初中第七章 平行线的证明1 为什么要证明综合训练题

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基础过关全练
知识点 推理证明的必要性
1.【代数推理】已知a,b,c是不完全相等的任意实数,若x=a-2b+c,y=a+b-2c,z=-2a+b+c,则关于x,y,z的值,下列说法正确的是( )
A.都大于0 B.至少有一个大于0
C.都小于0 D.至多有一个大于0
2.一个两位数,它的十位数字为a,个位数字为b(b≠0),若把它的十位数字与个位数字对调,将得到一个新的两位数,这两个两位数的和能被11整除吗?差能被11整除吗?我们可以验证一下,比如23,对调后所得到的新的两位数是32,因为23+32=55,32-23=9,所以我们断定这两个两位数的和能被11整除,差不能被11整除.请问上述验证过程正确吗?若不正确,请写出正确的验证过程.
3.【新考向·规律探究题】【教材变式·P164T2】
观察各式规律:
12+(1×2)2+22=(1×2+1)2;
22+(2×3)2+32=(2×3+1)2;
32+(3×4)2+42=(3×4+1)2;
……
(1)写出第2 023行的式子;
(2)写出第n行的式子,并验证你的结论.
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4.【新考向·实践探究题】(2022河北中考,22,★★☆)发现 两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.
验证 例如:(2+1)2+(2-1)2=10,10为偶数,请把10的一半表示为两个正整数的平方和.
探究 设“发现”中的两个已知正整数为m,n,请论证“发现”中的结论正确.
素养探究全练
5.【推理能力】甲、乙、丙、丁四个同学在玩推理游戏,要找出谁在数学测评中获奖.甲说:“是乙获奖.”乙说:“是丙获奖.”丙说:“乙说的不是实话.”丁说:“反正我没有获奖.”如果这四个同学中只有一个人说了实话,那么获奖的是 .
6.【推理能力】【新考法】(2022北京平谷期末)2022年比较流行一款推理类游戏,是用剧本虚拟出一个故事,玩家根据演绎和推理案件过程得出结论.类比此游戏过程,请同学们用一副扑克牌做一个简单的推理游戏:
①从左到右有三张扑克牌,这三张牌中不是红桃就是方块;
②红桃右边有且仅有一张方块;
③6的左边两张牌中至少有一张是8;
④8的右边两张牌中至少有一张是8.
则这三张牌从左到右的顺序可能是 .(填写正确的序号)
①红桃8,方块6,方块8;
②红桃8,红桃6,方块8;
③红桃8,方块8,红桃6.
答案全解全析
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1.B 因为x+y+z=(a-2b+c)+(a+b-2c)+(-2a+b+c)=0,所以x,y,z不能都大于0,也不能都小于0,所以排除A和C;
又因为a,b,c是不完全相等的任意实数,
所以x,y,z不能同时为0,
所以至少有一个大于0,排除D,故选B.
2.解析 不正确,验证过程只是一个特例,为了验证结论的正确性,可作如下证明:
因为原两位数的十位数字为a,个位数字为b(b≠0),
所以原两位数为10a+b,新两位数为10b+a.
因为(10a+b)+(10b+a)=11(a+b),是11的整数倍,
所以这两个两位数的和能被11整除.
因为(10a+b)-(10b+a) =9a-9b=9(a-b),一定不是11的整数倍,所以这两个两位数的差不能被11整除.
3.解析 (1)第2 023行的式子:2 0232+(2 023×2 024)2+2 0242=(2 023×2 024+1)2.
(2)第n行的式子:
n2+[n(n+1)]2+(n+1)2=[n(n+1)+1]2.
证明:左边=n2+n2(n2+2n+1)+n2+2n+1
=n4+2n3+3n2+2n+1,
右边=(n2+n+1)2=n4+2n2(n+1)+(n+1)2
=n4+2n3+3n2+2n+1,
∴左边=右边,∴等式成立.
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4.证明 验证 10的一半为5,22+12=5.
探究 ∵“发现”中的两个已知正整数为m,n,
∴(m+n)2+(m-n)2=2(m2+n2),其中2(m2+n2)为偶数,且其一半m2+n2正好是两个正整数m和n的平方和,∴“发现”中的结论正确.
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5.丁
解析 若甲说的是真话,则乙说的是假话,丙说的是真话,与已知不符合,故甲说的是假话,不是乙获奖;若乙说的是真话,则丁说的也是真话,与已知不符合,故乙说的是假话,不是丙获奖.显然丙说的是真话,丁说的是假话,所以获奖的是丁.
6.③
解析 一共有三张牌,结合所给顺序,由条件②即可判断最左边的一张是红桃,这张红桃右边有两张牌,一张红桃,一张方块;由条件③即可判断6的左边有两张牌;由条件④即可判断8的右边有两张牌,所以三张牌的顺序可能为红桃8,方块8,红桃6.大概念素养目标
对应新课标内容
了解命题、真命题、假命题的含义,会区分命题的条件和结论
会区分命题的条件和结论;了解反例的作用,知道利用反例可以判断一个命题是错误的【P67】
会根据基本事实“同位角相等,两直线平行”来证明“内错角相等(或同旁内角互补),两直线平行”,并能简单应用这些结论
掌握平行线基本事实Ⅱ:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.探索并证明平行线的判定定理:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等(或同旁内角互补),那么这两条直线平行【P64】
掌握平行线的性质定理,了解性质定理与判定定理的联系
掌握平行线的性质定理I:两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等.*了解定理的证明.探索并证明平行线的性质定理Ⅱ:两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等(或同旁内角互补)【P64】
掌握三角形内角和定理及它的两个推论,并能运用这些定理解决简单问题
探索并证明三角形的内角和定理.掌握它的推论:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和【P65】