北师大版八年级下册2 直角三角形教案设计

这是一份北师大版八年级下册2 直角三角形教案设计，共8页。

课题
1.2 直角三角形（1）
单元
第一章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
知识与技能：掌握直角三角形的性质和判别条件，并能进行简单应用；了解逆命题、互逆命题及逆定理、互逆定理的含义并能例举出相关的例子；
过程与方法：通过探究直角三角形的性质和判定，进一步掌握推理证明的方法,拓展演绎推理能力,培养思维能力；
情感态度与价值观：在探究中进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识．.
重点
直角三角形的性质和判定定理，互逆命题、互逆定理的概念.
难点
综合运用直角三角形的性质及判定解决实际问题.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
新知导入
同学们，在上前面的学习中，我们学习了直角三角形的有关内容，下面请同学们回答：
问题1.什么是直角三角形？
答案：有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形.
问题2.直角三角形的两个锐角有怎样的关系？
答案：直角三角形的两个锐角互余.
学生根据老师的提问回答问题.
通过回顾直角三角形的知识，为直角三角形的性质及判定的探究做好铺垫
新知讲解
下面，让我们一起完成下面的问题：
想一想：直角三角形的两个锐角为什么互余呢？
已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
求证：∠A+∠B＝90°.
证明：在Rt△ABC中，
∵∠A+∠B+∠C＝90°.
又∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°.
即：直角三角形的两个锐角互余.
思考：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？
答案：是直角三角形
已知：如图所示，在△ABC中，∠A+∠B＝90°.
求证：△ABC是直角三角形
归纳：直角三角形的性质与判定
定理：直角三角形的两个锐角互余.
几何语言：
在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°.
定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.
几何语言：
在△ABC中，
∵∠A+∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形.
练习1：如图，在△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°，AD⊥BC于点D，AE为∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．
解：由题意可知，
∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－30°－70°＝80°.
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAC＝40°.
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°.
∴∠CAD＝90°－∠C＝90°－70°＝20°.
∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝40°－20°＝20°.
说一说：在上学期，我们通过数方格和割补法得到了勾股定理，谁能说一说勾股定理的内容呢？
归纳：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
几何语言：
∵△ABC直角是三角形，且∠C＝90°，
∴AC2+BC2=AB2.
探究：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形呢？
已知：如图所示，在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2.
求证：△ABC是直角三角形
证明：如图，作Rt△A′B′C′，
使∠A′＝90°A′B′＝AB,A′C′＝AC,
则A′B′2＋A′C′2＝B′C′2（勾股定理）.
∵AB2＋AC2＝BC2，
∴BC2＝B′C′2.
∴BC＝B′C′.
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).
∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等）.
因此，△ABC是直角三角形.
归纳：定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
几何语言：
在△ABC中
∵AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形.
练习2：如图，已知∠ABD=90°，AB=8m，AD=17m，DC=20m，BC=25m．
（1）求BD的长度；（2）求四边形ABCD的面积．
解：（1）在∴△ABD中，
∵∠ABD=90°，
∴AB2+BD2=AD2，
即：82+BD2=172，
∴BD=15（m）；
(2)∵BD=15m，DC=20m，BC=25m，
∴BD2+DC2=BC2，
∴∠BDC=90°，
∴四边形ABCD的面积=AB×BD+CD×BD
=×8×15+×20×15
=210(m2)．
议一议：观察下的两组定理，它们的之间有怎样的关系？
定理：直角三角形的两个锐角互余.
定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
答案：它们的条件和结论交换了位置
再观察下面三组命题：
（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角.
（2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.
（3）一个三角形中相等的边所对的角相等；
一个三角形中相等的角所对的边相等.
每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？
答案：它们的条件和结论交换了位置
归纳：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
追问：你能写出命题“如果两个有理数相等,那么它们的平方相等”的逆命题吗?它们都是真命题吗?
答案：如果两个有理数的相等平方相等,那么这两个有理数相等.第一个命题是真命题，它的逆命题是假命题.
指出：一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.
强调：判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理，判断一个命题是假命题只需要举反例就可以．
归纳：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理．
比如：定理：直角三角形的两个锐角互余.与定理：有两个角互余的三角形是直角三角形，是互逆定理
又如：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方与定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，是互逆定理
练习3：说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：
(1)五边形是多边形；
(2)两直线平行，内错角相等.
解：(1)逆命题：多边形是五边形，
原命题是真命题，逆命题是假命题；
(2)逆命题：内错角相等，两直线平行，
原命题是真命题，逆命题也是真命题．
学生在老师的引导下进行证明.
学生认真思考，得出猜想后，小组合作进行证明，然后班内交流，并认真听老师的讲评.
学生归纳直角三角形在角上的性质及判定方法，并将其转化为符号语言.
学生独立进行推理计算，然后班内交流，并认真听老师的点评.
学生回答勾股定理的内容及几何语言表达形式.
学生认真思考，在同伴讨论的基础上进行证明，然后班内交流，并认真听老师的点评.
学生归纳出回答勾股定理逆定理的内容及几何语言表达形式.
学生独立完成后，班内交流，然后仔细听老师的讲评.
学生认真观察，找出关系，然后仔细听老师的讲解
学生独立完成练习，然后班内交流，老师讲评.
探究并证明直角三角形在角上的性质
探究并证明直角三角形在角上的判定定理.
归纳直角三角形在角上的性质及判定，并掌握其几何语言.
应用直角三角形在角上的性质进行计算，提高学生的应用能力.
引导学生回顾勾股定理的内容.
探究直角三角形在边上的判定，即勾股定理的逆定理.
归纳直角三角形在边上的判定方法，并掌握其几何语言.
提高学生应用勾股定理及其逆定理的应用能力..
掌握互逆命题、互逆定理的概念.
提高所学知识的应用能力.
课堂练习
1．一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
答案：B
2．已知下列命题：
①若>1，则a>b；
②若a＋b＝0，则|a|＝|b|；
③等边三角形的三个内角都相等；
④底角相等的两个等腰三角形全等．
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：A
学生自主完成课堂练习，做完之后班级内交流.
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
拓展提高
已知：在△ABC中，AB＝13cm，BC＝10cm，BC边上的中线AD＝12cm.求证：AB＝AC.
证明：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝BC＝×10＝5(cm)．
在△ABD中，
∵AB＝13cm，AD＝12cm，BD＝5cm，
∴AB2＝AD2＋BD2.
∴△ABD为直角三角形．
∴AD⊥BC.
在Rt△ADC中，
∴AB＝AC.
在师的引导下完成问题.
提高学生对知识的应用能力
中考链接
下面让我们一起赏析一道中考题：
(2018·青岛) 如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF=32，则BC的长是（ ）
答案：B
在师的引导下完成中考题.
体会所学知识在中考试题运用.
课堂总结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
问题1、说一说直角三角形在角上的性质与判定？
答案：性质：直角三角形的两个锐角互余.
判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.
问题2、说一说直角三角形在边上的性质与判定？
答案：性质：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
判定：勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
问题3、什么是互逆命题、互逆定理？
答案：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别 是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理．
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.
帮助学生加强记忆知识.
作业布置
基础作业
教材第17页习题1.5第1、2题
能力作业
教材第18页习题1.5第3、5题
学生课下独立完成.
检测课上学习效果.
板书设计
课题：1.2 直角三角形（1）
教师板演区
学生展示区
1、直角三角形的性质与判定
2、勾股定理及逆定理
3、互逆命题
4、互逆定理
借助板书，让学生知道本节课的重点。