆台的截面是等腰梯形；
⑶ 圆台经常补成圆锥，然后利用相似三角形进行研究。
6-3 圆台的面积和体积公式
S圆台侧 = π·(R + r)·l (r、R为上下底面半径)
S圆台全 = π·r2 + π·R2 + π·(R + r)·l
V圆台 = 1/3 (π r2 + π R2 + π r R) h (h为圆台的高)
7 球的结构特征
图1-8 球
7-1 球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体。空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体称为球体。
7-2 球的结构特征
⑴ 球心与截面圆心的连线垂直于截面；
⑵ 截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差：r2 = R2 – d2
★7-3 球与其他多面体的组合体的问题
球体与其他多面体组合，包括内接和外切两种类型，解决此类问题的基本思路是：
⑴ 根据题意，确定是内接还是外切，画出立体图形；
⑵ 找出多面体与球体连接的地方，找出对球的合适的切割面，然后做出剖面图；
⑶ 将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题；
⑷ 注意圆与正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等于正方体对角线；
球外切正方体，球直径等于正方体的边长。
7-4 球的面积和体积公式
S球面 = 4 π R2 (R为球半径)
V球 = 4/3 π R3
㈢ 空间几何体的视图
1 三视图：观察者从三个不同的位置观察同一个空间几何体而画出的图形。
正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。
侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。
俯视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。
注意：⑴ 俯视图画在正视图的下方，“长度”与正视图相等；侧视图画在正视图的右方，“高度”与正视图相等，“宽度”与俯视图相等。(正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽)
⑵ 正视图、侧视图、俯视图都是平面图形，而不是直观图。
2 直观图
2-1 直观图的定义：是观察者站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形，直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。
2-2 斜二测法做空间几何体的直观图
⑴ 在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy，即取∠xOy = 90°；
⑵ 画直观图时，把它画成对应的轴O’x’、O’y，取∠x’O’y’ = 45°或135°，它们确定的平面表示水平平面；
⑶ 在坐标系x’’y’中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变；平行于x轴的线段保持长度不变；平行于y轴的线段长度减半。
结论：采用斜二测法作出的直观图的面积是原平面图形的
2-3 解决关于直观图问题的注意事项
⑴ 由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”；
⑵ 由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成虚线。
二、 点、直线、平面之间的关系
㈠ 平面的基本性质
1 立体几何中图形语言、文字语言和符号语言的转化
★2 平面的基本性质
公理一：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。
公理二：不共线的三点确定一个平面。
推论一：直线与直线外一点确定一个平面。
推论二：两条相交直线确定一个平面。
推论三：两条平行直线确定一个平面。
公理三：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交线)。
㈡ 空间图形的位置关系
1 空间直线的位置关系(相交、平行、异面)
平行线的传递公理：平行于同一直线的两条直线相互平行。
即：a∥b，b∥c a∥c
等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
异面直线
⑴ 定义：不在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。
⑵ 判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线为异面直线。
图2-1 异面直线
即：
异面直线所成的角
⑴ 异面直线成角的范围：(0°，90°].
⑵ 作异面直线成角的方法：平移法。
注意：找异面直线所成角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如中点、端点等)，形成异面直线所成的角。
2 直线与平面的位置关系(直线在平面内、相交、平行)
图2-2 直线与平面的位置关系
3 平面与平面的位置关系(平行、斜交、垂直)
㈢ 平行关系(包括线面平行和面面平行)
1 线面平行
线面平行的定义：平面外的直线与平面无公共点，则称为直线和平面平行。
判定定理：
性质定理：
判断或证明线面平行的方法
⑴ 利用定义(反证法)：l ∩ α = ф ，l∥α (用于判断)；
⑵ 利用判定定理：线线平行线面平行 (用于证明)；
图2-3 线面角
⑶ 利用平面的平行：面面平行线面平行 (用于证明)；
⑷ 利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判断)。
2 线面斜交和线面角：l ∩ α = A
直线与平面所成的角(简称线面角)：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ。
线面角的范围：θ∈[0°，90°]
注意：当直线在平面内或者直线平行于平面时，θ=0°；
当直线垂直于平面时，θ=90°
3 面面平行
面面平行的定义：空间两个平面没有公共点，则称为两平面平行。
面面平行的判定定理：
图2-4 面面平行
⑴ 判定定理1：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面相互平行。 即：
推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条线段，那么这两个平面平行。即：
⑵ 判定定理2：垂直于同一条直线的两平面互相平行。即：
面面平行的性质定理
⑴ (面面平行线面平行)
⑵
⑶ 夹在两个平行平面间的平行线段相等。
图2-5 判定2
㈣ 垂直关系(包括线面垂直和面面垂直)
1 线面垂直
线面垂直的定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。
线面垂直的判定定理：
线面垂直的性质定理：
⑴ 若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线。
即：
⑵ 垂直于同一平面的两直线平行。
即：
常用的判定或证明线面垂直的依据
⑴ 利用定义，用反证法证明。
⑵ 利用判定定理证明。
⑶ 一条直线垂直于平面而平行于另一条直线，则另一条直线也垂直与平面。
⑷ 一条直线垂直于两平行平面中的一个，则也垂直于另一个。
⑸ 如果两平面垂直，在一平面内有一直线垂直于两平面交线，则该直线垂直于另一平面。
★ 三垂线定理及其逆定理
⑴ 斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的所有线段中，斜线相等则射影相等，斜线越长则射影越长，垂线段最短。
图2-6 斜线定理
如图：
⑵ 三垂线定理及其逆定理
已知PO⊥α，斜线PA在平面α内的射影为OA，a是平面α内的一条直线。
① 三垂线定理：若a⊥OA，则a⊥PA。即垂直射影则垂直斜线。
② 三垂线定理逆定理：若a⊥PA，则a⊥OA。即垂直斜线则垂直射影。
⑶ 三垂线定理及其逆定理的主要应用
图2-7 三垂线定理
① 证明异面直线垂直；
② 作出和证明二面角的平面角；
③ 作点到线的垂线段。
2 面面斜交和二面角
二面角的定义：两平面α、β相交于直线l，直线a是α内的一条直线，它过l上的一点O且垂直于l，直线b是β内的一条直线，它也过O点，也垂直于l，则直线a、b所形成的角称为α、β的二面角的平面角，记作∠α-l-β。
二面角的范围：∠α-l-β ∈[0°,180°]
二面角平面角的作法：
⑴ 定义法：证明起来很麻烦，一般不用；
⑵ 三垂线法：常用方法；
图2-8 面面垂直
⑶ 垂面法：常用于空间几何体中的二面角。
3 面面垂直
面面垂直的定义：若二面角α-l-β的平面角为90°，则两平面α⊥β。
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
即：
面面垂直的性质定理
⑴ 若两面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为90°；
⑵
⑶
⑷
三、 立体几何主要难点
1 三种角的对比
第14章 统计 知识梳理
一、获取数据的途径
二、普查和抽查
三、总体和样本
1．总体：一般地，在获取数据时，把所考察对象(某一项指标的数据)的全体叫作总体．
2．个体：把组成总体的每一个考察对象叫作个体．
3．样本：从总体中所抽取的一部分个体叫作总体的一个样本．
4．样本容量：样本中个体的数目叫作样本容量．
四、用样本估计总体
1.总体百分位数的估计
(1)第p百分位数的定义
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值.
(2)计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
第1步，按从小到大排列原始数据.
第2步，计算i＝n×p%.
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数.
2.样本的数字特征
(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数.
(2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.
(3)平均数：把eq \f(a1＋a2＋…＋an,n)称为a1，a2，…，an这n个数的平均数.
(4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为eq \(x,\s\up6(－))，则这组数据的标准差和方差分别是s＝
eq \r(\f(1,n)[（x1－\(x,\s\up6(－))）2＋（x2－\(x,\s\up6(－))）2＋…＋（xn－\(x,\s\up6(－))）2])，
s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq \(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq \(x,\s\up6(－)))2].
1.频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数.
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.
2.平均数、方差的公式推广
(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为eq \(x,\s\up6(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是meq \(x,\s\up6(－))＋a.
(2)若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，那么
①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；
②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.
五、随机抽样、统计图表
1.简单随机抽样
(1)简单随机抽样
分为放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样.除非特殊声明，本章简单随机抽样指不放回简单随机抽样.
(2)简单随机样本
通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.
(3)简单随机抽样的常用方法
实现简单随机抽样的方法很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法.
2.总体平均数与样本平均数
3.分层随机抽样
(1)分层随机抽样的概念
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.
(2)分层随机抽样的平均数计算
在分层随机抽样中，以层数是2层为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层的样本平均数分别为eq \(x,\s\up6(－))，eq \(y,\s\up6(－))，样本平均数为eq \(w,\s\up6(－))，则eq \(w,\s\up6(－))＝eq \f(M,M＋N)eq \(x,\s\up6(－))＋eq \f(N,M＋N)eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(m,m＋n)eq \(x,\s\up6(－))＋eq \f(n,m＋n)eq \(y,\s\up6(－)).
我们可以用样本平均数eq \(w,\s\up6(－))估计总体平均数eq \(W,\s\up6(－)).
4.统计图表
(1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图、频率分布直方图等.
(2)频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义
常用结论：
1.不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的.
2.分层随机抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比.
第15章 概率 知识梳理
1.随机试验
对某随机现象进行的实验、观察,称为随机试验,简称_______事件___________.
2.样本空间
定义:①样本点:随机试验的每一个可能的结果.
②样本空间:所有样本点组成的集合.记作:Ω
3.随机事件、必然事件、不可能事件
(1)随机事件:样本空间的子集称为随机事件,也简称事件.
表示:一般用大写英文字母A,B,表示.
(2)基本事件:当一个事件仅包含单一样本点时,称该事件为基本事件.
(3)必然事件:Ω(全集)是必然事件.
(4)不可能事件:(空集)是不可能事件.
4. 古典概型
(1)定义:①样本空间只含有有限个样本点;②每个基本事件的发生都是等可能的.我们将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型.
(2)本质:事件所包含的基本事件个数有限;每个基本事件发生的概率相等.
5.古典概型的概率计算公式
在古典概型中,如果样本空间(其中,为样本点的个数),那么每一个基本事件发生的概率都是,如果事件由其中k个等可能基本事件组合而成,即中包含k个样本点,那么事件发生的概率为P(A)＝eq \f(k,n)＝eq \f(n（A）,n（Ω）)..
6.互斥事件的概念
(1)互斥事件:如果事件A与事件B不能同时发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容)
(2)对立事件:互斥事件,中必有一个发生,这时,我们称,为对立事件,记作或.
7. 互斥事件的概率
(1)互斥事件的概率:如果事件A,B互斥,那么事件A+B发生的概率,等于事件A,B分别发生的概率的和,即P(A+B)=P(A)+P(B).
(2)互斥事件概率的推广
如果事件A1,A2,…,An中任何两个事件都是互斥事件,那么称事件A1,A2,…,An两两互斥.如果事件A1,A2,…,An两两互斥,那么
P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
8.随机事件概率的性质
(1);
(2) 当A⊆B时,P(A)≤P(B);
(3)当A,B不互斥时,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).
9. 独立事件
(1)定义:
一般地,如果事件A是否发生不影响事件B发生的概率,那么称A,B为相互独立事件.
(2)独立事件的概率计算公式: A,B相互独立⇔P(AB)=P(A)P(B).
说明:若A,B相互独立,则与B,A与也相互独立.
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相平行且全等
多边形
互相平行且相似
侧棱
平行且相等
相交于一点，但不一定相等
延长线交于一点
侧面形状
平行四边形
三角形
梯形
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且相等，垂直于底面
相交于一点
延长线交于一点
轴截面
矩形
等腰三角形
等腰梯形
圆面
侧面展开图
矩形
扇形
扇环
图形语言
文字语言
符号语言
点A在直线a上
点B在直线a外
A∈a
Ba
点A在平面α内
点B在平面α外
A∈α
Bα
直线a在平面α内
直线b在平面α外
aα
bα
直线a与平面α相交于点A
a∩α=A
直线a与直线b相交于点A
a∩b=A
平面α与平面β交于直线a
α∩β=a
角的类型
范围
解题步骤
异面直线
所成角
0°～90°
1找：利用平移法找出异面直线所成角；
⑴ 固定一条直线，平移另一条直线，
⑵ 将两条直线都平移至一特殊位置。
2证：证明所作出的角就是异面直线所成角或其补角，常需证明线线平行；
3计算：通过解三角形，算出异面直线角的角度。
直线与平面
所成角
0°～90°
1找：作出斜线与其在平面内射影的夹角，一般用三垂线定理；
2证：证明所作出的角就是直线与平面所成角或其补角，常证明线面垂直；
3计算：通过解三角形，求出线面角的角度。
二面角的
平面角
0～π
1作：根据二面角平面角的定义，作出这个平面角；
2证：证明所作的角就是二面角的平面角，常用三垂线法和垂面法；
3计算：通过解三角形，求出二面角平面角的角度。
概念
数据名称
直接获取
通过社会调查或观察、试验等途径获取数据
直接数据或一手数据
间接获取
借助各种媒介，包括报纸杂志、统计报表和年鉴、广播、电视或互联网等获取数据
间接数据或二手数据
调查方法
概念、特点
普查
抽查
定义
为了掌握调查对象的整体情况，对全体调查对象进行研究的一种调查方式
从全体调查对象中按照一定的方法抽取一部分对象作为代表进行调查分析，并以此推断全体调查对象的状况的调查方式
优点
①所取得的资料更加全面、系统；
②调查特定时段的社会经济现象总体的信息
①迅速、及时；
②节约人力、物力、财力，对个体信息的了解更详细
缺点
耗费大量的人力、物力、财力、时间长、任务重
获取的信息不够全面、系统，其结果具有不确定性
名称
定义
总体均值
(总体平均数)
一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称eq \(Y,\s\up6(－))＝eq \f(Y1＋Y2＋…＋YN,N)＝eq \f(1,N)eq \(∑,\s\up6(N),\s\d4(i＝1))Yi为总体均值，又称总体平均数.
如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数fi(i＝1，2，…，k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式eq \(Y,\s\up6(－))＝eq \f(1,N)eq \(∑,\s\up6(k),\s\d4(i＝1))fiYi.
样本均值(样本平均数)
如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(y1＋y2＋…＋yn,n)＝eq \f(1,n)eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))yi为样本均值，又称样本平均数.
说明：(1)在简单随机抽样中，我们常用样本平均数eq \(y,\s\up6(－))去估计总体平均数eq \(Y,\s\up6(－))；
(2)总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性(因为样本具有随机性)；
(3)一般情况下，样本量越大，估计越准确.
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