中考试题分类（12）——图形的变换(含解析)

这是一份中考试题分类（12）——图形的变换(含解析)，共46页。试卷主要包含了如图所示的几何体的俯视图是，下列图形是中心对称图形的是等内容，欢迎下载使用。

1．（2020•益阳）如图，在矩形中，是上的一点，是等边三角形，交于点，则下列结论不成立的是
A．B．C．D．
2．（2020•永州）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是
A．4B．2C．D．
3．（2020•永州）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是
A． 注意安全B．水深危险
C．必须戴安全帽D．注意通风
4．（2020•永州）如图，在中，，，四边形的面积为21，则的面积是
A．B．25C．35D．63
5．（2020•娄底）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂，阻力臂，如果动力的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是
A．越来越小B．不变C．越来越大D．无法确定
6．（2020•邵阳）下列四个立体图形中，它们各自的三视图都相同的是
A．B．
C．D．
7．（2020•益阳）如图所示的几何体的俯视图是
A．B．C．D．
8．（2020•娄底）我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
9．（2020•湘西州）如图是由4个相同的小正方体组成的一个水平放置的立体图形，其箭头所指方向为主视方向，其俯视图是
A．B．C．D．
10．（2020•郴州）下列图形是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
11．（2020•张家界）如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的主视图是
A．B．
C．D．
12．（2020•湘潭）下列图形中，不是中心对称图形的是
A．B．C．D．
13．（2020•岳阳）如图，由4个相同正方体组成的几何体，它的左视图是
A．B．C．D．
14．（2020•长沙）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
15．（2020•长沙）从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为时，船离灯塔的水平距离是
A．米B．米C．21米D．42米
16．（2019•永州）某同学家买了一个外形非常接近球的西瓜，该同学将西瓜均匀切成了8块，并将其中一块（经抽象后）按如图所示的方式放在自已正前方的水果盘中，则这块西瓜的三视图是
A．B．
C．D．
17．（2019•湘潭）下列立体图形中，俯视图是三角形的是
A．B．
C．D．
18．（2019•永州）改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是
A．B．C．D．
19．（2019•邵阳）如图，在中，，，是斜边上的中线，将沿对折，使点落在点处，线段与相交于点，则等于
A．B．C．D．
20．（2019•常德）如图，在等腰三角形中，，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，的面积为42，则四边形的面积是
A．20B．22C．24D．26
21．（2019•张家界）下列四个立体图形中，其主视图是轴对称图形但不是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
22．（2019•湘西州）在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是
A．B．C．D．
23．（2019•邵阳）下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是
A．正方体B．圆柱
C．圆锥D．球
24．（2019•张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2019次得到正方形，那么点的坐标是
A．，B．C．，D．
二．填空题（共11小题）
25．（2020•永州）在平面直角坐标系中的位置如图所示，且，在内有一点，，分别是，边上的动点，连接，，，则周长的最小值是 ．
26．（2020•娄底）若，则 ．
27．（2020•郴州）如图，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为，则圆锥主视图的面积为 ．
28．（2020•郴州）在平面直角坐标系中，将以点为位似中心，为位似比作位似变换，得到△，已知，则点的坐标是 ．
29．（2020•岳阳）如图，为半圆的直径，，是半圆上的三等分点，，与半圆相切于点．点为上一动点（不与点，重合），直线交于点，于点，延长交于点，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
①；②的长为；③；④；⑤为定值．
30．（2020•长沙）如图，点在以为直径的半圆上运动（点不与，重合），，平分，交于点，交于点．
（1） ．
（2）若，则 ．
31．（2020•怀化）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是 （结果保留．
32．（2020•湘潭）若，则 ．
33．（2020•衡阳）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，将线段绕点按顺时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段绕点按顺时针方向旋转，长度伸长为的2倍，得到线段；如此下去，得到线段，，，为正整数），则点的坐标是 ．
34．（2020•常德）如图1，已知四边形是正方形，将，分别沿，向内折叠得到图2，此时与重合、都落在点），若，，则的长为 ．
35．（2020•湘潭）计算： ．
三．解答题（共12小题）
36．（2020•邵阳）2019年12月23日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划重大水利工程邵阳资水犬木塘水库，将于2020年开工建设施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石山，如图所示，，表示需铺设的干渠引水管道，经测量，，，所处位置的海拔，，分别为，，．若管道与水平线的夹角为，管道与水平线夹角为，求管道和的总长度（结果保留根号）．
37．（2020•益阳）沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形，高米，斜坡的坡度．此处大堤的正上方有高压电线穿过，表示高压线上的点与堤面的最近距离、、在同一直线上），在点处测得．
（1）求斜坡的坡角；
（2）电力部门要求此处高压线离堤面的安全距离不低于18米，请问此次改造是否符合电力部门的安全要求？
（参考数据：，，，
38．（2020•娄底）如实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于2019年12月18日动工，2020年2月28日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效的“娄底速度”．该桥的引桥两端各由2个斜面和一个水平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥墩顶端点距地面，从点处测得点俯角为，斜面长为，水平面长为，斜面的坡度为，求处于同一水平面上引桥底部的长．（结果精确到，，．
39．（2020•湘潭）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．
（1）特例感知：如图（一，已知边长为2的等边的重心为点，求与的面积．
（2）性质探究：如图（二，已知的重心为点，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由．
（3）性质应用：如图（三，在正方形中，点是的中点，连接交对角线于点．
①若正方形的边长为4，求的长度；
②若，求正方形的面积．
40．（2020•张家界）“南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端．2010年1月25日，“南天一柱”正式命名为《阿凡达》的“哈利路亚山”．如图，航拍无人机以的速度在空中向正东方向飞行，拍摄云海中的“南天一柱”美景．在处测得“南天一柱”底部的俯角为，继续飞行到达处，这时测得“南天一柱”底部的俯角为，已知“南天一柱”的高为，问这架航拍无人机继续向正东飞行是否安全？（参考数据：，，
41．（2020•郴州）2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运载火箭从地面处发射，当火箭到达点时，地面处的雷达站测得米，仰角为．3秒后，火箭直线上升到达点处，此时地面处的雷达站测得处的仰角为．已知，两处相距460米，求火箭从到处的平均速度（结果精确到1米秒，参考数据：，．
42．（2020•湘潭）为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形为矩形，，其坡度为，将步梯改造为斜坡，其坡度为，求斜坡的长度．（结果精确到0.01 ，参考数据：，
43．（2020•株洲）某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线，点、分别在、上，斜坡的长为18米，过点作于点，且线段的长为米．
（1）求该斜坡的坡高；（结果用最简根式表示）
（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角为，过点作于点，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？
44．（2020•岳阳）共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图，两地向地新建，两条笔直的污水收集管道，现测得地在地北偏东方向上，在地北偏西向上，的距离为，求新建管道的总长度．（结果精确到，，，，
45．（2020•衡阳）小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线与底板的边缘线所在水平线的夹角为时，感觉最舒适（如图①．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点、、在同一直线上，，，．
（1）求的长；
（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线与水平线的夹角仍保持，求点到的距离．（结果保留根号）
46．（2020•常德）如图，已知是的直径，是上的一点，是上的一点，于，交于，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，圆的半径，求切线的长．
47．（2020•常德）如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆的底部支撑点在水平线的下方，与水平线之间的夹角是，卸货时，车厢与水平线成，此时与支撑顶杆的夹角为，若米，求的长度．（结果保留一位小数）
（参考数据：，，，，，，
湖南省2019年、2020年数学中考试题分类（12）——图形的变换
一．选择题（共24小题）
1．（2020•益阳）如图，在矩形中，是上的一点，是等边三角形，交于点，则下列结论不成立的是
A．B．C．D．
【解答】解：四边形是矩形，是等边三角形，
，，，，，，
，故选项不合题意，
，故选项不合题意，
在和中，
，
，
，
，
，
，故选项不合题意，
故选：．
2．（2020•永州）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是
A．4B．2C．D．
【解答】解：如图，过点作于点，此正三棱柱底面的边在右侧面的投影为，
，
，，
，
左视图矩形的长为2，
左视图的面积为．
故选：．
3．（2020•永州）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是
A． 注意安全B．水深危险
C．必须戴安全帽D．注意通风
【解答】解：根据轴对称图形的定义可知：
选项、、中的图形是轴对称图形，
选项不是轴对称图形．
故选：．
4．（2020•永州）如图，在中，，，四边形的面积为21，则的面积是
A．B．25C．35D．63
【解答】解：，
，
，
．
，即，
．
故选：．
5．（2020•娄底）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂，阻力臂，如果动力的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是
A．越来越小B．不变C．越来越大D．无法确定
【解答】解：动力动力臂阻力阻力臂，
当阻力及阻力臂不变时，动力动力臂为定值，且定值，
动力随着动力臂的增大而减小，
杠杆向下运动时的度数越来越小，此时的值越来越大，
又动力臂，
此时动力臂也越来越大，
此时的动力越来越小，
故选：．
6．（2020•邵阳）下列四个立体图形中，它们各自的三视图都相同的是
A．B．
C．D．
【解答】解：、球的三视图都是圆，故本选项符合题意；
、圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带有圆心的圆，故本选项不符合题意；
、圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不符合题意；
、三棱柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
7．（2020•益阳）如图所示的几何体的俯视图是
A．B．C．D．
【解答】解：从上面看该几何体，选项的图形符合题意，
故选：．
8．（2020•娄底）我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
【解答】解：、不是中心对称图形．故错误；
、是中心对称图形．故正确；
、不是中心对称图形．故错误；
、不是中心对称图形．故错误．
故选：．
9．（2020•湘西州）如图是由4个相同的小正方体组成的一个水平放置的立体图形，其箭头所指方向为主视方向，其俯视图是
A．B．C．D．
【解答】解：从上边看有两层，底层右边是一个小正方形，上层是两个小正方形，
故选：．
10．（2020•郴州）下列图形是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
【解答】解：、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
、是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：．
11．（2020•张家界）如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的主视图是
A．B．
C．D．
【解答】解：从正面看有三列，从左到右依次有2、1、1个正方形，图形如下：
故选：．
12．（2020•湘潭）下列图形中，不是中心对称图形的是
A．B．C．D．
【解答】解：、是中心对称图形，故此选项不符合题意；
、是中心对称图形，故此选项不符合题意；
、是中心对称图形，故此选项不符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
13．（2020•岳阳）如图，由4个相同正方体组成的几何体，它的左视图是
A．B．C．D．
【解答】解：从该几何体的左侧看到的是一列两层，因此选项的图形符合题意，
故选：．
14．（2020•长沙）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
【解答】解：、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；
、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
15．（2020•长沙）从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为时，船离灯塔的水平距离是
A．米B．米C．21米D．42米
【解答】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为（米
故选：．
16．（2019•永州）某同学家买了一个外形非常接近球的西瓜，该同学将西瓜均匀切成了8块，并将其中一块（经抽象后）按如图所示的方式放在自已正前方的水果盘中，则这块西瓜的三视图是
A．B．
C．D．
【解答】解：观察图形可知，这块西瓜的三视图是．
故选：．
17．（2019•湘潭）下列立体图形中，俯视图是三角形的是
A．B．
C．D．
【解答】解：、立方体的俯视图是正方形，故此选项错误；
、圆柱体的俯视图是圆，故此选项错误；
、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项正确；
、圆锥体的俯视图是圆，故此选项错误；
故选：．
18．（2019•永州）改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是
A．B．C．D．
【解答】解：、不是轴对称图形，故本选项错误；
、是轴对称图形，故本选项正确；
、不是轴对称图形，故本选项错误；
、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：．
19．（2019•邵阳）如图，在中，，，是斜边上的中线，将沿对折，使点落在点处，线段与相交于点，则等于
A．B．C．D．
【解答】解：在中，，，
．
是斜边上的中线，
，
，，
．
将沿对折，使点落在点处，
，
．
故选：．
20．（2019•常德）如图，在等腰三角形中，，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，的面积为42，则四边形的面积是
A．20B．22C．24D．26
【解答】解：如图，
根据题意得，
设，则，
，解得，
，
四边形的面积．
故选：．
21．（2019•张家界）下列四个立体图形中，其主视图是轴对称图形但不是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
【解答】解：、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误；
、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误；
、是轴对称图形，不是中心对称图形．故正确；
、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误．
故选：．
22．（2019•湘西州）在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是
A．B．C．D．
【解答】解：将点向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是．
故选：．
23．（2019•邵阳）下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是
A．正方体B．圆柱
C．圆锥D．球
【解答】解：．俯视图与主视图都是正方形，故选项不合题意；
．俯视图与主视图都是长方形，故选项不合题意；
．俯视图是圆，主视图是三角形，故选项符合题意；
．俯视图与主视图都是圆，故选项不合题意；
故选：．
24．（2019•张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2019次得到正方形，那么点的坐标是
A．，B．C．，D．
【解答】解：四边形是正方形，且，
，
将正方形绕点顺时针旋转后得到正方形，
，，，，，，
发现是8次一循环，所以余3，
点的坐标为，
故选：．
二．填空题（共11小题）
25．（2020•永州）在平面直角坐标系中的位置如图所示，且，在内有一点，，分别是，边上的动点，连接，，，则周长的最小值是 ．
【解答】解：分别作关于射线、射线的对称点与点，连接，与、分别交于、两点，
此时周长最小，最小值为的长，
连接，，，
、分别为，的垂直平分线，，
，且，，
，
，
过作，可得，，
，，
，
则周长的最小值是．
故答案为：．
26．（2020•娄底）若，则 ．
【解答】解：，
．
故答案为：．
27．（2020•郴州）如图，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为，则圆锥主视图的面积为 48 ．
【解答】解：根据圆锥侧面积公式：，
圆锥的母线长为10，
侧面展开图的面积为，
故，
解得：．
由勾股定理可得圆锥的高，
圆锥的主视图是一个底边为12，高为8的等腰三角形，
它的面积，
故答案为：48．
28．（2020•郴州）在平面直角坐标系中，将以点为位似中心，为位似比作位似变换，得到△，已知，则点的坐标是 ， ．
【解答】解：将以点为位似中心，为位似比作位似变换，得到△，，
点的坐标是：，，
即，．
故答案为：，．
29．（2020•岳阳）如图，为半圆的直径，，是半圆上的三等分点，，与半圆相切于点．点为上一动点（不与点，重合），直线交于点，于点，延长交于点，则下列结论正确的是 ②⑤ ．（写出所有正确结论的序号）
①；②的长为；③；④；⑤为定值．
【解答】解：①连接，并延长，与的延长线交于点，如图1，
，是半圆上的三等分点，
，
与半圆相切于点．
，
，
，，
，
，
若，则，
，
点为的中点，这与为上的一动点不完全吻合，
不一定等于，
不一定等于，
故①错误；
②，是半圆上的三等分点，
，
直径，
，
的长度，
故②正确；
③，，
，，
，
，
，
，
故③错误；
④、是的三等分点，
，
，
但，
，
不成立，
故④错误；
⑤，，
，
，
，
，
，
故⑤正确．
故答案为：②⑤．
30．（2020•长沙）如图，点在以为直径的半圆上运动（点不与，重合），，平分，交于点，交于点．
（1） 1 ．
（2）若，则 ．
【解答】解：（1）为的直径，
，
，
，
平分，
，
，
，即①，
，
，
，
，
②，
①②得，
，
，
，
故答案为：1；
（2），，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
设，则，
解得，，或（舍去），
，
故答案为：．
31．（2020•怀化）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是 （结果保留．
【解答】解：由三视图可知该几何体是圆柱体，其底面半径是，高是6，
圆柱的侧面展开图是一个长方形，长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的高，
且底面周长为：，
这个圆柱的侧面积是．
故答案为：．
32．（2020•湘潭）若，则 ．
【解答】解：由可设，，是非零整数，
则．
故答案为：．
33．（2020•衡阳）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，将线段绕点按顺时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段绕点按顺时针方向旋转，长度伸长为的2倍，得到线段；如此下去，得到线段，，，为正整数），则点的坐标是 ．
【解答】解：点的坐标为，，将线段绕点按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；
，，
，如此下去，得到线段，，
，
由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，
，
点的坐标与点的坐标在同一直线上，正好在轴的负半轴上，
点的坐标是．
故答案为：．
34．（2020•常德）如图1，已知四边形是正方形，将，分别沿，向内折叠得到图2，此时与重合、都落在点），若，，则的长为 12 ．
【解答】解：设正方形的边长为，由翻折可得：
，
，，
，，
，，，如图1所示：
在中，由勾股定理得：
，
，
，
，
，
（舍，．
．
故答案为：12．
35．（2020•湘潭）计算： ．
【解答】解：根据特殊角的三角函数值得：．
三．解答题（共12小题）
36．（2020•邵阳）2019年12月23日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划重大水利工程邵阳资水犬木塘水库，将于2020年开工建设施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石山，如图所示，，表示需铺设的干渠引水管道，经测量，，，所处位置的海拔，，分别为，，．若管道与水平线的夹角为，管道与水平线夹角为，求管道和的总长度（结果保留根号）．
【解答】解：根据题意知，四边形和四边形均为矩形，
，，
，，
在中，，，，
；
在中，，，，
，
，
即管道和的总长度为：．
37．（2020•益阳）沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形，高米，斜坡的坡度．此处大堤的正上方有高压电线穿过，表示高压线上的点与堤面的最近距离、、在同一直线上），在点处测得．
（1）求斜坡的坡角；
（2）电力部门要求此处高压线离堤面的安全距离不低于18米，请问此次改造是否符合电力部门的安全要求？
（参考数据：，，，
【解答】解：（1）斜坡的坡度，
，
．
答：斜坡的坡角为；
（2）由（1）可知：
，．
，
在中，，
（米．
，
答：此次改造符合电力部门的安全要求．
38．（2020•娄底）如实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于2019年12月18日动工，2020年2月28日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效的“娄底速度”．该桥的引桥两端各由2个斜面和一个水平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥墩顶端点距地面，从点处测得点俯角为，斜面长为，水平面长为，斜面的坡度为，求处于同一水平面上引桥底部的长．（结果精确到，，．
【解答】解：作于，于，于，如图所示：
则，，，
由题意得：，
，，
，
，
斜面的坡度为，
，
，
答：处于同一水平面上引桥底部的长约为．
39．（2020•湘潭）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．
（1）特例感知：如图（一，已知边长为2的等边的重心为点，求与的面积．
（2）性质探究：如图（二，已知的重心为点，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由．
（3）性质应用：如图（三，在正方形中，点是的中点，连接交对角线于点．
①若正方形的边长为4，求的长度；
②若，求正方形的面积．
【解答】解：（1）连接，如图一，
点是的重心，
，是，边上的中线，
，为，边上的中点，
为的中位线，
，，
，
，
，，，
，，
，；
（2）由（1）同理可得，，是定值；
点到的距离和点到的距离之比为，
则和的面积之比等于点到的距离和点到的距离之比，
故，是定值；
（3）①连接交于点，
点为的中点，点为的中点，
点是的重心，
，
为的中点，
，
，
即；
②，且，
，
，
，
，
，
又，
，
正方形的面积为：．
40．（2020•张家界）“南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端．2010年1月25日，“南天一柱”正式命名为《阿凡达》的“哈利路亚山”．如图，航拍无人机以的速度在空中向正东方向飞行，拍摄云海中的“南天一柱”美景．在处测得“南天一柱”底部的俯角为，继续飞行到达处，这时测得“南天一柱”底部的俯角为，已知“南天一柱”的高为，问这架航拍无人机继续向正东飞行是否安全？（参考数据：，，
【解答】解：设无人机距地面，直线与南天一柱所在直线相交于点，由题意得，．
在中，
，
．
在中，
，
．
，
，
，
，
这架航拍无人机继续向正东飞行安全．
41．（2020•郴州）2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运载火箭从地面处发射，当火箭到达点时，地面处的雷达站测得米，仰角为．3秒后，火箭直线上升到达点处，此时地面处的雷达站测得处的仰角为．已知，两处相距460米，求火箭从到处的平均速度（结果精确到1米秒，参考数据：，．
【解答】解：设火箭从到处的平均速度为米秒，根据题意可知：
，
在中，，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
解得（米秒）．
答：火箭从到处的平均速度为335米秒．
42．（2020•湘潭）为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形为矩形，，其坡度为，将步梯改造为斜坡，其坡度为，求斜坡的长度．（结果精确到0.01 ，参考数据：，
【解答】解：，其坡度为，
在中，，
解得．
四边形为矩形，
．
斜坡的坡度为，
，
，
在中，．
故斜坡的长度约为20.62米．
43．（2020•株洲）某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线，点、分别在、上，斜坡的长为18米，过点作于点，且线段的长为米．
（1）求该斜坡的坡高；（结果用最简根式表示）
（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角为，过点作于点，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？
【解答】解：（1）在中，；
答：该斜坡的坡高长为米；
（2），
，
，
在中，，
，
，
．
综上所述，长度增加了2米．
44．（2020•岳阳）共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图，两地向地新建，两条笔直的污水收集管道，现测得地在地北偏东方向上，在地北偏西向上，的距离为，求新建管道的总长度．（结果精确到，，，，
【解答】解：如图，过点作于点，
根据题意可知：
，，，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
，
，
．
答：新建管道的总长度约为．
45．（2020•衡阳）小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线与底板的边缘线所在水平线的夹角为时，感觉最舒适（如图①．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点、、在同一直线上，，，．
（1）求的长；
（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线与水平线的夹角仍保持，求点到的距离．（结果保留根号）
【解答】解：（1）如图③，在中，，．
；
（2）如图④，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
由题意得，，
当显示屏的边缘线与水平线的夹角仍保持，可得，
，
，
在△△中，，
又，
，
即：点到的距离为．
46．（2020•常德）如图，已知是的直径，是上的一点，是上的一点，于，交于，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，圆的半径，求切线的长．
【解答】解：（1）连接，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
是的切线；
（2）是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
47．（2020•常德）如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆的底部支撑点在水平线的下方，与水平线之间的夹角是，卸货时，车厢与水平线成，此时与支撑顶杆的夹角为，若米，求的长度．（结果保留一位小数）
（参考数据：，，，，，，
【解答】方法一：解：如图1，过点作于点，
在中，
，
，
在中，
，
，
，
答：所求的长度约为2.6米．
方法二：解：如图2，过点作于点，
在中，，
，
即，
，
即，
又在中，，
，
，
答：所求的长度约为2.6米．