专题02 平面向量（难点）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末重难点冲刺（苏教版2019必修第二册）

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1．在平行四边形中，，是的中点，点在边上，且，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作出图形，将、用向量、表示，利用平面向量数量积的运算律可求得的值，由此可求得的值.
【解析】如图，结合条件可得，，
则，
又因为，即有，
所以，
解得，所以.
故选：C.
【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式，属于中档题目.
2．已知单位向量､､，满足.若常数､､的取值集合为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由条件，化简为，再根据条件判断和的取值，再根据，求的最大值.
【解析】由条件得，
和的取值只有三种可能，分别为､､，
但二者不可能同时一个取，另一个取，
∴的化简结果只有四种形式：､､､，
而，故所有可能取值只有或两种结果，
∴的最大值为.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断和的取值，从而利用，求的最大值.
3．已知正方形的边长为是它的外接圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作出图形，结合向量的线性运算和数量积运算化简，求的范围可得 的取值范围.
【解析】当弦的长度最大时，弦过正方形的外接圆的圆心，
因为正方形的边长为2，所以圆的半径为，
如下图所示：
则，，
所以，.
因为点为正方形四条边上的动点，所以，
又，所以，
故选：A.
4．设、为单位向量，非零向量，，若、的夹角为，则的最大值等于（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【分析】由已知可得.则当时，有，根据二次函数的性质，即可得出答案.
【解析】.
当时，的值为0，
当时，有
，
当时，有最小值，此时有最大值为.
故选：B.
5．在中，，，过的外心O的直线(不经过点)分别交线段于，且，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求得，外接圆的半径，设，，，根据，结合和
三点共线，得到，进而求得，利用基本不等式和函数的性质，即可求得取值范围.
【解析】因为中，，
由余弦定理可得，
即，且，
设，
则，，
所以，
同理可得，，
解得，所以，
又因为，，所以，
因为三点共线，可得，
因为，所以，所以，
同理可得，所以
所以，
设，可得，
令，可得，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取得最小值，最小值为；
又由，，可得，
所以当时，取得最大值，最大值为，
所以的取值范围是.
故选：B.
6．平面内，定点，，，满足，且，动点，满足，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，结合平面向量的线性运算与垂直的性质可得是正三角形，且是的中心，再以为坐标原点建立直角坐标系，再根据，结合三角函数设点的坐标，进而表达出，结合三角函数的最值求解即可.
【解析】由题，则到，，三点的距离相等，所以是的外心.
又，
变形可得，
所以，同理可得，，
所以是的垂心，
所以的外心与垂心重合，
所以是正三角形，且是的中心；
由，解得，
所以的边长为；
如图所示，以为坐标原点建立直角坐标系，
则，，，，
可设，其中，，而，
即是的中点，则，
，
当时，取得最大值为．
故选：D．
7．如图，在四边形中，为线段的中点，为线段上一动点（包括端点），且，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．若为线段的中点，则
C．的最小值为
D．的最大值比最小值大
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系，作出辅助线，利用相似求出边长，求出点的坐标，进而利用向量解决四个选项.
【解析】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，过点C作CG⊥x轴于点G，作CH⊥y轴于点H，过点B作BM⊥CH交HC的延长线于点M，则，
因为，
所以，设，则，则，，
则，即，解得：或（舍去），
则，，
，A说法正确；
若为线段的中点，则，
所以，
则，解得：，则，B说法正确；
设，
则，
故当时，取得最小值，故最小值为，C选项说法错误；
，则，
因为，则，所以，
解得：，，
所以的最大值比最小值大，D说法正确.
故选：C
8．已知两个不相等的非零向量、，两组向量、、、、和、、、、均由个和个排列而成.记，表示S所有可能取值中的最小值.则下列命题中真命题的个数为（ ）
①S可能有个不同的值；②若，则与无关；③若，则与无关；④若，则；⑤若，，则与的夹角为.
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】S的取值依据所含的个数分类：，，，可判断①；当时化简后可判断②；当时，易知S的值与有关，可判断③；利用放缩可判断④；利用化简后比较大小可得最小值，然后由求解可判断⑤.
【解析】根据题意得S的取值依据所含的个数，分三类：有个、有个、有个，
记，分别得S的取值为：，，
则S至多有个不同的值，①错，
若，则，此时，，，又、为非零向量，则，与无关，②对，
若，则、、均与有关，则与一定有关，③错，
若，则、
、，
则，④对，
若，则、、，
∵、，
∴，解得，∴，⑤错，
故选：B.
二、多选题
9．下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则的长度相等而方向相同或相反
B．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
C．若两个非零向量与满足，则
D．若空间向量，满足，且与同向，则
【答案】BC
【解析】利用平面向量的有关概念判断分析每一个选项得解.
【解析】A. 若，则的长度相等，它们的方向不一定相同或相反，所以该选项错误；
B. 若为空间的一个基底，则不共面，则不共面，则构成空间的另一个基底，所以该选项正确；
C. 若两个非零向量与满足，则，所以，所以该选项正确；
D. 若空间向量，满足，且与同向，与也不能比较大小，所以该选项错误.
故选：BC
【点睛】本题主要考查平面向量的有关概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
10．下列说法中正确的有（ ）
A．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上
B．若向量，，则
C．若平面上不共线的四点O，A，B，C满足，则
D．若非零向量，满足，则与的夹角是
【答案】BC
【分析】对于A，根据向量共线的定义，可得其正误；对于B，利用向量共线定理，可得其正误；
对于C，根据向量减法，结合共线定理，可得其正误；对于D，根据向量模的求解以及夹角公式，可得答案.
【解析】与是共线向量，也可能是，故A错误；
设，∵，，∴解得∴，
又∵，∴，故B正确；
由已知得，∴，∴，故C正确；
由整理可得，设与的夹角是，
则，∴与的夹角是，故D错误．
故选：BC.
11．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在向量上的投影向量为
C．若，则为的中点
D．若在线段上，且，则的取值范围为
【答案】BD
【分析】以为轴，为轴建立直角坐标系，计算各点坐标，计算，A错误，投影向量为，B正确，直线与正八边形有两个交点，C错误，，D正确，得到答案.
【解析】如图所示：以为轴，为轴建立直角坐标系，
设，
则，整理得到，
，
，，设，
对选项A：，，，错误；
对选项B：，，
，即投影向量为，正确；
对选项C：，
，
，整理得到，即，与正八边形有两个交点，错误；
对选项D：，，，
，，
整理得到，，故，正确.
故选：CD
【点睛】关键点睛：本题考查了向量的运算，投影向量，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中建立直角坐标系，将向量运算转化为坐标运算，可以减少计算量，是解题的关键.
12．在中，P，Q分别为边AC，BC上一点，BP，AQ交于点D，且满足，，，，则下列结论正确的为（ ）
A．若且时，则，
B．若且时，则，
C．若时，则
D．
【答案】AD
【分析】根据向量共线定理的推论，得到，，代入相应的变量的值，求出其他变量，从而判断AB选项，对上式变形得到，假设成立，推导出，得到矛盾，故C错误，根据向量共线定理的推论得到，，变形得到.
【解析】由题意得：，，，
，即
即，
所以，
因为三点共线，
所以，
当且时，，
解得：，
，，
，所以，
即，
即，
所以，
因为三点共线，
所以，
当且时，，
解得：，
故A正确；
若且时，，，
解得：，B错误；
，变形为：，①
若时，则，代入①式得：
假设成立，则，解得：，
此时，显然无解，故假设不成立，故C错误；
同理可得：，，
所以，，
所以
D正确.
故选：AD
【点睛】利用向量共线定理的推论得到关系式，然后解决向量的倍数关系，本题中要能在多个等式中进行适当变形，然后找到等量关系
三、填空题
13．下列说法中，正确的个数是___ 个.
①零向量可以与任何向量平行；
②若向量的模等于1，则为单位向量；
③所有的单位向量都相等.
【答案】2
【分析】根据零向量的特殊性，单位向量的定义以及相等向量的定义即可判断.
【解析】因为规定零向量与任何向量共线，所以①正确；模为1的向量为单位向量，且方向相同才是相等的单位向量，所以②正确，③错误，故正确的说法有2个.
故答案为：2.
14．若向量满足，且，则在方向上的投影的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据，可求得，再根据向量的投影的计算公式计算即可.
【解析】因为，
所以，即，
所以，
则在方向上的投影为，
因为，所以，
所以在方向上的投影的取值范围是.
故答案为：.
15．已如平面向量两两都不共线.若，则的最大值是___________.
【答案】##
【分析】采用数形结合画出图象，的最大值即所有向量在上的投影之和最大，即可得到答案.
【解析】由题意得，固定，依次类推画出图象，如图所示
的最大值即所有向量在上的投影之和最大时，看图易得即当取远离时，取靠近时取得最大值，
故答案为：.
16．已知平面向量（互不相等），与的夹角为，，，若，则__________．
【答案】5
【分析】构图，设，根据题设条件可以判定三点共线，又，所以，则点，在以为直径的圆E上，运用数量积的几何意义即可求解
【解析】
如图，设，则，
由得，共线，即三点共线；
且，
即；
又，
得，
即点，在以为直径的圆E上．
所以，所以，从而，
不妨设，则，
过E作于H，所以，
所以，
，∴．
故答案为：．
四、解答题
17．如图，在边长为1的正方形ABCD中，P是对角线AC上一动点，于点E，于点F．
(1)求；
(2)设，点Q满足．
①证明：；
②当点P运动时，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)①证明见解析②
【分析】（1）建立如图所示的直角坐标系，求出，的坐标，计算其夹角即可；
（2）①根据数量积的运算律得出即可得结果；②结合（1）得，设M是线段DQ的中点，通过线性关系可得此Q与B重合，将表示成关于的函数，求其范围即可.
【解析】（1）如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则，，，，
设，则，，
所以，，
所以，
所以．
（2）①证明：因为，所以，所以．
②因为，所以，即．
设M是线段DQ的中点，则，
因此，
从而，因此P、M、C三点共线．
结合，及线段QD的中点M在AC上，
得Q、D关于直线AC轴对称，因此Q与B重合，
所以，结合P与C不重合，有t≠1，
所以，，
所以的取值范围是
18．在中，a、b、c分别为角A，B，C的对边，平面内点O满足，且．
(1)证明：点O为三角形的外心；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）已知，根据向量的运算可得，得证点O为三角形的外心.
（2）延长AO交外接圆于点D，则AD是圆O的直径，可得，，利用向量的加减和数量积的运算求得，因为，所以，求出二次函数的值域即可.
【解析】（1）证明：由
可得：，
所以，即，
同理：，所以，
所以点O为三角形的外心.
（2）由于O是三角形外接圆的圆心，故O是三边中垂线的交点．
如图所示，延长AO交外接圆于点D，则AD是圆O的直径．
所以，，．
所以
，
因为，所以，
令，
则当时，有最小值．
又因为，，
所以，
所以的取值范围是
19．如图所示的两边，，设是的重心，边上的高为，过的直线与，分别交于，，已知，；
(1)求的值；
(2)若，，，求的值；
(3)若的最大值为，求边的长.
【答案】(1)3
(2)
(3)2或
【分析】（1）利用重心的性质以及三点共线的充要条件即可求解（2）先解出与，
再利用解三角形的知识求出和，最后将化简即可求解（3）以和为基底表示，引入参数，通过分类讨论求解
（1）
，
如图所示，连接并延长交于点，则为中点
因为为重心
所以
因为，，起点相同，终点共线
所以，所以
（2）
设角，，所对的边分别为，，，，
所以,
由解之得
在中
在，,
在，中
==
（3）
==
=
令，
①若时，，
，得：
解得：或
②若时，
==，
解得：（舍去）
综上可得：或
20．如图，是单位圆（圆心为）上两动点，是劣弧（含端点）上的动点.记（均为实数
(1)若到弦的距离是，
（i）当点恰好运动到劣弧的中点时，求的值；
（ii）求的取值范围；
(2)若，记向量和向量的夹角为，求的最小值.
【答案】(1)（i）；（ii）
(2)
【分析】（1）根据题意，又直线与圆的位置关系，得，（i）可由圆的几何性质得，从而按照数量积的定义求得结果；（ii）以为基底向量，所求向量用基底表示，进而转换为夹角余弦值求范围；
（2）以为基底向量，平方处理基底向量线性运算的模问题，根据已知不等式求得夹角余弦值的范围，则所求两个线性运算向量的夹角可转换成基底向量夹角余弦值的函数关系，利用复合函数关系求得最值即可.
【解析】（1）解：由到弦的距离是，可得，故
（i）由圆的几何性质得，
故
（ii）记劣弧的中点为，且
①
②
①+②得
进一步得：
，
其中
故的取值范围为：
（2）解：记，由两边平方，得
，又，∴
∴
故
又和向量的夹角为，
记，
显然关于单调递增，
所以当时，.
21．向量是解决数学问题的一种重要工具，我们可以应用向量的数量积来解决不等式等问题．
（1）（ⅰ）若，，比较与的大小；
（ⅱ）若，，比较与的大小；
（2），为非零向量，，，证明：；
（3）设为正数，，，，求的值．
【答案】（1）（ⅰ），（ⅱ）；（2）具体见解析；（3）.
【分析】（1）由向量数量积的定义即可求得；
（2）根据容易发现， 为两个平面向量的数量积，分别为两个平面向量模的平方，根据即可证明；
（3）根据这样的结构，可以设，进而根据平面向量数量积的坐标运算即可求得.
【解析】（1）（ⅰ），，
∴；
（ⅱ），，
∴；
（2）∵，，而，
∴；
（3）设，∴，，
∴，而为正数，∴，
即，则同向.设，即，∴，
∴.
22．如图，在梯形ABCD中，，E、F是DC的两个三等分点，G，H是AB的两个三等分点，线段BC上一动点P满足．AP分别交EG、FH于M，N两点，记，．
(1)当时，用，表示；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量的线性运算即可求解,
（2）利用三点共线得到，，，再利用 , ，得到之间的关系，用表示，然后利用函数的单调性求解取值范围即可
【解析】（1）当时，，则
所以
（2）连接,则
，
，
因为三点共线，三点共线，
设 ，
所以，
，
因为，所以，得
因为，所以,
所以，
，
因为，
所以，即，代入得
，
因为，所以解得，
因为，令，则，
因为在上单调递减，所以，
所以，
所以的取值范围为
23．设正三角形的边长为．为的外心，为边上的等分点，为边上的等分点，为边上的等分点．
(1)当时，求的值；
(2)当时；
（ⅰ）求，的值（用表示）；
（ⅱ）求的最大值与最小值；
【答案】(1)；
(2)（ⅰ）；（ⅱ）最大值为，最小值为.
【分析】（1）利用向量线性运算可将所求式子化为，利用平面向量数量积的定义和运算律可得，进而得到结果；
（2）（ⅰ）由，，利用向量数量积的定义可求得结果；
（ⅱ）利用向量数量积运算律可得，进而用表示出，同理可得；，将所求式子表示为；分别在和的情况下，根据函数单调性求得最大值和最小值.
【解析】（1）当时，，，……，，
，
又为等边三角形，且边长为，为外接圆的圆心，
，且，
，
则，
.
（2）（ⅰ）为等边三角形，为外接圆的圆心，，
则，，
又，分别为，的等分点，又，
，；
（ⅱ），
；
同理可得：；；
；
令，
①当时，
时，，
，时取最大值，则；
时，，
，时取最小值，则，
则当时，；
②当时，
时，，
，时取最大值，则；
时，，
，时取最小值，则，
则当时，；
综上所述：的最大值为，最小值为.