北师大版九年级下册1 锐角三角函数优秀习题

这是一份北师大版九年级下册1 锐角三角函数优秀习题，文件包含挑战压轴专项12锐角三角函数实际应用-母子型原卷版docx、挑战压轴专项12锐角三角函数实际应用-母子型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。

通过在三角形外作高BC，构造出两个直角三角形求解，其中公共边BC是解题的关键.在Rt△ABC和Rt△DBC中，BC为公共边，AD+DC=AC.图形演变及对应的数量关系如下：
特别提醒：”母子“型的关键是找到两个直角三角形外的公共高
1．（2021春•丽水月考）如图，小梦要测量学校旗杆的高度BD，在点A处测得∠BAD＝45°，在点C处测得∠BCD＝60°．已知AC＝8米，点A、C、D在同一直线上，则旗杆的高度BD为（ ）
A．（4+4）米B．（7+7）米C．（14+14）米D．（4+12）米
【答案】D
【解答】解：在Rt△ABD中，
∵∠BAD＝45°，
∴∠ABD＝∠BAD＝45°．
∴BD＝AD．
在Rt△CBD中，
∵tan∠BCD＝＝tan60°．
∴CD＝＝＝BD．
∵AC＝AD﹣CD，
∴BD﹣BD＝8．
∴BD＝
＝
＝12+4．
故选：D．
2．（2021秋•城阳区校级期中）如图，斜坡BC的长度为4米．为了安全，决定降低坡度，将点C沿水平距离向外移动4米到点A，使得斜坡AB的长度为4米，则原来斜坡的水平距离CD的长度是（ ）米．
A．2B．4C．2D．6
【答案】A
【解答】解：设CD＝x米，BD＝y米，
在Rt△BCD中，BD2＝BC2﹣CD2，即y2＝42﹣x2，
在Rt△BAD中，BD2＝AB2﹣AD2，即y2＝（4）2﹣（x+4）2，
∴42﹣x2＝（4）2﹣（x+4）2，
解得：x＝2，即CD＝2米，
故选：A．
3．（2021春•怀化期中）如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得∠ACB＝15°，他沿CB方向走了28米，到达D处，测得∠ADB＝30°，则树的高度是 ．
【答案】14米
【解答】解：∵∠ADB＝30°，∠ACB＝15°，
∴∠CAD＝∠ADB﹣∠ACB＝15°，
∴∠ACB＝∠CAD，
∴AD＝CD＝28（米），
又∵∠ABD＝90°，
∴AB＝AD＝14（米），
∴树的高度为14米．
故答案为：14米．
4．（2022•汇川区一模）如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处测得∠ACB＝15°，他沿CB方向走了20米，到达D处，测得∠ADB＝30°，则计算出树的高度是 米．
【答案】10
【解答】解：∵∠ADB＝30°，∠ACB＝15°，
∴∠CAD＝∠ADB﹣∠ACB＝15°，
∴∠ACB＝∠CAD，
∴AD＝CD＝20（米），
又∵∠ABD＝90°，
∴AB＝AD＝10（米），
∴树的高度为10米．
故答案为：10．
5．（2022•禅城区校级二模）某商场从安全和便利的角度出发，提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式．如图，已知商场的层高AD为6m，坡角∠ABD为30°，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为16°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC相比改造前AB增加的长度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin16°≈0.28，cs16°≈0.96，tan16°≈0.29）
【解答】解：在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AD＝6m，
∴AB＝2AD＝12m，
在Rt△ACD中，∠ACD＝16°，AD＝6m，
∴AC＝≈≈21.42（m），
则AC﹣AB＝21.42﹣12≈9.4（m），
答：改造后的斜坡式自动扶梯AC相比改造前AB增加的长度约为9.4m．
6．（2022•新都区模拟）2022年冬季奥运会在北京举行，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某滑雪场高级雪道缆车线路示意图，滑雪者从点A出发，途经点B后到达终点C，其中AB＝200m，BC＝300m，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC段的运行路线与水平面的夹角为37°，求从点A运行到点C垂直上升的高度．（结果保留整数：参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75）
【解答】解：在Rt△ABD中，
∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，AB＝200m，
∴BD＝AB＝100m，
在Rt△BCE中，
∵∠BEC＝90°，∠CBE＝37°，BC＝300m，
∴CE＝BC•sin37°≈300×0.6＝180（m），
∴CF＝EF+CE＝BD+CE≈100+180＝280（m），
答：从点A运行到点C垂直上升的高度约为280m．
7．（2021秋•双牌县期末）如图，小明同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADM＝30°，在E处测得∠AFM＝60°，CE＝10米，仪器高度CD＝1.5米，求这棵树AB的高度．（结果精确到0.1，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24）
【解答】解：由题意知，四边形CDBM、CDEF、EFMB是矩形，
∴BM＝CD＝1.5米，CE＝DF＝10米．
在Rt△ADM中，
∵tan∠ADM＝，
∴DM＝＝AM．
在Rt△AFM中，
∵tan∠AFM＝，
∴FM＝＝AM．
∵DF＝DM﹣FM，
∴AM﹣AM＝10．
∴AM＝10．
AM＝5．
∴AB＝AM+MB
＝5+1.5
≈5×1.73+1.5
＝8.65+1.5
＝10.15
＝10.2（米）．
答：这棵树AB的高度为10.2米．
8．（2021•张家川县模拟）如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB＝800米，BC＝200米，坡面AB的坡度为1：，坡面BC的坡度为1：1．
（1）求AB段山坡的高度EF；
（2）求山峰的高度CF．（≈1.414，≈1.732）
【解答】解：（1）过点B作BD⊥AF于点D，
则四边形BDFE为矩形，
∴EF＝BD，
设BD＝x米，
∵坡面AB的坡度为1：，
∴AD＝x米，
在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2，即8002＝（x）2+x2，
解得：x＝400，
则BD＝400米，
∴EF＝BD＝400米；
（2）∵坡面BC的坡度为1：1，BC＝200米，
∴BE＝CE＝BC＝100（米），
∴CF＝CE+EF＝100+400≈541.4米．
9．（2021•潍坊）如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度．该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地1.5米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°，AB＝14米．求居民楼的高度（精确到0.1米，参考数据：≈1.73）
【解答】解：设每层楼高为x米，
由题意得：MC′＝MC﹣CC′＝2.5﹣1.5＝1（米），
∴DC′＝（5x+1）（米），EC′＝（4x+1）（米），
在Rt△DC′A′中，∠DA′C′＝60°，
∴C′A′＝＝（5x+1）（米），
在Rt△EC′B′中，∠EB′C′＝30°，
∴C′B′＝＝（4x+1）（米），
∵A′B′＝C′B′﹣C′A′＝AB，
∴（4x+1）﹣（5x+1）＝14，
解得：x≈3.17，
∴DC＝5×3.17+2.5≈18.4（米），
则居民楼高约为18.4米．
10．（2022•郴州）如图是某水库大坝的横截面，坝高CD＝20m，背水坡BC的坡度为i1＝1：1．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2＝1：，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．
（参考数据：≈1.41，≈1.73．结果精确到0.1m）
【解答】解：在Rt△BCD中，
∵BC的坡度为i1＝1：1，
∴＝1，
∴CD＝BD＝20米，
在Rt△ACD中，
∵AC的坡度为i2＝1：，
∴＝，
∴AD＝CD＝20（米），
∴AB＝AD﹣BD＝20﹣20≈14.6（米），
∴背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6米．
11．（2021秋•七里河区校级期末）某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由45°调为30°，如图，已知原滑滑板AB的长为4米，点D，B，C在同一水平地面上，求调整后滑滑板底部移动的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝4米，
sin45°＝，
解得AC＝，
∴BC＝AC＝米，
在Rt△ACD中，tan30°＝＝，
解得CD＝，
经检验，CD＝是原方程的解且符合题意，
∴BD＝CD﹣BC＝﹣2≈2.1（米）．
∴调整后滑滑板底部移动的距离约为2.1米．
12．（2022•曲周县模拟）如图，P点是某海域内的一座灯塔的位置，船A停泊在灯塔P的南偏东53°方向的50海里处，船B位于船A的正西方向且与灯塔P相距海里．（本题参考数据sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33．）
（1）试问船B在灯塔P的什么方向？
（2）求两船相距多少海里？（结果保留根号）
【解答】解：（1）过P作PC⊥AB交AB于C，
在Rt△APC中，∠C＝90°，∠APC＝53°，AP＝50海里，
∴PC＝AP•cs53°＝50×0.60＝30海里，
在Rt△PBC中，
∵PB＝20海里，PC＝30海里，
∴cs∠BPC＝＝，
∴∠BPC＝30°，
∴船B在灯塔P的南偏东30°的方向上；
（2）∵AC＝AP•sin53°＝50×0.8＝40（海里），
BC＝PB＝10（海里），
∴AB＝AC﹣BC＝（40﹣10）（海里），
答：两船相距（40﹣10）海里．
13．（2022•丽水一模）如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高CB为10米，坡面CA的坡角为30°．为了方便行人推车过桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面CD的坡角为18°，若新桥脚前需留4米的人行道，问离原坡脚15米的花坛是否需要拆除？请说明理由．
（参考数据：sinl8°≈0.3090，csl8°≈0.9511，tanl8°≈0.3249，1.414，≈1.732）
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
∴
在Rt△DBC中，∠BDC＝18°，
∴
∴AD＝BD﹣AB＝30.78﹣17.32＝13.46
DE＝AE﹣AD＝15﹣13.46＝1.54＜4米
∴花坛需要拆除．