【寒假作业】（人教A版2019）高中数学 高一数学寒假巩固提升训练 专题03+函数性质的综合问题（十大题型）-讲义

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思维导图
核心考点聚焦
考点一、函数的单调性及其应用
考点二、利用函数单调性求函数最值
考点三、利用函数单调性求参数的范围
考点四、函数的奇偶性的判断与证明
考点五、已知函数的奇偶性求参数
考点六、已知函数的奇偶性求表达式、求值
考点七、利用单调性、奇偶性解不等式
考点八、周期性问题
考点九、抽象函数的单调性、奇偶性、周期性
考点十、函数性质的综合
1、函数的单调性
（1）单调函数的定义
一般地，设函数的定义域为，区间：
如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．
如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①属于定义域内某个区间上；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②任意两个自变量，且；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③都有或；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
（2）单调性与单调区间
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
（3）复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.
2、函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)．
3、函数的对称性
(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．
(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．
(3)若，则函数关于对称．
(4)若，则函数关于点对称．
4、函数的周期性
（1）周期函数：
对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.
（2）最小正周期：
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期.
1、单调性技巧
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与的大小关系；
④得出结论．
（2）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
（3）记住几条常用的结论：
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
2、奇偶性技巧
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2)奇偶函数的图象特征.
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足.
(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.
(5)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则.
(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如.
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
(7)复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
(8)常见奇偶性函数模型
奇函数： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数或函数．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数或函数
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④函数或函数．
注意：关于 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①式，可以写成函数或函数．
偶函数： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数类型的一切函数．
④常数函数
3、周期性技巧
4、函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
5、对称性技巧
（1）若函数关于直线对称，则．
（2）若函数关于点对称，则．
（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．
考点剖析
考点一、函数的单调性及其应用
例1．（2023·辽宁沈阳·高二学业考试）函数是定义在上的奇函数，且．
(1)求实数的值；
(2)用定义证明函数在上是增函数；
(3)解关于的不等式．
【解析】（1）函数是定义在上的奇函数
所以，则，所以
因为，则，则，所以，
此时，定义域关于原点对称，
又，所以是奇函数，满足题意，
故，.
（2）由（1）知．
设是内的任意两个实数，且，
，
因为，
所以，即，
所以函数在上是增函数.
（3）因为，所以，即，
则，所以，所以，
即此不等式解集为．
例2．（2023·福建福州·高二校考阶段练习）已知函数，．
(1)判断函数的单调性，并利用定义证明；
(2)若，求实数的取值范围．
【解析】（1）在上单调递增，证明如下：
因为，，
任取，可知，
因为，所以，，，
所以，即，
故在上单调递增；
（2）由（1）知在上单调递增，
所以，可得，解得
故实数的范围是．
例3．（2023·广东·高二校联考期中）已知函数，且.
(1)求实数的值；
(2)判断在上的单调性，并用定义法证明.
【解析】（1），且，
，解得：；
（2）由（1）得：在递增，
证明如下：
设任意，
则
，
，
，
，
在上单调递增.
例4．（2023·陕西延安·高一校考阶段练习）已知函数．
(1)判断函数的单调性，并利用定义证明；
(2)若，求实数的取值范围．
【解析】（1）在上递减，理由如下：
任取，且，则
，
因为，且，则有，，
可得，即，
所以在上单调递减；
（2）由（1）可知在上递减，
所以由，得
，解得，
所以实数的取值范围为．
考点二、利用函数单调性求函数最值
例5．（2023·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考学业考试）函数在区间上的最大值（ ）
A．125B．25C．D．
【答案】A
【解析】函数在R上单调递减，
所以当时，.
故选：A
例6．（2023·贵州·高一统考阶段练习）若函数（且）在上的值域为，则（ ）
A．3或B．或C．或D．或
【答案】C
【解析】当时，在上单调递减，
则，解得，
此时.
当时，在上单调递增，
则，解得或（舍去），
此时
综上可得：为或.
故选：C
例7．（2023·河南商丘·高一校联考期中）已知，则函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设，则，
，
，，
函数在上单调递减，
当时，，
函数的值域为.
故选：C.
例8．（2023·广东江门·高一台山市第一中学校考期中）函数，的最大值是（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【解析】，
而的图象由函数图象向左平移1个单位再向上平移2个单位得到，
所以在上单调递增，
所以当时，函数，有最大值为.
故选：B
考点三、利用函数单调性求参数的范围
例9．（2023·浙江杭州·高一学军中学校考阶段练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为函数在上单调递减，
令，
则在上单调递增且恒大于，
则，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C
例10．（2023·云南楚雄·高一校考期末）已知函数在上具有单调性，则k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】易知的对称轴为直线，因为在上具有单调性，所以或，解得或．
故选:C
例11．（2023·广东珠海·高一珠海市斗门区第一中学校考阶段练习）若函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】要使在上单调递增，
故在上递增，在上递增，且，
所以.
故选：C
例12．（2023·海南海口·高一海南华侨中学校考阶段练习）若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
令，故，，
当，即时，在上单调递增，满足要求，
当，即时，在上单调递增，满足要求，
当，即时，由对勾函数性质得到在上单调递增，
故，解得，
综上，实数的取值范围是.
故选：C
考点四、函数的奇偶性的判断与证明
例13．（2023·辽宁大连·高一统考期末）已知函数.
(1)求的定义域；
(2)判断的奇偶性并予以证明；
(3)求不等式的解集.
【解析】（1）要使函数有意义,则，
解得，故所求函数的定义域为；
（2）证明：由（1）知的定义域为，
设，则,
且，故为奇函数；
（3）因为，所以，即
可得，解得,又，
所以，
所以不等式的解集是．
例14．（2023·山西吕梁·高一校联考阶段练习）已知函数（a是常数）.
(1)判断的奇偶性，并说明理由；
(2)若，试判断函数在上的单调性，并证明.
【解析】（1）是奇函数，理由如下：
的定义域为，关于原点对称，
则，
故是奇函数；
（2）在单调递增，证明如下：
若，则，则，
故，
设，且，
则
因为，所以，，，
故，
即，
所以在单调递增.
例15．（2023·天津·高一校考期中）已知函数且．
(1)求的值；
(2)判定的奇偶性．
【解析】（1）由且，
则
解得；
（2）由（1）得，
则，，
，
所以函数为奇函数.
例16．（2023·内蒙古呼伦贝尔·高一校考阶段练习）判断下列函数的奇偶性
(1)；
(2)；
(3).
【解析】（1）定义域为，关于原点对称，
，
所以为奇函数.
（2），所以定义域为，关于原点对称，
此时，所以既是奇函数又是偶函数.
（3），所以定义域为，
不关于原点对称，所以为非奇非偶函数.
考点五、已知函数的奇偶性求参数
例17．（2023·山东·高一山东聊城一中校联考阶段练习）已知是奇函数，则 ．
【答案】
【解析】因为为奇函数，所以，所以，
所以，
化简可得，所以，
故答案为：.
例18．（2023·湖北恩施·高一校联考阶段练习）函数是定义在上的奇函数，则 ．
【答案】
【解析】由函数是定义在上的奇函数，
则对任意的实数恒成立，
即，对任意实数恒成立，
可得对任意实数恒成立，可得，即
经验证，此时为上的奇函数，满足题意．
故答案为：．
例19．（2023·重庆·高一校考期中）若函数是定义在上的偶函数，则
【答案】1
【解析】函数是定义在上的偶函数，则，解得，经验证符合题意，
所以.
故答案为：1
例20．（2023·云南保山·高一统考期中）已知函数是偶函数，其定义域为，则
【答案】
【解析】因为函数是定义域为的偶函数，
所以①，
且，即，解得,
代入①，可得，
所以.
故答案为:.
考点六、已知函数的奇偶性求表达式、求值
例21．（2023·江苏苏州·高一吴江中学校考阶段练习）是定义在R上的奇函数，当时，，则的表达式为 ．
【答案】
【解析】是定义在R上的奇函数，当时，，
则时，，，
所以.
故答案为：.
例22．（2023·四川·高考真题）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是 ．
【答案】（﹣7，3）
【解析】设x<0，则－x>0.
∵当x≥0时，
f(x)＝x2－4x，
∴f(－x)＝(－x)2－4(－x)．
∵f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝x2＋4x(x<0)，
∴f(x)＝
由f(x)＝5得
或
∴x＝5或x＝－5.
观察图像可知由f(x)<5，得－5∴由f(x＋2)<5，得－5∴－7∴不等式f(x＋2)<5的解集是
{x|－7例23．（2023·山西吕梁·高一校联考阶段练习）已知是定义域为的奇函数，且当时，，则 .
【答案】
【解析】由是定义域为的奇函数，所以，得，
，所以
故答案为：
例24．（2023·江苏连云港·高一校考阶段练习）已知函数，，，且，，则 .
【答案】/
【解析】由题意可知，
两式相加得.
故答案为：
考点七、利用单调性、奇偶性解不等式
例25．（2023·安徽·高一校联考阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】解法1：由函数，
则不等式，即为，
可得，即，
令，则，即，
解得，即，解得，
所以不等式的解集为.
解法2：由函数，
可得，
设，则，
所以函数为偶函数，即为偶函数，
可得关于对称，且在上单调递增，
所以不等式，即为，
可得，即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：C.
例26．（2023·河南郑州·高一校考期中）定义在上的偶函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为定义在上的偶函数在区间上单调递减，
所以在上单调增，
又，
所以可化为
可得，解得：或，
同理可得的，
由可得或，
解得：或，
则不等式的解集为，
故选：A.
例27．（2023·上海·高一校考阶段练习）已知函数，若满足，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数定义域为关于原点对称，
且，
所以是定义在上的偶函数，
又，
当时，，则，所以在单调递增，
又，则，
且，则不等式可化为
，即，
且是定义在上的偶函数，在单调递增，
则，即，即，
所以，即实数的取值范围是.
故选：A
例28．（2023·河南商丘·高一校联考期中）已知是定义域为的偶函数，且当时，单调递减，则满足的实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为为上的偶函数，，所以，
又当时，单调递减，所以当时，单调递增，
又，所以，即，解得或.
故选：B.
考点八、周期性问题
例29．（2023·海南省直辖县级单位·高一校考期中）已知定义在上的偶函数，满足是奇函数，且当时，，则（ ）
A．B．0C．1D．1012
【答案】C
【解析】因为是偶函数，所以，
因为是奇函数，
所以.
又因为，
所以，
即，
所以，
所以.
又当时，，
所以，
，
因为
所以.
故选：C.
例30．（2023·河南焦作·高一校考期末）已知为奇函数，且为偶函数，若，则下列哪个式子不正确（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为为奇函数，所以，
又因为为偶函数，所以，所以，
对于A：因为，所以，故A正确；
对于B：因为，所以，所以，
所以，所以，故B正确；
对于C：由B可知，所以，所以，故C正确；
对于D：因为，所以，
又因为，所以，所以，
所以，显然这与矛盾，故D错误；
故选：D.
例31．（2023·黑龙江鸡西·高一校考期末）已知函数是定义在上的奇函数，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵是定义在上的奇函数，∴，
又，∴是周期函数，周期为4．
∴．
故选：A．
例32．（2023·内蒙古赤峰·高三校考期中）已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由为奇函数，得，
故①，函数的图象关于点对称；
由为偶函数，得②，
则函数的图象关于直线对称；
由①②得，
则，
故的周期为，所以，
由，令得，即③，
已知，
由函数的图象关于直线对称，得，
又函数的图象关于点对称，得
所以，即，
所以④，联立③④解得
故时，，
由关于对称，可得.
故选：A.
考点九、抽象函数的单调性、奇偶性、周期性
例33．（2023·江苏宿迁·高一校考期中）己知函数为上的函数，对于任意，都有，且当时，.
(1)求；
(2)证明函数是奇函数；
(3)解关于的不等式，
【解析】（1）对于任意，都有.
令得即
（2）函数定义在上，
由（1）并令得，即
所以函数是奇函数
（3）原不等式即，
由（2）是奇函数及对，都有，
得即，
任取、，且，
则，
由，．，
，即，
从而在上是增函数；
所以，即，
当时不等式即，解集为，
当时，方程的两根为或，
①当时，，所求不等式的解集为；
②当时，，所求不等式的解集为；
③当时，，所求不等式的解集为；
综上，当时，所求不等式的解集为；
当时，所求不等式的解集为；
当时，所求不等式的解集为；
当时，所求不等式的解集为.
例34．（2023·湖北孝感·高一校联考期中）已知函数对任意实数都有，并且当时.
(1)判断的奇偶性；
(2)求证：是上的减函数：
(3)，求关于的不等式的解集.
【解析】（1）取，则，∴．
取，则，
即对任意恒成立，
∴为奇函数．
（2）任取，且，
则，，
∴，
又为奇函数，则，
∴，即，
∴是上的减函数.
（3）为奇函数，则，
不等式可化为
，
即，
∵是上的减函数，∴，
即，即，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
例35．（2023·高一课时练习）若函数对任意，恒有成立，且．
(1)求证：是奇函数；
(2)求的值；
(3)若时，，试求在上的最大值和最小值．
【解析】（1）定义域为，令，得，再令，得，
所以，故是奇函数；
（2）因为，故令得，即，
又是奇函数，所以，
令得，
令得
故；
（3）不妨设，
中，令得，
，
因为，又时，，
所以，即，
所以在R上单调递减，
故．
例36．（2023·山东·高一山东聊城一中校联考阶段练习）已知定义在上的函数满足，当时，，且．
(1)求；
(2)判断的奇偶性，并说明理由；
(3)判断在上的单调性，并说明理由．
【解析】（1）令，，可得，
解得；
令，，可得，解得.
（2）为奇函数，理由如下：
，
而，
得
故在上是奇函数
（3）当时，，所以当，则，得，
又在上是奇函数，所以当，则，
设，则，所以，，故 ，
在上单调递减.
考点十、函数性质的综合
例37．（多选题）（2023·湖北·高一校联考阶段练习）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则（ ）
A．是偶函数
B．是奇函数
C．在上单调递增
D．在上单调递增
【答案】AC
【解析】因为是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，
所以，，
所以和均为偶函数，A正确，B错误；
又因为，在上单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，由复合函数的单调性可知，在上单调递增，单调递减，
故C正确，D错误.
故选：AC
例38．（多选题）（2023·河南驻马店·高一校联考阶段练习）设（，，），若，，，则（ ）
A．B．
C．为非奇非偶函数D．
【答案】BCD
【解析】由题意可得，解得，
所以，故A错误；
对于B，
，故B正确；
对于C，因为，
，
所以为非奇非偶函数，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：BCD.
例39．（多选题）（2023·四川德阳·高一四川省德阳中学校校考阶段练习）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则一定成立的有（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于原点对称
C．
D．
【答案】AC
【解析】由定义域为，且为偶函数，
∴①，
∴关于直线对称，故A正确；
又为奇函数，∴，
即，
用替换上式中，得②，
∴关于点对称，
又关于直线对称，
故关于轴对称，即为偶函数，无法确定的图象是否关于原点对称，
故B错误；
由①②得③，
∴④，
∴，∴，所以函数周期为4，
在②式中，令得，解得，
①式中令得，
②式中令得，
∴，故C正确，
无法判断结果，故D错误.
故选：AC.
例40．（多选题）（2023·福建莆田·高一莆田一中校考期中）已知函数，下面命题正确的是（ ）
A．函数的图象关于原点对称B．函数的图象关于轴对称
C．函数的值域为D．函数在内单调递减
【答案】ACD
【解析】因为，所以的定义域为，且定义域关于原点对称，
又因为，所以为奇函数，故A正确，B错误；
又因为，，
所以，所以，故C正确；
因为，时，
又在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故D正确；
故选：ACD.
过关检测
一、单选题
1．（2023·安徽·高一校联考阶段练习）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由函数，可得，
所以函数为偶函数，图象关于轴对称，排除C、D项；
又由，可排除B项，所以A符合题意.
故选：A.
2．（2023·湖北恩施·高一校联考阶段练习）函数（ ）
A．最小值为0，最大值为3B．最小值为，最大值为0
C．最小值为，最大值为3D．既无最小值，也无最大值
【答案】C
【解析】函数，
当时，，故，
故，
所以的最小值为，最大值为3．
故选：C．
3．（2023·云南大理·高一云南省下关第一中学校考阶段练习）已知函数，则（ ）
A．B．C．4D．2
【答案】C
【解析】因为，
所以，
所以
故选:C.
4．（2023·福建南平·高一校考期中）已知偶函数的定义域为R，当时，，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为为偶函数，所以.
又当时，单调递增，且，
所以，即.
故选：C.
5．（2023·辽宁大连·高一期末）若函数为偶函数，则b的值为（ ）
A．-1B．C．0D．
【答案】B
【解析】由题设，
所以恒成立，则.
故选：B
6．（2023·河南驻马店·高一校联考阶段练习）已知函数，实数，满足，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】B
【解析】，
所以的定义域为，
，
所以是奇函数，
由可得.
故选：B
7．（2023·四川德阳·高一四川省德阳中学校校考阶段练习）已知的值城为，且在上是增函数，则的范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设，
由为定义在上的减函数，
故在上恒成立，
且在上是减函数，
则，
，
故.
故选：A.
二、多选题
8．（2023·山东泰安·高一泰山中学校考期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．若对任意，，，则在上单调递增
B．函数的递减区间是
C．函数在定义域上是增函数
D．函数的单调减区间是和
【答案】ABD
【解析】对于A：若对任意，，，显然，
当时，则有；当时，则有；
由函数单调性的定义可知在上是增函数，故A正确．
对于B：作出函数的图象，如图所示，
由图象可知：函数的递减区间是，故B正确；
对于C：由反比例函数单调性可知，在和上单调递增，故C错误；
对于D：由反比例函数单调性可知，单调减区间是和，故D正确．
故选：ABD．
9．（2023·重庆·高一重庆市辅仁中学校校考期中）已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值可以是（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】CD
【解析】由对任意，，可得函数在定义域上单调递减，
则，即，可得，
结合选项可知AB错误，CD正确.
故选：CD.
10．（2023·河南南阳·高一社旗县第一高级中学校联考阶段练习）下列命题不正确的是（ ）
A．函数在定义域内是减函数
B．函数在区间上单调递增
C．函数的单调递减区间是
D．已知函数是上的增函数，则的取值范围是
【答案】AB
【解析】A：因为，即.
所以函数的定义域为.
因为，但是，
所以函数在定义域内不是减函数.故选项A不成立；
B：因为，解得.
所以函数的定义域为，且，.因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，函数单调递增，
所以由复合函数的单调性知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.故选项B不成立；
C：因为，解得：.
所以函数的定义域为.
因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，函数单调递减，
所以由复合函数的单调性知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.故选项C成立.
D：因为函数是上的增函数，
所以各段均为增函数，且在分界点处前段函数的函数值不大于后段函数的函数值，
所以实数应满足，解得.故选项D成立.
故选：AB.
11．（2023·江苏南京·高一校联考阶段练习）已知函数的定义域为D，若存在区间，使得同时满足下列条件：
①在上是单调函数；②在上的值域是.
则称区间为函数的“倍值区间”．
下列函数中存在“倍值区间”的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】依题意，函数存在“倍值区间”，则满足在上是单调函数，且或，
对于A，，在区间上是增函数，且值域为，则区间是函数的“倍值区间”，A正确；
对于B，在区间上是减函数，且值域为，则区间是函数的“倍值区间”，B正确；
对于C，在上单调递减，在上单调递增，
假定函数存在倍值区间，若在上单调递增，则，
即有，而或，无解，
若在上单调递减，则，即，两式相减得，
而，则两式相加得，矛盾，不存在倍值区间，C错误；
对于D，当时，，函数在上单调递减，
于是在上单调递增，且值域为，因此区间是函数的“倍值区间”，D正确.
故选：ABD
三、填空题
12．（2023·北京·高一北京育才学校校考阶段练习）设函数同时满足以下条件：
①定义域为；②；③，，当时，；
试写出一个函数解析式 .
【答案】（答案不唯一）
【解析】由③，不妨设，即，都有，即，即，
所以由题意可知是定义域为的减函数且满足，
不妨设一次函数满足题意，则，即.
故答案为：.
13．（2023·山东潍坊·高一统考阶段练习）写出一个同时具有下列性质①②的函数 .
①对任意都成立；②在上不单调.
【答案】（答案不唯一）
【解析】根据性质①②，取函数，图象对称轴为，
函数在在上单调递增，上单调递减，
且，则满足①②，
故答案为：
14．（2023·广东阳江·高一校考阶段练习）已知函数的图象关于原点对称，且当时，，那么当时， .
【答案】
【解析】由题意，函数为奇函数，且当时，，
则当时，，则.
故答案为：.
四、解答题
15．（2023·云南丽江·高一校考阶段练习）已知函数，
(1)在所给的坐标系中画出的图象；
(2)根据图象，写出的单调区间和值域；
【解析】（1）作出的图象如图所示：
（2）由图知：的单调减区间为，单调增区间为，值域为.
16．（2023·天津滨海新·高一天津市滨海新区田家炳中学校考期中）已知，.
(1)判断的奇偶性并说明理由；
(2)求证：函数在上单调递增；
(3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）为奇函数，理由如下：
时，，
故为奇函数；
（2）令，则
，
∵，则，，，，
∴，即，
所以，
∴在上单调递增.
（3）因为对任意恒成立，
由（2）知，因为在上单调递增，
故，
所以，则，可得或，
所以.
17．（2023·北京·高一北京育才学校校考阶段练习）已知函数.
(1)证明：为偶函数；
(2)用定义证明：是上的减函数；
(3)直接写出在的值域.
【解析】（1）由函数可知，即，所以函数的定义域为，
所以，，
故为偶函数.
（2）假设且，则，
由，知，
从而，即.
所以是上的减函数.
（3）因为在上减函数，所以在的值域为.
18．（2023·湖北·高一洪湖市第一中学校联考阶段练习）已知函数对任意的实数x，y都有，并且当时，.
(1)判断并证明的单调性；
(2)当时，求关于的不等式的解集.
【解析】（1）令，解得，
又当时，可判断为减函数，
证明如下：
，不妨设，依题意，
即，
因为，所以，
所以，
因此，
即，
所以为减函数.
（2）原不等可化为
即：
因单调递减，故成立.
即：
当时，有，解为，
当时，，解为，
当时，，解为，
综上：当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为.
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数
关于轴对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数
关于原点对称