中考试题分类（8）——二次函数(含解析)

这是一份中考试题分类（8）——二次函数(含解析)，共73页。

①abc＞0，
②b﹣2a＜0，
③a﹣b+c＞0，
④a+b＞n（an+b），（n≠1），
⑤2c＜3b．
正确的是（ ）
A．①③B．②⑤C．③④D．④⑤
2．“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：P＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（ ）
A．3.50分钟B．4.05分钟C．3.75分钟D．4.25分钟
3．对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），则下列关系式一定正确的是（ ）
A．0＜x1x3＜1B．x1x3＞1C．0＜x2x4＜1D．x2x4＞1
4．二次函数y＝ax2+bx+c，若ab＜0，a﹣b2＞0，点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数的图象上，其中x1＜x2，x1+x2＝0，则（ ）
A．y1＝﹣y2B．y1＞y2
C．y1＜y2D．y1、y2的大小无法确定
5．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
6．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）
①abc＜0
②b2﹣4ac＜0
③2a＞b
④（a+c）2＜b2
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．下列函数中，y总随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝4xB．y＝﹣4xC．y＝x﹣4D．y＝x2
8．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（ ）
A．c＜﹣3B．c＜﹣2C．c＜14D．c＜1
二．填空题（共3小题）
9．某公司新产品上市30天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是 元．
10．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为 ．
若二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，则a 0（填“＝”或“＞”或“＜”）．
三．解答题（共29小题）
12．如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标是（4，2），点P为一个动点，过点P作x轴的垂线PH，垂足为H，点P在运动过程中始终满足PF＝PH．
【提示：平面直角坐标系内点M、N的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则MN2＝（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2】
（1）判断点P在运动过程中是否经过点C（0，5）；
（2）设动点P的坐标为（x，y），求y关于x的函数表达式；填写下表，并在给定坐标系中画出该函数的图象；
（3）点C关于x轴的对称点为C'，点P在直线C'F的下方时，求线段PF长度的取值范围．
13．在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．
（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．
（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．
①求△CMN面积的最小值．
②已知Q（1，−32）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．
14．如图，抛物线经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）是抛物线上的动点，当﹣3＜m＜0时，试确定m的值，使得△PAC的面积最大；
（3）抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足DA2﹣DC2＝6，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．已知直线y＝kx+n过B，C两点．
（1）求抛物线和直线BC的表达式；
（2）点P是抛物线上的一个动点．
①如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D．设△PDC的面积为S1，△ADC的面积为S2，求S1S2的最大值；
②如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F．点Q是对称轴l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．
16.已知直线y＝kx﹣2与抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）的一个交点为A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．
（1）当直线y＝kx﹣2与抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）的另一个交点为该抛物线的顶点E时，求k，b，c的值及抛物线顶点E的坐标；
（2）在（1）的条件下，设该抛物线与y轴的交点为C，若点Q在抛物线上，且点Q的横坐标为b，当S△EQM=12S△ACE时，求m的值
（3）点D在抛物线上，且点D的横坐标为b+12，当2AM+2DM的最小值为2724时，求b的值．
17．我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”．根据该约定，完成下列各题．
（1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的打“×”．
①y＝2x（ ）；
②y=mx（m≠0）（ ）；
③y＝3x﹣1（ ）．
（2）若点A（1，m）与点B（n，﹣4）是关于x的“H函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，求a，b，c的值或取值范围．
（3）若关于x的“H函数”y＝ax2+2bx+3c（a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：①a+b+c＝0，②（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，求该“H函数”截x轴得到的线段长度的取值范围．
18．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C（8，0），B（0，6），CD＝5，抛物线y＝ax2−154x+c（a≠0）过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，向CO方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为t．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，求t的值；
（4）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段BA沿过点B的直线翻折，点A的对称点为A'，求A'Q+QN+DN的最小值．
19．如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线F1：y＝a（x−25）2+6415与x轴交于点A（−65，0）和点B，与y轴交于点C．
（1）求抛物线F1的表达式；
（2）如图2，将抛物线F1先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线F2，若抛物线F1与抛物线F2相交于点D，连接BD，CD，BC．
①求点D的坐标；
②判断△BCD的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，抛物线F2上是否存在点P，使得△BDP为等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象（记为抛物线Γ）与y轴交于点C，与x轴分别交于点A、B，点A、B的横坐标分别记为x1，x2，且0＜x1＜x2．
（1）若a＝c，b＝﹣3，且过点（1，﹣1），求该二次函数的表达式；
（2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝4．求证：当b＜−52时，二次函数y1＝ax2+（b+1）x+c的图象与x轴没有交点．
（3）若AB2=c2−2c+6c，点P的坐标为（−x0，﹣1），过点P作直线l垂直于y轴，且抛物线的Γ的顶点在直线l上，连接OP、AP、BP，PA的延长线与抛物线Γ交于点D，若∠OPB＝∠DAB，求x0的最小值．
21．如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．
（1）求点C及顶点M的坐标．
（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．
（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．
（4）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图，抛物线y＝ax2﹣6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x+5经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P，连接AC，AP，判定△APC的形状，并说明理由；
（3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+5与x轴交于A，B两点．
（1）若过点C的直线x＝2是抛物线的对称轴．
①求抛物线的解析式；
②对称轴上是否存在一点P，使点B关于直线OP的对称点B'恰好落在对称轴上．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
当b≥4，0≤x≤2时，函数值y的最大值满足3≤y≤15，求b的取值范围．
24．在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；
（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．
25．如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，94）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知直线l过点A，M（32，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；
（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．
26．如图一，抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）P（x1，y1）、Q（4，y2）两点均在该抛物线上，若y1≥y2，求P点横坐标x1的取值范围；
（3）如图二，过点C作x轴的平行线交抛物线于点E，该抛物线的对称轴与x轴交于点D，连结CD、CB，点F为线段CB的中点，点M、N分别为直线CD和CE上的动点，求△FMN周长的最小值．
27．（湘潭政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店A、B两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．
（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？
（2）小亮调査发现，A种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若B种湘莲礼盒的售价和销量不变，当A种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？
28．如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
29．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．
（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．
30．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，OC＝3．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；
（3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；
（4）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+12QC是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．
31．如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值；
（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的高为6105？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
32．如图，二次函数y=−13x2+bx+c的图象过原点，与x轴的另一个交点为（8，0）
（1）求该二次函数的解析式；
（2）在x轴上方作x轴的平行线y1＝m，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
33．在平面直角坐标系xOy中，顶点为A的抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于点D，已知A（1，4），B（3，0）．
（1）求抛物线对应的二次函数表达式；
（2）探究：如图1，连接OA，作DE∥OA交BA的延长线于点E，连接OE交AD于点F，M是BE的中点，则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分？请说明理由；
（3）应用：如图2，P（m，n）是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+n＝﹣1，连接PA、PC，在线段PC上确定一点N，使AN平分四边形ADCP的面积，求点N的坐标．
提示：若点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则线段AB的中点坐标为（x1+x22，y1+y22）．
34．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点 C．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）点F是线段AD上一个动点．
①如图1，设k=AFAD，当k为何值时，CF=12AD？
②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．
35．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（﹣1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；
（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使△PNC的面积是矩形MNHG面积的916？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．
36．如图1，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F1：y=13x2+73x的图象上，点A的横坐标为﹣4，点B的纵坐标为﹣2．（点A在点B的左侧）
（1）求点A、B的坐标；
（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过A'、B'两点，已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点，且点A'恰好在以OM为直径的圆上，连接OM、A'M，求△OA'M的面积；
（3）如图2，延长OB'交抛物线F2于点C，连接A'C，在坐标轴上是否存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
37．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）
（1）若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1
①求该二次函数图象的顶点坐标；
②定义：对于二次函数y＝px2+qx+r（p≠0），满足方程y＝x的x的值叫做该二次函数的“不动点”．求证：二次函数y＝ax2+bx+c有两个不同的“不动点”．
（2）设b=12c3，如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），其中x1＜0，x2＞0，与y轴相交于点C，连结BC，点D在y轴的正半轴上，且OC＝OD，又点E的坐标为（1，0），过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F，满足∠AFC＝∠ABC．FA的延长线与BC的延长线相交于点P，若PCPA=55a2+1，求二次函数的表达式．
38．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E．
（1）求该抛物线的函数关系表达式；
（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；
（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
39．如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点．
①若S△PMN＝2，求k的值；
②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；
③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．
40．如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C．
（1）求点A的坐标；
（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．
①如图1，求证：CE＝DE；
②如图2，连接AC，BE，BO，当a=33，∠CAE＝∠OBE时，求1OD−1OE的值．
湖南省2019年、2020年数学中考试题分类（8）——二次函数
一．选择题（共8小题）
1．（2020•湘西州）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：
①abc＞0，
②b﹣2a＜0，
③a﹣b+c＞0，
④a+b＞n（an+b），（n≠1），
⑤2c＜3b．
正确的是（ ）
A．①③B．②⑤C．③④D．④⑤
【答案】D
【解答】解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故①错误；
②由于a＜0，所以﹣2a＞0．
又b＞0，
所以b﹣2a＞0，
故②错误；
③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故③错误；
④当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝n时，y＝an2+bn+c，
所以a+b+c＞an2+bn+c，
故a+b＞an2+bn，即a+b＞n（an+b），故④正确；
⑤当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且该抛物线对称轴是直线x=−b2a=1，即a=−b2，代入得9（−b2）+3b+c＜0，得2c＜3b，故⑤正确；
故④⑤正确．
故选：D．
2．（2020•长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：P＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（ ）
A．3.50分钟B．4.05分钟C．3.75分钟D．4.25分钟
【答案】C
【解答】解：将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系P＝at2+bt+c中，
9a+3b+c=0.816a+4b+c=0.925a+5b+c=0.6，
解得a=−0.2b=1.5c=−1.9，
所以函数关系式为：P＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，
由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标：
t=−b2a=−1.52×(−0.2)=3.75，
则当t＝3.75分钟时，可以得到最佳时间．
故选：C．
3．（2020•岳阳）对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），则下列关系式一定正确的是（ ）
A．0＜x1x3＜1B．x1x3＞1C．0＜x2x4＜1D．x2x4＞1
【答案】A
【解答】解：由题意关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），就是关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）与直线y＝﹣2的交点的横坐标，
画出函数的图象草图如下：
∵抛物线的对称轴为直线x=−−102×(−1)=−5，
∴x3＜x1＜﹣5，
由图象可知：0＜x1x3＜1一定成立，
故选：A．
4．（2020•株洲）二次函数y＝ax2+bx+c，若ab＜0，a﹣b2＞0，点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数的图象上，其中x1＜x2，x1+x2＝0，则（ ）
A．y1＝﹣y2B．y1＞y2
C．y1＜y2D．y1、y2的大小无法确定
【答案】B
【解答】解：∵a﹣b2＞0，b2≥0，
∴a＞0．
又∵ab＜0，
∴b＜0，
∵x1＜x2，x1+x2＝0，
∴x2＝﹣x1，x1＜0．
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数y＝ax2+bx+c的图象上，
∴y1=ax12+bx1+c，y2=ax22+bx2+c=ax12−bx1+c．
∴y1﹣y2＝2bx1＞0．
∴y1＞y2．
故选：B．
5．（2020•常德）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解答】解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，故①正确，
由图象知，抛物线的对称轴直线为x＝2，
∴−b2a=2，
∴4a+b＝0，
由图象知，抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∵4a+b＝0，
∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＜0，故②③正确，
由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，故④错误，
即正确的结论有3个，
故选：B．
6．（2019•娄底）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）
①abc＜0
②b2﹣4ac＜0
③2a＞b
④（a+c）2＜b2
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【解答】解：由函数图象可知a＜0，对称轴﹣1＜x＜0，图象与y轴的交点c＞0，函数与x轴有两个不同的交点，
∴b﹣2a＞0，b＜0；
△＝b2﹣4ac＞0；
abc＞0；
当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0；
当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0；
∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，即（a+c）2＜b2；
∴只有④是正确的；
故选：A．
7．（2019•益阳）下列函数中，y总随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝4xB．y＝﹣4xC．y＝x﹣4D．y＝x2
【答案】B
【解答】解：y＝4x中y随x的增大而增大，故选项A不符题意，
y＝﹣4x中y随x的增大而减小，故选项B符合题意，
y＝x﹣4中y随x的增大而增大，故选项C不符题意，
y＝x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项D不符合题意，
故选：B．
8．（2019•岳阳）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（ ）
A．c＜﹣3B．c＜﹣2C．c＜14D．c＜1
【答案】B
【解答】解：由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个不相等实数根，
且x1＜1＜x2，
整理，得：x2+x+c＝0，
由x2+x+c＝0有两个不相等的实数根，且x1＜1＜x2，知△＞0，
令y＝x2+x+c，画出该二次函数的草图如下：
则1−4c＞01+1+c＜0，
解得c＜﹣2，
故选：B．
二．填空题（共3小题）
9．（2020•益阳）某公司新产品上市30天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是 1800 元．
【答案】1800．
【解答】解：设日销售量y与销售天数t之间的函数关系式为y＝kx，
30k＝60，得k＝2，
即日销售量y与销售天数t之间的函数关系式为y＝2t，
当0＜t≤20时，设单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝at，
20a＝30，得a＝1.5，
即当0＜t≤20时，单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝1.5t，
当20＜t≤30时，单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝30，
设日销售利润为W元，
当0＜t≤20时，W＝1.5t×2t＝3t2，
故当t＝20时，W取得最大值，此时W＝1200，
当20＜t≤30时，W＝30×2t＝60t，
故当t＝30时，W取得最大值，此时W＝1800，
综上所述，最大日销售利润为1800元，
故答案为：1800．
10．（2019•衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为 （﹣1010，10102） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵A点坐标为（1，1），
∴直线OA为y＝x，A1（﹣1，1），
∵A1A2∥OA，
∴直线A1A2为y＝x+2，
解y=x+2y=x2得x=−1y=1或x=2y=4，
∴A2（2，4），
∴A3（﹣2，4），
∵A3A4∥OA，
∴直线A3A4为y＝x+6，
解y=x+6y=x2得x=−2y=4或x=3y=9，
∴A4（3，9），
∴A5（﹣3，9）
…，
∴A2019（﹣1010，10102），
故答案为（﹣1010，10102）．
11．（2019•株洲）若二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，则a ＜ 0（填“＝”或“＞”或“＜”）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，
∴a＜0．
故答案是：＜．
三．解答题（共29小题）
12．（2020•益阳）如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标是（4，2），点P为一个动点，过点P作x轴的垂线PH，垂足为H，点P在运动过程中始终满足PF＝PH．
【提示：平面直角坐标系内点M、N的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则MN2＝（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2】
（1）判断点P在运动过程中是否经过点C（0，5）；
（2）设动点P的坐标为（x，y），求y关于x的函数表达式；填写下表，并在给定坐标系中画出该函数的图象；
（3）点C关于x轴的对称点为C'，点P在直线C'F的下方时，求线段PF长度的取值范围．
【答案】（1）点P在运动过程中经过点C（0，5）．
（2）y=14x2﹣2x+5，5，3，2，1，2，5．
（3）1≤PF＜65+7658．
【解答】解：（1）当P与C（0，5）重合，
∴PH＝5，PF=(5−2)2+42=5，
∴PH＝PF，
∴点P运动过程中经过点C．
（2）由题意：y2＝（x﹣4）2+（y﹣2）2，
整理得，y=14x2﹣2x+5，
∴函数解析式为y=14x2﹣2x+5，
当x＝0时，y＝5，
当x＝2时，y＝2，
当x＝4时，y＝1，
当x＝6时，y＝2，
当x＝8时，y＝5，
函数图象如图所示：
故答案为5，2，1，2，5．
（3）由题意C′（0，﹣5），F（4，2），
∴直线FC′的解析式为y=74x﹣5，设抛物线交直线FC′于G，K．
由y=74x−5y=14x2−2x+5，解得x=15+652y=65+7658或x=15−652y=65−7658，
∴G（15−652，65−7658），K（15+652，65+7658），
观察图象可知满足条件的PF长度的取值范围为1≤PF＜65+7658．
13．（2020•永州）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．
（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．
（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．
①求△CMN面积的最小值．
②已知Q（1，−32）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=12x2−2；
（2）①∴△CMN面积的最小值为4；
②点P（3，−12），直线l的解析式为y＝（1−3）x或点P（−3，−12），直线l的解析式为y＝（1+3）x．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
在等腰Rt△ABC中，OC垂直平分AB，且AB＝4，
∴OA＝OB＝OC＝2，
∴A（﹣2，0），B（2，0），C（0，﹣2），
∴4a+2b+c=04a−2b+c=0c=−2，
解得，a=12b=0c=−2，
∴抛物线的解析式为y=12x2−2；
（2）①设直线l的解析式为y＝kx，M（x1，y1），N（x2，y2），
由y=12x2−2y=kx，可得12x2−kx−2=0，
∴x1+x2＝2k，x1•x2＝﹣4，
∴(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=4k2+16，
∴|x1−x2|=2k2+4，
∴S△CMN=12OC⋅|x1−x2|=2k2+4，
∴当k＝0时2k2+4取最小值为4．
∴△CMN面积的最小值为4．
②假设抛物线上存在点P（m，12m2−2），使得点P与点Q关于直线l对称，
∴OP＝OQ，即12+(32)2=m2+(12m2−2)2，
解得，m1=3，m2=−3，m3＝1，m4＝﹣1，
∵m3＝1，m4＝﹣1不合题意，舍去，
当m1=3时，点P（3，−12），
线段PQ的中点为（1+32，−1），
∴1+32k=−1，
∴k=1−3，
∴直线l的表达式为：y＝（1−3）x，
当m2=−3时，点P（−3，−12），
线段PQ的中点为（1−32，﹣1），
∴1−32k=−1，
∴k=1+3，
∴直线l的解析式为y＝（1+3）x．
综上，点P（3，−12），直线l的解析式为y＝（1−3）x或点P（−3，−12），直线l的解析式为y＝（1+3）x．
14．（2020•娄底）如图，抛物线经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）是抛物线上的动点，当﹣3＜m＜0时，试确定m的值，使得△PAC的面积最大；
（3）抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足DA2﹣DC2＝6，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
把C（0，3）代入，可得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
将A（﹣3，0），C（0，3）代入得到0=−3k+b3=b，
解得k=1b=3，
∴直线AC的解析式为y＝x+3．
当﹣3＜m＜0时，点P（m，n）在直线AC的上方，过点P作x轴的垂线交AC于Q．则P（m，﹣m2﹣2m+3），Q（m，m+3），
∴PQ＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）
＝﹣m2﹣3m，
＝﹣（m+32）2+94，
∵﹣3＜m＜0，
∴当m=−32时，PQ的值最大，
此时S△PAC=12•PQ•AO=32PQ最大，
∴m=−32．
（3）由A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），可得AB＝4，OB＝1，OC＝3，
∵BC2＝10，∠CAO＝45°，
∴BA2﹣BC2＝6，
连接BC，过点B作AC的垂线交抛物线于D，交AC于H，连接AD．
则∠AHB＝90°，∠DBA＝∠CAO＝45°，
∴DA2﹣DC2＝HA2﹣HC2＝AB2﹣BC2＝6，
∵∠CAO＝∠DBA，
∴点H在AB的垂直平分线上，
即点H在抛物线的对称轴x＝﹣1上，
∴点D与点C关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称，
∵C（0，3），
∴点D的坐标为（﹣2，3）．
15．（2020•郴州）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．已知直线y＝kx+n过B，C两点．
（1）求抛物线和直线BC的表达式；
（2）点P是抛物线上的一个动点．
①如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D．设△PDC的面积为S1，△ADC的面积为S2，求S1S2的最大值；
②如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F．点Q是对称轴l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3，y＝﹣x+3．
（2）①最大值为916．
②点P的坐标为（2，3），点Q的坐标为（1，2）或（1，﹣2），P（0，3）时，Q（1，4）．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得：a−b+3=09a+3b+3=0，
解得a=−1b=2
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，
∴点C坐标为（0，3），
把B（3，0），C（0，3）代入y＝kx+n得：3k+n=0n=3，
解得k=−1n=3
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3．
（2）①∵PA交直线BC于点D，
∴设点D的坐标为（m，﹣m+3），
设直线AD的表达式为y＝k1x+b1，
∴−k1+b1=0mk1+b1=−m+3，
解得，k1=−m+3m+1b1=−m+3m+1
∴直线AD的表达式，y=−m+3m+1x+−m+3m+1，
∴−m+3m+1x+−m+3m+1=−x2+2x+3，
整理得，（x−4mm+1）（x+1）＝0
解得x=4mm+1或﹣1（不合题意，舍去），
∴点D的横坐标为m，点P的横坐标为4mm+1，
分别过点D、P作x轴的垂线，垂足分别为M、N，如图1中：
∴DM∥PN，OM＝m，ON=4mm+1，OA＝1，
∴S1S2=S△PDCS△ADC=PDDA=MNAM=4mm+1−mm+1=−m2+3m(m+1)2，
设S1S2=t，则t=−m2+3m(m+1)2
整理得，（t+1）m2+（2t﹣3）m+t＝0，
∵△≥0，
∴（2t﹣3）2﹣4t（t+1）≥0，
解得t≤916
∴S1S2有最大值，最大值为916．
②存在，理由如下：过点F作FG⊥OB于G，如图2中，
∵y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝1，
∴OE＝1，
∵B（3，0），C（0，3）
∴OC＝OB＝3，
又∵∠COB＝90°，
∴△OCB是等腰直角三角形，
∵∠EFB＝90°，BE＝OB﹣OE＝2，
∴△EFB是等腰直角三角形，
∴FG＝GB＝EG＝1，
∴点F的坐标为（2，1），
当EF为边时，
∵四边形EFPQ为平行四边形，
∴QE＝PF，QE∥PF∥y轴，
∴点P的横坐标与点F的横坐标同为2，
当x＝2时，y＝﹣22+2×2+3＝3，
∴点P的坐标为（2，3），
∴QE＝PF＝3﹣1＝2，
点Q的坐标为（1，2），
根据对称性当P（0，3）时，Q（1，4）时，四边形EFQP也是平行四边形．
当EF为对角线时，如图3中，
∵四边形PEQF为平行四边形，
∴QE＝PF，QE∥PF∥y轴，
同理求得：点P的坐标为（2，3），
∴QE＝PF＝3﹣1＝2，
点Q的坐标为（1，﹣2）；
综上，点P的坐标为（2，3）时，点Q的坐标为（1，2）或（1，﹣2），P（0，3）时，Q（1，4）．
16．（2020•湘西州）已知直线y＝kx﹣2与抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）的一个交点为A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．
（1）当直线y＝kx﹣2与抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）的另一个交点为该抛物线的顶点E时，求k，b，c的值及抛物线顶点E的坐标；
（2）在（1）的条件下，设该抛物线与y轴的交点为C，若点Q在抛物线上，且点Q的横坐标为b，当S△EQM=12S△ACE时，求m的值；
（3）点D在抛物线上，且点D的横坐标为b+12，当2AM+2DM的最小值为2724时，求b的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵直线y＝kx﹣2与抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）的一个交点为A（﹣1，0），
∴﹣k﹣2＝0，1+b+c＝0，
∴k＝﹣2，c＝﹣b﹣1，
∴直线y＝kx﹣2的解析式为y＝﹣2x﹣2，
∵抛物线y＝x2﹣bx+c的顶点坐标为E（b2，4c−b24），
∴E（b2，−4b−4−b24），
∵直线y＝﹣2x﹣2与抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）的另一个交点为该抛物线的顶点E，
∴−4b−4−b24=−2×b2−2，
解得，b＝2，或b＝﹣2（舍），
当b＝2时，c＝﹣3，
∴E（1，﹣4），
故k＝﹣2，b＝2，c＝﹣3，E（1，﹣4）；
（2）由（1）知，直线的解析式为y＝﹣2x﹣2，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴C（0，﹣3），Q（2，﹣3），
如图1，设直线y＝﹣2x﹣2与y轴交点为N，则N（0，﹣2），
∴CN＝1，
∴S△ACE=S△ACN+S△ECN=12×1×1+12×1×1=1，
∴S△EQM=12，
设直线EQ与x轴的交点为D，显然点M不能与点D重合，
设直线EQ的解析式为y＝dx+n（d≠0），
则2d+n=−3d+n=−4，
解得，d=1n=−5，
∴直线EQ的解析式为y＝x﹣5，
∴D（5，0），
∴S△EQM＝S△EDM﹣S△QDM=12DM×|−4|−12DM×|−3|=12DM=12|5−m|=12，
解得，m＝4，或m＝6；
（3）∵点D（b+12，yD）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，
∴yD=(b+12)2−b(b+12)−b−1=−b2−34，
可知点D（b+12，−b2−34）在第四象限，且在直线x＝b的右侧，
∵2AM+2DM=2(22AM+DM)，
∴可取点N（0，1），则∠OAN＝45°，
如图2，过D作直线AN的垂线，垂足为G，DG与x轴相交于点M，
∵∠GAM＝90°﹣∠OAN＝45°，得22AM＝GM，
则此时点M满足题意，
过D作DH⊥x轴于点H，则点H（b+12，0），
在Rt△MDH中，可知∠DMH＝∠MDH＝45°，
∴DH＝MH，DM=2MH，
∵点M（m，0），
∴0﹣（−b2−34）＝（b+12）﹣m，
解得，m=b2−14，
∵2AM+2DM=2724，
∴2[(b2−14)−(−1)]+22[(b+12)−(b2−14)]=2724，
解得，b＝3，
此时，m=32−14=54＞0，符合题意，
∴b＝3．
17．（2020•长沙）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”．根据该约定，完成下列各题．
（1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的打“×”．
①y＝2x（ √ ）；
②y=mx（m≠0）（ √ ）；
③y＝3x﹣1（ × ）．
（2）若点A（1，m）与点B（n，﹣4）是关于x的“H函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，求a，b，c的值或取值范围．
（3）若关于x的“H函数”y＝ax2+2bx+3c（a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：①a+b+c＝0，②（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，求该“H函数”截x轴得到的线段长度的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①y＝2x是“H函数”．②y=mx（m≠0）是“H函数”．③y＝3x﹣1不是“H函数”．
故答案为：√，√，×．
（2）∵A，B是“H点”，
∴A，B关于原点对称，
∴m＝4，n＝﹣1，
∴A（1，4），B（﹣1，﹣4），
代入y＝ax2+bx+c（a≠0）
得a+b+c=4a−b+c=−4，
∴b=4a+c=0，
∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，
∴−b2a＞2，
∴−42a＞2，
∴﹣1＜a＜0，
∵a+c＝0，
∴0＜c＜1，
综上所述，﹣1＜a＜0，b＝4，0＜c＜1．
（3）∵y＝ax2+2bx+3c是“H函数”，
∴设H（p，q）和（﹣p，﹣q），
代入得到ap2+2bp+3c=qap2−2bp+3c=−q，
解得ap2+3c＝0，2bp＝q，
∵p2＞0，
∴a，c异号，
∴ac＜0，
∵a+b+c＝0，
∴b＝﹣a﹣c，
∵（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，
∴（2c﹣a﹣c﹣a）（2c﹣a﹣c+3a）＜0，
∴（c﹣2a）（c+2a）＜0，
∴c2＜4a2，
∴c2a2＜4，
∴﹣2＜ca＜2，
设t=ca，则﹣2＜t＜0，
设函数与x轴交于（x1，0），（x2，0），
∴x1，x2是方程ax2+2bx+3c＝0的两根，
∴|x1﹣x2|=(x1+x2)2−4x1x2
=(−2ba)2−4⋅3ca
=4(a+c)2a2−12ca
=4[1+2ca+(ca)2−3ca]
＝21+2t+t2−3t
＝2(t−12)2+34，
∵﹣2＜t＜0，
∴2＜|x1﹣x2|＜27．
18．（2020•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C（8，0），B（0，6），CD＝5，抛物线y＝ax2−154x+c（a≠0）过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，向CO方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为t．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，求t的值；
（4）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段BA沿过点B的直线翻折，点A的对称点为A'，求A'Q+QN+DN的最小值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）将C（8，0），B（0，6）代入y=ax2−154x+c，得64a−154×8+c=0c=6，
解得a=38c=6，
∴抛物线的解析式为：y=38x2−154x+6；
（2）如答图1，作DE⊥x轴于点E，
∵C（8，0），B（0，6），
∴OC＝8，OB＝6．
∴BC＝10．
∵∠BOC＝∠BCD＝∠DEC，
∴△BOC～△CED．
∴BCCD=BOCE=OCDE．
∴CE＝3，DE＝4．
∴OE＝OC+CE＝11．
∴D（11，4）．
（3）若点M在DA上运动时，DM＝5t，ON＝4t，
当△BON～△CDM，则BOCD=ONDM，即65=4t5t不成立，舍去；
当△BON～△MDC，则BOMD=ONDC，即65t=4t5，解得：t=62；
若点M在BC上运动时，CM＝25﹣5t．
当△BON～△MCD，则BOMC=ONCD，即625−5t=ON5，
∴ON=65−t．
当3＜t≤4时，ON＝16﹣4t．
∴65−t=16−4t，
解得t1=9+72（舍去），t2=9−72．
当4＜t≤5时，ON＝4t﹣16
∴65−t=4t−16，无解；
当△BON～△DCM，则BODC=ONCM，即65=ON25−5t，
∴ON＝30﹣6t；
当3＜t≤4时，ON＝16﹣4t，
∴30﹣6t＝16﹣4t，
解得t＝7（舍去）；
当4＜t≤5时，ON＝4t﹣16，
∴30﹣6t＝4t﹣16，
解得t=235．
综上所示：当t=62时，△BON～△MDC；t=9−72时，△BON～△MCD；t=235时，△BON～△DCM；
（4）如答图2，作点D关于x轴的对称点F，连接QF交x轴于点N，
∵点D（11，4），
∴点F（11，﹣4）．
由y=38x2−154x+6得对称轴为x＝5，
∴点Q（5，4）．
∴QF=(5−11)2+(4+4)2=10，BQ=(0−5)2+(6−4)2=29．
∴A'Q+QN+DN=BQ−BA'+QF=29−5+10=29+5．
故A'Q+QN+DN的最小值为29+5．
19．（2020•岳阳）如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线F1：y＝a（x−25）2+6415与x轴交于点A（−65，0）和点B，与y轴交于点C．
（1）求抛物线F1的表达式；
（2）如图2，将抛物线F1先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线F2，若抛物线F1与抛物线F2相交于点D，连接BD，CD，BC．
①求点D的坐标；
②判断△BCD的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，抛物线F2上是否存在点P，使得△BDP为等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）把点A（−65，0）代入抛物线F1：y＝a（x−25）2+6415中得：
0＝a（−65−25）2+6415，
解得：a=−53，
∴抛物线F1：y=−53（x−25）2+6415；
（2）①由平移得：抛物线F2：y=−53（x−25+1）2+6415−3，
∴y=−53（x+35）2+1915，
∴53（x+35）2+1915=−53（x−25）2+6415，
−103x=103，
解得：x＝﹣1，
∴D（﹣1，1）；
②当x＝0时，y=−53×425+6415=4，
∴C（0，4），
当y＝0时，−53（x−25）2+6415=0，
解得：x=−65或2，
∴B（2，0），
∵D（﹣1，1），
∴BD2＝（2+1）2+（1﹣0）2＝10，
CD2＝（0+1）2+（4﹣1）2＝10，
BC2＝22+42＝20，
∴BD2+CD2＝BC2且BD＝CD，
∴△BDC是等腰直角三角形；
（3）存在，
设P（m，−53(m+35)2+1915），
∵B（2，0），D（﹣1，1），
∴BD2＝（2+1）2+12＝10，PB2=(m−2)2+[−53(m+35)2+1915]2，PD2=(m+1)2+[−53(m+35)2+1915−1]2，
分三种情况：
①当∠DBP＝90°时，BD2+PB2＝PD2，
即10+（m﹣2）2+[−53(m+35)2+1915]2＝（m+1）2+[−53（m+35）2+1915−1]2，
解得：m＝﹣4或1，
当m＝﹣4时，BD=10，PB=36+324=610，即△BDP不是等腰直角三角形，不符合题意，
当m＝1时，BD=10，PB=1+9=10，
∴BD＝PB，即△BDP是等腰直角三角形，符合题意，
∴P（1，﹣3）；
②当∠BDP＝90°时，BD2+PD2＝PB2，
即10+[−53（m+35）2+1915−1]2＝（m﹣2）2+[−53(m+35)2+1915]2，
解得：m＝﹣1（舍）或﹣2，
当m＝﹣2时，BD=10，PD=1+9=10，
∴BD＝PD，即此时△BDP为等腰直角三角形，
∴P（﹣2，﹣2）；
③当∠BPD＝90°时，且BP＝DP，有BD2＝PD2+PB2，如图3，
当△BDP为等腰直角三角形时，点P1和P2不在抛物线上，此种情况不存在这样的点P；
综上，点P的坐标是（1，﹣3）或（﹣2，﹣2）．
20．（2020•株洲）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象（记为抛物线Γ）与y轴交于点C，与x轴分别交于点A、B，点A、B的横坐标分别记为x1，x2，且0＜x1＜x2．
（1）若a＝c，b＝﹣3，且过点（1，﹣1），求该二次函数的表达式；
（2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝4．求证：当b＜−52时，二次函数y1＝ax2+（b+1）x+c的图象与x轴没有交点．
（3）若AB2=c2−2c+6c，点P的坐标为（−x0，﹣1），过点P作直线l垂直于y轴，且抛物线的Γ的顶点在直线l上，连接OP、AP、BP，PA的延长线与抛物线Γ交于点D，若∠OPB＝∠DAB，求x0的最小值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意得：y＝ax2﹣3x+a，
∵函数过点（1，﹣1），
∴a﹣3+a＝﹣1，
∴a＝c＝1，
∴y＝x2﹣3x+1；
（2）由题意，一元二次方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝4．
∴△＝b2﹣4ac＝4，
∴4ac＝b2﹣4，
在函数y1=ax2+(b+1)x+c中，△1=(b+1)2−4ac=(b+1)2−(b2−4)=2b+5，
∵b＜−52，
∴2b+5＜0，
即函数图象与x轴没有交点；
（3）因为函数顶点在直线l上，则有4ac−b24a=−1，
即b2﹣4ac＝4a①，
∵AB2=c2−2c+6c，
∴(x2−x1)2=c2−2c+6c，
即(x1+x2)2−4x1x2=c2−2c+6c，
∴b2−4aca2=c2−2c+6c，
由①得：4a=c2−2c+6c②，
∵∠OAP＝∠DAB，∠OPB＝∠DAB，
∴∠OAP＝∠OPB，
∵∠OAP＝∠OBP+∠APB，∠OPB＝∠OPA+∠APB，
∴∠OBP＝∠OPA，
则△OAP∽△OPB．
∴OAOP=OPOB，
∴OA•OB＝OP2，
∴x1x2=(−x0)2+(−1)2．
∴ca=x0+1，
∴x0=ca−1．
由②得：x0=c2−2c+64−1，
∴x0=14(c−1)2+14，
∴当c＝1时，(x0)min=14．
21．（2020•怀化）如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．
（1）求点C及顶点M的坐标．
（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．
（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．
（4）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）令y＝x2﹣2x﹣3中x＝0，此时y＝﹣3，
故C点坐标为（0，﹣3），
又∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点M的坐标为（1，﹣4）；
（2）过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，连接BN，CN，如图1所示：
令y＝x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x＝3或x＝﹣1，
∴B（3，0），A（﹣1，0），
设直线BC的解析式为：y＝ax+b，
将C（0，﹣3），B（3，0）代入直线BC的解析式得：−3=b0=3a+b，
解得：a=1b=−3，
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3，
设N点坐标为（n，n2﹣2n﹣3），故Q点坐标为（n，n﹣3），其中0＜n＜3，
则S△BCN=S△NQC+S△NQB=12⋅QN⋅(xQ−xC)+12⋅QN⋅(xB−xQ)=12⋅QN⋅(xQ−xC+xB−xQ)=12⋅QN⋅(xB−xC)，（其中xQ，xC，xB分别表示Q，C，B三点的横坐标），且QN＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n，xB﹣xC＝3，
故S△BCN=12⋅(−n2+3n)⋅3=−32n2+92n=−32(n−32)2+278，其中0＜n＜3，
当n=32时，S△BCN有最大值为278，
此时点N的坐标为（32，−154），
（3）设D点坐标为（1，t），G点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），且B（3，0），C（0，﹣3）
分情况讨论：
①当DG为对角线时，则另一对角线是BC，由中点坐标公式可知：
线段DG的中点坐标为(xD+xG2，yD+yG2)，即(1+m2，t+m2−2m−32)，
线段BC的中点坐标为(xB+xC2，yB+yC2)，即(3+02，0−32)，
此时DG的中点与BC的中点为同一个点，
∴1+m2=32t+m2−2m−32=−32，解得m=2t=0，
经检验，此时四边形DCGB为平行四边形，此时G坐标为（2，﹣3）；
②当DB为对角线时，则另一对角线是GC，由中点坐标公式可知：
线段DB的中点坐标为(xD+xB2，yD+yB2)，即(1+32，t+02)，
线段GC的中点坐标为(xG+xC2，yG+yC2)，即(m+02，m2−2m−3−32)，
此时DB的中点与GC的中点为同一个点，
∴1+32=m+02t+02=m2−2m−3−32，解得m=4t=2，
经检验，此时四边形DCBG为平行四边形，此时G坐标为（4，5）；
③当DC为对角线时，则另一对角线是GB，由中点坐标公式可知：
线段DC的中点坐标为(xD+xC2，yD+yC2)，即(1+02，t−32)，
线段GB的中点坐标为(xG+xB2，yG+yB2)，即(m+32，m2−2m−3+02)，
此时DB的中点与GC的中点为同一个点，
∴1+02=m+32t−32=m2−2m−3+02，解得m=−2t=8，
经检验，此时四边形DGCB为平行四边形，此时G坐标为（﹣2，5）；
综上所述，G点坐标存在，为（2，﹣3）或（4，5）或（﹣2，5）；
（4）连接AC，OP，如图2所示：
设MC的解析式为：y＝kx+m，
将C（0，﹣3），M（1，﹣4）代入MC的解析式得：−3=m−4=k+m，
解得：k=−1m=−3
∴MC的解析式为：y＝﹣x﹣3，令y＝0，则x＝﹣3，
∴E点坐标为（﹣3，0），
∴OE＝OB＝3，且OC⊥BE，
∴CE＝CB，
∴∠CBE＝∠E，
设P（x，﹣x﹣3），
又∵P点在线段EM上，
∴﹣3＜x＜1，
则EP=(x+3)2+(−x−3)2=2(x+3)，BC=32+32=32，
由题意知：△PEO相似于△ABC，
分情况讨论：
①△PEO∽△CBA，
∴EOBA=EPBC，
∴34=2(x+3)32，
解得x=−34，满足﹣3＜x＜1，此时P的坐标为(−34，−94)；
②△PEO∽△ABC，
∴EOBC=EPBA，
∴332=2(x+3)4，
解得x＝﹣1，满足﹣3＜x＜1，此时P的坐标为（﹣1，﹣2）．
综上所述，P点的坐标为(−34，−94)或（﹣1，﹣2）．
22．（2020•张家界）如图，抛物线y＝ax2﹣6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x+5经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P，连接AC，AP，判定△APC的形状，并说明理由；
（3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+5经过点B，C，
∴当x＝0时，可得y＝5，即C的坐标为（0，5）．
当y＝0时，可得x＝5，即B的坐标为（5，0）．
∴5=a⋅02−6×0+c0=52a−6×5+c．
解得a=1c=5．
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5；
（2）△APC为直角三角形，理由如下：
∵解方程x2﹣6x+5＝0，则x1＝1，x2＝5．
∴A（1，0），B（5，0）．
∵抛物线y＝x2﹣6x+5的对称轴l为x＝3，
∴△APB为等腰三角形．
∵C的坐标为（0，5），B的坐标为（5，0），
∴OB＝CO＝5，即∠ABP＝45°．
∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠ABP＝45°，
∴∠ABP＝45°．
∴∠APB＝180°﹣45°﹣45°＝90°．
∴∠APC＝180°﹣90°＝90°．
∴△APC为直角三角形；
（3）如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E，
∵M1A＝M1C，
∴∠ACM1＝∠CAM1．
∴∠AM1B＝2∠ACB．
∵△ANB为等腰直角三角形．
∴AH＝BH＝NH＝2．
∴N（3，2）．
设AC的函数解析式为y＝kx+b（k≠0）．
∵C（0，5），A（1，0），
∴5=k⋅0+b0=k+b．
解得b＝5，k＝﹣5．
∴AC的函数解析式为y＝﹣5x+5，
设EM1的函数解析式为y=15x+n，
∵点E的坐标为（12，52）．
∴52=15×12+n，
解得：n=125．
∴EM1的函数解析式为y=15x+125．
∵y=−x+5y=15x+125．
解得x=136y=176．
∴M1的坐标为（136，176）；
在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，
设M2（a，﹣a+5），
则有：3=136+a2，解得a=236．
∴﹣a+5=76．
∴M2的坐标为（236，76）．
综上，存在使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍的点，且坐标为M1（136，176），M2（236，76）．
23．（2020•湘潭）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+5与x轴交于A，B两点．
（1）若过点C的直线x＝2是抛物线的对称轴．
①求抛物线的解析式；
②对称轴上是否存在一点P，使点B关于直线OP的对称点B'恰好落在对称轴上．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）当b≥4，0≤x≤2时，函数值y的最大值满足3≤y≤15，求b的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①抛物线y＝﹣x2+bx+5的对称轴为直线x=−b2×(−1)=b2，
∴若过点C的直线x＝2是抛物线的对称轴，
则b2=2，解得：b＝4，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5；
②存在，
如图，若点P在x轴上方，点B关于OP对称的点B'在对称轴上，连接OB′、PB，
则OB'＝OB，PB'＝PB，
对于y＝﹣x2+4x+5，令y＝0，则﹣x2+4x+5＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝5，
∴A（﹣1，0），B（5，0），
∴OB'＝OB＝5，
∴CB'=OB'2−OC2=25−4=21，
∴B'(2，21)，
设点P（2，m），
由PB'＝PB可得：21−m=m2+(5−2)2，解得：m=2217，
∴P（2，2217）；
同理，当点P在x轴下方时，P（2，−2217）．
综上所述，点P（2，2217）或P（2，−2217）；
（2）∵抛物线y＝﹣x2+bx+5的对称轴为直线x=−b2×(−1)=b2，
∴当b≥4时，x=b2≥2，
∵抛物线开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，
∴当0≤x≤2时，取x＝2，y有最大值，
即y＝﹣4+2b+5＝2b+1，
∴3≤2b+1≤15，解得：1≤b≤7，
又∵b≥4，
∴4≤b≤7．
24．（2020•衡阳）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；
（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由二次函数y＝x2+px+q的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，
∴1−p+q=04+2p+q=0，解得p=−1q=−2，
∴此二次函数的表达式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=−1+22=12，
∴在﹣2≤x≤1范围内，当x＝﹣2，函数有最大值为：y＝4+2﹣2＝4；当x=12时函数有最小值：y=14−12−2=−94，
∴y的最大值与最小值的差为：4﹣（−94）=254；
（3）y＝（2﹣m）x+2﹣m与二次函数y＝x2﹣x﹣2图象交点的横坐标为a和b，
∴x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4﹣m，
∵a＜3＜b，
∴a＝﹣1，b＝4﹣m＞3，
故解得m＜1，即m的取值范围是m＜1．
25．（2020•常德）如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，94）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知直线l过点A，M（32，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；
（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）把点A（﹣3，94）代入y＝ax2，
得到94=9a，
∴a=14，
∴抛物线的解析式为y=14x2．
（2）设直线l的解析式为y＝kx+b，则有94=−3k+b0=32k+b，
解得k=−12b=34，
∴直线l的解析式为y=−12x+34，
令x＝0，得到y=34，
∴C（0，34），
由y=14x2y=−12x+34，解得x=1y=14或x=−3y=94，
∴B（1，14），
如图1中，过点A作AA1⊥x轴于A1，过B作BB1⊥x轴于B1，则BB1∥OC∥AA1，
∴BMMC=MB1MO=32−132=13，MCMA=MOMA1=3232−(−3)=13，
∴BMMC=MCMA，
即MC2＝MA•MB．
（3）如图2中，设P（t，14t2）
∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，
∴PD∥OC，PD＝OC，
∴D（t，−12t+34），
∴|14t2﹣（−12t+34）|=34，
整理得：t2+2t﹣6＝0或t2+2t＝0，
解得t＝﹣1−7或﹣1+7或﹣2或0（舍弃），
∴P（﹣1−7，2+72）或（﹣1+7，2−72）或（﹣2，1）．
26．（2019•湘潭）如图一，抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）P（x1，y1）、Q（4，y2）两点均在该抛物线上，若y1≥y2，求P点横坐标x1的取值范围；
（3）如图二，过点C作x轴的平行线交抛物线于点E，该抛物线的对称轴与x轴交于点D，连结CD、CB，点F为线段CB的中点，点M、N分别为直线CD和CE上的动点，求△FMN周长的最小值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0）B（3.0）、C（0，3）三点
∴a−b+c=09a+3b+c=0c=3 解得：a=−33，b=233，c=3；
∴抛物线的解析式为：y=−33x2+233x+3．
（2）抛物线的对称轴为x＝1，抛物线上与Q（4，y2）相对称的点Q′（﹣2，y2）
P（x1，y1）在该抛物线上，y1≥y2，根据抛物线的增减性得：
∴﹣2≤x1≤4
答：P点横坐标x1的取值范围：﹣2≤x1≤4．
（3）∵C（0，3），B，（3，0），D（1，0）
∴OC=3，OB＝3，OD，＝1
∵F是BC的中点，
∴F（32，32）
当点F关于直线CE的对称点为F′，关于直线CD的对称点为F″，直线F′F″与CD、CE交点为M、N，此时△FMN的周长最小，周长为F′F″的长，由对称可得到：F′（32，332），F″（0，0）即点O，
F′F″＝F′O=(32)2+(332)2=3，
即：△FMN的周长最小值为3，
27．（2019•湘潭）湘潭政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店A、B两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．
（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？
（2）小亮调査发现，A种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若B种湘莲礼盒的售价和销量不变，当A种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）根据题意，可设平均每天销售A礼盒x盒，B种礼盒为y盒，
则有(120−72)x+(80−40)y=1280120x+80y=2800，解得x=10y=20
故该店平均每天销售A礼盒10盒，B种礼盒为20盒．
（2）设A种湘莲礼盒降价m元/盒，利润为W元，依题意
总利润W＝（120﹣m﹣72）（10+m3）+800
化简得W=−13m2+6m+1280=−13（m﹣9）2+1307
∵a=−13＜0
∴当m＝9时，取得最大值为1307，
故当A种湘莲礼盒降价9元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元．
28．（2019•永州）如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1且经过点A（﹣3，0）
由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（1，0）
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0）
即：y＝a（x﹣1）（x+3）
把B（0，3）代入得：3＝﹣3a
∴a＝﹣1
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵A（﹣3，0），B（0，3），
∴−3k+b=0b=3，
∴直线AB为y＝x+3，
作PQ⊥x轴于Q，交直线AB于M，
设P（x，﹣x2﹣2x+3），则M（x，x+3），
∴PM＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，
∴S=12（﹣x2﹣3x）×3=−32（x+32）2+278．
当x=−32时，S最大=278，y＝﹣（−32）2﹣2×（−32）+3=154，
∴△PAB的面积的最大值为278，此时点P的坐标为（−32，154）
29．（2019•娄底）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．
（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式并解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；
（2）设直线PD与y轴交于点G，设点P（m，m2﹣2m﹣3），
将点P、D的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：
直线PD的表达式为：y＝mx﹣3﹣2m，则OG＝3+2m，
S△POD=12×OG（xD﹣xP）=12（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+12m+3，
∵﹣1＜0，故S△POD有最大值，当m=14时，其最大值为4916；
（3）∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵∠ABC＝∠OBE，故△OBE与△ABC相似时，分为两种情况：
①当∠ACB＝∠BOQ时，
AB＝4，BC＝32，AC=10，
过点A作AH⊥BC于点H，
S△ABC=12×AH×BC=12AB×OC，解得：AH＝22，
则sin∠ACB=AHAC=25，则tan∠ACB＝2，
则直线OQ的表达式为：y＝﹣2x…②，
联立①②并解得：x=3或−3，
故点Q（3，﹣23）或（−3，23），
②∠BAC＝∠BOQ时，
tan∠BAC=OCOA=31=3＝tan∠BOQ，
则点Q（n，﹣3n），
则直线OQ的表达式为：y＝﹣3x…③，
联立①③并解得：x=−1±132，
故点Q（−1+132，3−3132）或（−1−132，3+3132）；
综上，当△OBE与△ABC相似时，Q的坐标为：（3，﹣23）或（−3，23）或（−1+132，3−3132）或（−1−132，3+3132）．
30．（2019•张家界）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，OC＝3．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；
（3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；
（4）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+12QC是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），
即：3a＝3，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，
则顶点D（2，﹣1）；
（2）∵OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
AM＝MB＝ABsin45°=2=AD＝BD，
则四边形ADBM为菱形，而∠AMB＝90°，
∴四边形ADBM为正方形；
（3）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：
直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
过点P作y轴的平行线交BC于点H，
设点P（x，x2﹣4x+3），则点H（x，﹣x+3），
则S△PBC=12PH×OB=32（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）=32（﹣x2+3x），
∵−32＜0，故S△PBC有最大值，此时x=32，
故点P（32，−34）；
（4）存在，理由：
如上图，过点C作与y轴夹角为30°的直线CH，作QH⊥CH，垂足为H，
则HQ=12CQ，
AQ+12QC最小值＝AQ+HQ＝AH，
直线HC所在表达式中的k值为3，直线HC的表达式为：y=3x+3…①
则直线AH所在表达式中的k值为−33，
则直线AH的表达式为：y=−33x+s，将点A的坐标代入上式并解得：
则直线AH的表达式为：y=−33x+33⋯②，
联立①②并解得：x=1−334，
故点H（1−334，3+34），而点A（1，0），
则AH=3+32，
即：AQ+12QC的最小值为3+32．
31．（2019•湘西州）如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值；
（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的高为6105？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵点A在线段OE上，E（8，0），OA＝2
∴A（2，0）
∵OA：AD＝1：3
∴AD＝3OA＝6
∵四边形ABCD是矩形
∴AD⊥AB
∴D（2，﹣6）
∵抛物线y＝ax2+bx经过点D、E
∴4a+2b=−664a+8b=0 解得：a=12b=−4
∴抛物线的解析式为y=12x2﹣4x
（2）如图1，作点M关于x轴的对称点点M'，作点N关于y轴的对称点点N'，连接FM'、GN'、M'N'
∵y=12x2﹣4x=12（x﹣4）2﹣8
∴抛物线对称轴为直线x＝4
∵点C、D在抛物线上，且CD∥x轴，D（2，﹣6）
∴yC＝yD＝﹣6，即点C、D关于直线x＝4对称
∴xC＝4+（4﹣xD）＝4+4﹣2＝6，即C（6，﹣6）
∴AB＝CD＝4，B（6，0）
∵AM平分∠BAD，∠BAD＝∠ABM＝90°
∴∠BAM＝45°
∴BM＝AB＝4
∴M（6，﹣4）
∵点M、M'关于x轴对称，点F在x轴上
∴M'（6，4），FM＝FM'
∵N为CD中点
∴N（4，﹣6）
∵点N、N'关于y轴对称，点G在y轴上
∴N'（﹣4，﹣6），GN＝GN，
∴C四边形MNGF＝MN+NG+GF+FM＝MN+N'G+GF+FM'
∵当M'、F、G、N'在同一直线上时，N'G+GF+FM'＝M'N'最小
∴C四边形MNGF＝MN+M'N'=(6−4)2+(−4+6)2+(6+4)2+(4+6)2=22+102=122
∴四边形MNGF周长最小值为122．
（3）存在点P，使△ODP中OD边上的高为6105．
过点P作PQ∥y轴交直线OD于点Q，
∵D（2，﹣6）
∴OD=22+62=210，直线OD解析式为y＝﹣3x，
设点P坐标为（t，12t2﹣4t）（0＜t＜8），则点Q（t，﹣3t），
①如图2，当0＜t＜2时，点P在点D左侧，
∴PQ＝yQ﹣yP＝﹣3t﹣（12t2﹣4t）=−12t2+t，
∴S△ODP＝S△OPQ+S△DPQ=12PQ•xP+12PQ•（xD﹣xP）=12PQ（xP+xD﹣xP）=12PQ•xD＝PQ=−12t2+t
∵△ODP中OD边上的高h=6105，
∴S△ODP=12OD•h，
∴−12t2+t=12×210×6105，
方程无解
②如图3，当2＜t＜8时，点P在点D右侧
∴PE＝yP﹣yE=12t2﹣4t﹣（﹣3t）=12t2﹣t
∴S△ODP＝S△OPQ﹣S△DPQ=12PQ•xP−12PQ•（xP﹣xD）=12PQ（xP﹣xP+xD）=12PQ•xD=12t2﹣t
∴12t2﹣t=12×210×6105
解得：t1＝﹣4（舍去），t2＝6
∴P（6，﹣6）
综上所述，点P坐标为（6，﹣6）满足使△ODP中OD边上的高为6105．
（4）设抛物线向右平移m个单位长度后与矩形ABCD有交点K、L
∵KL平分矩形ABCD的面积
∴K在线段AB上，L在线段CD上，如图4
∴K（m，0），L（2+m，﹣6）
连接AC，交KL于点H
∵S△ACD＝S四边形ADLK=12S矩形ABCD
∴S△AHK＝S△CHL
∵AK∥LC
∴△AHK∽△CHL
∴S△AHKS△CHL=(AHCH)2=1
∴AH＝CH，即点H为AC中点
∴H（4，﹣3）也是KL中点
∴m+2+m2=4
∴m＝3
∴抛物线平移的距离为3个单位长度．
32．（2019•邵阳）如图，二次函数y=−13x2+bx+c的图象过原点，与x轴的另一个交点为（8，0）
（1）求该二次函数的解析式；
（2）在x轴上方作x轴的平行线y1＝m，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）将（0，0），（8，0）代入y=−13x2+bx+c，得：
c=0−643+8b+c=0，解得：b=83c=0，
∴该二次函数的解析式为y=−13x2+83x．
（2）当y＝m时，−13x2+83x＝m，
解得：x1＝4−16−3m，x2＝4+16−3m，
∴点A的坐标为（4−16−3m，m），点B的坐标为（4+16−3m，m），
∴点D的坐标为（4−16−3m，0），点C的坐标为（4+16−3m，0）．
∵矩形ABCD为正方形，
∴4+16−3m−（4−16−3m）＝m，
解得：m1＝﹣16（舍去），m2＝4．
∴当矩形ABCD为正方形时，m的值为4．
（3）以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能为平行四边形．
由（2）可知：点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（6，4），点C的坐标为（6，0），点D的坐标为（2，0）．
设直线AC的解析式为y＝kx+a（k≠0），
将A（2，4），C（6，0）代入y＝kx+a，得：
2k+a=46k+a=0，解得：k=−1a=6，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6．
当x＝2+t时，y=−13x2+83x=−13t2+43t+4，y＝﹣x+6＝﹣t+4，
∴点E的坐标为（2+t，−13t2+43t+4），点F的坐标为（2+t，﹣t+4）．
∵以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且AQ∥EF，
∴AQ＝EF，分三种情况考虑：
①当0＜t≤4时，如图1所示，AQ＝t，EF=−13t2+43t+4﹣（﹣t+4）=−13t2+73t，
∴t=−13t2+73t，
解得：t1＝0（舍去），t2＝4；
②当4＜t≤7时，如图2所示，AQ＝8﹣t，EF=−13t2+43t+4﹣（﹣t+4）=−13t2+73t，
∴8﹣t=−13t2+73t，
解得：t3＝4（舍去），t4＝6；
③当7＜t≤8时，如图3所示，AQ＝8﹣t，EF＝﹣t+4﹣（−13t2+43t+4）=13t2−73t，
∴8﹣t=13t2−73t，
解得：t5＝2﹣27（舍去），t6＝2+27．
综上所述：当以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，t的值为4，6或2+27．
33．（2019•益阳）在平面直角坐标系xOy中，顶点为A的抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于点D，已知A（1，4），B（3，0）．
（1）求抛物线对应的二次函数表达式；
（2）探究：如图1，连接OA，作DE∥OA交BA的延长线于点E，连接OE交AD于点F，M是BE的中点，则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分？请说明理由；
（3）应用：如图2，P（m，n）是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+n＝﹣1，连接PA、PC，在线段PC上确定一点N，使AN平分四边形ADCP的面积，求点N的坐标．
提示：若点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则线段AB的中点坐标为（x1+x22，y1+y22）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，
将点B坐标的坐标代入上式得：0＝a（3﹣1）2+4，
解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分，理由：
如图1，∵DE∥AO，S△ODA＝S△OEA，
S△ODA+S△AOM＝S△OEA+S△AOM，即：S四边形OMAD＝S△OEM，
∴S△OME＝S△OBM，
∴S四边形OMAD＝S△OBM；
（3）设点P（m，n），n＝﹣m2+2m+3，而m+n＝﹣1，
解得：m＝﹣1或4，故点P（4，﹣5）；
如图2，故点D作QD∥AC交PC的延长线于点Q，
由（2）知：点N是PQ的中点，
将点C（﹣1，0）、P（4，﹣5）的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线PC的表达式为：y＝﹣x﹣1…①，
同理直线AC的表达式为：y＝2x+2，
直线DQ∥CA，且直线DQ经过点D（0，3），
同理可得直线DQ的表达式为：y＝2x+3…②，
联立①②并解得：x=−43，即点Q（−43，13），
∵点N是PQ的中点，
由中点公式得：点N（43，−73）．
34．（2019•郴州）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点 C．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）点F是线段AD上一个动点．
①如图1，设k=AFAD，当k为何值时，CF=12AD？
②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣3，0），B（1，0），
∴9a−3b+3=0a+b+3=0，解得：a=−1b=−2，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4
∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；
（2）①∵在Rt△AOC中，OA＝3，OC＝3，
∴AC2＝OA2+OC2＝18，
∵D（﹣1，4），C（0，3），A（﹣3，0），
∴CD2＝12+12＝2
∴AD2＝22+42＝20
∴AC2+CD2＝AD2
∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°．
∵CF=12AD，
∴F为AD的中点，
∴AFAD=12，
∴k=12．
②在Rt△ACD中，tan∠CAD=DCAC=232=13，
在Rt△OBC中，tan∠OCB=OBOC=13，
∴∠CAD＝∠OCB，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∴∠FAO＝∠ACB，
若以A，F，O为顶点的三角形与△ABC相似，则可分两种情况考虑：
当∠AOF＝∠ABC时，△AOF∽△CBA，
∴OF∥BC，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴k+b=0b=3，解得：k=−3b=3，
∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3，
∴直线OF的解析式为y＝﹣3x，
设直线AD的解析式为y＝mx+n，
∴−k+b=4−3k+b=0，解得：k=2b=6，
∴直线AD的解析式为y＝2x+6，
∴y=2x+6y=−3x，解得：x=−65y=185，
∴F（−65，185）．
当∠AOF＝∠CAB＝45°时，△AOF∽△CAB，
∵∠CAB＝45°，
∴OF⊥AC，
∴直线OF的解析式为y＝﹣x，
∴y=−xy=2x+6，解得：x=−2y=2，
∴F（﹣2，2）．
综合以上可得F点的坐标为（−65，185）或（﹣2，2）．
35．（2019•常德）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（﹣1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；
（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使△PNC的面积是矩形MNHG面积的916？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，
将点B的坐标代入上式得：0＝4a+4，解得：a＝﹣1，
故函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①；
（2）设点M的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点N（2﹣x，﹣x2+2x+3），
则MN＝x﹣2+x＝2x﹣2，GM＝﹣x2+2x+3，
矩形MNHG的周长C＝2MN+2GM＝2（2x﹣2）+2（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+8x+2，
∵﹣2＜0，故当x=−b2a=2，C有最大值，最大值为10，
此时x＝2，点N（0，3）与点D重合；
（3）△PNC的面积是矩形MNHG面积的916，
则S△PNC=916×MN×GM=916×2×3=278，
连接DC，在CD的上下方等距离处作CD的平行线m、n，
过点P作y轴的平行线交CD、直线n于点H、G，即PH＝GH，
过点P作PK⊥CD于点K，
将C（3，0）、D（0，3）坐标代入一次函数表达式并解得：
直线CD的表达式为：y＝﹣x+3，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝45°＝∠PHK，CD＝32，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），
S△PNC=278=12×PK×CD=12×PH×sin45°×32，
解得：PH=94=HG，
则PH＝﹣x2+2x+3+x﹣3=94，
解得：x=32，
故点P（32，154），
直线n的表达式为：y＝﹣x+3−94=−x+34⋯②，
联立①②并解得：x=3±322，
即点P′、P″的横坐标分别为3+322或3−322；
故点P横坐标为：32或3+322或3−322．
36．（2019•岳阳）如图1，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F1：y=13x2+73x的图象上，点A的横坐标为﹣4，点B的纵坐标为﹣2．（点A在点B的左侧）
（1）求点A、B的坐标；
（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过A'、B'两点，已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点，且点A'恰好在以OM为直径的圆上，连接OM、A'M，求△OA'M的面积；
（3）如图2，延长OB'交抛物线F2于点C，连接A'C，在坐标轴上是否存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）当x＝﹣4时，y=13×（﹣4）2+73×（﹣4）＝﹣4
∴点A坐标为（﹣4，﹣4）
当y＝﹣2时，13x2+73x＝﹣2
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣6
∵点A在点B的左侧
∴点B坐标为（﹣1，﹣2）
（2）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点B'作B'G⊥x轴于点G
∴∠BEO＝∠OGB'＝90°，OE＝1，BE＝2
∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'
∴OB＝OB'，∠BOB'＝90°
∴∠BOE+∠B'OG＝∠BOE+∠OBE＝90°
∴∠B'OG＝∠OBE
在△B'OG与△OBE中
∠OGB'=∠BEO∠B'OG=∠OBEB'O=OB
∴△B'OG≌△OBE（AAS）
∴OG＝BE＝2，B'G＝OE＝1
∵点B'在第四象限
∴B'（2，﹣1）
同理可求得：A'（4，﹣4）
∴OA＝OA'=42+42=42
∵抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过点A'、B'
∴16a+4b+4=−44a+2b+4=−1 解得：a=14b=−3
∴抛物线F2解析式为：y=14x2﹣3x+4
∴对称轴为直线：x=−−32×14=6
∵点M在直线x＝6上，设M（6，m）
∴OM2＝62+m2，A'M2＝（6﹣4）2+（m+4）2＝m2+8m+20
∵点A'在以OM为直径的圆上
∴∠OA'M＝90°
∴OA'2+A'M2＝OM2
∴（42）2+m2+8m+20＝36+m2
解得：m＝﹣2
∴A'M=m2+8m+20=4−16+20=22
∴S△OA'M=12OA'•A'M=12×42×22=8
（3）在坐标轴上存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．
∵B'（2，﹣1）
∴直线OB'解析式为y=−12x
y=−12xy=14x2−3x+4 解得：x1=2y1=−1（即为点B'）x2=8y2=−4
∴C（8，﹣4）
∵A'（4，﹣4）
∴A'C∥x轴，A'C＝4
∴∠OA'C＝135°
∴∠A'OC＜45°，∠A'CO＜45°
∵A（﹣4，﹣4），即直线OA与x轴夹角为45°
∴当点D在x轴负半轴或y轴负半轴时，∠AOD＝45°，此时△AOD不可能与△OA'C相似
∴点D在x轴正半轴或y轴正半轴时，∠AOD＝∠OA'C＝135°（如图2、图3）
①若△AOD∽△OA'C，则ODA'C=OAOA'=1
∴OD＝A'C＝4
∴D（4，0）或（0，4）
②若△DOA∽△OA'C，则DOOA'=OAA'C=424=2
∴OD=2OA'＝8
∴D（8，0）或（0，8）
综上所述，点D坐标为（4，0）、（8，0）、（0，4）或（0，8）时，以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．
37．（2019•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）
（1）若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1
①求该二次函数图象的顶点坐标；
②定义：对于二次函数y＝px2+qx+r（p≠0），满足方程y＝x的x的值叫做该二次函数的“不动点”．求证：二次函数y＝ax2+bx+c有两个不同的“不动点”．
（2）设b=12c3，如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），其中x1＜0，x2＞0，与y轴相交于点C，连结BC，点D在y轴的正半轴上，且OC＝OD，又点E的坐标为（1，0），过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F，满足∠AFC＝∠ABC．FA的延长线与BC的延长线相交于点P，若PCPA=55a2+1，求二次函数的表达式．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1
∴y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2
∴该二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣2）
②证明：当y＝x时，x2﹣2x﹣1＝x
整理得：x2﹣3x﹣1＝0
∴△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0
∴方程x2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根
即二次函数y＝x2﹣2x﹣1有两个不同的“不动点”．
（2）把b=12c3代入二次函数得：y＝ax2+12c3x+c
∵二次函数与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜0，x2＞0）
即x1、x2为方程ax2+12c3x+c＝0的两个不相等实数根
∴x1+x2=−12c3a=−c32a，x1x2=ca
∵当x＝0时，y＝ax2+12c3x+c＝c
∴C（0，c）
∵E（1，0）
∴CE=1+c2，AE＝1﹣x1，BE＝x2﹣1
∵DF⊥y轴，OC＝OD
∴DF∥x轴
∴CEEF=OCOD=1
∴EF＝CE=1+c2，CF＝21+c2
∵∠AFC＝∠ABC，∠AEF＝∠CEB
∴△AEF∽△CEB
∴AECE=EFBE，即AE•BE＝CE•EF
∴（1﹣x1）（x2﹣1）＝1+c2
展开得：1+c2＝x2﹣1﹣x1x2+x1
1+c2=−c32a−1−ca
c3+2ac2+2c+4a＝0
c2（c+2a）+2（c+2a）＝0
（c2+2）（c+2a）＝0
∵c2+2＞0
∴c+2a＝0，即c＝﹣2a
∴x1+x2=−−8a32a=4a2，x1x2=−2aa=−2，CF＝21+c2=21+4a2
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16a4+8
∴AB＝x2﹣x1=16a4+8=24a4+2
∵∠AFC＝∠ABC，∠P＝∠P
∴△PFC∽△PBA
∴CFAB=PCPA=55a2+1
∴21+4a224a4+2=55a2+1
解得：a1＝1，a2＝﹣1（舍去）
∴c＝﹣2a＝﹣2，b=12c3＝﹣4
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣4x﹣2
38．（2019•衡阳）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E．
（1）求该抛物线的函数关系表达式；
（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；
（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1））∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），
把A、B两点坐标代入上式，1−b+c=09+3b+c=0，
解得：b=−2c=−3，
故抛物线函数关系表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵A（﹣1，0），点B（3，0），
∴AB＝OA+OB＝1+3＝4，
∵正方形ABCD中，∠ABC＝90°，PC⊥BE，
∴∠OPE+∠CPB＝90°，
∠CPB+∠PCB＝90°，
∴∠OPE＝∠PCB，
又∵∠EOP＝∠PBC＝90°，
∴△POE∽△CBP，
∴BCPB=OPOE，
设OP＝x，则PB＝3﹣x，
∴43−x=xOE，
∴OE=14(−x2+3x)=−14(x−32)2+916，
∵0＜x＜3，
∴x=32时，线段OE长有最大值，最大值为916．
即OP=32时，点P在线段OB上运动至P（32，0）时，线段OE有最大值．最大值是916．
（3）存在．
如图，过点M作MH∥y轴交BN于点H，
∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴x＝0，y＝﹣3，
∴N点坐标为（0，﹣3），
设直线BN的解析式为y＝kx+b，
∴3k+b=0b=−3，
∴k=1b=−3，
∴直线BN的解析式为y＝x﹣3，
设M（a，a2﹣2a﹣3），则H（a，a﹣3），
∴MH＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a，
∴S△MNB＝S△BMH+S△MNH=12MH⋅OB=12×(−a2+3a)×3=−32(a−32)2+278，
∵−32＜0，
∴a=32时，△MBN的面积有最大值，最大值是278，此时M点的坐标为（32，−154）．
39．（2019•怀化）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点．
①若S△PMN＝2，求k的值；
②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；
③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）OB＝1，tan∠ABO＝3，则OA＝3，OC＝3，
即点A，B，C的坐标分别为（0，3），（﹣1，0），（3，0），
则二次函数表达式为：y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x2﹣2x﹣3），
即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3，
点P（1，4）；
（2）将二次函数与直线l的表达式联立并整理得：
x2﹣（2﹣k）x﹣k＝0，
设点M，N的坐标为（x1，y1），（x2，y2），
则x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣k，
则：y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k+6＝6﹣k2，
同理：y1y2＝9﹣4k2，
①y＝kx﹣k+3，当x＝1时，y＝3，即点Q（1，3），
S△PMN＝2=12PQ×（x2﹣x1），则x2﹣x1＝4，
|x2﹣x1|=(x1+x2)2−4x1x2，
解得：k＝±23；
②点M、N的坐标为（x1，y1），（x2，y2），点P（1，4），
则直线PM表达式中的k1值为：y1−4x1−1，直线PN表达式中的k2值为：y2−4x2−1，
为：k1•k2=y2−4x2−1•y1−4x1−1=y1y2−4(y1+y2)+16x1x2−(x1x2)+1=−1，
故PM⊥PN，
即：△PMN恒为直角三角形；
③取MN的中点H，则点H是△PMN外接圆圆心，
设点H坐标为（x，y），
则x=x1+x22=1−12k，
y=12（y1+y2）=12（6﹣k2），
整理得：y＝﹣2x2+4x+1，
即：该抛物线的表达式为：y＝﹣2x2+4x+1．
40．（2019•长沙）如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C．
（1）求点A的坐标；
（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．
①如图1，求证：CE＝DE；
②如图2，连接AC，BE，BO，当a=33，∠CAE＝∠OBE时，求1OD−1OE的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）令ax2+6ax＝0，
ax（x+6）＝0，
∴A（﹣6，0）；
（2）①证明：如图，连接PC，连接PB，延长交x轴于点M，
∵⊙P过O、A、B三点，B为顶点，
∴PM⊥OA，∠PBC+∠BDM＝90°，
又∵PC＝PB，
∴∠PCB＝∠PBC，
∵CE为切线，
∴∠PCB+∠ECD＝90°，
又∵∠BDM＝∠CDE，
∴∠ECD＝∠CDE，
∴CE＝DE．
②解：设OE＝m，
∵∠CAE＝∠CBO，∠CAE＝∠OBE，
∴∠CBO＝∠EBO，
由角平分线成比例定理可得：BDBE=ODOE，
即：(3+t)2+27(3+m)2+27=−tm，
∴m=6t−t−6，
∴−1m=t+66t，
∴1OD−1OE=−1t−1m，
=t+66t−1t，
=16．
x
…
0
2
4
6
8
…
y
…





…
x
…
0
2
4
6
8
…
y
…
5
2
1
2
5
…