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人教B版（2019）必修四 第十章 复数 章节测试题(含答案)
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人教B版（2019）必修四 第十章 复数 章节测试题 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．若,则( ) A. B. C. D. 2．1748年,瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系,并写出以下公式(,i为虚数单位),这个公式在复变论中占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”.根据此公式,下面四个结果中不成立的是( ) A. B. C. D. 3．已知（i是虚数单位）是关于x的方程的一个根,则( ) A.-7 B.-11 C.-19 D. 4．设复数z满足,则( ) A. B.2 C. D. 5．已知a为实数,若复数为纯虚数,则复数z的虚部为( ) A.1 B. C. D.2 6．若复数z满足,则( ) A.i B. C.2i D. 7．如果复数是纯虚数,,i是虚数单位,则( ) A.且 B. C. D.或 8．若,则( ) A. B. C. D. 二、多项选择题 9．已知复数，，在复平面内对应的点分别为A，B，C，且O为复平面内的坐标原点，则下列说法正确的是( ) A.的虚部为 B.为纯虚数 C. D.以OA，OB，OC的长度为三边长的三角形为钝角三角形 10．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系，并给出公式（i为虚数单位，e为自然对数的底数），这个公式被誉为“数学中的天桥”.据此公式，下列说法正确的是( ) A.表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限 B. C. D. 11．下面是关于复数（i为虚数单位）的命题，其中真命题为( ) A. B. C.z的共轭复数为 D.z的虚部为-1 12．任何一个复数（其中，i为虚数单位）都可以表示成的形式，通常称之为复数z的三角形式，法国数学家棣莫弗发现：对于，，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是( ) A. B.当，， C.当，时， D.当，时，若n为偶数，则复数为纯虚数 三、填空题 13．已知,且复数是纯虚数,则________. 14．已知i是虚数单位,设平行四边形ABCD在复平面内,A为原点,B,D两点对应的复数分别是,,则点C对应的复数是_____________. 15．欧拉是科学史上最多才一位杰出的数学家,他发明的公式为,i虚数单位,将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,这个公式也被誉为“数学中的天桥”根据此公式,的最大值为________． 16．已知复数,满足,,若(i为虚数单位),则___. 四、解答题 17．设虚数z满足. （1）求证：为定值; （2）是否存在实数k,使为实数？若存在,求出k的值;若不存在,说明理由. 18．已知. （1）是z的共轭复数，求的值； （2）求的值. 19．设复数在复平面内对应的向量为，复数在复平面内对应的向量为，复数在复平面内对应的向量为，且A，E，C三点共线. （1）求实数的值； （2）求的坐标； （3）已知点，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标. 20．已知虚数，，其中i为虚数单位，，，是实系数一元二次方程的两根. （1）求实数m，n的值； （2）若，求的取值范围. 21．已知复数在复平面内对应的点在第一象限，i是虚数单位. （1）求实数m的取值范围； （2）当时，求复数z的三角表示式； （3）若在复平面内，向量对应（2）中的复数z，把绕点O按顺时针方向旋转60°得到，求向量，对应的复数（结果用代数形式表示）. 22．已知是关于x的实系数一元二次方程. （1）若a是方程的一个根，且，求实数k的值； （2）若，是该方程的两个实根，且，求使的值为整数的所有k的值. 参考答案 1．答案：A 解析：因为, 所以, 所以, 故选：A. 2．答案：D 解析：对于A,当时,因为,所以,故选项A正确; 对于B,, 故选项B正确; 对于C,由,, 所以,得出,故选项C正确; 对于D,由C的分析得,推不出,故选项D错误. 故选:D. 3．答案：A 解析：因为是关于x的方程的一个根,所以也是方程的根. 根据根与系数的关系可得 即得, 所以 故选：A. 4．答案：D 解析：因为,所以, 因此 故选：D. 5．答案：D 解析：由已知,解得,故,其虚部为2, 故选：D. 6．答案：C 解析：,则. 故选:C. 7．答案：C 解析：由复数是纯虚数,得,解得. 故选：C. 8．答案：C 解析：, 故选：C. 9．答案：BCD 解析：对于A，因为，所以的虚部为-2，所以A错误；对于B，因为，所以为纯虚数，所以B正确；对于C，因为，，所以，所以，所以C正确；对于D，由已知可得，，，且，所以，所以为钝角，所以D正确. 10．答案：BCD 解析：对于A，，因为，所以，，所以表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，由，，所以，所以，故D正确.故选BCD. 11．答案：BCD 解析：由复数，则，所以A为假命题；因为，所以B为真命题；根据共轭复数的概念，可得复数z的共轭复数，所以C为真命题；根据复数的基本概念可得复数z的虚部为-l，所以D为真命题.故选BCD. 12．答案：AC 解析：，则，则，，所以A正确； 当，时，，所以B错误； 当，时，，则，所以C正确； 当，时，，n为偶数时，设，，则，，所以当k为奇数时，为纯虚数，当k为偶数时，为实数，选项D错误.故选AC. 13．答案： 解析：, 又该复数为纯虚数 故,, 故答案为: 14．答案： 解析：依题意得,,,,, 四边形ABCD是平行四边形, ,故点C对应的复数为. 故答案为：. 15．答案：3 解析：, 又, 即当时,取得最大值为3, 故答案为：3. 16．答案：1 解析：设,,其中a,b,c,且满足,,则 所以,即, 所以,所以, 所以 故答案为:1. 17．答案：（1）为定值 （2） 解析：（1）依题意,设（x,,）, 代入, 得, 整理得,即,所以为定值; （2）假设存在实数k,使得为实数, 即： 实数,, ,,故存在实数k,使为实数,此时. 18．答案：（1）0 （2）1 解析：（1）由题意知， . （2）， . . 19．答案：（1） （2） （3） 解析：（1）复数在复平面内对应的向量， 复数在复平面内对应的向量， 复数在复平面内对应的向量， . 因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得， 所以，解得，. （2）. （3）因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以， 设，则. 由（2）得，所以， 解得， 故点A的坐标为. 20．答案：（1）， （2） 解析：（1）由题意，，即， 故， 根据根与系数的关系有，， 即，. （2）由（1）知， 故不妨设，. 设，z，，在复平面内对应的点分别为Z，，， 则的几何意义即为复平面内与，的距离之和为， 因为与的距离为， 所以点在线段上. 故当Z为时，取得最小值2； 当Z为或时，取得最大值. 故的取值范围为. 21．答案：（1） （2） （3） 解析：（1）因为复数在复平面内对应的点在第一象限， 所以，解得，所以实数m的取值范围为. （2）当时，， 所以，， 所以，所以. （3）（代数运算）根据题意得在复平面内对应的向量， 将其顺时针旋转60°后得到向量， 则，对应的复数. 【多种解法】（3）（三角运算）根据题意得在复平面内对应的向量， 将其顺时针旋转60°后得到向量， 则. 又因为，， 所以. 22．答案：（1）或或 （2）-5，-3，-2 解析：（1）因为是关于x的实系数一元二次方程，所以， 因为a是方程的一个根，且， 当时，则或， 若，代入方程得，解得； 若，代入方程得，解得； 当a为虚数时，不妨设，则也是方程的一个根， 故，又因为，即，故， 所以，解得， 又，得， 所以； 综上：或或. （2）由韦达定理可知，，，， 所以， 因为为整数，， 所以必为的因式，则的值可能为， 则实数k的值可能为-5，-3，-2，1，3， 又因为是该方程的两个实根，所以，则， 所以k的所有取值为-5，-3，-2.
人教B版（2019）必修四 第十章 复数 章节测试题 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．若,则( ) A. B. C. D. 2．1748年,瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系,并写出以下公式(,i为虚数单位),这个公式在复变论中占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”.根据此公式,下面四个结果中不成立的是( ) A. B. C. D. 3．已知（i是虚数单位）是关于x的方程的一个根,则( ) A.-7 B.-11 C.-19 D. 4．设复数z满足,则( ) A. B.2 C. D. 5．已知a为实数,若复数为纯虚数,则复数z的虚部为( ) A.1 B. C. D.2 6．若复数z满足,则( ) A.i B. C.2i D. 7．如果复数是纯虚数,,i是虚数单位,则( ) A.且 B. C. D.或 8．若,则( ) A. B. C. D. 二、多项选择题 9．已知复数，，在复平面内对应的点分别为A，B，C，且O为复平面内的坐标原点，则下列说法正确的是( ) A.的虚部为 B.为纯虚数 C. D.以OA，OB，OC的长度为三边长的三角形为钝角三角形 10．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系，并给出公式（i为虚数单位，e为自然对数的底数），这个公式被誉为“数学中的天桥”.据此公式，下列说法正确的是( ) A.表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限 B. C. D. 11．下面是关于复数（i为虚数单位）的命题，其中真命题为( ) A. B. C.z的共轭复数为 D.z的虚部为-1 12．任何一个复数（其中，i为虚数单位）都可以表示成的形式，通常称之为复数z的三角形式，法国数学家棣莫弗发现：对于，，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是( ) A. B.当，， C.当，时， D.当，时，若n为偶数，则复数为纯虚数 三、填空题 13．已知,且复数是纯虚数,则________. 14．已知i是虚数单位,设平行四边形ABCD在复平面内,A为原点,B,D两点对应的复数分别是,,则点C对应的复数是_____________. 15．欧拉是科学史上最多才一位杰出的数学家,他发明的公式为,i虚数单位,将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,这个公式也被誉为“数学中的天桥”根据此公式,的最大值为________． 16．已知复数,满足,,若(i为虚数单位),则___. 四、解答题 17．设虚数z满足. （1）求证：为定值; （2）是否存在实数k,使为实数？若存在,求出k的值;若不存在,说明理由. 18．已知. （1）是z的共轭复数，求的值； （2）求的值. 19．设复数在复平面内对应的向量为，复数在复平面内对应的向量为，复数在复平面内对应的向量为，且A，E，C三点共线. （1）求实数的值； （2）求的坐标； （3）已知点，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标. 20．已知虚数，，其中i为虚数单位，，，是实系数一元二次方程的两根. （1）求实数m，n的值； （2）若，求的取值范围. 21．已知复数在复平面内对应的点在第一象限，i是虚数单位. （1）求实数m的取值范围； （2）当时，求复数z的三角表示式； （3）若在复平面内，向量对应（2）中的复数z，把绕点O按顺时针方向旋转60°得到，求向量，对应的复数（结果用代数形式表示）. 22．已知是关于x的实系数一元二次方程. （1）若a是方程的一个根，且，求实数k的值； （2）若，是该方程的两个实根，且，求使的值为整数的所有k的值. 参考答案 1．答案：A 解析：因为, 所以, 所以, 故选：A. 2．答案：D 解析：对于A,当时,因为,所以,故选项A正确; 对于B,, 故选项B正确; 对于C,由,, 所以,得出,故选项C正确; 对于D,由C的分析得,推不出,故选项D错误. 故选:D. 3．答案：A 解析：因为是关于x的方程的一个根,所以也是方程的根. 根据根与系数的关系可得 即得, 所以 故选：A. 4．答案：D 解析：因为,所以, 因此 故选：D. 5．答案：D 解析：由已知,解得,故,其虚部为2, 故选：D. 6．答案：C 解析：,则. 故选:C. 7．答案：C 解析：由复数是纯虚数,得,解得. 故选：C. 8．答案：C 解析：, 故选：C. 9．答案：BCD 解析：对于A，因为，所以的虚部为-2，所以A错误；对于B，因为，所以为纯虚数，所以B正确；对于C，因为，，所以，所以，所以C正确；对于D，由已知可得，，，且，所以，所以为钝角，所以D正确. 10．答案：BCD 解析：对于A，，因为，所以，，所以表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，由，，所以，所以，故D正确.故选BCD. 11．答案：BCD 解析：由复数，则，所以A为假命题；因为，所以B为真命题；根据共轭复数的概念，可得复数z的共轭复数，所以C为真命题；根据复数的基本概念可得复数z的虚部为-l，所以D为真命题.故选BCD. 12．答案：AC 解析：，则，则，，所以A正确； 当，时，，所以B错误； 当，时，，则，所以C正确； 当，时，，n为偶数时，设，，则，，所以当k为奇数时，为纯虚数，当k为偶数时，为实数，选项D错误.故选AC. 13．答案： 解析：, 又该复数为纯虚数 故,, 故答案为: 14．答案： 解析：依题意得,,,,, 四边形ABCD是平行四边形, ,故点C对应的复数为. 故答案为：. 15．答案：3 解析：, 又, 即当时,取得最大值为3, 故答案为：3. 16．答案：1 解析：设,,其中a,b,c,且满足,,则 所以,即, 所以,所以, 所以 故答案为:1. 17．答案：（1）为定值 （2） 解析：（1）依题意,设（x,,）, 代入, 得, 整理得,即,所以为定值; （2）假设存在实数k,使得为实数, 即： 实数,, ,,故存在实数k,使为实数,此时. 18．答案：（1）0 （2）1 解析：（1）由题意知， . （2）， . . 19．答案：（1） （2） （3） 解析：（1）复数在复平面内对应的向量， 复数在复平面内对应的向量， 复数在复平面内对应的向量， . 因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得， 所以，解得，. （2）. （3）因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以， 设，则. 由（2）得，所以， 解得， 故点A的坐标为. 20．答案：（1）， （2） 解析：（1）由题意，，即， 故， 根据根与系数的关系有，， 即，. （2）由（1）知， 故不妨设，. 设，z，，在复平面内对应的点分别为Z，，， 则的几何意义即为复平面内与，的距离之和为， 因为与的距离为， 所以点在线段上. 故当Z为时，取得最小值2； 当Z为或时，取得最大值. 故的取值范围为. 21．答案：（1） （2） （3） 解析：（1）因为复数在复平面内对应的点在第一象限， 所以，解得，所以实数m的取值范围为. （2）当时，， 所以，， 所以，所以. （3）（代数运算）根据题意得在复平面内对应的向量， 将其顺时针旋转60°后得到向量， 则，对应的复数. 【多种解法】（3）（三角运算）根据题意得在复平面内对应的向量， 将其顺时针旋转60°后得到向量， 则. 又因为，， 所以. 22．答案：（1）或或 （2）-5，-3，-2 解析：（1）因为是关于x的实系数一元二次方程，所以， 因为a是方程的一个根，且， 当时，则或， 若，代入方程得，解得； 若，代入方程得，解得； 当a为虚数时，不妨设，则也是方程的一个根， 故，又因为，即，故， 所以，解得， 又，得， 所以； 综上：或或. （2）由韦达定理可知，，，， 所以， 因为为整数，， 所以必为的因式，则的值可能为， 则实数k的值可能为-5，-3，-2，1，3， 又因为是该方程的两个实根，所以，则， 所以k的所有取值为-5，-3，-2.
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