期中模拟卷01-2023-2024学年高一数学下学期期中期末重难点冲刺（苏教版2019必修第二册）

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1．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由复数除法的运算法则求出复数，再根据复数的模长公式即可求解.
【解析】解：因为，所以.
故选：B.
2．下列说法中正确的是（ ）
A．单位向量都相等B．若满足且与同向，则
C．对于任意向量，必有D．平行向量不一定是共线向量
【答案】C
【分析】根据相等向量的定义可判断A；由向量不能比较大小可判断B；由向量加法的几何意义可判断C；由共线向量的定义可判断D.
【解析】A，方向相同，模相等的向量为相等向量，单位向量的方向不一定相同，故A错误；
B，向量模能比较大小，向量不能比较大小，故B错误；
C，根据向量加法的几何意义可得，故C正确；
D，平行向量也是共线向量，故D错误.
故选：C
3．已知向量，，且，则（ ）
A．2B．-2C．D．
【答案】A
【分析】由向量平行的坐标表示计算．
【解析】由题意，．
故选：A．
4．在锐角中，角所对的边长分别为.若
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】试题分析：
考点：正弦定理解三角形
5．若，且，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据已知求出，再根据结合两角差的正弦公式即可得解.
【解析】解：因为，所以，
又，所以，
所以.
故选：C.
6．如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意，可根据向量运算法则得到（1﹣m），从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值.
【解析】由题意及图，，
又，，所以，∴（1﹣m），
又t，所以，解得m，t，
故选C．
【点睛】本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题.
7．在边长为1的正方形ABCD中，M为边BC的中点，点E在线段AB上运动，则的值可以是（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】求出的范围，判断各选项．
【解析】设，，
，
只有B满足．
故选：B．
8．已知在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由利用余弦定理，可得，正弦定理边化角，在消去，可得，利用三角形是锐角三角形，结合三角函数的有界限，可得的取值范围．
【解析】由
及余弦定理，可得
正弦定理边化角，得
是锐角三角形，
，即．
，，
那么：
则，
故选：
【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略
一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
二、多选题
9．已知向量和满足，，，下列说法中正确的有（ ）
A．B．
C．与的夹角为D．
【答案】AD
【分析】根据向量运算和向量夹角公式，向量模依次判断每个选项得到答案.
【解析】，
将，的代入，可得故，故正确；
，故错误；
设与的夹角为，则，
故，又，故，错误；
，故，正确.
故选：.
10．以下有关复数的描述中，说法正确的是（ ）
A．若复数（为虚数单位），则的虚部为2
B．的共轭复数为
C．若复数，则
D．设，为复数，
【答案】AD
【分析】通过复数的运算以及虚部的概念可判断A；通过共轭复数的概念可判断BD；通过复数相等可判断C；
【解析】因为，所以的虚部为2，故A正确；
的共轭复数为，故B错误；
当且仅当时，才会有C中的结论，故C错误；
设，
则，，故D正确；
故选：AD.
11．对于函数，下列说法正确的有（ ）
A．是的最小正周期B．关于对称
C．在的值域为D．在上递增
【答案】AC
【分析】利用辅助角公式化简，再根据的性质逐个判断即可
【解析】，
对A，周期为，故A正确；
对B，令，得，所以函数不关于对称，故B不正确；
对C，当时，，所以，即的值域为，故C正确；
对D，当时，，所以函数在上单调递减，故D不正确，
故选：AC.
12．中，边上的中线，则下列说法正确的有（ ）
A．为定值B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】由，得到，结合余弦定可得，可判定D正确；由余弦定理知得到，结合向量的数量积公式，可得判定A正确；由，得到，求得，可判定C不正确；根据三角形的性质和圆的性质，可判定B正确.
【解析】由题意，可得，所以，
设中，角所对的三边分别为，
根据余弦定理知，即，
整理得，所以D正确；
又由余弦定理知，可得，
所以（定值）所以A正确；
因为，即，所以，所以，所以C不正确；
由三角形的性质，可得，
因为，所以点在以为圆心，半径为的圆上，如图所示：
当点与点重合时，可得，
所以，所以，所以B正确.
故选：ABD
三、填空题
13．在边长为3的等边△ABC中，，则___________．
【答案】##
【分析】转化,利用数量积的定义即得解.
【解析】
故答案为：
14．复数，，其中i是虚数单位，则的最大值为___________．
【答案】##
【分析】先求，再运用公式求复数的模即可.
【解析】由题意，，
所以故答案为：
15．某中学数学兴趣小组为了测量校园旗杆的高度，如图所示，在操场上选择了C､D两点，在C､D处测得旗杆的仰角分别为，在水平面上测得且C，D的距离为15米，则旗杆的高度为__________米．
【答案】15
【分析】设旗杆的高度为，在中，利用余弦定理求解.
【解析】解：如图所示：

设旗杆的高度为，
所以，
在中，由余弦定理得，
即，
即，
解得或（舍去）.
故答案为：15
16．如图，在中，已知，点D，E分别在边AB，AC上，且 ，点F为线段DE上的动点，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】设，以为基底，将分别用表示，再结合数量积的运算律把用表示，再结合二次函数的性质即可得解.
【解析】因为，
所以，
设，
则
，
，
则
，
对于，其开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得最大值，
当时，取得最小值，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查了平面向量的线性运算及数量积的运算，以为基底，将分别用表示，是解决本题的关键.
四、解答题
17．设复数（其中），．
(1)若是纯虚数，求；
(2)求满足的复数在复平面上对应的点构成的图形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将化成复数的一般形式，则实部为，虚部不为，即可求解（2）复数在复平面上对应的点构成的图形是以为圆心，半径为的圆及其内部，代圆的面积公式即可求解
(1)
依题意且，
所以
(2)
设，则
故复数在复平面上对应的点构成的图形是以为圆心，半径为的圆及其内部
所以
18．已知向量，，在同一平面上，且，．
(1)若与与垂直，求k的值；
(2)若（其中，当取最小值时，求与的数量积的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用平面向量垂直的充要条件的坐标形式列式即可求解（2）求出的坐标之后代模长公式，通过配方，可以判断取何值时，最小，然后代数量积的坐标计算公式即可求解
(1)
因为与垂直
所以
所以
(2)
所以
当时，取得最小值
此时
所以
19．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满．
（1）求角A的大小；
（2）若，点D满足，求a．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由正弦定理的边化角公式结合三角恒等变换得出角A的大小；
（2）过点D作交于点E，由余弦定理得出，，再由余弦定理得出.
【解析】解：（1）由已知，得
由正弦定理，得
整理，得
即．
又，所以，因为，所以．
（2）如图，过点D作交于点E
又，所以．
由余弦定理可知，，得
解得，则．
又
所以在中，由余弦定理
得．
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于正弦定理的边角互化以及余弦定理解三角形.
20．已知中，角A，B，C的对边为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若，D为AC边上的一点，，且 ，求的面积．
①BD是B的平分线；②D为线段AC的中点．（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）
注：如果选择多个方案进行解答，按第一个方案解答计分．
【答案】(1)
(2)选①，的面积为；选②，的面积为
【分析】（1）由正弦定理及正弦两角和、诱导公式可求解；
（2）若选①，由及余弦定理、三角形面积公式可求解；若选②，由D为线段AC的中点得，从而可得，再结合余弦定理及三角形面积公式可求解.
（1）
因为，
在中由正弦定理得：，
即，
由，知，则有，
所以.
（2）
由（1）知且，在中由余弦定理得，
即（*）．
若选①：
由BD平分ABC得，
则有，
即，
则，即，
将（*）式代入得，
即或（舍），
故．
若选②：
由D为线段AC的中点得，
即，
则，即，
又，解得
故．
21．在△ABC中，，，，Q为△ABC内一点，．
(1)若，求；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在△ABC中由余弦定理得长度,△QBC中，由正弦定理得,在△AQC中，由余弦定理得.
（2）根据几何图形,得到角之间的关系,然后在△QBC中，由正弦定理即可求解.
(1)
在△ABC中，，，，
由余弦定理得：，
即，
则即，
所以．
在△QBC中，由正弦定理得：，
即，
解得，所以，
所以，
所以，
在△AQC中，由余弦定理得：，
即，
所以．
(2)
因为，，
所以，
设，则，
所以，
在Rt△AQB中，，
在△QBC中，由正弦定理得：，
即，
所以，，
解得：．
22．已知△AOB中，边，令过AB边上一点(异于端点)引边OB的垂线垂足为再由引边OA的垂线垂足为又由引边AB的垂线垂足为设.
（1）求；
（2）证明：；
（3）当重合时，求的面积.
【答案】（1）； （2）证明见解析；（3）.
【分析】（1）根据平面向量的模长公式和数量积的运算公式，即可求解；
（2）利用余弦定理，求得，然后求出，从而得到，即可得到结论；
（3）根据向量的夹角公式，求得和，从而求得和的值，当重合时，，求得，最后根据三角形的面积公式和，即可求解.
【解析】（1）在中，因为，且，
可得，
则，所以.
（2）由（1）与已知，可得，
由余弦定理可得，
又因为，则，
则，所以.
（3）由已知可得，
因为，所以，
，
因为
，
所以，
当重合时，，解得，解得，
此时，
所以，
可得，
所以.
【点睛】解决向量在平面几何中的应用问题的两种方法：
（1）坐标法，把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使问题得到解决；
（2）基向量法，选取一组合适的基底，将未知向量用基底表示出来，然后根据向量的运算法则､运算律和性质求解.