【寒假作业】（人教A版2019）高中数学 高一数学寒假巩固提升训练 专题02+含参不等式与不等式恒成立、能成立问题（八大考点）-讲义

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思维导图
核心考点聚焦
考点一：含参数一元二次不等式的解法
考点二：由一元二次不等式确定参数值
考点三：“Δ”法解决恒成立问题
考点四：数形结合法解决恒成立问题
考点五：分离参数法解决恒成立问题
考点六：主参换位法解决恒成立问题
考点七：利用图象解决能成立问题
考点八：转化为函数的最值解决能成立问题
知识点一、符号法则与比较大小
实数的符号：
任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立．
两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：
①两个同号实数相加，和的符号不变
符号语言：；
②两个同号实数相乘，积是正数
符号语言：；
③两个异号实数相乘，积是负数
符号语言：
④任何实数的平方为非负数，0的平方为0
符号语言：，．
比较两个实数大小的法则：
对任意两个实数、
①；
②；
③．
对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立．
知识点二、不等式的性质
不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分
基本性质有：
（1）对称性：
（2）传递性：
（3）可加性：（c∈R）
（4）可乘性：a>b，
运算性质有：
（1）可加法则：
（2）可乘法则：
（3）可乘方性：
知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据．
知识点三、比较两代数式大小的方法
作差法：
任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小．
①；
②；
③．
作商法：
任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小．
①；
②；
③．
中间量法：
若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量．
知识点四、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集．
1、一元二次不等式恒成立问题
（1）转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立
（2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题．
2、在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理、数学运算等素养．
考点剖析
考点一：含参数一元二次不等式的解法
例1．（2023·北京·高一和平街第一中学校考期中）已知函数.
(1)若，求函数在区间上的最大和最小值；
(2)解不等式.
【解析】（1）当时，可得，
则函数表示开口向上的抛物线，且对称轴为，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，函数取得最小值，最小值为，
又因为，所以函数的最大值为，
综上可得，函数的最大值为，最小值为.
（2）由不等式，即，
即不等式，
当时，不等式即为，此时不等式的解集为空集；
当时，即时，不等式的解集为；
当时，即时，不等式的解集为，
综上可得：当时，不等式的解集为空集；
当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
例2．（2023·江苏南京·高一校联考期中）已知二次函数满足，且.
(1)求的解析式；
(2)解关于的不等式.
【解析】（1）依题意，是二次函数，且，
故可设，
则
，
所以，解得，所以.
（2）不等式，即，
，
所以当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
例3．（2023·山东潍坊·高一统考期中）已知函数.
(1)若关于的不等式的解集是实数集，求的取值范围；
(2)当时，解关于的不等式.
【解析】（1）因为关于的不等式的解集是实数集，
即在上恒成立，
当时解得，不是恒成立，矛盾；
当时要使得恒成立，则需满足，
解得，
综上可得；
（2），
当时的两个根为
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为，
综上所述，当时解集为，当时解集为，当时解集为.
例4．（2023·北京昌平·高一北京市昌平区第二中学校考期中）已知关于的函数，其中．
(1)若不等式的解集是，求的值；
(2)当且时，解不等式．
【解析】（1）根据题意，若不等式的解集是，
则关于的一元二次方程的根为，且，
所以，解得，
此时，符合题意；
即
（2）当且时，不等式即，
整理得，
①当时，不等式化为，即，解集为；
②当时，不等式化为，
（i）当时，不等式为，解集为；
（ii）当时，可知，所以不等式的解集为；
（iii）当时，可知，所以不等式的解集为．
③当时，不等式化为，解集为．
综上所述，当时，解集为；
当时，解集为；当时，解集为；
当时，解集为；当时，解集为.
考点二：由一元二次不等式确定参数值
例5．（多选题）（2023·安徽滁州·高一安徽省定远中学校联考期中）已知不等式的解集为或，则（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为
【答案】BCD
【解析】因为不等式的解集为或，
则，且关于的方程的两根分别为，
由根与系数的关系可得，所以.
对于A，，A错误；
对于B，不在不等式的解集内，令，则有，B正确；对于C，，
该不等式的解集为，C正确；
对于D，不等式即为，
化简可得，解得，
因此，不等式的解集为，D正确.
故选：BCD
例6．（多选题）（2023·安徽池州·高一统考期中）若关于的不等式的解集为，则的值可以是（ ）
A．B．C．2D．1
【答案】BC
【解析】因为不等式的解集为，
所以二次函数的对称轴为直线，
且需满足，即，解得，
所以，所以，
所以，故的值可以是和，
故选：BC
例7．（多选题）（2023·广东珠海·高一校联考期中）已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为或
【答案】BD
【解析】由题意可得1和5是方程的两根，且，
由韦达定理可得，得，
因为，故A错误；
对于B，不等式，即，即，得，
∴不等式的解集是，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，由不等式，得，即，
则，得或，即解集为或，故D正确.
故选：BD.
例8．（多选题）（2023·陕西西安·高一统考期中）已知关于的不等式的解集为或，则以下选项正确的有（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．
D．不等式的解集为或
【答案】ABD
【解析】关于的不等式的解集为或，
则和是方程的二根，且
则，解之得，
由，可得选项A判断正确；
选项B：不等式可化为，
解之得，则不等式解集为.判断正确；
选项C：.判断错误；
选项D：不等式可化为，
即，解之得或.
则不等式的解集为或.判断正确.
故选：ABD
考点三：“Δ”法解决恒成立问题
例9．（2023·辽宁葫芦岛·高一校联考期中）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】当时，恒成立，则符合题意；
当时，由题意可得，解得
综上，的取值范围是.
故选：B
例10．（2023·云南保山·高一校考阶段练习）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当，即时，恒成立，
当，即时，
则，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
故选：A.
例11．（2023·全国·高一专题练习）不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】当时，恒成立，
当时，则，解得，
综上所述，.
故选：C.
例12．（2023·云南昆明·高一云南师大附中校考阶段练习）已知命题“，使”是假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意知，“，使”是真命题，
当，即时，不等式可化为，符合题意；
当，即时，则且，解得，
综上，实数m的取值范围为，
故选：C．
考点四：数形结合法解决恒成立问题
例13．当时，关于x的不等式恒成立，则m的取值集合是 ．
【答案】
【解析】当时，，显然恒成立．
当时，二次函数的图像开口向上，对称轴为直线，
当时，恒成立，则，解得．
当时，二次函数的图像开口向下，对称轴为直线，
当时，恒成立，则，显然成立，所以，
故的取值集合是．
故答案为：．
例14．当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求m的取值范围．
【解析】令y＝x2＋mx＋4．
∵当1≤x≤2时，y<0恒成立．
∴x2＋mx＋4＝0的根一个小于1，另一个大于2．
如图，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋m＋4<0，,4＋2m＋4<0，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋5<0，,2m＋8<0.))
∴m的取值范围是{m|m<－5}．
考点五：分离参数法解决恒成立问题
例15．（2023·湖南长沙·高一湖南师大附中校考期中）已知函数，.
(1)当时，解不等式；
(2)若，使得，求实数的取值范围.
【解析】（1）当时，，由可得，解得或，
故当时，不等式的解集为或.
（2）因为，使得，
因为，则，
令，则，则，
因为函数、在上均为增函数，
所以，函数在上为增函数，则，
故.
例16．（2023·江苏宿迁·高一校考期中）已知函数，，
(1)若关于的不等式的解集为，求实数和实数的值；
(2)若对，恒成立，求实数a的取值范围.
【解析】（1）依题意，，即解集为，
所以，是方程的两个实数根，
将代入方程得，此时方程，另一根，即，
所以实数，.
（2）若对，恒成立，
即，恒成立，
当时，上述不等式恒成立；
当时，上述不等式恒成立等价于，
而，
当且仅当，即时取等号，
即函数在上有最小值为4，则；
综上，实数的取值范围是.
例17．（2023·山西忻州·高一校考期末）二次函数满足，且.
(1)求的解析式；
(2)若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）由，可设
，
由题意得，，解得，
故；
（2）由题意得，
即对,恒成立，
令，在,上递减，故，
故实数的取值范围为.
例18．（2023·四川成都·高一四川省成都列五中学校考期中）已知函数的定义域为，其中．
(1)求的取值范围．
(2)当时，是否存在实数满足对，都使得成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题知：不等式在上恒成立.
当时，不等式变为，显然在上恒成立，符合题意.
当时，要不等式在上恒成立，则，
解得：.
综上：a的取值范围是 .
（2）假设存在实数满足题意．
∵，∴.
令，则，
∵对，都使得成立.
∴不等式，即在区间恒成立，
①当时，不等式显然组成立，此时：
②当时，不等式可化为，，
由均值不等式有： （当且仅当时，等号成立），
∴，即，
由不等式恒成立有：.
③当时，不等式可化为：，
由均值不等式有：
（当且仅当时，等号成立），∴即，
由不等式恒成立有：：
综上：存在实数满足题意，的取值范围是
例19．（2023·浙江·高一校联考期中）若关于的不等式在区间内有解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以由不等式得，
不等式在区间内有解，
只需，
因为在上单调递增，
所以的最大值为，可得，
解得.
故选：D.
考点六：主参换位法解决恒成立问题
例20．已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y<0恒成立，求实数x的取值范围．
【解析】y<0⇔mx2－mx－6＋m<0⇔（x2－x＋1）m－6<0．
∵1≤m≤3，
∴x2－x＋1∴x2－x＋1∴x的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1－\r(5),2) 11．当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据题意可将不等式整理成关于的一次函数，
由一次函数性质可知，即；
解得，综合可得；
故选：B
例21．若，为真命题，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意知，，恒成立，
即，恒成立．
，
解得，或．
故选：C．
考点七：利用图象解决能成立问题
例22．（2023·江西·高一校联考阶段练习）若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
【解析】由，得，
即
令，当不等式在上恒成立时，
即在上的最大值小于等于0，
的图象开口方向向上，在或处取得最大值，
解得，
此时，所以的取值范围是.
故答案为：.
例23．（2023·山东济宁·高一统考期中）设函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，
即在区间上恒成立，
令，则为开口向上且对称轴为轴的二次函数，
若，此时，而不恒为负数，所以不恒成立，矛盾；
若，此时，要使得，则恒成立，
而在单调递增，所以，
所以只需满足，解得或（舍），
故选：B
例24．（2023·四川眉山·高一仁寿一中校考阶段练习）若，且恒成立，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
即在恒成立，
令，
时，
由，方程无解；
由，解得由；
由，方程组无解；
时，只须即可，解得；
时，，时单调递减，，满足题意；
综上所述，.
故选：B.
考点八：转化为函数的最值解决能成立问题
例25．（2023·江苏无锡·高一校考阶段练习）已知是定义在区间上的奇函数，且，若，均属于，当时，都有．若对所有，恒成立，则实数的取值范围是 .
【解析】由题知，在上递增.
所以.
由可得，
即对任意恒成立.
构造函数，则，
即，解得或.
故答案为:或
例26．（2023·浙江·高一校联考期中）若二次函数的图象的对称轴为，最小值为 ，且．
(1)求的解析式；
(2)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）由为二次函数，可设，
图象的对称轴为，最小值为 ，且，
，，
；
（2）由（1）知不等式为在区间上恒成立，
令，
①当，即时，在上是增函数，因此，此时成立；
②当，即时，，
解得，故；
③当，即时，在上是减函数，
因此，得，此时无解，
综上的范围是．
例27．（2023·湖南邵阳·高一邵阳市第二中学校考阶段练习）已知函数.
(1)当时，求该函数的值域；
(2)若对于恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）
令，则函数化为，
因此当时，，取得最小值
当时，，取得最大值0
即当时，函数取得最小值；当时，函数取得最大值0.
所以该函数的值域为.
（2），恒成立，
即，恒成立
令，则，恒成立
令，
则，即，解得
实数的取值范围.
例28．（2023·福建莆田·高一校考期中）若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意，对于都有成立，
∴，解得：，
即实数的取值范围是.
故选：B.
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一、单选题
1．（2023·浙江湖州·高一统考阶段练习）已知对，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意得，不等式恒成立，
当时，即，解得或，此时，
当时，即，解得，此时，
所以，的两根分别为，，
由根与系数的关系得：，，
则，，
所以，即，
化简得：，解得或，故D项正确.
故选：D.
2．（2023·四川成都·高一校考期中）一元二次不等式的解为，那么的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】一元二次不等式的解为，
所以的解为，且，
由韦达定理得，代入得
，
故选：D.
3．（2023·江苏苏州·高一校考阶段练习）若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题函数的定义域为R，
所以恒成立，令
当时，不恒成立，舍去；
当时，若恒成立，
则需解得，
综上实数a的取值范围为.
故选：D
4．（2023·河北石家庄·高一石家庄精英中学校考阶段练习）若不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】不等式恒成立，
即恒成立，
所以恒成立，
即恒成立，
所以，即，
解得，所以实数a的取值范围是.
故选：B
5．（2023·河北·高一校联考阶段练习）若命题“”为假命题，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意知命题“”是真命题．
因为，所以．
当时，函数的最大值为6，
则的最小值为，所以，即的最大值为．
故选：A.
6．（2023·重庆·高一重庆十八中校考期中）若命题“”为真命题，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【解析】由题意，不等式有解.
即不等式有解.
设，则函数图象开口向上，
要使不等式有解，则函数图象与轴有交点，
则，化简得，
解得，或.
故选：D.
7．（2023·广东深圳·高一深圳外国语学校校考阶段练习）若命题“”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意得：“，”是假命题，
得：“，”为真命题，
所以：，解得：，故A项正确.
故选：A.
8．（2023·四川达州·高一校考期中）若“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】依题意，“，”是假命题，
所以“”是真命题，
当时，不等式化为恒成立；
当时，化为，
当时，取得最大值为，
所以.
当时，化为，
当时，取得最小值为，
所以.
综上所述，的取值范围是.
故选：A
二、多选题
9．（2023·云南·高一校联考期中）若关于的不等式的解集为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】根据题意不等式的解集为,可得，
由得，，
即，，,,,．
故选：
10．（2023·重庆·高一重庆八中校考阶段练习）若“”为假命题，则的值可能为（ ）
A．B．0C．2D．4
【答案】BC
【解析】“”为假命题，则“”为真命题，
当时，，符合题意，
当时，，解得
，故的值可能为，
故选：BC.
11．（2023·辽宁·高一沈阳市第五十六中学校联考期中）已知“”为假命题，则实数的值可以是（ ）
A．0B．C．D．1
【答案】AB
【解析】由题意，命题的否定为为真命题，
当时，恒成立，
当时，，解得，
综上所述，.
故选：AB.
12．（2023·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）若对任意恒成立，其中，是整数，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】当时，由可得对任意恒成立，
即对任意恒成立，此时不存在；
当时，由对任意恒成立，
可设，，作出的图象如下，
由题意可知，再由，是整数可得或或
所以的可能取值为或或
故选：BCD
三、填空题
13．（2023·新疆哈密·高一校考期末）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】设，则在的最大值为4，
因为关于的不等式在上有解，
即，解得，
故答案为：.
14．（2023·河南省直辖县级单位·高一校考期中）若不等式对恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】不等式对恒成立等价于在恒成立，即，
设，，
则，
因为，所以，，
所以在上为递增函数，
当取得最小值，所以.
故答案为：
15．（2023·陕西咸阳·高一校考阶段练习）若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】若不等式 有解, 即即可,
由题意可知：
，
当且仅当 , 即时, 等号成立,
可得, 即, 解得或,
所以实数 的取值范围是.
故答案为：
16．（2023·山东日照·高一统考期中）若不等式对一切实数x均成立，则实数m的取值范围为 .若存在实数b，使得关于m的方程在上述范围有解，则实数b的取值范围为 .
【答案】
【解析】由条件可知即为不等式恒成立，
当时不等式显然恒成立；
当时，由一元二次不等式恒成立可得，
即，，
综上可知：m的取值范围为；
因为，可知，
依题意，方程有解，
即方程有解，
所以求b的范围即转化为求函数的值域，
，
令，，
又对勾函数在上为增函数，且，，
，即，所以b的取值范围为，
故答案为：；.
四、解答题
17．（2023·广东韶关·高一校考阶段练习）已知．
(1)若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围；
(2)若，解不等式．
【解析】（1）因为，
则不等式，可化为，
即对于任意的实数恒成立，
当时，即时，不等式为，解得，不符合题意；
当时，则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围为.
（2）由不等式，可得，即，
当时，不等式可化为，解得，不等式的解集为；
当，所以，即，
又因为，
当时，，不等式的解集为；
当时，不等式，不等式的解集为空集；
当时，，不等式的解集为，
综上可得：
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为空集；
当时，不等式的解集为.
18．（2023·山东德州·高一校考期中）已知函数
(1)当时，解不等式；
(2)解关于的不等式；
(3)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）当时，，
所以，
解得或，
即不等式的解集为.
（2）因为函数，
所以不等式，等价于，
即，
当时，解得；
当时，解得；
当时，解得，
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
（3）当时，，
因为，所以函数的值域是，
因为对任意的，总存在，使成立，
所以的值域是的值域的子集，
当时，在区间上单调递增，得，
则，解得；
当时，在区间上单调递减，得，
则，解得，
当时，，不满足题意.
综上，实数的取值范围.
19．（2023·福建莆田·高一莆田八中校考期中）设函数，其中.
(1)若，且对任意的，都有，求实数的取值范围；
(2)若对任意的，都有，求实数的取值范围.
【解析】（1）当时，，
令，解得，
所以，解得，
所以的取值范围为.
（2）设函数在区间上的最大值为，最小值为，
所以“对任意的，，都有”等价于“”，
①当时，，，
由，得，从而此时；
②当时，，，
由得，
从而；
③当时，，，
由，得，
从而；
④当时，，，
由得，
从而此时；
综上可得，的取值范围为.
20．（2023·四川泸州·高一校联考期中）对于函数，存在实数，使成立，则称为关于参数m的不动点．
(1)当，时，求关于参数1的不动点；
(2)当，时，函数在上存在两个关于参数m的相异的不动点，试求参数m的取值范围；
(3)对于任意的，总存在，使得函数有关于参数m（其中）的两个相异的不动点，试求m的取值范围．
【解析】（1）当，时，，
令，可得即，
解得或，
所以当，时，关于参数1的不动点为和.
（2）由已知得在上有两个不同解，
即在上有两个不同解，
令，则在上有两个不同的零点，
所以，解得：．
（3）由题意知，函数有关于参数m的两个相异的不动点，
所以方程，即恒有两个不等实根，
则，
所以对于任意的，总存在，使成立，
即存在，，，
所以存在，，
即：存在，，
即：，，
令，，
对称轴为，
①当即时，，
所以，解得或，故不符合题意；
②当即时，，
所以，解得或，
所以.
综述：.
二次函数
（）的图象
有两相异实根
有两相等实根
无实根